2021届湖南省湖湘名校教育联合体高三入学考试数学试题(教师版含解析)

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1、湖湘名校教育联合体湖湘名校教育联合体 2021 届高三入学摸底考试届高三入学摸底考试 高三数学高三数学 一一 单项选择题:本题共单项选择题:本题共 8 小题小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 13UABxx ,23 U ABxx ,则集合B ( ) A. 12xx B. 12xx C. 23xx D. 23xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全集、并集、交集的定义直接求解即可 【详解】因为UAB, 所以()12 UU BABxx 痧. 故选:B 2. 设复数1zi ,则 3 z ( ) A 22i B

2、. 22i C. 2 2i D. 22i 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的乘法法则可化简得出 3 z . 【详解】 32 3 1112122ziiiiii , 故选:C. 3. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有( )个 A. 70 B. 64 C. 60 D. 58 【答案】D 【解析】 【分析】 根据组合的定义,结合组合数的计算公式、长方体的性质进行求解即可. 【详解】三棱锥有 4 个顶点,从长方体 8 个顶点中任取 4 个点共有 4 8 8 7 6 5 C70 4 3 2 1 种取法,排除其中 四点共面的有:长方体的面 6个,对角面 6 个, 可得不同的三棱锥有70 1258个.

3、 故选:D. 4. 为加强环境保护,治理空气污染,某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测,发现该厂产生的 废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物数量mg/LP与时间 ht的关系为 0 kt PPe.如果在前 5 个小时消除了 10%的污染物,那么污染物减少 27%需要花的时间约为( ) A. 13 小时 B. 15 小时 C. 17 小时 D. 19 小时 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题中条件,求出 ln0.9 5 k ,根据污染物减少 27%,列出等式求解,即可得出结果. 【详解】由已知5th时, 00 1 10%90%PPP,故 5 00 90% k PPe,解得 ln

4、0.9 5 k ; 污染物减少 27%,即 3 0000 1 27%73%0.7290.9PPPPP, 由 ln0.9 3ln0.9 55 5 0000 0.90.9 t t t PPeP eP ,所以 3 5 0.90.9 t ,则15th. 故选:B. 5. 已知tan2,则sin sin 44 ( ) A. 3 10 B. 3 10 C. 3 5 - D. 3 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式,由此求得所求表达式的值. 【详解】sinsinsincoscossinsincoscossin 444444 22 22 22

5、11sincos sincos 22sincos 2 2 1tan114 13 2tan124 110 . 故选:B 6. 大摆锤是一种大型游乐设备(如图),游客坐在圆形的座舱中,面向外,通常大摆锤以压肩作为安全束缚, 配以安全带作为二次保险, 座舱旋转的同时, 悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处,“大摆锤”启动后,主轴OB在平面内绕点O左右摆动,平面与水平地面垂直,OB摆动的过程中, 点A在平面内绕点B作圆周运动,并且始终保持OB,B.设4OBAB,在“大摆锤”启动后, 下列结论错误的是( ) A. 点A在某个定球面上运动; B. 与水平地面所成锐角记为,直线OB与

6、水平地面所成角记为,则为定值; C. 可能在某个时刻,AB/; D. 直线OA与平面所成角的正弦值的最大值为 17 17 . 【答案】C 【解析】 【分析】 利用已知条件确定OA是定值,即得 A 选项正确;作模型的简图,即得 B 正确;依题意点 B在平面内, 不可能AB/,得 C错误;设ABa=,结合题意知AB时,直线OA与平面所成角最大,计算此时 正弦值,即得 D正确. 【详解】因为点A在平面内绕点B作圆周运动,并且始终保持OB,所 22 OAOBAB , 又因为OB,AB为定值,所以OA也是定值,所以点A在某个定球面上运动,故 A 正确; 作出简图如下,OBl,所以 2 ,故 B 正确;

