1、第 1 页，共 27 页 2021 年北京市中考数学年北京市中考数学信息信息卷卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 16 分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是 A. 圆柱 B. 圆椎 C. 三棱柱 D. 长方体 2. 32400000用科学记数法表示为 A. B. C. D. 3. 下列说法： 两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角； 如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点； 邻补角的两条角平分线构成一个直角； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短其中正确的是 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 观察下列各图，其
2、中的轴对称图形是 A. B. C. D. 5. 一个多边形的每一个外角都是 ，则这个多边形是 A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六方形 D. 正七边形 6. 下列说法中正确的是 A. 正数和负数统称有理数 B. 相反数大于本身的数是负数 C. 是大于 1 的整数 D. 若，则 第 2 页，共 27 页 7. 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有 数字，0，1，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字 当 指针恰好指在分界线上时，不记， 重转 ， 则记录的两个数字都是正数的概率为 A. B. C. D. 8. 随着“中国诗词大会”节目的热播，
3、唐诗宋词精选一书也随之热销如果一次性购买 10 本以上， 超过 10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额单位：元 与一次性购买该书的数量单 位：本 之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是 A. 一次性购买数量不超过 10 本时，销售价格为 20 元本 B. C. 一次性购买 10 本以上时，超过 10本的那部分书的价格打八折 D. 一次性购买 20本比分两次购买且每次购买 10 本少花 80元 二、填空题（本大题共 8 小题，共 16 分） 9. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是_ 10. 关于 x的一元二次方程的根的判别式为_ ， 这个方程的根的情况为_ 11. 大于小
4、于的所有整数之和_ 12. 关于 x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则 m 的取值范围是_ 13. 如图， 正比例函数与反比例函数的图象交于A， C两点， 过点 A作轴于点 B， 过点 C作轴于点 D， 则的 面积为_ 第 3 页，共 27 页 14. 如图，中，CD 为的 中线， 点 E、 点 F分别为线段 CD、 CA上的动点， 连接 AE、 EF， 则 的最小值为_ 15. 如图，中， AD为 BC边上的中线， E、 F 分别是 AD、 CD 的中点， 连接 EF、BE，若的面积为 6，则的面积是_ 16. 电脑系统中有个 扫雷 游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最
5、多埋一个雷，如 果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块 最多八个 中雷的个数 实际游戏 中， 0 通常省略不标， 为方便大家识别与印刷， 我把图乙中的 0 都标出来了， 以示与未掀开者的区别 ， 如图甲中的 表示它的周围八个方块中仅有 3 个埋有雷 图乙是张三玩游戏中的局部， 图中有 4 个方 块己确定是雷 方块上标有旗子 ， 则图乙第一行从左数起的七个方块中 方块上标有字母 ， 能够确定 一定是雷的有_请填入方块上的字母 三、解答题（本大题共 12 小题，共 68 分） 17. 数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例： ，请根据阅读理解上述材料解答下列各题：
6、 _； 计算：； 已知实数 a，b 满足行列式例，求代数式的值 第 4 页，共 27 页 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中， 20. 如图，已知点 A、B、C，根据下列语句画图： 分别画出直线 AB，射线 AC； 在线段 AB的延长线上截取线段 BD，使得； 连接 CD； 用三角板画出的余角 友情提示：以上画图均不写作法，但要保留作图痕迹 21. 如图，已知线段 BC 画图：在 BC 的上方画，使，且，联结 AC 过点 C作为垂足 取 BC的中点 M，过点 M作交 AB 于点 N 填空： 第 5 页，共 27 页 线段长_ 是点 A 到点 C 的距离 线段长_ 是点 B 到
