1、2019-2020 学年湖北省武汉市部分学校八年级（下）期中数学试卷学年湖北省武汉市部分学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）函数 y的自变量取值范围是（ ） Ax Bx Cx Dx 2 （3 分）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ） A7，20，24 B4，5，6 C， D3，4，5 3 （3 分）下列各式成立的是（ ） A33 B2 C1 D 4 （3 分）如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开测得 AB 的长为 1.6km，则 M，C 两点间的距离为（ ） A0
2、.5km B0.6km C0.8km D1.2km 5 （3 分）如图，若平行四边形 ABCO 的顶点 O，A，C 的坐标分别是（0，0） ， （6，0） ， （3，4） ，则顶点 B 的坐标是（ ） A （9，4） B （6，4） C （4，9） D （8，4） 6 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC2，BD8，将ABO 沿点 A 到点 C 的方 向平移，得到ABO，当点 A与点 C 重合时，点 A 与点 B之间的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 7 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将ADE 沿 AE 折叠至ADE
3、处，AD与 CE 交于点 F若B54，DAE20，则FED的大小为（ ） A27 B32 C36 D40 8 （3 分）正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 9 （3 分）如图，平面内某正方形内有一长为 10 宽为 5 的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移 或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数 n 为（ ） A10 B11 C12 D13 10 （3 分）如图，正方形 AB
4、CD 中，延长 CB 至 E 使 CB2EB，以 EB 为边作正方形 EFGB，延长 FG 交 DC 于 M，连接 AM，AF，H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB，AM 交于点 N，K则下列说法： ANHGNF；DAMNFG；FN2NK；SAFN：S四边形DMKH2：7其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）已知四边形 ABCD 是周长为 32 的平行四边形，若 AB6，则 BC 12 （3 分）若 x+1，y1，则（x+y）2 13 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，M
5、，N 分别在 AB，CD 上，且 AMCN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO若DAC26，则OBC 的大小为 14 （3 分）观察下列各式： 1+1+（1） ； 1+1+（） ； 1+1+（） 请利用你发现的规律，计算： +其结果 为 15 （3 分）如图所示，以 RtABC 的斜边 BC 为边，在ABC 的同侧作正方形 BCEF，BE，CF 交于点 O， 连接 AO若 AB4，AO4，则 AC 16 （3 分）如图，一副三角板 ABC 和 EDF 拼合在一起，边 AC 与 EF 重合，BAC30，DAC45， ADCACB90，AC6cm当点 E 从点 A 出发沿 AC 向下滑动时，点
6、 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 向右滑动 当点 E 从点 A 滑动到点 C 时， 连接 BD， 则BCD 的面积最大值为 cm2 三、解答题（共三、解答题（共 72 分）分） 17计算： （1）2； （2）26+3 18如图，在ABCD 中，AHBD 于 H，CGBD 于 G，连接 CH 和 AG，求证：12 19如图，在笔直的铁路上 A，B 两点相距 20km，C，D 为两村庄，DA8km，CB14km，DAAB 于 A， CBAB 于 B现要在 AB 上建一个中转站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，求 AE 的长 20如图，在菱形 ABCD 中，AB6，DAB60，点 E
7、 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与 点 A 重合） ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空： 当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是菱形 21如图，在每个小正方形的边长均为 1 的网格中，点 A，B，C，D 均在格点上，请在此网格中仅用无刻 度的直尺画图（保留连线痕迹） （1）画出线段 BE，使 BEAC，且 BEAC； （2）画出以 AC 为边的正方形 ACMN； （3）在（1）的条件下，画出直线 PQ，使 PQ 平分四边形 ABED 的面积（