7、因为B,所以不可能有AB/,故 C不正确; 设ABa=,则4OBa, 22 17OAABOBa ,当AB时,直线OA与平面所成角最大,此 时直线OA与平面所成角的正弦值为 17 1717 a a ,故 D 正确. 故选:C. 【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象,以实际问题为背景构建立体几何关系,再运用立体 几何知识突破难点. 7. 已知点P是边长为 1 的正方形ABCD所在平面上一点,满足 ()0PAPBPCPD,则|PD的最小 值是( ) A. 52 3 B. 21 3 C. 52 2 D. 21 2 【答案】A 【解析】 【分析】 建立直角坐标系,设,P x y,根据题中的式子

8、列出方程,由P点的几何意义即可求得|PD的最小值. 【详解】解:建立如图所示的平面直角坐标系,则0,0A,10B ,,1,1C,0,1D, 设,P x y,则,PAxy ,1,PBxy, 1,1PCxy,,123 ,23PDxyPBPCPDxy , 由题意知: 2 32 30 xxyy , 即 2 22 112 333 xy , 点P在以 1 1 , 3 3 M 为圆心,半径为 2 3 r 的圆上, 又PD表示圆上的点到P的距离, 22 min 12252 3333 PDDMr . 故选 A. 【点睛】关键点点睛:解答本题关键是数形结合,利用P点的几何意义进行解答. 8. 已知函数 2 2,2

9、 2,2 x x f x xx 若函数 2yf xfxmmR恰有 2个零点,则m的取 值范围是( ) A. 2, B. 7 ,2 4 C. 0,2 D. ,2 【答案】A 【解析】 【分析】 求得函数 2yf xfx的解析式,画出 2yf xfx的图象,由此求得m的取值范围. 【详解】由 2 2,2 2,2 x x f x xx 得 2 ,0 2 ,0 xx fx xx , 所以 2 2 2,0 22, 02 34,2 xxx yf xfxx xxx , 所以函数 2yf xfxm恰有2个零点等价于函数y m 与函数 2yf xfx图象有2 个公共点,由图象可知2m. 故选:A 二二 多项选择

10、题:本题共多项选择题:本题共 4 小题小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9. 已知圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线 l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列判断正确的是( ) A. 当点A在圆O内(不与圆心重合)时,点Q的轨迹是椭圆; B. 点Q的轨迹可能是一个定点; C. 当点A在圆O外时,点Q的轨迹是双曲线的一支; D. 点Q的轨迹不可能是抛物线. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 如图 1,连接QA,由已知得| | |QAQP 结合椭圆的定义,判断A的正误;如图 2,当

11、点A在圆上时,点 Q与圆心重合,轨迹为定点;判断B的正误;如图 3,连接QA,由已知得| |QAQP 结合双曲线的定义 判断C的正误;由于当点A与圆心O重合时,点Q的轨迹为圆,说明点Q的轨迹判断D的正误即可 【详解】解:对 A,如图 1,连接QA,由已知得QAQP.所以QOQAQOQPOPr.又 因为点A在圆内,所以OAOP,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. 图 1 图 2 图 3 对 B,如图 2,当点A在圆上时,点Q与圆心重合,轨迹为定点; 对 C,如图 3,连接QA,由已知得QAQP.所以QAQOQPQOOPr.又因为点A在圆 外,所以OAOP,根据双曲线的

12、定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线. 对 D,由于当点A与圆心O重合时,点Q的轨迹为圆,综合 A,B,C 可知点Q的轨迹不可能为抛物线. 故选:ABD. 10. 2020年 3 月 15日,某市物价部门对 5 家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5家商场的售价 x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示: 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算,y与x的回归直线方程是: 3.2yxa ,相关系数0.986r ,则下列说法正确的有( ) A. 变量x,y线性负相关且相关性较强; B. 40a $ ; C. 当8.5x

