1、2021 年年江苏省常州市天宁区江苏省常州市天宁区中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括 8 小题，共小题，共 16 分分.每小题只有一个选项符合题意每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应的题请将正确答案前的序号按对应的题 号填写在答题卡上）号填写在答题卡上） 1 （3 分）8 的绝对值是（ ） A8 B8 C8 D 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2 B了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 13
2、1 分 D某日最高气温是 7，最低气温是2，则该日气温的极差是 5 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba2a1a C （a2）3a6 Da8a2a4 4 （3 分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中 与 互余的是（ ） A图 B图 C图 D图 5 （3 分）已知一元二次方程 x2+kx30 有一个根为 1，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 6 （3 分）若 ab，则下列结论不一定成立的是（ ） Aa1b1 B2a2b C Da2b2 7 （3 分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则 sin cos
3、（ ） A B C D 8 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 F 是 BC 边上一点，连接 AF，以 AF 为对角线作正方形 AEFG，边 FG 与正方形 ABCD 的对角线 AC 相交于点 H，连接 DG以下四个结论：； ；2AE2AHAC；DGAC其中正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 20 分）分） 9 （2 分）一个正数的平方根分别是 x+1 和 x5，则 x 10 （2 分）计算的结果是 11 （2 分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来共新建、改扩建 校舍 1860
4、00000 平方米，其中数据 186000000 用科学记数法表示是 12 （2 分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，1） 和（3，1） ，那么“卒”的坐标为 13 （2 分）分解因式：3m318m2n+27mn2 14 （2 分）若 m+3，则 m2+ 15 （2 分）已知O 的半径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB16cm，CD12cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是 cm 16 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，D30，CD4，以 AB 为直径的O 交 BC 于 点 E，则阴影部分的面积为 17
5、 （2 分）如图，在ABC 中，AB3，AC6，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到A1B1C，使 CB1 AD，分别延长 AB、CA1相交于点 D，则线段 BD 的长为 18 （2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 10，点 A 的坐标为（8，0） ，点 B 在 y 轴上，若反比例函数 y （k0）的图象过点 C，则该反比例函数的解析式为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，满分小题，满分 76 分）分） 19 （2 分）计算：12018+|2|+tan60（3.14）0+（） 2 20 （2 分）先化简，再求值： （a2b） （a+2b）（a2b）2+8b2，其中 a2，b
6、21 （8 分）先化简，再求值（+1） ，其中 x 是不等式组的整数 解 22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，DBDA，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长 线于点 E，连接 AE （1）求证：四边形 AEBD 是菱形； （2）若 DC，tanDCB3，求菱形 AEBD 的面积 23 （8 分） “安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应 用软件 某校为了了解家长和学生参与 “防溺水教育” 的情况， 在本校学生中随机抽取部分学生作调查， 把收集的数据分为以下 4 类情形： A仅学生自己参与； B家长和学生一起参与
7、； C仅家长自己参与； D家长和学生都未参与 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算 C 类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校 2000 名学生中“家长和学生都未参与”的人数 24 （8 分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形成的图案 （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取 2 个涂黑，得到新图案请用列表或画 树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率 25 （
8、8 分）某超市预测某饮料有发展前途，用 1600 元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用 6000 元 购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元 （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 1200 元，那么销售单价至少为多 少元？ 26 （8 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道 AB120cm，两扇活页门的宽 OCOB60cm，点 B 固定，当点 C 在 AB 上左右运动时，OC
9、与 OB 的长度不变（所有结果保留小数点 后一位） （1）若OBC50，求 AC 的长； （2）当点 C 从点 A 向右运动 60cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长 （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19， 取 3.14） 27 （8 分） 如果三角形的两个内角 与 满足 90， 那么我们称这样的三角形为 “准互余三角形” （1）若ABC 是“准互余三角形” ，A90，B20，求C 的度数； （2）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB4，BC5，点 D 是 BC 延长线上一点若ABD 是 “准互余三角形” ，求 CD 的长； （3）如图，在四边形