8、作出一条即可） 22阅读材料，请回答下列问题 材料一：我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长，求它 的面积， 用现代式子表示即为： S （其中 a， b， c 为三角形的三边长， S 为面积） ，而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式” ；S （其中 p） 材料二：对于平方差公式：a2b2（a+b） （ab）公式逆用可得： （a+b） （ab）a2b2， 例：a2（b+c）2（a+b+c） （abc） ： （1）若已知三角形的三边长分别为 4，5，7，请分别运用公式和公式，计算该三角形的面积； （2）你能否由公式推导出公式？请试试，写出推导过程
9、 23 （1）如图，正方形 AEFG 的两边分别在正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上，连接 CF填空：线段 DG 与 CF 的数量关系为 ；直线 DG 与 CF 所夹锐角的大小为 （2）如图，将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转，在旋转的过程中， （1）中的结论是否仍然成立，请 说明理由 （3）把图中的正方形都换成菱形，且BADGAE60，如图，直接写出 DG：CF 24如图 1，在矩形 ABCD 中，ABa，BC3，动点 P 从 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 BC 方向 移动，作PAB 关于直线 PA 的对称PAB，设点 P 的运动时间为 t（s） （1）当 a4 时
10、 如图 2当点 B落在 AC 上时，显然PCB是直角三角形，求此时 t 的值； 当点 B不落在 AC 上时，请直接写出PCB是直角三角形时 t 的值； （2）若直线 PB与直线 CD 相交于点 M，且当 t3 时，PAM45问：当 t3 时，PAM 的大小 是否发生变化，若不变，请说明理由 2019-2020 学年湖北省武汉市部分学校八年级（下）期中数学试卷学年湖北省武汉市部分学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）函数 y的自变量取值范围是（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】
11、根据二次根式的意义被开方数是非负数；分析原函数式可得关系式 2x+10，解可得自变量 x 的取值范围 【解答】解：根据题意得 2x+10， 解得 x 故选：C 【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式 是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 2 （3 分）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ） A7，20，24 B4，5，6 C， D3，4，5 【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否可以构成直角三角形，从而可以 解答本题 【解答】解：72+20249+400449576242
12、，故选项 A 中三条线段不能构成直角三角形； 42+5216+25413662，故选项 B 中三条线段不能构成直角三角形； （）2+（）23+475（）2，故选项 C 中三条线段不能构成直角三角形； 32+429+162552，故选项 D 中三条线段能构成直角三角形； 故选：D 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答 3 （3 分）下列各式成立的是（ ） A33 B2 C1 D 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、32，故此选项错误； B、2，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、3，故此选项错误； 故选：B
13、 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键 4 （3 分）如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开测得 AB 的长为 1.6km，则 M，C 两点间的距离为（ ） A0.5km B0.6km C0.8km D1.2km 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解 【解答】解：由题意可知，ABC 中，ACB90，M 是 AB 的中点， MCAB1.60.8（km） 故选：C 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是 解题的关键 5 （3 分）如图，若平行四边形 AB
14、CO 的顶点 O，A，C 的坐标分别是（0，0） ， （6，0） ， （3，4） ，则顶点 B 的坐标是（ ） A （9，4） B （6，4） C （4，9） D （8，4） 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点 B 的纵坐标与点 C 的纵坐标相等，且 BC OA 即可得到结论 【解答】解：在ABCO 中，O（0，0） ，A（6，0） ， OABC6， 又BCAO，C（3，4） ， 点 B 的纵坐标与点 C 的纵坐标相等， B（3+6，4） ， 即（9，4） ； 故选：A 【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质熟练掌握“平行四边形的对边平行且相等” 的性质的解题的