13、时,y的估计值为 12.8; D. 相应于点10.5,6的残差约为 0.4. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据相关性、相关系数判断 A 选项的正确性.利用样本中心点判断 B 选项的正确性.将8.5x 代入回归直线 方程,由此判断 C 选项的正确性.求得10.5x 时y的估计值,进而求得对应的残差,从而判断 D 选项的正 确性. 【详解】对 A,由表可知y随x增大而减少,可认为变量x,y线性负相关,且由相关系数0.986r 可知 相关性强,故 A正确. 对 B,价格平均 1 99.5 10 10.5 1110 5 x ,销售量 1 11 108658 5 y . 故回归直线恒过定点10,

14、8,故8 3.2 1040aa ,故 B正确. 对 C,当8.5x 时, 3.2 8.54012.8y ,故 C正确. 对 D,相应于点10.5,6的残差63.2 10.5400.4e ,故 D 不正确. 故选:ABC 11. 已知函数 sincosf xx x的最小正周期为,则下列判断正确的有( ) A. 将函数2sin2yx图像向左平移 4 个单位得到函数 f x的图像 B. 函数 f x在区间 5 , 88 单调递减 C. 函数 f x的图像关于点 ,0 8 对称 D. 函数 f x取得最大值时x的取值集合 8 x xkkZ , 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先求出( )2sin(

15、2) 4 f xx ,根据解析式即可判断 A;令222 242 kxkkZ 求出单 调递减区间即可判断 B;计算() 8 f 即可判断 C;求出最大值对应的x集合即可判断 D. 【详解】 2 ( )2sin(),2 4 f xxT ,( )2sin(2) 4 f xx , 对于 A,( )2sin(2)2sin2() 48 f xxx ,故函数( )f x的图象可由函数2sin2yx的图象 向左平移 8 个单位得到,故 A 错误; 对于 B,令222 242 kxkkZ ,则 5 88 kxkkZ , 8 5 , 8 , 8 5 8 kk ,故 f x在区间 5 , 88 单调递减,故 B正确

16、; 对于 C,()2sin()0 844 f ,故函数 f x的图像关于点,0 8 对称,故 C 正确; 对于 D,当22 42 xkkZ ,即 8 xkkZ 时, f x取得最大值,故 D 正确. 故选:BCD. 12. 下列说法正确的是( ) A. 若0ab,则“1ab ”是“ 22 loglog2ab ”的充要条件; B. Nn , 32 23 nn nn ; C. 0, 4 x , 2 2 sin2 1 x x x ; D. ABC中,若C为钝角,则cos sincos cosAB. 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用基本不等式可知 A 中充分性成立,利用反例可知 A 中必要性不成

17、立; 设 ln 3 x f xx x ,利用导数求得函数单调性,化简得到 32 ln2ln3 nn nn ,进而得到 B 中结论; 设 2 22 01 1 1 x f xx x x x ,利用对号函数性质可知 f x单调性,结合0tan1xx可化简 得到 C错误; 利用 2 AB 可得sincosAB,结合 cosf xx在0,上的单调性可确定 D 正确. 【详解】对于 A,若1ab,则 2 1 24 ab ab (当且仅当ab时取等号), 又0ab, 1 0 4 ab , 2222 1 loglogloglog2 4 abab ,充分性成立; 222 logloglog2abab , 1 0

18、 4 ab , 若 1 8 a , 1 4 b ,则1a b ,必要性不成立,A 错误; 对于 B,设 ln 3 x f xx x ,则 2 1 ln 0 x fx x , f x在3,上单调递减, ln2ln3 23 nn nn ,则3 ln22 ln3nnnn, 即 32 ln2ln3 nn nn , * nN , 32 23 nn nn ,B正确; 对于 C,设 2 22 01 1 1 x f xx x x x ,则 f x单调递增. 设 tan0 4 g xxxx ,则 2 2 1 1tan0 cos gxx x , g x在0, 4 上单调递减, 00g xg,即tanxx, 当0,