7、直线 CD的距离 线段长_ 是平行线 CD和 MN 间的距离 22. 某校八年级学生小丽，小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销 售工作，已知该水果的进价为 8 元千克，下面是他们在活动结束后的对话 小丽：如果以 10元千克的价格销售，那么每天可售出 300 千克 小强：如果以 13元千克的价格销售，那么每天可获取利润 750 元 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量千克 与销售单价元 之间存在一次函数关系 求千克 与元的函数关系式； 当销售单价为何值时， 该超市销售这种水果每天获得的利润达 600元？ 利润销售量销售单价 进价 一段时间后，发现这种水果每天的销
8、售量均低于 225 千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的 利润最大是多少？ 第 6 页，共 27 页 23. 如图，已知矩形纸片 ABCD，怎样折叠，能使边 AB被三等分？ 以下是小红的研究过程 思考过 程 要使边 AB被三等分，若从边 DC上考虑，就是要折出， 也就是要折出， 当 DB、AM 相交于 F时，即要折出对角线上的那么 折叠方 法和示 意图 折出 DB；对折纸片，使 D、B重合，得到的折痕与 DB 相交于点 E；继续折叠纸片，使 D、 B与 E 重合，得到的折痕与 DB分别相交于点 F、G； 折出 AF、CG，分别交边 CD、AB于 M、Q； 过 M折纸片，使 D 落在 MC上
9、，得到折痕 MN，则边 AB被 N、Q三等分 整理小红的研究过程，说明； 用一种与小红不同的方法折叠，使边 AB被三等分 需简述折叠方法并画出示意图 第 7 页，共 27 页 24. 如图，直线 AB： 过点与抛物线交于 A、B 两点 直接写出点 A、点 B的坐标； 根据图象写出使的 x 的取值范围为_ 在直线 AB的下方的抛物线上求点 P，使的面积等于 5 25. 某市为了解市民每天的阅读时间， 随机抽取部分市民进行调查 根据调查结果 绘制了如图尚不完整的统计图表： 市民每天的阅读时间统计表 类别 A B C D 阅读时间 频数 450 400 m 50 根据以上信息解答下列问题： 该调查的
10、样本容量为_，_； 在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于_ ； 将每天阅读时间不低于 60min 的市民称为“阅读爱好者” 若该市约有 600万人，请估计该市能称 为“阅读爱好者”的市民有多少万人 第 8 页，共 27 页 26. 已知二次函数 将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴 在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当时 x 的取值范围 27. 己知： 如图， O为正方形 ABCD 的中心， BE 平分， 交 DC于点 E， 延长 BC到点 F， 使， 连结 DF，交 BE的延长线于点 G，连结 OG 求证：； 与 BF有什么数量关系？证明你的结论； 若
11、，求正方形 ABCD的面积 第 9 页，共 27 页 28. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为，点 B的坐标为，点 M 从点 A 出发沿 x 轴 负方向以每秒 3cm的速度移动，同时点 N从原点出发沿 y 轴正方向以每秒 1cm的速度移动设移动的 时间为 t秒 若点 M 在线段 OA上，试问当 t为何值时，与以点 O、M、N 为顶点的三角形相似？ 若直线与外接圆的另一个交点是点 C 试说明：当时，OM、ON、OC在移动过程满足； 试探究：当时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：该几何体是长方体， 故选：D 根据三
12、视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称 考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：若三视图里有两个是长方形，那么该几何体是柱体 2.【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数， 表示时关键要正确确定 a的值以及 n 的值 第 10 页，共 27 页 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n 是正数；当原数 的绝对值时，n 是负数 【解答】 解：32400000用科学记数法表示应记为， 故选 C 3.【答案】C
13、 【解析】解：两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角，对； 直线延长可能有交点，错； 邻补角的两条角平分线构成一个直角，对； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，对 故选 C 根据相关定义对各选项逐一进行判定，即可得出结论 对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的 表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别 4.【答案】C 【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合
