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河南省济源市、平顶山市、许昌市2021届高三第三次质量检测文科数学试卷(含答案解析)

1、2021 年河南省济源市、 平顶山市、 许昌市高考数学第三次质检试卷 (文科)年河南省济源市、 平顶山市、 许昌市高考数学第三次质检试卷 (文科) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Mx|yln(x2),Nx|2xa0,且 MNR,则 a 的取值范围为( ) A2,+) B(2,+) C4,+) D(4,+) 2若复数 z 满足|z3i|3,i 为虚数单位,则|z4|的最大值为( ) A8 B6 C4 D2 3某交通广播电台在正常播音期间,每个整点都会进行报时某出租车司机在该交通广播电台正常播音期 间,打开收音机想收听电台整点报时,则他等待时间不超过 5 分钟的概

2、率为( ) A B C D 4“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十 天干”;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字 开始, “地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、 丙寅、癸酉;甲戌、乙亥、丙子、癸未;甲申、乙酉、丙戌、癸巳;,共得到 60 个组合, 称六十甲子,周而复始,无穷无尽2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年,那么 2121 年是“干支纪年 法”中的( ) A庚午年 B辛未年 C庚辰年 D辛巳年 5已知曲线 yaex+xlnx 在点(1,ae)

3、处的切线方程为 y2x+b,则( ) Aae1,b1 Bae1,b1 Cae,b1 Dae,b1 6将函数 f(x)cos(2x+)的图象向左平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 yg(x)的图象,则( ) Ayg(x)的图象关于点(,0)对称 Byg(x)的图象关于直线 x对称 Cg(x)的最小正周期为 Dg(x)在单调递减 7函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 8设 P,Q 分别为圆(x1)2+y22 和椭圆上的点,则 P,Q 两点间的最短距离是( ) A B C D 9已知 0a5 且 aln55lna,0b6 且 bln66l

4、nb,0c7 且 cln77lnc,则 a,b,c 的大小关系为 ( ) Aacb Babc Ccab Dcba 10设 F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,O 为坐标原点,过 F1的直线与双 曲线的两条渐近线分别交于 A,B 两点,且满足,则该双曲线的离心率 为( ) A B C2 D2 11下列结论中正确的是( ) 设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,若 m,mn,n,则 ; x是函数 ysinx+sin(x)取得最大值的充要条件; 已知命题 p:xR,4x5x;命题 q:x0,x22x,则pq 为真命题; 等差数列an中,前 n 项和为 Sn,公差 d0,若

5、 a8|a9|,则当 Sn取得最大值时,n15 A B C D 12已知长方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为正方形且边长为 1,侧棱 AA1长为 2,以 A1为球心, 为半径的球面与侧面 CDD1C1的交线长为( ) A B C D 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题)小题). 13若实数 x,y 满足条件,则 z3x2y4 的最小值为 14已知平面向量 (1,), (,m),且| + | |,则|3 6 | 15若函数 f(x)loga(x+)(a0,a1)是奇函数,则函数 g(x)bxax在1,2上的 最大值与最小值的和为 16 已知数列an的前 n 项和为 Sn,

6、且满足 a1, an+2SnSn10 (n2) , 则 (n2+16) Sn的最小值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。分。 17在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且asinB2bcos2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AD4,求三角形 ABC 面积

7、的最大值 18如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB平面 BEC,BEEC,ABBEEC2,G, F,M 分别是线段 BE,DC,AB 的中点 (1)求证:平面 GMF平面 ADE; (2)求三棱锥 DAFG 的体积 192020 年,病毒席卷全球,给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情,我们伟大的祖国以人民生命至上 为最高政策出发点,统筹全国力量,上下一心,进行了一场艰苦的疫情狙击战,控制住了疫情的蔓延并 迅速开展相关研究工作某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病(如,糖尿病、高血压、)是否 与更容易感染病毒有关,他们对疫情中心的人群进行了抽样调查,对其中 50 人的血液

8、样本进行检验,数 据如表: 感染病毒 未感染病 毒 合计 不患有重大基础疾 病 15 患有重大基础疾病 25 合计 30 (1)请填写 22 列联表,并判断是否有 99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒; (2)已知某样本小组 6 人中 4 人感染病毒,若从中任意抽取 2 人,求 2 人都感染病毒的概率 P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附:K2 ,其中 na+b+c+d 20已知抛物线 C:x22py(p0)的焦点为 F,过点 F 且斜率为的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点, |AB|9 (1)求抛物线 C 的标准方程;

9、(2)过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 D,E 两点过 D,E 分别作抛物线 C 的切线,两切线交于点 M,若 直线 l 与抛物线 C 的准线交于第四象限的点 N,且|MN|DE|,求直线 l 的方程 21已知函数 f(x)x2+ax3,g(x)xlnx,aR (1)当 x0 时,2g(x)f(x),求 a 的取值范围; (2)证明:当 x0 时,g(x) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选选 修修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方

10、程 22已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(t 为参数)以原点 O 为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos(+)1 (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于点 P,求的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+2|m|x+1| (1)若 m2,求不等式 f(x)8 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)m|x+3|对于任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题).