19、 4 x 时,0tan1xx, tanf xfx, 又 2 2tan tansin2 1tan x fxx x , 2 2 sin2 1 x x x , 0, 4 x , 2 2 sin2 1 x x x ,C错误; 对于 D,C钝角, 2 AB ,即 2 AB ,sinsincos1 2 ABB , 又 cosf xx在0,上单调递减,cos sincos cosAB,D 正确. 故选:BD. 【点睛】思路点睛:本题考查不等关系的判断,涉及到基本不等式的应用、利用导数求解函数的单调性、 对号函数和三角函数性质等知识;解题基本思路是能够结合选项构造出不同函数,利用函数单调性,根据 自变量的大小

20、关系确定函数值的大小关系,进而整理得到结论. 三三 填空题:本题共填空题:本题共 4 小题小题. 13. 在 6 1 ()x x 的展开式中的常数项为_. 【答案】20 【解析】 【分析】 写出通项公式,给 r 赋值即可得出 【详解】 6 1 ()x x 的通项公式为:Tr+1 6 6 1 () rrr x x (-1)r 6 r x62r 令 62r0 解得r3, (-1) 33 6 20,所以常数项为-20 故答案为-20 【点睛】本题考查了二项式定理的应用,写出通项是关键,属于基础题 14. 在四面体SABC中,SA平面ABC,120BAC,2SA ,7BC ,则该四面体的外接 球的表面

21、积为_. 【答案】 40 3 【解析】 【分析】 在ABC中,利用正弦定理,求得外接圆直径为 2 7 2 3 r ,再结合球的性质,求得球的半径,进而求得 外接球的表面积,得到答案. 【详解】在ABC中,因为120BAC,7BC , 可得ABC的外圆球直径为 72 7 2 sin33 2 BC r BAC , 又由球的性质,可得 2 22 2 2 740 224 33 RrSA , 所以球的表面积为 2 40 =4 3 SR 球表 . 故答案为: 40 3 . 【点睛】运用公式 222 Rrd(r为底面多边形的外接圆的半径,R为几何体的外接球的半径,d表示球 心到底面的距离)求得球的半径,该公

22、式是求解球的半径的常用公式,该方法的实质是通过寻找外接球的一 个轴截面,把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 15. 设双曲线C: 22 22 1 yx ab 0,0ab的中心为O,上下焦点分别为 1 F, 2 F,过 1 F作以实轴为直径 的圆的切线,切点为T,与C的一条渐近线交于x轴下方的点P.若 2 /F P OT,则C的离心率为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 由条件有 21 F PFP,在 12 Rt FPF中,斜边上的高为 2ab c ,设 00 ,P x y,即 0 2ab x c ,由渐近线的斜 率为 a k b 且OPc,由点P在渐近线上,则 00 a yx b ,得

23、出 0 xb,从而有 2ab b c ,得到答案. 【详解】如图,易知 1 OTFP, 22 1 FTcab, 221 / /F POTF PFP, 可知 12 1 2 FOcFP ,且 12 Rt FPF中,斜边上的高为 2ab c , 设 00 ,P x y,即 0 2ab x c . 由渐近线的斜率为 a k b 且OPc, , 由点P在渐近线上,则 00 a yx b 所以 2 2 2222 000 2 1 a OPxyxc b ,即 2 22 0 2 c xc b ,所以 0 xb 故 2 2 abc be ca . 故答案为:2 【点睛】 关键点睛:本题考查求双曲线的离心率问题,解

24、答本题的关键是先根据条件分析出 21 F PFP,由等面积 法求出 12 Rt FPF中,斜边上的高为 2ab c ,再根据点P在渐近线上,则 00 a yx b 得到 2ab b c ,属于中 档题. 16. 九连环是中国的一种古老智力游戏,它环环相扣,趣味无穷.长期以来,这个益智游戏是数学家及现代 电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪(19061967)也曾有一个精美的由九个 翡翠缳相连的银制的九连环(如图).现假设有n个圆环,用 n a表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动 次数.已知数列 n a满足下列条件: 1 1a , 2 2a , 1 2 2n nn a

