1、2021 年河南省济源市、 平顶山市、 许昌市高考数学第三次质检试卷 （文科）年河南省济源市、 平顶山市、 许昌市高考数学第三次质检试卷 （文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|yln（x2），Nx|2xa0，且 MNR，则 a 的取值范围为（ ） A2，+） B（2，+） C4，+） D（4，+） 2若复数 z 满足|z3i|3，i 为虚数单位，则|z4|的最大值为（ ） A8 B6 C4 D2 3某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时某出租车司机在该交通广播电台正常播音期 间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过 5 分钟的概
2、率为（ ） A B C D 4“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十 天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字 开始， “地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、 丙寅、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌、癸巳；，共得到 60 个组合， 称六十甲子，周而复始，无穷无尽2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么 2121 年是“干支纪年 法”中的（ ） A庚午年 B辛未年 C庚辰年 D辛巳年 5已知曲线 yaex+xlnx 在点（1，ae）
3、处的切线方程为 y2x+b，则（ ） Aae1，b1 Bae1，b1 Cae，b1 Dae，b1 6将函数 f（x）cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 yg（x）的图象，则（ ） Ayg（x）的图象关于点（，0）对称 Byg（x）的图象关于直线 x对称 Cg（x）的最小正周期为 Dg（x）在单调递减 7函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 8设 P，Q 分别为圆（x1）2+y22 和椭圆上的点，则 P，Q 两点间的最短距离是（ ） A B C D 9已知 0a5 且 aln55lna，0b6 且 bln66l
4、nb，0c7 且 cln77lnc，则 a，b，c 的大小关系为 （ ） Aacb Babc Ccab Dcba 10设 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，O 为坐标原点，过 F1的直线与双 曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且满足，则该双曲线的离心率 为（ ） A B C2 D2 11下列结论中正确的是（ ） 设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 m，mn，n，则 ； x是函数 ysinx+sin（x）取得最大值的充要条件； 已知命题 p：xR，4x5x；命题 q：x0，x22x，则pq 为真命题； 等差数列an中，前 n 项和为 Sn，公差 d0，若
5、 a8|a9|，则当 Sn取得最大值时，n15 A B C D 12已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形且边长为 1，侧棱 AA1长为 2，以 A1为球心， 为半径的球面与侧面 CDD1C1的交线长为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13若实数 x，y 满足条件，则 z3x2y4 的最小值为 14已知平面向量 （1，）， （，m），且| + | |，则|3 6 | 15若函数 f（x）loga（x+）（a0，a1）是奇函数，则函数 g（x）bxax在1，2上的 最大值与最小值的和为 16 已知数列an的前 n 项和为 Sn，
6、且满足 a1， an+2SnSn10 （n2） ， 则 （n2+16） Sn的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且asinB2bcos2 （1）求角 A 的大小； （2）若 BC 边上的中线 AD4，求三角形 ABC 面积
7、的最大值 18如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBEEC2，G， F，M 分别是线段 BE，DC，AB 的中点 （1）求证：平面 GMF平面 ADE； （2）求三棱锥 DAFG 的体积 192020 年，病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上 为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并 迅速开展相关研究工作某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压、）是否 与更容易感染病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中 50 人的血液
8、样本进行检验，数 据如表： 感染病毒 未感染病 毒 合计 不患有重大基础疾 病 15 患有重大基础疾病 25 合计 30 （1）请填写 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒； （2）已知某样本小组 6 人中 4 人感染病毒，若从中任意抽取 2 人，求 2 人都感染病毒的概率 P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附：K2 ，其中 na+b+c+d 20已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，过点 F 且斜率为的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点， |AB|9 （1）求抛物线 C 的标准方程；
9、（2）过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 D，E 两点过 D，E 分别作抛物线 C 的切线，两切线交于点 M，若 直线 l 与抛物线 C 的准线交于第四象限的点 N，且|MN|DE|，求直线 l 的方程 21已知函数 f（x）x2+ax3，g（x）xlnx，aR （1）当 x0 时，2g（x）f（x），求 a 的取值范围； （2）证明：当 x0 时，g（x） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方
10、程 22已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数）以原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（+）1 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|m|x+1| （1）若 m2，求不等式 f（x）8 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）m|x+3|对于任意实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）.