14、题意 故选：C 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 5.【答案】B 【解析】解：设这个多边形是 n 边形 故选：B 第 11 页，共 27 页 利用多边形外角和为，可求解 本题考查了多边形的内角和与外角和 注意多边形的内角和为：； 多边形的外角和等于 6.【答案】B 【解析】解：A、整数和分数统称为有理数，故本选项错误； B、符合相反数的定义，故本选项正确； C、原式 ，故本选项错误； D、当 a、b互为相反数时不成立，故本选项错误 故选 B 分别根据有理数的定义、绝对值的性质、相反数的定义及同底数幂的
15、除法的逆运算对每个选项进行逐一分 析 本题考查的是有理数、相反数的定义、绝对值的性质及同底数幂的除法，能逆用同底数幂的除法对 C选项 中的式子进行化简是解答此题的关键 7.【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查的是用树状图法求概率，属于基础题 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率 公式求解即可求得答案 【解答】 解：画树状图得： 共有 16种等可能的结果，两个数字都是正数的有 4种情况， 两个数字都是正数的概率是： 故选：C 第 12 页，共 27 页 8.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量
16、关系逐一分析四个选项的正误是解题的 关键A、根据单价总价数量，即可求出一次性购买数量不超过 10 本时，销售单价，A选项正确；C、 根据单价总价数量，结合前 10 本花费 200元即可求出超过 10 本的那部分书的单价，用其前十本的 单价即可得出 C正确；B、根据总价超过 10 本的那部分书的数量即可求出 a 值，B 正确；D， 求出一次性购买 20 本书的总价，将 400与其相减即可得出 D 错误此题得解 【解答】解：A、元本 ， 一次性购买数量不超过 10本时，销售价格为 20元本，A选项正确； C、 元本 ， 一次性购买 10 本以上时，超过 10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；
17、B、 元 ， ，B选项正确； D、 元 ， 一次性购买 20 本比分两次购买且每次购买 10 本少花 40 元，D 选项错误 故选：D 9.【答案】 【解析】 【分析】 此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键 直接利用分式有意义的条件分析得出答案 【解答】 解：若代数式有意义， 则， 解得： 故答案为： 第 13 页，共 27 页 10.【答案】；有实数根 【解析】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟悉是解题的关键 先找出一元二次方程的 a、b、c， 再直接代入判别式即可；由判别式即可得到根的情况 【解答】 解：关于 x 的一元二次方程， ， ， ， 这个方程的
18、根的情况为有实数根， 故答案为，有实数根 11.【答案】 【解析】解：， 大于小于的所有整数有，0，1， ， 故答案为： 求出大于小于的所有整数，再求和即可 本题考查无理数的估算，得出所有大于小于的所有整数是正确解答的关键 12.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键 第 14 页，共 27 页 先解方程组，然后将 x、y的值代入不等式解答 【解答】 解：解方程组得， 不等式得 ， ， 故答案为 13.【答案】6 【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交点坐标， 轴，轴， ， ， 故答案为：6 根据正比例函数和反比例函数的关
19、系式可求出交点坐标，进而得出，再根据 三角形的面积公式求出答案 本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提 14.【答案】 【解析】解：过 B 作于 F，交 CD于 E， 则 BF的长即为的最小值， ，CD为的中线， ， ， ， 的最小值为， 第 15 页，共 27 页 故答案为： 过 B 作于 F，交 CD 于 E，则 BF的长即为的最小值，根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论 本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，正确的找出点 E，F的位置是解题的关键 15.【答案】16 【解析】解：连接 EC， 点 D 是 BC的
20、中点， 的面积的面积， 点 F 是 CD的中点， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积为 6， 的面积为 4， 点 E 是 AD 的中点， 的面积的面积， 的面积为 8， 点 D 是 BC的中点， 的面积的面积， 故答案为：16 连接 EC，根据三角形的一条中线把这个三角形分为面积相等的两部分计算即可 本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的一条中线把这个三角形分为面积相等的两部分是解题的关 键 16.【答案】B、D、F、G 【解析】解：图乙中第三行连续两个“1”，可得第二行最左边的方格必定是雷； 再结合 B 下方的“2”，可得第一行 A、B、C对应的方格中只有一个雷； 再结合 C 下方的