25、a 3,nnN , 记 n a的前项和为 n S, 则:(1) 9 a _;(2) 100 S_. 【答案】 (1). 341 (2). 102 2154 3 . 【解析】 【分析】 分n为偶数和n为奇数两种情况,由题中条件,利用叠加法,由等比数列的求和公式,求出数列的通项,即 可求出 9 a;再由分组求和的方法,即可求出 100 S. 【详解】(1)当n为偶数时, 1131351353 2462 2222222222 nnnnnnnnn nnnn aaaaa 13531 2 2 1 2 1 2222222 1 23 n nnnn ; 当n为奇数时, 1131351352 2461 22222

26、22222 nnnnnnnnn nnnn aaaaa 1 13521 2 1 21 2222121 1 23 n nnnn 9 1 9 1 21341 3 a (2) 100139924100 Saaaaaa 2410035101 11 212121222222 33 102 2345100101 112154 222222150 333 . 故答案为:341; 102 2154 3 . 【点睛】关键点点睛: 求解本题的关键在于根据题中条件, 讨论n为奇数和n为偶数两种情况, 利用叠加法(累加法)求出数列的通 项即可;在求数列的和时,可利用分组求和的方法求解. 四四 解答题:本题共解答题:本题

27、共 6 小题小题.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 在AD是BC边上的高,且6 3AD BC ,AD平分BAC,且 12 3 7 AD ,AD是BC边 上的中线,且 37 2 AD 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求出边BC的长 问题:在锐角ABC中,已知4AB ,3AC ,D是边BC上一点,_,求边BC的长 注:注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 【答案】13BC . 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式与余弦定理求解即可得答案. 【详解】方案一:选条件: 由面积关系得: 113 sinsin 2223 ABAC

28、BACBCADBACBAC 在ABC中,由余弦定理得 2 9 162 4 3 cos6013BC , 所以13BC 方案二:选条件: 设BAC,则 2 BADDAC ,由面积关系得: 1112 3112 33 3 4 sin3sin4sincos 2272272223 在ABC中,由余弦定理得 2 9 162 4 3 cos13 3 BC , 所以13BC 方案三:选条件: 设BDCDa ,分别在ABC与ACD 中由余弦定理得: 2 2 37 9 9416 4 coscos 2 32 3 2 a a DCABCA aa , 13 2 a , 13BC 【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理解

29、三角形,考查运算能力,是基础题. 18. 设等比数列 n a的前n项和为 n S,已知 3 3 2 a , 3 9 2 S . (1)求公比q; (2)若mn时, mn aa.求数列 1 6 n na 的前n项和 n T. 【答案】(1)1q 或 1 2 ;(2) 11 464 92 n n . 【解析】 【分析】 (1)根据题设条件可得关于q的方程组,解方程组后可得q的值. (2)利用错位相减法可求 n T. 【详解】(1)由 2 21 2 2 2 1 3 1 2 3210 9 1 2 a q qq qq q aqq ,1q 或 1 2 . (2)易知数列非常数列,由(1)知 1 1 6 2

30、 n n a , 1 11 62 n n nan . 0121 1111 123 2222 n n Tn . 121 11111 121 22222 nn n Tnn . 相减得: 0121 311111 222222 nn n Tn , 1 1 31112 464 12292 1 2 n nn nn TnTn . 19. “全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高综合性最强影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管 理水平和区域竞争力,提升市民素养和群众幸福指数,某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作 各项指标顺利完成, 市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一

31、位市民只参加一次). 通过随机抽样,得到参加调查的 100 人的得分统计如下表: 组别 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数 1 12 22 25 25 11 4 (1)由频数分布表可以大致认为:此次问卷调查的得分N,198,近似为这 100人得分的均值.求 得分在区间80,94的概率8094P;(注:同一组的数据用该组区间的中点值作代表) (2)在(1)的条件下, 市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查, 制定了如下奖励方案: 得分不低于 的可以获赠 2次随机话费,得分低于的可以获赠 1次随机话费;每次获赠的随机话费和对应的概率如 表