10、ABCD 中，AC，BD 是对角线，AC4，CD5，BAC90，ACD2 ABC，且BCD 是“准互余三角形” ，求 BD 的长 28 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 以 1cm/s 的速度向点 B 移动；同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动设运动时间为 t 秒 （1）当 t2 时，DPQ 的面积为 cm2； （2）在运动过程中DPQ 的面积能否为 26cm2？如果能，求出 t 的值，若不能，请说明理由； （3）运动过程中，当 A、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上时，求 t 的值； （4）运动
11、过程中，当以 Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形 ABCD 的边共有 4 个交点时，直接写出 t 的 取值范围 29 （8 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，过点 A 的直线 l 交抛物线 于点 C（2，m） （1）求抛物线的解析式 （2） 点 P 是线段 AC 上一个动点， 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E， 求线段 PE 最大时点 P 的坐标 （3）点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以点 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理
12、由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括 8 小题，共小题，共 16 分分.每小题只有一个选项符合题意每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应的题请将正确答案前的序号按对应的题 号填写在答题卡上）号填写在答题卡上） 1 （3 分）8 的绝对值是（ ） A8 B8 C8 D 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去 掉这个绝对值的符号 【解答】解：80，|8|8 故选：B 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2 B了解一批灯泡的使用寿命的情况，
13、适合抽样调查 C小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 131 分 D某日最高气温是 7，最低气温是2，则该日气温的极差是 5 【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案 【解答】解：A、一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2.5，故此选项错误； B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确； C、小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 130分，故此选项 错误； D、某日最高气温是 7，最低气温是2，该日气温的极差是 7（2）9，故此选项
14、错误； 故选：B 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba2a1a C （a2）3a6 Da8a2a4 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案 【解答】解：Aa2 a3a5，故 A 选项错误； Ba2与 a1不是同类项，不能合并，故 B 选项错误； C （a2）3a6，故 C 选项正确； Da8a2a6，故 D 选项错误， 故选：C 4 （3 分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中 与 互余的是（ ） A图 B图 C图 D图 【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得 解 【解答】
15、解：图，+1809090，互余； 图，根据同角的余角相等，； 图，根据等角的补角相等； 图，+180，互补 故选：A 5 （3 分）已知一元二次方程 x2+kx30 有一个根为 1，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把 x1 代入方程得关于 k 的一次方程 13+k0，然后解一 次方程即可 【解答】解：把 x1 代入方程得 1+k30， 解得 k2 故选：B 6 （3 分）若 ab，则下列结论不一定成立的是（ ） Aa1b1 B2a2b C Da2b2 【分析】通过不等式的基本性质逐项判断求解 【解答】解：A，ab， a1b1 正确，A 不符合
16、题意 B，ab， 2a2b 正确，B 不符合题意 C，ab， 正确，C 不符合题意 D，当 ab0 时，a2b2，故 D 选项不正确，符合题意 故选：D 7 （3 分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则 sin cos（ ） A B C D 【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出 AC，然后根据正弦和余弦的定 义即可求 sin 和 cos 的值，进而可求出 sincos 的值 【解答】解：小正方形面积为 49，大正方形面积为 169， 小正方形的边长是 7，大正方形的边长是 13， 在 RtABC 中，AC2+BC2
17、AB2， 即 AC2+（7+AC）2132， 整理得，AC2+7AC600， 解得 AC5，AC12（舍去） ， BC12， sin，cos， sincos， 故选：D 8 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 F 是 BC 边上一点，连接 AF，以 AF 为对角线作正方形 AEFG，边 FG 与正方形 ABCD 的对角线 AC 相交于点 H，连接 DG以下四个结论：； ；2AE2AHAC；DGAC其中正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由正方形 ABCD 与正方形 AEFG，得到EAGBAD90，根据等式的基本性质确定出 EABGAD； 再根据正方形的对角