11、 1已知集合 Mx|yln(x2),Nx|2xa0,且 MNR,则 a 的取值范围为( ) A2,+) B(2,+) C4,+) D(4,+) 解:yln(x2),x20,x2,M(2,+), 2xa0,x,N(, MNR,画出数轴如下, 2,a4, a 的取值范围为4,+) 故选:C 2若复数 z 满足|z3i|3,i 为虚数单位,则|z4|的最大值为( ) A8 B6 C4 D2 解:由|z3i|3,可知复数 z 对应点的轨迹为以 B(0,3)为圆心,以 3 为半径的圆上, 如图: 则|z4|的最大值为|AB|+35+38, 故选:A 3某交通广播电台在正常播音期间,每个整点都会进行报时某

12、出租车司机在该交通广播电台正常播音期 间,打开收音机想收听电台整点报时,则他等待时间不超过 5 分钟的概率为( ) A B C D 解:设电台的整点报时之间某刻的时间 x, 由题意可得,0 x60, 则等待的时间不超过 5 分钟的概率为 P, 故选:B 4“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十 天干”;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字 开始, “地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、 丙寅、癸酉;甲戌、乙亥、丙子、癸未;甲申、乙酉、丙戌、癸巳;,共得

13、到 60 个组合, 称六十甲子,周而复始,无穷无尽2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年,那么 2121 年是“干支纪年 法”中的( ) A庚午年 B辛未年 C庚辰年 D辛巳年 解:天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸; 地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥, 天干是以 10 为公差的等差数列,地支是以 12 为公差的等差数列, 2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年,则 2121 的天干为辛,地支为巳, 故选:D 5已知曲线 yaex+xlnx 在点(1,ae)处的切线方程为 y2x+b,则( ) Aae1,b1 Bae1,b1 Cae,b1 Dae,b1 解:yae

14、x+xlnx,yaex+lnx+1, 由在点(1,ae)处的切线方程为 y2x+b, 可得 ae+1+02,解得 ae1, 又切点为(1,1),可得 12+b,即 b1 故选:B 6将函数 f(x)cos(2x+)的图象向左平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 yg(x)的图象,则( ) Ayg(x)的图象关于点(,0)对称 Byg(x)的图象关于直线 x对称 Cg(x)的最小正周期为 Dg(x)在单调递减 解:将函数 f(x)cos(2x+)的图象向左平移个单位长度, 得:ycos2(x+)+sin(2x+), 再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的

15、 2 倍(纵坐标不变), 得:g(x)sin(x+), 对于 A:g()sin0,故 A 正确, 对于 B:g()sin001,故 B 错误, 对于 C:g(x)的最小正周期是 T2,故 C 错误, 对于 D:当 x,时,令 tx+ , ysint 在,上不单调,故 D 错误, 故选:A 7函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 解:函数的定义域为 R,排除 B,D, 当 x0 且 x+,f(x)0,且 f(x)0,排除 C, 故选:A 8设 P,Q 分别为圆(x1)2+y22 和椭圆上的点,则 P,Q 两点间的最短距离是( ) A B C D 解:如图, 圆(x1)2+y22 的圆

16、心 C(1,0),半径为, 设 Q(x,y)是椭圆上的点, 则|QC| 5x5,当 x时, P,Q 两点间的最短距离是 故选:B 9已知 0a5 且 aln55lna,0b6 且 bln66lnb,0c7 且 cln77lnc,则 a,b,c 的大小关系为 ( ) Aacb Babc Ccab Dcba 解:令 F(x),则, 易得,当 0 xe 时,F(x)0,函数单调递增,当 xe 时,F(x)0,函数单调递减, 因为 0a5,0b6,0c7, 所以 cbae, 所以 f(c)f(b)f(a), 则 abc 故选:A 10设 F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,O 为坐标原

17、点,过 F1的直线与双 曲线的两条渐近线分别交于 A,B 两点,且满足,则该双曲线的离心率 为( ) A B C2 D2 解:由, 可得BOF1为等腰三角形,且 A 为底边 BF1的中点, 由 F1(c,0)到渐近线 y x 的距离为 db, 由 OABF1,可得|OA| a, 由AOF1AOBBOF260,可得 cos60 , 可得 e2 故选:C 11下列结论中正确的是( ) 设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,若 m,mn,n,则 ; x是函数 ysinx+sin(x)取得最大值的充要条件; 已知命题 p:xR,4x5x;命题 q:x0,x22x,则pq 为真命题; 等差数