11、 1已知集合 Mx|yln（x2），Nx|2xa0，且 MNR，则 a 的取值范围为（ ） A2，+） B（2，+） C4，+） D（4，+） 解：yln（x2），x20，x2，M（2，+）， 2xa0，x，N（， MNR，画出数轴如下， 2，a4， a 的取值范围为4，+） 故选：C 2若复数 z 满足|z3i|3，i 为虚数单位，则|z4|的最大值为（ ） A8 B6 C4 D2 解：由|z3i|3，可知复数 z 对应点的轨迹为以 B（0，3）为圆心，以 3 为半径的圆上， 如图： 则|z4|的最大值为|AB|+35+38， 故选：A 3某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时某
12、出租车司机在该交通广播电台正常播音期 间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过 5 分钟的概率为（ ） A B C D 解：设电台的整点报时之间某刻的时间 x， 由题意可得，0 x60， 则等待的时间不超过 5 分钟的概率为 P， 故选：B 4“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十 天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字 开始， “地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、 丙寅、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌、癸巳；，共得
13、到 60 个组合， 称六十甲子，周而复始，无穷无尽2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么 2121 年是“干支纪年 法”中的（ ） A庚午年 B辛未年 C庚辰年 D辛巳年 解：天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥， 天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年，则 2121 的天干为辛，地支为巳， 故选：D 5已知曲线 yaex+xlnx 在点（1，ae）处的切线方程为 y2x+b，则（ ） Aae1，b1 Bae1，b1 Cae，b1 Dae，b1 解：yae
14、x+xlnx，yaex+lnx+1， 由在点（1，ae）处的切线方程为 y2x+b， 可得 ae+1+02，解得 ae1， 又切点为（1，1），可得 12+b，即 b1 故选：B 6将函数 f（x）cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 yg（x）的图象，则（ ） Ayg（x）的图象关于点（，0）对称 Byg（x）的图象关于直线 x对称 Cg（x）的最小正周期为 Dg（x）在单调递减 解：将函数 f（x）cos（2x+）的图象向左平移个单位长度， 得：ycos2（x+）+sin（2x+）， 再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的
15、 2 倍（纵坐标不变）， 得：g（x）sin（x+）， 对于 A：g（）sin0，故 A 正确， 对于 B：g（）sin001，故 B 错误， 对于 C：g（x）的最小正周期是 T2，故 C 错误， 对于 D：当 x，时，令 tx+ ， ysint 在，上不单调，故 D 错误， 故选：A 7函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 解：函数的定义域为 R，排除 B，D， 当 x0 且 x+，f（x）0，且 f（x）0，排除 C， 故选：A 8设 P，Q 分别为圆（x1）2+y22 和椭圆上的点，则 P，Q 两点间的最短距离是（ ） A B C D 解：如图， 圆（x1）2+y22 的圆
16、心 C（1，0），半径为， 设 Q（x，y）是椭圆上的点， 则|QC| 5x5，当 x时， P，Q 两点间的最短距离是 故选：B 9已知 0a5 且 aln55lna，0b6 且 bln66lnb，0c7 且 cln77lnc，则 a，b，c 的大小关系为 （ ） Aacb Babc Ccab Dcba 解：令 F（x），则， 易得，当 0 xe 时，F（x）0，函数单调递增，当 xe 时，F（x）0，函数单调递减， 因为 0a5，0b6，0c7， 所以 cbae， 所以 f（c）f（b）f（a）， 则 abc 故选：A 10设 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，O 为坐标原
17、点，过 F1的直线与双 曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且满足，则该双曲线的离心率 为（ ） A B C2 D2 解：由， 可得BOF1为等腰三角形，且 A 为底边 BF1的中点， 由 F1（c，0）到渐近线 y x 的距离为 db， 由 OABF1，可得|OA| a， 由AOF1AOBBOF260，可得 cos60 ， 可得 e2 故选：C 11下列结论中正确的是（ ） 设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 m，mn，n，则 ； x是函数 ysinx+sin（x）取得最大值的充要条件； 已知命题 p：xR，4x5x；命题 q：x0，x22x，则pq 为真命题； 等差数