32、所示: 赠送话费的金额(元) 30 50 概率 2 3 1 3 现有市民甲参加此次问卷调查,记 X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求 X的分布列与数学期 望. 附:参考数据:35 1 45 12 55 22 65 25 75 25 85 11 95 4 6600 ;19814; 若XN 2 , ,则0.6827PX,220.9545PX. 【答案】(1)0.1359;(2)分布列见解析,55E X . 【解析】 【分析】 (1)根据平均数的计算方法计算出平均数,根据正态分布的知识计算出8094P. (2)利用相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望. 【详解】(1)根据表

33、格中的数据,可得: 35 145 1255 2265 2575 2585 11 95 46600 66 100100 , 19814 , 所以 0.95440.6826 809420.1359 2 PP . (2)由题意,可得 1 2 PP,则获赠话费X的可能取值为 30,50,60,80,100, 121 30 233 P X , 111 50 236 P X , 1222 60 2339 P X , 1211122 80 2332339 P X , 1111 100 23318 P X , 则X的分布列为: X 30 50 60 80 100 P 1 3 1 6 2 9 2 9 1 18

34、故期望值 11221 3050608010055 369918 E X (元). 20. 如图,三棱柱 111 ABCABC内接于圆柱 1 OO,已知圆柱 1 OO的轴截面为正方形, 1 30 6 ABACOO,点P在轴 1 OO上运动. (1)证明:不论P在何处,总有 1 BCPA; (2)当点P为 1 OO的中点时,求平面 1 APB与平面 11 BCC B所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 55 11 . 【解析】 【分析】 (1)连接AO并延长, 交BC于M, 交圆柱侧面于N, 连接OB,OC, 根据线面垂直的判定定理, 证明BC 平面 11 AOO A,即可得

35、出结论成立; (2)建立空间直角坐标系,分别求出平面 1 APB与平面 11 BCC B的法向量,根据向量夹角公式,即可求出结 果. 【详解】(1)证明:连接AO并延长,交BC于M,交圆柱侧面于N,连接OB,OC, ABAC,OBOC, AOBC 又圆柱 1 OO中, 1 AA 平面ABC,因为BC 平面ABC,所以 1 AABC, 又 1 AOAAA,AO平面 11 AOO A, 1 AA 平面 11 AOO A, BC平面 11 AOO A, 不论P在何处,总有 1 PA 平面 11 AOO A 所以 1 BCPA; (2)如图,建立空间直角坐标系 1 Oxyz,由(1)知/BC x轴,

36、设 11 OOAAANa,则 30 6 ABACa, 在ABC中, 51 cos 63 AC AMACCAMACaOMa AN 从而 2 2 3055 666 CMBMaaa . 1 1 0,0 2 Aa , 51 , 63 Baa a , 1 0,0, 2 Pa 1 11 0, 22 APaa , 1 55 , 66 ABaa a . 设平面 1 APB的一个法向量为 , ,ux y z r ,则有 11 0 22 55 0 66 ayaz axayaz , 取2y ,得 2 ,2, 2 5 u , 而平面 11 BCC B的一个法向量为 0,1,0v ,于是得: 2 255 cos, 11

37、 2 44 5 u v u v u v , 故所求锐二面角的余弦值为 55 11 . 【点睛】方法点睛: 立体几何体中空间角的求法: (1)定义法:根据空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的定义,通过作辅助线,在几何体中作出空间 角,再解对应三角形,即可得出结果; (2)空间向量的方法:建立适当的空间直角坐标系,求出直线的方向向量,平面的法向量,通过计算向量夹 角(两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角)的余弦值,来求 空间角即可. 21. 已知函数 cos0f xx x. (1)求证: 2 1 1 2 f xx ; (2)若 2 x f xaex,求a

