1、2020 年陕西省西安市部分学校自主招生数学试卷年陕西省西安市部分学校自主招生数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 18 分，每小题只有一分，每小题只有一-个选项是符合题意的）个选项是符合题意的） 1 （3 分）已知等腰三角形一个外角是 110，则它的底角的度数为（ ） A110 B70 C55 D70或 55 2 （3 分）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，则 ac2bc2 C若 ac2bc2，则 ab D若 a0，b0，且，则 ab 3 （3 分）若关于 x 的方程 kx23x0 有实数根，则实数
2、k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 4 （3 分）把函数 y2x+3 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可得到的图象的函 数解析式是（ ） Ay2x5 By2x+7 Cy2x7 Dy2x+11 5 （3 分）如图，在边长为 8 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，EFAC 于 F，G 为 EF 的中 点，连接 DG，则 DG 的长为（ ） A4 B C D 6 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的图象如图，则下列结论：abc0；a+b+c2；a；b1其 中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（
3、共 3 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 9 分）分） 7 （3 分）如图：已知BADDAC9，ADAE，且 AB+ACBE则B 8 （3 分）如图，已知反比例函数 y （x0）的图象经过点 A（3，4） ，在该图象上面找一点 P，使POA 45，则点 P 的坐标为 9 （3 分）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB 与 CD 相交于 O，则 tanBOD 的值等于 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，计小题，计 53 分解答题应写出过程）分解答题应写出过程） 10 （4 分）计算：120186tan30+（） 2+|1 | 1
4、1 （5 分）化简并计算：，其中 x2 12 （7 分）如图，河流的两岸 PQ、MN 互相平行，河岸 PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离 CD 50米， 某人在河岸MN的A处测的DAN35， 然后沿河岸走了130米到达B处， 测的CBN60， 求河流的宽度 CE（结果保留整数） （参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7，1.7） 13 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD6，E、F 分别为 AB、CD 边上两动点，EFAC，求 DE+BF 的最小值 14 （8 分）小亮家今年种植的“翠香”猕猴桃喜获丰收，采摘上市 20 天全部销售完，小亮对销售情况
5、进行 跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 y（单位：千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系如 图 1 所示，猕猴桃价格 z（单位：元/千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系式如图 2 所示 （1）求小亮家猕猴桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式； （2）试比较第 10 天与第 12 天的销售金额哪天多？请直接写出答案 15 （10 分）已知二次函数 ymx2+nx+2 图象的顶点横坐标是，与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0） ，x1 0 x2，与 y 轴交于点 C，且ABC 为直角三角形，ACB90 （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直 x 轴的直线
6、xt，在第一象限交直线 BC 于 N，交这个抛物线于 M，求当 t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以 C、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐 标 16 （12 分）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题 如图 1，四边形 ABCD 中，ADCD，ABC120，ADC60，AB4，BC2，连接 BD，请利 用旋转变换求出四边形 ABCD 的面积； 如图 2，四边形 ABCD 中，ADCD，ABC75，ADC60，AB4，BC2，求出四边形 ABCD 的面积； 如图 3，四边形 ABCD 中，ADCD，A
7、DC90，AB4，BD4，若 B、C 两点落在直线 AD 的 同侧，求 BC 的最小值 2020 年陕西省西安市部分学校自主招生数学试卷年陕西省西安市部分学校自主招生数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 18 分，每小题只有一分，每小题只有一-个选项是符合题意的）个选项是符合题意的） 1 （3 分）已知等腰三角形一个外角是 110，则它的底角的度数为（ ） A110 B70 C55 D70或 55 【解答】解：当 110外角是底角的外角时，底角为：18011070， 当 110外角是顶角的外角时，顶角为：1
8、8011070， 则底角为： （18070）55， 底角为 70或 55 故选：D 2 （3 分）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，则 ac2bc2 C若 ac2bc2，则 ab D若 a0，b0，且，则 ab 【解答】解：A当 c0，不等号的方向改变故此选项错误； B当 c0 时，符号为等号，故此选项错误； C不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确； D分母越大，分数值越小，故此选项错误 故选：C 3 （3 分）若关于 x 的方程 kx23x0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 【解