21、“2”，可得第一行 D对应的方格必定是雷，且 B、C 对应的方格中只有一个雷； 于是，A对应的方格一定不是雷； 第 16 页，共 27 页 对 D 下方的“2”，它周围的雷已经够数，从而，C、E 对应的方格一定不是雷，则 B 对应的方格必定是雷， 如下图所示： 进行下一步推理： 根据 E下方的“3”周围应该有 3 个雷，结合 E不是雷，可得 F对应的方格一定是雷； 根据 F下方的“4”周围应该有 4 个雷，结合 E不是雷，F 是雷，可得 G 对应的方格一定是雷 综上所述，A、C、E 对应的方格不是雷，且 B、D、F、G 对应的方格是雷 故答案为：B、D、F、G 根据题意，初步推断出第二行最左边
22、的方格必定是雷，第一行 A、B、C 对应的方格中只有一个雷，再结合 C下方的“2”，可得第一行 D 对应的方格必定是雷，且 B、C对应的方格中只有一个雷，于是可知 A、C、 E 不是雷，D是雷再观察 E 下方的“3”，F 下方的“4”，可得 F、G对应的方格是雷；从而推断出 A、 C、E对应的方格不是雷，且 B、D、F、G对应的方格是雷由此得到本题答案 此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理 A、B、C、D、E、F对应方格是否为 雷着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于较难题 17.【答案】 【解析】解：根据题中的新定义得：原式； 故答案为：； 根据题中的新定义
23、得：原式 ； 已知等式整理得：，即， 则原式 原式利用题中的新定义计算即可求出值； 第 17 页，共 27 页 原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值； 已知等式利用题中的新定义化简，整理求出的值，原式化简后代入计算即可求出值 此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18.【答案】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大 小小大中间
24、找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 19.【答案】解：原式 ， 当，时，原式 【解析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键 20.【答案】解：如图所示 【解析】连接 AB，向两边无限延长，连接 AC，延长 AC 可得 射线 AC； 以 B 为圆心，CB长为半径画弧，交 AB 延长线于点 D； 连接 CD； 利用直角三角板，一边与 AB 重合，沿 AB平移，使另一边过点 D，再画直线即可得到 此题主要考查了直线、射线和线段、余角，关键是掌握直线、线段、射线的性质 21.【答案】AC BD
25、DN 第 18 页，共 27 页 【解析】解：如图， 线段长 AC是点 A到点 C的距离； 线段长 BD是点 B到直线 CD 的距离 线段长 DN是平行线 CD和 MN 间的距离 故答案为 AC，BD，DN 根据几何语言画出对应的几何图形； 根据两点之间的距离求解； 根据点到直线的距离求解； 根据平行线间的距离求解 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性 质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成基本作图，逐步操作也考查了点到直线的距离 22.【答案】解：当销售单价为 13元千克时，销
26、售量为：千克 设 y与 x的函数关系式为： 把，分别代入得： 解得 故 y与 x的函数关系式为： 设每天水果的利润 W元， 利润销售量销售单价进价 解得：， 当销售单价为 10或 14 元时，每天可获得的利润是 600元 第 19 页，共 27 页 又水果每天的销售量均低于 225kg，水果的进价为 8元千克， ， ， 当时，元 答：此时该超市销售这种水果每天获取的利润最大是 800 元 【解析】本题主要考查一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键 以 10 元千克的价格销售，那么每天可售出 300 千克；以 13元千克的价格销售，那么每天可获取利 润 750 元就
27、相当于直线过点，然后列方程组解答即可 根据利润销售量销售单价进价 写出解析式，求出即可； 由二次函数的性质以及利用配方法求最大值，自变量的取值范围解答这一问题 23.【答案】解：由折叠的性质可得，四边形 ADMN是矩形， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ； 如图， 第 20 页，共 27 页 将矩形 ABCD对折，使 AD 与 BC重合，折痕为 EF； 连接 AC，DF，交点为 G， 过点 G折叠矩形 ABCD，使点 D落在 CE上，对应点为 E， 使点 A落在 BF 上，对应点为 Q，折痕为 MN； 点 N，点 Q为 AB 的三等分点 理由如下：由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ，