18、线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利 用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断； 根据两角相等的两个三角形相似得到三角形 HAF 与三角形 ACF 相似， 相似得比例， 根据 AFAE， 代换即可作出判断； 由相似三角形对应角相等得到ADGACF45，可得出 DG 在正方形 ABCD 对角线 BD 上，根 据正方形对角线垂直即可作出判断 【解答】解：四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形， EAGBAD90， 又EAB90BAG，GAD90BAG， EABGAD， 选项正确； 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形， ADDC，AGFG
19、， ACAD，AFAG， ，即， 又DAG+GACFAC+GAC， DAGCAF， AFCAGD， 选项正确； 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形，AF、AC 为对角线， AFHACF45， 又FAHCAF， HAFFAC， ，即 AF2ACAH， 又AFAE， 2AE2AHAC， 选项正确； 由知AFCAGD， 又四边形 ABCD 为正方形，AC 为对角线， ADGACF45， DG 在正方形另外一条对角线上， DGAC， 正确， 故选：D 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 20 分）分） 9 （2 分）一个正数的平方根分别是 x+1 和 x5，则 x 2 【
20、分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于 x 的方程，解之可得 【解答】解：根据题意知 x+1+x50， 解得：x2， 故答案为：2 10 （2 分）计算的结果是 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式+ 故答案为： 11 （2 分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来共新建、改扩建 校舍 186000000 平方米，其中数据 186000000 用科学记数法表示是 1.86108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数
21、点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1860000001.86108， 故答案为：1.86108 12 （2 分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，1） 和（3，1） ，那么“卒”的坐标为 （2，2） 【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标 【解答】解： “卒”的坐标为（2，2） ， 故答案为： （2，2） 13 （2 分）分解因式：3m318m2n+27mn2 3m（m3n）2 【分析】先提取公因式 3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继
22、续分解 【解答】解：3m318m2n+27mn2， 3m（m26mn+9n2） ， 3m（m3n）2 故答案为：3m（m3n）2 14 （2 分）若 m+3，则 m2+ 7 【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求 【解答】解：把 m+3 两边平方得： （m+）2m2+29， 则 m2+7， 故答案为：7 15 （2 分）已知O 的半径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB16cm，CD12cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2 或 14 cm 【分析】分两种情况进行讨论：弦 AB 和 CD 在圆心同侧；弦 AB 和 CD 在圆心异侧；作出半径和弦
23、 心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解 【解答】解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图， AB16cm，CD12cm， AE8cm，CF6cm， OAOC10cm， EO6cm，OF8cm， EFOFOE2cm； 当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图， AB16cm，CD12cm， AF8cm，CE6cm， OAOC10cm， OF6cm，OE8cm， EFOF+OE14cm AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm 故答案为：2 或 14 16 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，D30，CD4，以 AB 为直径的O 交 BC 于 点 E，则
24、阴影部分的面积为 【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得：AEB90，可得 AE 和 BE 的长，所 以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面积与OBE 面积的差，因为 OAOB，所以OBE 的面积是ABE 面积的一半，可得结论 【解答】解：连接 OE、AE， AB 是O 的直径， AEB90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD4，BD30， AEAB2，BE2， OAOBOE， BOEB30， BOE120， S阴影S扇形OBESBOE， ， ， ， 故答案为： 17 （2 分）如图，在ABC 中，AB3，AC6，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到A1B1C，使
25、 CB1 AD，分别延长 AB、CA1相交于点 D，则线段 BD 的长为 9 【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出CADB1A1C，再利用相似三角形的性质得出 AD 的 长，进而得出 BD 的长 【解答】解：将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到A1B1C， ACCA16，ABB1A13，ACA1B1， CB1AB， B1CA1D， CADB1A1C， ， ， 解得 AD12， BDADAB1239 故答案为：9 18 （2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 10，点 A 的坐标为（8，0） ，点 B 在 y 轴上，若反比例函数 y （k0）的图象过点 C，则该反比例函数的解析式为
26、 y 【分析】过点 C 作 CEy 轴于 E，由“AAS”可证ABOBCE，可得 CEOB6，BEAO8，可 求点 C 坐标，即可求解 【解答】解：如图，过点 C 作 CEy 轴于 E， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC10，ABC90， OB6， ABCAOB90， ABO+CBE90，ABO+BAO90， BAOCBE， 又AOBBEC90， ABOBCE（AAS） ， CEOB6，BEAO8， OE2， 点 C（6，2） ， 反比例函数 y（k0）的图象过点 C， k6212， 反比例函数的解析式为 y， 故答案为：y 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，满分小题，满分 76