9、答】解：当 k0 时，方程化为3x0，解得 x； 当 k0 时，（3）24k （）0，解得 k1， 所以 k 的范围为 k1 故选：C 4 （3 分）把函数 y2x+3 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可得到的图象的函 数解析式是（ ） Ay2x5 By2x+7 Cy2x7 Dy2x+11 【解答】解：把函数 y2x+3 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可得到的图 象的函数解析式是：y2（x3）+322x+7， 故选：B 5 （3 分）如图，在边长为 8 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，EFAC 于 F，G 为 EF
10、 的中 点，连接 DG，则 DG 的长为（ ） A4 B C D 【解答】解：连接 DE， 在边长为 8 的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DE4，且 DEAC，BDBEEC4， EFAC 于点 F，C60， FEC30，DEFEFC90， FCEC2， 故 EF2， G 为 EF 的中点， EG， DG， 故选：D 6 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的图象如图，则下列结论：abc0；a+b+c2；a；b1其 中正确的结论是（ ） A B C D 【解答】解：由图象可知 a0，b0，c0，abc0；故错误； 由（1，2）代入抛物线方程可
11、得 a+b+c2；故正确； 当 x1 时 y0，即 ab+c0（1） ， 由a+b+c2 可得：c2ab（2） ， 把（2）式代入（1）式中得：b1；故错误； 对称轴公式1， 2ab， b1， 2a1，即 a；故正确 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 3 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 9 分）分） 7 （3 分）如图：已知BADDAC9，ADAE，且 AB+ACBE则B 48 【解答】解：延长 BA 到 F，使 AFAC，连接 EF，如图所示： AB+ACBE， AB+AFBE，即 BFBE， FBEF， BADDAC9，ADAE，即DAE90， FAE180（BAD+DA
12、E）180（9+90）81， CAEDAEDAC90981， FAECAE， 在AFE 和ACE 中， ， AFEACE（SAS） ， FACE， 又ACE 为ABC 的外角， ACEB+BACB+18， FB+18， B+18， 则B48 故答案为：48 8 （3 分）如图，已知反比例函数 y （x0）的图象经过点 A（3，4） ，在该图象上面找一点 P，使POA 45，则点 P 的坐标为 （2，） 【解答】解：作 AEy 轴于 E，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OA，作 AFx 轴于 F，则 AOEAOF，可得 OFOE4，AFAE3，即 A（4，3） 反比例函数 y（x0
13、）的图象经过点 A（3，4） ， 所以由勾股定理可知：OA5， 4，OA5， k12， y， AA的中点 K（，） ， 直线 OK 的解析式为 yx， 由，解得或， 点 P 在第一象限， P（2，） ， 故答案为（2，） 9 （3 分）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB 与 CD 相交于 O，则 tanBOD 的值等于 3 【解答】解：方法一：平移 CD 到 CD交 AB 于 O，如右图所示， 则BODBOD， tanBODtanBOD， 设每个小正方形的边长为 a， 则 OB，OD，BD3a， 作 BEOD于点 E， 则 BE， OE，
14、tanBOE， tanBOD3， 故答案为：3 方法二：连接 AM、NL， 在CAH 中，ACAH， 则 AMCH， 同理，在MNH 中，NMNH， 则 NLMH， AMONLO90， AOMNOL， AOMNOL， ， 设图中每个小正方形的边长为 a， 则 AM2a，NLa， 2， ， ， NLLM， ， tanBODtanNOL3， 故答案为：3 方法三：连接 AE、EF，如右图所示， 则 AECD， FAEBOD， 设每个小正方形的边长为 a， 则 AE，AF，EFa， ， FAE 是直角三角形，FEA90， tanFAE， 即 tanBOD3， 故答案为：3 三、解答题（共三、解答题（
15、共 7 小题，计小题，计 53 分解答题应写出过程）分解答题应写出过程） 10 （4 分）计算：120186tan30+（） 2+|1 | 【解答】解：原式16+4+1 12+4+1 2 11 （5 分）化简并计算：，其中 x2 【解答】解：原式 ， 当 x2时，原式2+ 12 （7 分）如图，河流的两岸 PQ、MN 互相平行，河岸 PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离 CD 50米， 某人在河岸MN的A处测的DAN35， 然后沿河岸走了130米到达B处， 测的CBN60， 求河流的宽度 CE（结果保留整数） （参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7，1.7） 【
16、解答】解：过点 C 作 CFDA 交 AB 于点 F MNPQ，CFDA， 四边形 AFCD 是平行四边形 AFCD50m，CFB35 FBABAF1305080（m） ， 设 BEx，CBN60， ECx， tan350.7， 即0.7， 解得：x56， CE561.795.295（m） ， 答：河流的宽是 95 米 13 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD6，E、F 分别为 AB、CD 边上两动点，EFAC，求 DE+BF 的最小值 【解答】解：如图所示，过 E 作 EGCD 于 G，在 DC 的延长线上截取 CHGF，连接 BH， 作点 D 关于 AB 的对称点 D，连接