28、， ， ， 【解析】本题是几何变换综合题，考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这 些性质进行推理是本题的关键 由折叠的性质可得，通过证明，可得，可得 ，同理可求，可得结论； 所求图形，如图所示，由折叠的性质可得，通过 证明，可得，由平行线分线段成比例可得，即可证 第 21 页，共 27 页 24.【答案】 【解析】解：把点代入直线 AB：得，解得， 直线的解析式为 联立两个函数表达式得：， 解得：或 点 A 的坐标为，点 B 的坐标为； 从图象看，使的 x的取值范围为， 故答案为； 过点 P作轴，交 AB 于点 Q， 过点 A作，垂足为 M， 过点 B作，垂足为 N，如
29、图 1所示 设点 P的横坐标为 a，则点 Q 的横坐标为 a ， 点 P 在直线 AB 下方， ， 则 整理得： 第 22 页，共 27 页 解得：， 当时， 此时点 P 的坐标为 当时， 此时点 P 的坐标为 符合要求的点 P的坐标为或 把点代入直线 AB：求得 k，再与抛物线建立方程，求得 A、B两点； 观察函数图象即可求解； 设出点P的横坐标为a， 运用割补法用a的代数式表示的面积， 然后根据条件建立关于a的方程， 从而求出 a 的值，进而求出点 P的坐标 此题考查一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的性质，通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法 表示三角形的面积等方法，综合性比较强
30、25.【答案】1000 100 144 【解析】解：， 故答案为：1000，100； 即在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 故答案为：144； 万人 答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有 90 万人 从两个统计图中可以得到 A 组有 450人，占调查人数的，可求出样本容量，进而求出 m的值； 先求出 B 组所占的百分比，进而求出所占的圆心角的度数， 利用样本估计总体的思想，用 600 万乘以样本中每天阅读时间不低于 60min 的市民所占的百分比即可 第 23 页，共 27 页 本题考查了频数分布表及扇形统计图，从统计图表中获取数据和数据之间的关系是解决问题的关键也考 查了用样本估
31、计总体 26.【答案】解：， 所以抛物线的图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为直线； 当时， 解得， 抛物线与 x轴的交点坐标为， 抛物线如图， 时， 【解析】先求出抛物线与 x 轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； 写出函数图象在 x轴下方所对应的自变量的范围即可； 本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数b，c 是常数，与 x 轴的交点坐标 问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 27.【答案】证明：在正方形 ABCD中， 在和中， ， ； 第 24 页，共 27 页 解： 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 正方形 ABCD的中心， ，
32、 是的中位线， ； 解：设，则， 由知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第 25 页，共 27 页 ， 正方形 ABCD的面积是 4 【解析】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，相似三角 形的性质定理以及勾股定理的应用 掌握等腰三角形的三线合一以及相似三角形的判定定理和性质定理是 解题的关键 根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明； 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理解答； 设，用 x表示出 CF，利用勾股定理表示出 DF，证明，根据相似三角形的性 质得到，计算即可 28.【答案】解：由题意，得， 当时， 若，则，即， 解得 若
33、，则，即， 解得 综上，当 t为 1 或时，与以点 O、M、N 为顶点的三角形相似 当时，在 ON 的延长线的截取，连接 CD、CN、CM，如图所示： 直线与 x轴的夹角为， 第 26 页，共 27 页 平分 又在中， ， 又， 为的直径， 又， 当 时，过点 C 作交 ON 于点 D，连接 CM、CN，如图所示： ， 为等腰直角三角形， 为的直径， 又在中， 第 27 页，共 27 页 又， 又， 【解析】由题意先把 OA、OB 的值算出来，再根据相似三角形的性质列出等量关系，求出 t即可； 当时， 在 ON的延长线的截取， 连接 CD、 CN、 CM， 证明及 再把求出来，即可证明；当 时，过点 C作交 ON 于点 D，连接 CM、CN，先证明为等腰直角三角形，再证明，按照全 等三角形的性质及即可求得答案 本题属于圆的综合题，其中考查了相似三角形成立的条件、圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性 质及一次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键