38、的取值范围. 【答案】(1)证明见解析;(2)1,a. 【解析】 【分析】 (1)构造函数 2 1 cos1 2 g xxx ,利用 g x、 gx研究 g x的单调性和最值,由此证得不等式 成立. (2)构造函数 cos2 x xxaex 0 x,由 00得到1a .结合导数证得 2 1 10 2 x xexx ,由此确定a的取值范围. 【详解】(1)设 2 1 cos1 2 g xxx 0 x,则 sing xxx . 由 1 cos0gxx 知 g x 在0,上递增, sin00g xxxg . 从而 2 1 cos1 2 g xxx 0 x是增函数, 00g xg,故原不等式成立. (

39、2) 2 x f xaex cos20 x xaex对 0,x恒成立. 设 cos2 x xxaex 0 x, 一方面,由 0101aa . 另一方面,当1a 时, cos2cos2 xx xxaexxex . 利用(1)中的结论有: 22 11 cos2121 22 xxx xexxexexx . 构造函数 2 1 1 2 x xx h x e 0 x,则 2 0 2 x x h x e . h x递减. 从而 01h xh, 2 1 1 2 x exx, 0 x恒成立. 综上得:1,a. 【点睛】利用导数证明不等式,主要采用构造函数法,利用导数研究所构造函数的单调性和最值,由此证 得不等式

40、成立. 22. 已知抛物线C的顶点在原点O,准线为 1 2 x . (1)求抛物线C的标准方程; (2)点A,B在C上,且OAOB,ODAB,垂足为D,直线OD另交C于E,当四边形OAEB面积 最小时,求直线AB的方程. 【答案】(1) 2 2yx;(2) 331 2 4 yx . 【解析】 【分析】 (1)设抛物线C的标准方程为 2 20ypx p,根据题意,求得1p ,即可求得抛物线C的标准方程; (2)设直线AB的方程为x tym ,根据OAOB,得到 1212 0 x xy y,求得 12 4y y , 联立方程组,得到 12 2y ym ,求得2m,得出直线AB过定点2,0,再设直线

41、AB的方程为 2yk x,得到直线OD的方程为 1 yx k ,分别联立方程组,取得OE和弦长AB,得出三角形 面积的表达式,结合导数求得函数的最值,即可求解. 【详解】(1)设抛物线C的标准方程为 2 20ypx p, 由抛物线的准线方程为 1 2 x ,可得 1 22 p ,解得1p , 故抛物线C的标准方程为 2 2yx. (2)先证直线AB过定点2,0. 设直线AB的方程为x tym , 11 ,A x y, 22 ,B x y, 由OAOB,可得OA OB ,所以 1212 0 x xy y, 可得 22 12 12 0 22 yy y y,解得 12 4y y , 联立方程组 2

42、2 xtym yx ,整理得 2 220ytym,可得 12 2y ym , 所以24m,解得2m 故直线AB过定点2,0. 由已知再设直线AB的方程为2yk x,则直线OD的方程为 1 yx k , 联立方程组 2 1 2 yx k yx ,可得 2 2 1 2xx k ,解得 2 2 D xk,所以 2 2, 2Ekk, 所以 422 4421OEkkkk 联立方程组 2 2 2 yk x yx ,整理得 2 2 40yy k ,所以 12 2 yy k , 又由 12 4y y , 所以 2 22 2 1212 222 1122141 14116 kk AByyy y kkkk 所以 2

43、 22 42 22 141 11 22 496 2 OAEB kk SABOEkk kk 设 2 1 496f ttt t 2 0tk ,则 2 22 1 81 1 89 ttt ftt tt , 由 1 01ftt, 2,3 133 16 t , 易知 f t在 133 0, 16 递减,在 133 , 16 上递增, 因此 f t在 133 16 t 取最小值,从而面积取得最小值,此时 33 1 4 k , 故直线AB的方程为 331 4 y 2x. 【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略: 1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形,以及几何 性质求解; 2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显, 则可以建立目标函数,再求这个目标函数的最值(或值域), 常用方法:配方法;基本不等式;单调性法;三角换元法;导数法等,要特别注意自变量的取 值范围.

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