17、 AD，ED，则 DEDE，ADAD6， 由题可得 EGBC，EGFBCH90，GFCH， BCHEGF（SAS） ， EFBH，FEGHBC， FEBHBE， 又EBBE， BEFEBH（SAS） ， BFEH， DE+BFDE+HE， 当 D，E，H 在同一直线上时，DE+BF 的最小值等于 DH 的长， EFAC， EFG+ACD90CAD+ACD， EFGCAD， 又EGFCDA90， EFGCAD， ，即， 解得 FG， CH，DH8， RtHDD中，DH， DE+BF 的最小值为 14 （8 分）小亮家今年种植的“翠香”猕猴桃喜获丰收，采摘上市 20 天全部销售完，小亮对销售情况进
18、行 跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 y（单位：千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系如 图 1 所示，猕猴桃价格 z（单位：元/千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系式如图 2 所示 （1）求小亮家猕猴桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式； （2）试比较第 10 天与第 12 天的销售金额哪天多？请直接写出答案 【解答】解： （1）当 0 x12 时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为 yk1x， 直线 yk1x 过点（12，120） ， k110， 函数解析式为 y10 x， 当 12x20，设日销售量与上市时间的函数解析式为 yk2x+b， 点（12，120）
19、 ， （20，0）在 yk2x+b 的图象上， ， 解得：， 函数解析式为 y15x+300， 小亮家猕猴桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式：y； （2） ）第 10 天和第 12 天在第 5 天和第 15 天之间， 当 5x15 时，设猕猴桃价格 z 与上市时间 x 的函数解析式为 zmx+n， 点（5，32） ， （15，12）在 zmx+n 的图象上， ， 解得：， 函数解析式为 z2x+42， 当 x10 时，y1010100，z210+4222， 销售金额为：100222200（元） ， 当 x12 时，y120，z212+4218， 销售金额为：120182160（元）
20、 ， 22002160， 第 10 天的销售金额多 15 （10 分）已知二次函数 ymx2+nx+2 图象的顶点横坐标是，与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0） ，x1 0 x2，与 y 轴交于点 C，且ABC 为直角三角形，ACB90 （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直 x 轴的直线 xt，在第一象限交直线 BC 于 N，交这个抛物线于 M，求当 t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以 C、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐 标 【解答】解： （1）令 x0，则 y2， 点 C 坐标为（0，2） ，OC2， 设 OAa
21、，顶点横坐标是， OB（+a）+a+3， ABC 为直角三角形，ACB90， AOCCOB， ， 即， 整理得，a2+3a40， 解得 a11，a24（舍去） ， a+31+34， 点 A（1，0） ，B（4，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+x+2； （2）设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ， 则， 解得， 直线 BC 的解析式为 yx+2， 由题意得，点 M、N 的横坐标都是 t， MNt2+t+2（t+2）t2+2t（t2）2+2， a0， 当 t2 时，MN 有最大值，最大值为 2； （3）当 t2 时，M（2，3） ，N（2，1） ， MN312， 当 CM
22、 是平行四边形对角线时，CDMN2， OD2+24， 点 D 的坐标为（0，4） ， 当 CN 是平行四边形的对角线时，CDMD2， OD220， 点 D 与点 O 重合，坐标为（0，0） ， 当 MN 是平行四边形的对角线时，MN 的中点坐标为（2，2） ， 设点 D 的坐标为（x，y） ， 则2，2， 解得 x4，y2， 点 D 的坐标为（4，2） ， 综上所述，以 C、M、N、D 为顶点作平行四边形，点 D 的坐标为（0，4）或（0，0）或（4，2） 16 （12 分）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题 如图 1，四边形 ABCD 中，ADCD，
23、ABC120，ADC60，AB4，BC2，连接 BD，请利 用旋转变换求出四边形 ABCD 的面积； 如图 2，四边形 ABCD 中，ADCD，ABC75，ADC60，AB4，BC2，求出四边形 ABCD 的面积； 如图 3，四边形 ABCD 中，ADCD，ADC90，AB4，BD4，若 B、C 两点落在直线 AD 的 同侧，求 BC 的最小值 【解答】解：如图 1， 将DCB 绕点 D 顺时针方向旋转 60，得到DAB， BDBD，BDB60， BDB是等边三角形； BCDBAD， 四边形 ABCD 的面积BDB的面积， BBAB+ABAB+BC4+26， SBDBBBBB369， 故四边形
24、 ABCD 的面积为 9 如图 2， 连接 BD，由于 ADCD，所以可将BCD 绕点 D 顺时针方向旋转 60，得到DAB， 连接 BB，延长 BA，作 BEBE， 在BCD 和BAD 中， BCDBAD（SAS） ， S四边形ABCDS四边形BDBA， ABC75，ADC60， BAB135 BAE45， BABC2， BEAE2， BEAB+AE4+26， BB2，等边DBB，BB上的高2， SABBABBE424， SBDB210， S四边形ABCDS四边形BDBASBDBSABB104 如图 3，由于 ADCD，ADC90，所以可将ABD 绕点 D 逆时针方向旋转 90，得到DCB， 连接 BB ABDCBD， BDBD4，CBAB4， BDB90， BDB为等腰直角三角形， BBBD44， 在BBC 中， BCBBCB44， BC 的最小值为 44