18、列an中,前 n 项和为 Sn,公差 d0,若 a8|a9|,则当 Sn取得最大值时,n15 A B C D 解:对于:设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,若 m,mn,直线 m 相当于平 面 的法向量,由于 n,则 ,故正确; 对于,函数 f(x)sinx+sin(x)满足 f(0)f(),故 x不是取得最大值的充要条件, 故错误; 已知命题 p:xR,4x5x;当 x1 时,不成立,命题 q:x0,x22x,当 x3 时,成立,则 pq 为真命题,故正确; 等差数列an中,前 n 项和为 Sn,公差 d0,若 a8|a9|,即 a8a9,则当 Sn取得最大值时,n8 或 9,

19、故错误 故选:A 12已知长方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为正方形且边长为 1,侧棱 AA1长为 2,以 A1为球心, 为半径的球面与侧面 CDD1C1的交线长为( ) A B C D 解:长方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为正方形且边长为 1,侧棱 AA1长为 2,以 A1为球心, 为半径的球面与侧面 CDD1C1的交线,是以 D1为圆心,为半径的圆弧,如图 ,ED1F, 可得: 故选:D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13若实数 x,y 满足条件,则 z3x2y4 的最小值为 6

20、解:由约束条件作出可行域如图, 由图可知,A(0,1), 由 z3x2y4,得 y, 由图可知,当直线 y过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大, z 有最小值为6 故答案为:6 14已知平面向量 (1,), (,m),且| + | |,则|3 6 | 6 解:向量 (1,), (,m),且| + | |, +m0,m1, 则|3 6 |6, 故答案为:6 15若函数 f(x)loga(x+)(a0,a1)是奇函数,则函数 g(x)bxax在1,2上的 最大值与最小值的和为 解:由为奇函数可知, 解得,经验证,符合题意, , 又 y2x为增函数, 为减函数, 为增函数, 当 x1,2时, 故答

21、案为: 16 已知数列an的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1, an+2SnSn10 (n2) , 则 (n2+16) Sn的最小值为 4 解:由于 an+2SnSn10,整理得 SnSn12SnSn1, 变换为:(常数), 故数列是以 2 为首项,2 为公差的等差数列; 所以,(首项符合通项), 故, 则(n2+16)Sn ,当且仅当时,即 n4 时, 等号成立, 故答案为:4 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第生都必须作

22、答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。分。 17在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且asinB2bcos2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AD4,求三角形 ABC 面积的最大值 解:(1)因为asinB2bcos2b(1cosA), 所以, 因为 sinB0, 所以, 所以2sin(A+)1, 所以 sin(A+), 由 A 为三角形内角可得,A, (2)由题意, 所以|8, 所以 64b2+c2bcbc,当且仅当 bc8 时取等号, 所以 bc 的最大值 64,

23、此时三角形 ABC 面积的最大值16 18如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB平面 BEC,BEEC,ABBEEC2,G, F,M 分别是线段 BE,DC,AB 的中点 (1)求证:平面 GMF平面 ADE; (2)求三棱锥 DAFG 的体积 【解答】(1)证明:M、F 分别为矩形的边 AB、DC 的中点,MFAD, MF平面 ADE,AD平面 ADE,MF平面 ADE, M、G 分别为 AB、BE 的中点,MGAE, MG平面 ADE,AE平面 ADE,MG平面 ADE, 又 MFMGM,MF、MG平面 MGF, 平面 GMF平面 ADE; (2)解:取 BC 的中

24、点 O,连接 EO,则 EOBC, AB平面 BEC,AB平面 ABCD,平面 ABCD平面 BEC, 又平面 ABCD平面 BECBC,EO平面 BEC, EO平面 ABCD,在等腰直角三角形 BEC 中,由 BEEC2,求得 EO 在矩形 ABCD 中,AB2,BC,可得 192020 年,病毒席卷全球,给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情,我们伟大的祖国以人民生命至上 为最高政策出发点,统筹全国力量,上下一心,进行了一场艰苦的疫情狙击战,控制住了疫情的蔓延并 迅速开展相关研究工作某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病(如,糖尿病、高血压、)是否 与更容易感染病毒有关,他们对疫情中心的人群进