18、列an中，前 n 项和为 Sn，公差 d0，若 a8|a9|，则当 Sn取得最大值时，n15 A B C D 解：对于：设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 m，mn，直线 m 相当于平 面 的法向量，由于 n，则 ，故正确； 对于，函数 f（x）sinx+sin（x）满足 f（0）f（），故 x不是取得最大值的充要条件， 故错误； 已知命题 p：xR，4x5x；当 x1 时，不成立，命题 q：x0，x22x，当 x3 时，成立，则 pq 为真命题，故正确； 等差数列an中，前 n 项和为 Sn，公差 d0，若 a8|a9|，即 a8a9，则当 Sn取得最大值时，n8 或 9，
19、故错误 故选：A 12已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形且边长为 1，侧棱 AA1长为 2，以 A1为球心， 为半径的球面与侧面 CDD1C1的交线长为（ ） A B C D 解：长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形且边长为 1，侧棱 AA1长为 2，以 A1为球心， 为半径的球面与侧面 CDD1C1的交线，是以 D1为圆心，为半径的圆弧，如图 ，ED1F， 可得： 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13若实数 x，y 满足条件，则 z3x2y4 的最小值为 6
20、解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，A（0，1）， 由 z3x2y4，得 y， 由图可知，当直线 y过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为6 故答案为：6 14已知平面向量 （1，）， （，m），且| + | |，则|3 6 | 6 解：向量 （1，）， （，m），且| + | |， +m0，m1， 则|3 6 |6， 故答案为：6 15若函数 f（x）loga（x+）（a0，a1）是奇函数，则函数 g（x）bxax在1，2上的 最大值与最小值的和为 解：由为奇函数可知， 解得，经验证，符合题意， ， 又 y2x为增函数， 为减函数， 为增函数， 当 x1，2时， 故答
21、案为： 16 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a1， an+2SnSn10 （n2） ， 则 （n2+16） Sn的最小值为 4 解：由于 an+2SnSn10，整理得 SnSn12SnSn1， 变换为：（常数）， 故数列是以 2 为首项，2 为公差的等差数列； 所以，（首项符合通项）， 故， 则（n2+16）Sn ，当且仅当时，即 n4 时， 等号成立， 故答案为：4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第生都必须作
22、答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且asinB2bcos2 （1）求角 A 的大小； （2）若 BC 边上的中线 AD4，求三角形 ABC 面积的最大值 解：（1）因为asinB2bcos2b（1cosA）， 所以， 因为 sinB0， 所以， 所以2sin（A+）1， 所以 sin（A+）， 由 A 为三角形内角可得，A， （2）由题意， 所以|8， 所以 64b2+c2bcbc，当且仅当 bc8 时取等号， 所以 bc 的最大值 64，
23、此时三角形 ABC 面积的最大值16 18如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBEEC2，G， F，M 分别是线段 BE，DC，AB 的中点 （1）求证：平面 GMF平面 ADE； （2）求三棱锥 DAFG 的体积 【解答】（1）证明：M、F 分别为矩形的边 AB、DC 的中点，MFAD， MF平面 ADE，AD平面 ADE，MF平面 ADE， M、G 分别为 AB、BE 的中点，MGAE， MG平面 ADE，AE平面 ADE，MG平面 ADE， 又 MFMGM，MF、MG平面 MGF， 平面 GMF平面 ADE； （2）解：取 BC 的中
24、点 O，连接 EO，则 EOBC， AB平面 BEC，AB平面 ABCD，平面 ABCD平面 BEC， 又平面 ABCD平面 BECBC，EO平面 BEC， EO平面 ABCD，在等腰直角三角形 BEC 中，由 BEEC2，求得 EO 在矩形 ABCD 中，AB2，BC，可得 192020 年，病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上 为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并 迅速开展相关研究工作某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压、）是否 与更容易感染病毒有关，他们对疫情中心的人群进
25、行了抽样调查，对其中 50 人的血液样本进行检验，数 据如表： 感染病毒 未感染病 毒 合计 不患有重大基础疾 病 15 患有重大基础疾病 25 合计 30 （1）请填写 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒； （2）已知某样本小组 6 人中 4 人感染病毒，若从中任意抽取 2 人，求 2 人都感染病毒的概率 P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附：K2 ，其中 na+b+c+d 解：（1）22 列联表如下： 感染病毒 未感染病 毒 合计 不患有重大基础疾 病 10 15 25 患有重大基础疾病 20