15、关键 6 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC2，BD8，将ABO 沿点 A 到点 C 的方 向平移，得到ABO，当点 A与点 C 重合时，点 A 与点 B之间的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由菱形的性质得出 ACBD，AOOCAC1，OBODBD4，由平移的性质得出 OC OA1，OBOB4，COB90，得出 AOAC+OC6，由勾股定理即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOOCAC1，OBODBD4， ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移，得到ABO，点 A与点 C 重合， OCOA1，OBOB4，COB90
16、， AOAC+OC3， AB5； 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的 关键 7 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将ADE 沿 AE 折叠至ADE 处，AD与 CE 交于点 F若B54，DAE20，则FED的大小为（ ） A27 B32 C36 D40 【分析】由三角形外角的性质可得AECD+DAE74，由折叠的性质可得AEDAED 106，即可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BD54， DAE20， AECD+DAE74， AED106， 将ADE 沿 AE 折叠至ADE
17、处， AEDAED106， FEDAEDAEC1067432， 故选：B 【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；灵活运用翻折 变换和平行四边形的性质是解本题的关键 8 （3 分）正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 【分析】连接 DE，CDE 的面积是矩形 CFGE 的一半，也是正方形 ABCD 的一半，则矩形与正方形面 积相等 【解答】解：连接 DE， ， ， 矩形
18、 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等 故选：D 【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接 DE 由面积关系进行转化是解题的关键 9 （3 分）如图，平面内某正方形内有一长为 10 宽为 5 的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移 或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数 n 为（ ） A10 B11 C12 D13 【分析】根据矩形长为 10 宽为 5，可得矩形的对角线长为：5，由矩形在该正方 形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于 5， 进而可得正方形边长的最小整数 n 的值 【解答】解：矩形长为 10
19、宽为 5， 矩形的对角线长为：5， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于 5， 11512， 该正方形边长的最小正数 n 为 12 故选：C 【点评】本题考查了几何变换的类型，解决本题的关键是掌握旋转的性质 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，延长 CB 至 E 使 CB2EB，以 EB 为边作正方形 EFGB，延长 FG 交 DC 于 M，连接 AM，AF，H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB，AM 交于点 N，K则下列说法： ANHGNF；DAMNFG；FN2NK；SAFN：S四边形DMKH2：7其中正确的有（ ）
20、 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】由正方形的性质和中点条件得 AHFG，再由两直角相等，一对对顶角相等，由 ASA 定理得 ANHGNF，便可得判断的正误；过点 H 作 HPMG 于点 P，便可证明PHFGAM 得HFP AMG， 进而得DAMNFG， 便可判断的正误； 证明KAHKHA， 得 KAKH， 再证KAN KNA，便可得 AKNKKH，进而得 FN2NK，便可判断的正误；证明， ，SADM2SAHF，进而得 SAFN：S四边形DMKH2：7，便可判断的正误 【解答】解：四边形 EFGB 是正方形， FGBE，FGB90， 四边形 ABCD 是正方形，H 为 AD 的
21、中点， BCAD2AH， CB2EB AHFG， HANFGN90，ANHGNF， ANHGNF（AAS） ，故正确； HANFGN90， ADFM， 过点 H 作 HPMG 于点 P，则 AGHP，HDPM， FGAHHD， FGPM， FPMG， HPFAGM90， PHFGAM（SAS） ， HFPAMG， ADFM， DAMAMG， DAMNFG，故正确； ANHGNF， AHNGFN，NFNH， KAHKHA， KAKH， KAH+KAN90，KHA+KNA90， KANKNA， AKNKKH， FN2NK，故正确； FNNH， ， NKKH， ， ， ， SAFN：S四边形DMKH
22、2：7，故正确 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定 和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）已知四边形 ABCD 是周长为 32 的平行四边形，若 AB6，则 BC 10 【分析】 由平行四边形的性质得出 ABCD6， ADBC， 由平行四边形 ABCD 的周长为 32 得出 AB+BC 16，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD6，ADBC， 平行四边形 ABCD 的周长为 32， 2（AB+B