25、行了抽样调查,对其中 50 人的血液样本进行检验,数 据如表: 感染病毒 未感染病 毒 合计 不患有重大基础疾 病 15 患有重大基础疾病 25 合计 30 (1)请填写 22 列联表,并判断是否有 99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒; (2)已知某样本小组 6 人中 4 人感染病毒,若从中任意抽取 2 人,求 2 人都感染病毒的概率 P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附:K2 ,其中 na+b+c+d 解:(1)22 列联表如下: 感染病毒 未感染病 毒 合计 不患有重大基础疾 病 10 15 25 患有重大基础疾病 20

26、 5 25 合计 30 20 50 K2 6.635, 有 99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒 (2)设 6 人中感染病毒人员分别记为 A,B,C,D,未感染人员分别记为 a,b, 从 6 人中任取 2 人,总的基本事件有:(A,B),(A,C)(A,D),(A,a),(A,b),(B, C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a, b),共 15 个, 设“选出的 2 人都感染病毒”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有:(A,B),(A,C)(A,D),(B,C),(B,D),(C,D), 共 6 个, P(M

27、) 20已知抛物线 C:x22py(p0)的焦点为 F,过点 F 且斜率为的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点, |AB|9 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 D,E 两点过 D,E 分别作抛物线 C 的切线,两切线交于点 M,若 直线 l 与抛物线 C 的准线交于第四象限的点 N,且|MN|DE|,求直线 l 的方程 解:(1)抛物线 C:x22py(p0)的焦点为 F(0,), 设直线 AB 的方程为 yx+, 与 x22py 联立,消去 x,可得 4y214pyp20, 设 A,B 的纵坐标分别为 y1,y2,则 y1+y2,y1y2, 由

28、抛物线的弦长公式可得|AB|y1+y2+p+p9,解得 p2, 所以抛物线的方程为 x24y; (2)易得直线 l 的斜率存在且不为 0,由(1)可得 F(0,1), 设直线 l 的方程为 xm(y1),与抛物线的方程 x24y 联立,可得 m2y22(m2+2)y+m20, 设 D(x3,y3),E(x4,y4),则 y3+y42+ ,y3y41,x3+x4 ,x3x44, |DE|DF|+|EF|y3+y4+p4+, 由 x24y 即 y 可得 yx,则抛物线在 D,E 处的切线的斜率分别为x3,x4, 切线的方程分别为 yy3x3(xx3),yy4x4(xx4), 即 y3y2(x+x3

29、),y4y2(x+x4),解得两条切线的交点为( ,),即 M(,1), 由准线方程为 y1,代入 xm(y1),可得 N(2m,1),则|MN|2|m+|, 由|MN|DE|,可得 2|m+|4(1+),解得 m2, 因为直线 l 与抛物线 C 的准线交于第四象限的点 N, 所以 m2,直线 l 的方程为 x2(y1),即 x+2y20 21已知函数 f(x)x2+ax3,g(x)xlnx,aR (1)当 x0 时,2g(x)f(x),求 a 的取值范围; (2)证明:当 x0 时,g(x) 解:(1)当 x0 时,2g(x)f(x),即 2xlnxx2+ax3,即, 设,则, 当 x(0,

30、1)时,h(x)0,h(x)在(0,1)单调递减,当 x(1,+)时,h(x)0,h (x)在(1,+)单调递增, h(x)minh(1)4,则 a4 实数 a 的取值范围为(,4; (2)证明:g(x)xlnx, g(x)1+lnx, 易知函数 g(x)在上单调递减,在上单调递增, 当 x0 时, 令,则, 易知 (x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减, , 又两个等号不同时成立,故当 x0 时,g(x) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计

31、分。选选 修修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(t 为参数)以原点 O 为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos(+)1 (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于点 P,求的值 解:(1)曲线 C 的参数方程为(t 为参数)转换为直角坐标方程为 x24y21(x1), 直线 l 的极坐标方程为 cos (+) 1 根据, 转换为直角坐标方程为 (2)直线 l 交交 x 轴于点 P,所以 P(2,0), 所以直线的参数方程

32、为(t 为参数), 把直线我的参数方程代入 x24y21, 得到, 故,t1t212, 所以 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+2|m|x+1| (1)若 m2,求不等式 f(x)8 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)m|x+3|对于任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围 解:(1)当 m2 时,f(x)|x+2|+2|x+1|, 当 x2 时,3x48,解得 x4; 当2x1 时,不等式无解; 当 x1 时,3x+48,解得 x 综上,不等式的解集为(4,+) (2)关于 x 的不等式 f(x)m|x+3|对于任意实数 x 恒成立, 即为|x+2|m(|x+1|+|x+3|), 由于|x+1|+|x+3|x+1x3|2,当且仅当3x1 时,等号成立, 所以 m, 记 g(x), 当 x1 时,g(x);当 x3 时,g(x) 则 g(x), 所以 g(x)0, 所以 m, 所以实数 m 的取值范围为,+)