26、 5 25 合计 30 20 50 K2 6.635， 有 99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒 （2）设 6 人中感染病毒人员分别记为 A，B，C，D，未感染人员分别记为 a，b， 从 6 人中任取 2 人，总的基本事件有：（A，B），（A，C）（A，D），（A，a），（A，b），（B， C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a， b），共 15 个， 设“选出的 2 人都感染病毒”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件有：（A，B），（A，C）（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）， 共 6 个， P（M
27、） 20已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，过点 F 且斜率为的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点， |AB|9 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 D，E 两点过 D，E 分别作抛物线 C 的切线，两切线交于点 M，若 直线 l 与抛物线 C 的准线交于第四象限的点 N，且|MN|DE|，求直线 l 的方程 解：（1）抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F（0，）， 设直线 AB 的方程为 yx+， 与 x22py 联立，消去 x，可得 4y214pyp20， 设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，则 y1+y2，y1y2， 由
28、抛物线的弦长公式可得|AB|y1+y2+p+p9，解得 p2， 所以抛物线的方程为 x24y； （2）易得直线 l 的斜率存在且不为 0，由（1）可得 F（0，1）， 设直线 l 的方程为 xm（y1），与抛物线的方程 x24y 联立，可得 m2y22（m2+2）y+m20， 设 D（x3，y3），E（x4，y4），则 y3+y42+ ，y3y41，x3+x4 ，x3x44， |DE|DF|+|EF|y3+y4+p4+， 由 x24y 即 y 可得 yx，则抛物线在 D，E 处的切线的斜率分别为x3，x4， 切线的方程分别为 yy3x3（xx3），yy4x4（xx4）， 即 y3y2（x+x3
29、），y4y2（x+x4），解得两条切线的交点为（ ，），即 M（，1）， 由准线方程为 y1，代入 xm（y1），可得 N（2m，1），则|MN|2|m+|， 由|MN|DE|，可得 2|m+|4（1+），解得 m2， 因为直线 l 与抛物线 C 的准线交于第四象限的点 N， 所以 m2，直线 l 的方程为 x2（y1），即 x+2y20 21已知函数 f（x）x2+ax3，g（x）xlnx，aR （1）当 x0 时，2g（x）f（x），求 a 的取值范围； （2）证明：当 x0 时，g（x） 解：（1）当 x0 时，2g（x）f（x），即 2xlnxx2+ax3，即， 设，则， 当 x（0，
30、1）时，h（x）0，h（x）在（0，1）单调递减，当 x（1，+）时，h（x）0，h （x）在（1，+）单调递增， h（x）minh（1）4，则 a4 实数 a 的取值范围为（，4； （2）证明：g（x）xlnx， g（x）1+lnx， 易知函数 g（x）在上单调递减，在上单调递增， 当 x0 时， 令，则， 易知 （x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减， ， 又两个等号不同时成立，故当 x0 时，g（x） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
31、分。选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数）以原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（+）1 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求的值 解：（1）曲线 C 的参数方程为（t 为参数）转换为直角坐标方程为 x24y21（x1）， 直线 l 的极坐标方程为 cos （+） 1 根据， 转换为直角坐标方程为 （2）直线 l 交交 x 轴于点 P，所以 P（2，0）， 所以直线的参数方程
32、为（t 为参数）， 把直线我的参数方程代入 x24y21， 得到， 故，t1t212， 所以 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|m|x+1| （1）若 m2，求不等式 f（x）8 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）m|x+3|对于任意实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：（1）当 m2 时，f（x）|x+2|+2|x+1|， 当 x2 时，3x48，解得 x4； 当2x1 时，不等式无解； 当 x1 时，3x+48，解得 x 综上，不等式的解集为（4，+） （2）关于 x 的不等式 f（x）m|x+3|对于任意实数 x 恒成立， 即为|x+2|m（|x+1|+|x+3|）， 由于|x+1|+|x+3|x+1x3|2，当且仅当3x1 时，等号成立， 所以 m， 记 g（x）， 当 x1 时，g（x）；当 x3 时，g（x） 则 g（x）， 所以 g（x）0， 所以 m， 所以实数 m 的取值范围为，+）