23、C）32， AB+BC16， BC16610； 故答案为：10 【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等是解题的关键 12 （3 分）若 x+1，y1，则（x+y）2 12 【分析】根据 x+1，y1，可以得到 x+y 的值，从而可以求得所求式子的值 【解答】解：x+1，y1， x+y2， （x+y）2 （2）2 12， 故答案为：12 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法 13 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AMCN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO若DAC26，则OBC 的大小为
24、 64 【分析】根据菱形的性质以及 AMCN，利用 ASA 可得AMOCNO，可得 AOCO，然后可得 BO AC，继而可求得OBC 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形， ABCD，ABBC， MAONCO，AMOCNO， 在AMO 和CNO 中， ， AMOCNO（ASA） ， AOCO， ABBC， BOAC， BOC90， DAC26， BCADAC26， OBC902664 故答案为：64 【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂 直的性质是解题的关键 14 （3 分）观察下列各式： 1+1+（1） ； 1+1+（） ； 1+
25、1+（） 请利用你发现的规律，计算： +其结果为 2019 【分析】直接利用已知运算规律进而计算得出答案 【解答】解：由题意可得： 原式1+（1）+1+（）+1+（）+1+（） 2019+1 2019 故答案为：2019 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键 15 （3 分）如图所示，以 RtABC 的斜边 BC 为边，在ABC 的同侧作正方形 BCEF，BE，CF 交于点 O， 连接 AO若 AB4，AO4，则 AC 12 【分析】在 AC 上取一点 G，使 CGAB4，连接 OG，可证得OGCOAB，从而得到 OGOA 4，再可证AOG 是等腰直角三角形，
26、根据求出 AG，也就求得 AC 【解答】解：在 AC 上取一点 G 使 CGAB4，连接 OG设 AC 交 OB 于 H ABO90AHB，OCG90OHC，OHCAHB， ABOOCG， OBOC，CGAB， OGCOAB（SAS） OGOA4，BOAGOC， GOC+GOH90， GOH+BOA90， 即：AOG90， AOG 是等腰直角三角形，AG8（勾股定理） ， AC12 故答案为：12 【点评】此题考查正方形的性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线 段转化到直角三角形中进行计算 16 （3 分）如图，一副三角板 ABC 和 EDF 拼合在一起，边 AC
27、与 EF 重合，BAC30，DAC45， ADCACB90，AC6cm当点 E 从点 A 出发沿 AC 向下滑动时，点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 向右滑动当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，连接 BD，则BCD 的面积最大值为 3 cm2 【分析】 过点 D作 DNAC 于点 N， 作 DMBC 于点 M， 由直角三角形的性质可得 AC6cm， AB4 cm，EDDF3cm，由“AAS”可证DNEDMF，可得 DNDM，即点 D在射线 CD 上移动， 再根据三角形面积公式可得 SCDB的最大值 【解答】解：AC6cm，BAC30，DEF45， BC2cm，AB4cm，DEDF3，
28、如图，当点 E 沿 AC 方向下滑时，得EDF，过点 D作 DNAC 于点 N，作 DMBC 于点 M， MDN90，且EDF90， EDNFDM，且DNEDMF90，EDDF， DNEDMF（AAS） ， DNDM，且 DNAC，DMCM， CD平分ACM， 即点 E 沿 AC 方向下滑时，点 D在射线 CD 上移动， 如图，连接 BD， SCDB， 当 FDBC 时，SCDB有最大值，此时 FD3， SCDB最大值3 则BCD 的面积最大值为 3cm2 故答案为：3 【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角 形面积公式等知识，确定点 D 的
29、运动轨迹是本题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 72 分）分） 17计算： （1）2； （2）26+3 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除法则运算； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可 【解答】解： （1）原式352 35 ； （2）原式42+12 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除 运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰 当的解题途径，往往能事半功倍 18如图，在ABCD 中，AHBD 于 H，CGBD 于 G，连接 CH 和 AG，求
30、证：12 【分析】 首先证明 AHCG， 再利用平行四边形的性质证明ABDCDB （SSS） ， 可得 SABDSBCD， 进而可得 AHCG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论 【解答】证明：AHBD，CGBD， AHCG， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，ADBC， 在ADB 和CBD 中， ABDCDB（SSS） ， SABDSBCD， AHCG， 四边形 AGCH 为平行四边形， CHAG， 12 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边相等 19如图，在笔直的铁路上 A，B 两点相距 20km，C，D 为两村庄，DA8km，
31、CB14km，DAAB 于 A， CBAB 于 B现要在 AB 上建一个中转站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，求 AE 的长 【分析】根据题意设出 E 点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可 【解答】解：设 AEx，则 BE20 x， 由勾股定理得： 在 RtADE 中，DE2AD2+AE282+x2， 在 RtBCE 中，CE2BC2+BE2142+（20 x）2， 由题意可知：DECE， 所以：82+x2142+（20 x）2，解得：x13.3 所以，E 应建在距 A 点 13.3km 【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 20如图，在菱
32、形 ABCD 中，AB6，DAB60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与 点 A 重合） ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空： 当 AM 的值为 3 时，四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 6 时，四边形 AMDN 是菱形 【分析】 （1）由菱形的性质可得DNEAME，再由点 E 是 AD 边的中点，可得 AEDE，从而可证 明NDEMAE（AAS） ，则 NEME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）当 AM 的值为 3 时，四边形 AMDN 是矩形根据对角
33、线相等的平行四边形是矩形即可判定； 当 AM 的值为 6 时，四边形 AMDN 是菱形根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ABCD， DNEAME，NDEMAE， 点 E 是 AD 边的中点， AEDE， 在NDE 和MAE 中，NDEMAE（AAS） ， NEME， 四边形 AMDN 是平行四边形； （2）当 AM 的值为 3 时，四边形 AMDN 是矩形理由如下： 四边形 ABCD 为菱形， ABAD6， 点 E 是 AD 边的中点， AEAD3， AMAE3， DAB60， AEM 是等边三角形， EMAE， NEEMMN，
34、 MNAD， 四边形 AMDN 是平行四边形， 四边形 AMDN 是矩形 故答案为：3； 当 AM 的值为 6 时，四边形 AMDN 是菱形理由如下： ABAD6，AM6， ADAM， DAB60， AMD 是等边三角形， MEAD， 四边形 AMDN 是平行四边形， 四边形 AMDN 是菱形 故答案为：6 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等边三角形的 判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 21如图，在每个小正方形的边长均为 1 的网格中，点 A，B，C，D 均在格点上，请在此网格中仅用无刻 度的直尺画图（保留连线痕迹） （1）画
35、出线段 BE，使 BEAC，且 BEAC； （2）画出以 AC 为边的正方形 ACMN； （3）在（1）的条件下，画出直线 PQ，使 PQ 平分四边形 ABED 的面积（作出一条即可） 【分析】 （1）根据网格和平行四边形的性质即可画出线段 BE，使 BEAC，且 BEAC 即可； （2）根据网格和正方形的判定即可画出以 AC 为边的正方形 ACMN； （3）在（1）的条件下，画出直线 PQ，使 PQ 平分四边形 ABED 的面积（作出一条即可） 【解答】解： （1）如图所示 BE 即为所作； （2）如图所示 ACMN 即为所作； （3）如图所示，作线段 AB 的中点 G，作直线 CG，直线
36、CG 即为所作直线 PQ 【点评】本题考查了作图应用与设计作图、三角形的面积、正方形的判定与性质，解决本题的关键是 掌握正方形的判定与性质 22阅读材料，请回答下列问题 材料一：我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长，求它 的面积， 用现代式子表示即为： S （其中 a， b， c 为三角形的三边长， S 为面积） ，而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式” ；S （其中 p） 材料二：对于平方差公式：a2b2（a+b） （ab）公式逆用可得： （a+b） （ab）a2b2， 例：a2（b+c）2（a+b+c） （abc） ： （1）若已知三角
37、形的三边长分别为 4，5，7，请分别运用公式和公式，计算该三角形的面积； （2）你能否由公式推导出公式？请试试，写出推导过程 【分析】 （1）根据阅读材料分别代入即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导 【解答】解： （1）设 a4，b5，c7， 由公式得 S4， 由得，故； （2）可以，过程如下： 由平方差公式，中根号内的式子可化为， 通分，得， 由完全平方公式，得， 由平方差公式，得， 由，得 2pa+b+c， 代入，得， 所以 【点评】本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式， 计算量大 23 （1）如图，正方形 AEFG 的两边分别
38、在正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上，连接 CF填空：线段 DG 与 CF 的数量关系为 CFDG ；直线 DG 与 CF 所夹锐角的大小为 45 （2）如图，将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转，在旋转的过程中， （1）中的结论是否仍然成立，请 说明理由 （3）把图中的正方形都换成菱形，且BADGAE60，如图，直接写出 DG：CF 【分析】 （1）连接 AF易证 A，F，C 三点共线易知 AFAGACAD，推出 CFACAF （ADAG）DG； （2）过 D 作 DHDG，且 DHDG，连接 GH，HC，并延长交 DG、CF 交于点 K，根据正方形的性质 和全等三角形的判定和性
39、质即可得到结论； （3）把ADG 绕着点 D 逆时针旋转 120得到DCH，根据菱形和全等三角形的判定和性质定理即可 得到结论 【解答】解： （1）延长 EF 交 DC 于 H， 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， ABCD，EFAB， EHCD， 四边形 DGFH 是矩形， HFDG，DHFG， ADCD，DHAG， CHDG， CHFH， CFDG； 连接 AF， 则 A，F，C 三点共线， 直线 DG 与 CF 所夹锐角的大小为 45， 故答案为：CFDG；45； （2）仍然成立，证明如下： 过 D 作 DHDG，且 DHDG，连接 GH，HC，并延长交 DG、CF 交于点
40、 K， 四边形 ABCD 是正方形， ADDC，ADC90， DHDG， GDH90， GDHADC， ADGCDH， ADGCDH（SAS） ， AGCH，AGDCHD， 四边形 AEFG 是正方形， AGGF，AGF90， GDH90，DHDG， DGHDHG45， CHGCDHDHGCDH45，HGF360AGFAGDDGH36090 AGD45225AGD， CHG+HGF180， CHFG， 四边形 CHGF 是平行四边形， CFHG，CFHG， 在 RtDGH 中，HG2DH2+DG22DG2， ，即 CFHG， CKGDGH45， 即直线 DG 与 CF 所夹锐角的度数为 45；
41、 （3）把ADG 绕着点 D 逆时针旋转 120得到DCH， AGCH，AGDCHD， 四边形 AEFG 是菱形， AGFG， CHGF，AGF120， CHFG， GDH120，DGDH， DGHDHG30， CHGCDHDHGCDH30，HGF360AGFAGDDGH360120 AGD30210AGD， CHG+HGF180， CHFG， 四边形 CHGF 是平行四边形， CFHG，CFHG， 故答案为： 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问
42、题，属于中考常考题型 24如图 1，在矩形 ABCD 中，ABa，BC3，动点 P 从 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 BC 方向 移动，作PAB 关于直线 PA 的对称PAB，设点 P 的运动时间为 t（s） （1）当 a4 时 如图 2当点 B落在 AC 上时，显然PCB是直角三角形，求此时 t 的值； 当点 B不落在 AC 上时，请直接写出PCB是直角三角形时 t 的值； （2）若直线 PB与直线 CD 相交于点 M，且当 t3 时，PAM45问：当 t3 时，PAM 的大小 是否发生变化，若不变，请说明理由 【分析】 （1）利用勾股定理求出 AC，由PCBACB，推出，即可解
43、决问题 分三种情形分别求解即可， 如图 21 中， 当PCB90时 如图 22 中， 当PCB90时 如 图 23 中，当CPB90时 （2）如图 31 中，首先证明四边形 ABCD 是正方形，如图 32 中，利用全等三角形的性质，翻折不 变性即可解决问题 【解答】 （1）如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形， ABC90， ， 翻折ABAB4，PBPBt， PC3t，CBACAB1， 在 RtPCB中，PC2PB2+CB2， （3t）2t2+12， ； 如图 21 中，当PCB90，B在 CD 上时， 四边形 ABCD 是矩形， D90，ABCD4，ADBC3， ， ， 在 RtPCB中，
44、BP2PC2+BC2， ， ； 如图 22 中，当PCB90，B在 CD 的延长线上时， 在 RtADB中， ， 在 RtPCB中，则有：， 解得； 如图 23 中，当CPB90时， BBBPB90，ABAB， 四边形 ABPB 为正方形， BPAB4， t4， 综上所述，满足条件的 t 的值为 4s 或或； （2）当 t3 时，如图 31 中， PAM45， 2+345，1+445， 又PAB 关于直线 PA 的对称PAB， 12，34， 又ADMABM，AMAM， AMDAMB（AAS） ， ADABAB，即四边形 ABCD 是正方形； 当 t3 时，如图 32 中， 设APBx， PAB90 x， DAPx， ABAD，AMAM， RtMDARtBAM（HL） ， BAMDAM， 作PAB 关于直线 PA 的对称PAB， PABPAB90 x， DABPABDAP902x， DAMDAB45x， MAPDAM+PAD45 【点评】 本题属于四边形综合题， 考查了矩形的性质， 正方形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问 题，属于中考压轴题