27、 分）分） 19 （2 分）计算：12018+|2|+tan60（3.14）0+（） 2 【分析】先计算乘方、去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即 可得 【解答】解：原式1+2+1+4 4 20 （2 分）先化简，再求值： （a2b） （a+2b）（a2b）2+8b2，其中 a2，b 【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入 计算即可求出值 【解答】解：原式a24b2a2+4ab4b2+8b24ab， 当 a2，b时，原式4 21 （8 分）先化简，再求值（+1） ，其中 x 是不等式组的整数 解 【分
28、析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出 x 的值，代入计算即可求出值 【解答】解：原式， 不等式组解得：3x5，即整数解 x4， 则原式 22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，DBDA，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长 线于点 E，连接 AE （1）求证：四边形 AEBD 是菱形； （2）若 DC，tanDCB3，求菱形 AEBD 的面积 【分析】 （1）由AFDBFE，推出 ADBE，可知四边形 AEBD 是平行四边形，再根据 BDAD 可 得结论； （2）解直角三角形求出 EF 的长即可解决问题； 【解答】 （1）证明：四边形 AB
29、CD 是平行四边形， ADCE， DAFEBF， AFDEFB，AFFB， AFDBFE， ADEB，ADEB， 四边形 AEBD 是平行四边形， BDAD， 四边形 AEBD 是菱形 （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，ABCD， ABEDCB， tanABEtanDCB3， 四边形 AEBD 是菱形， ABDE，AFFB，EFDF， tanABE3， BF， EF， DE3， S菱形AEBDABDE315 23 （8 分） “安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应 用软件 某校为了了解家长和学生参与 “防溺水教育” 的情况， 在
30、本校学生中随机抽取部分学生作调查， 把收集的数据分为以下 4 类情形： A仅学生自己参与； B家长和学生一起参与； C仅家长自己参与； D家长和学生都未参与 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算 C 类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校 2000 名学生中“家长和学生都未参与”的人数 【分析】 （1）根据 A 类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去 A、C、D 三个类别人数求得 B 的人数即可补全条形图，再用 360乘以 C 类别人数占 被调查人数的比例可得；
31、 （3）用总人数乘以样本中 D 类别人数所占比例可得 【解答】解： （1）本次调查的总人数为 8020%400 人， 故答案为：400； （2）B 类别人数为 400（80+60+20）240， 补全条形图如下： C 类所对应扇形的圆心角的度数为 36054； （3）估计该校 2000 名学生中“家长和学生都未参与”的人数为 2000100 人 24 （8 分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形成的图案 （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取 2 个涂黑，得到新图案请
32、用列表或画 树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）正方形网格被等分成 9 等份，其中阴影部分面积占其中的 3 份， 米粒落在阴影部分的概率是； （2）列表如下： A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F，D） E
33、（A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F，E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 由表可知，共有 30 种等可能结果，其中是轴对称图形的有 10 种， 故新图案是轴对称图形的概率为 25 （8 分）某超市预测某饮料有发展前途，用 1600 元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用 6000 元 购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元 （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 1200 元，那么销售单价至少为多 少元？ 【分析】 （1）设第一批饮料进货单价为 x
34、元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价总价单 价结合第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设销售单价为 m 元，根据获利不少于 1200 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其最小 值即可得出结论 【解答】解： （1）设第一批饮料进货单价为 x 元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元， 根据题意得：3， 解得：x8， 经检验，x8 是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为 8 元 （2）设销售单价为 m 元， 根据题意得：200（m8）+600（m10）1200， 解得：m11 答：销售单价至少为 11 元 26
35、 （8 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道 AB120cm，两扇活页门的宽 OCOB60cm，点 B 固定，当点 C 在 AB 上左右运动时，OC 与 OB 的长度不变（所有结果保留小数点 后一位） （1）若OBC50，求 AC 的长； （2）当点 C 从点 A 向右运动 60cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长 （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19， 取 3.14） 【分析】 （1）作 OHAB 于 H，利用锐角三角函数即可求出
36、AC 的长； （2）根据题意证明OBC 是等边三角形，可得点 O 在此过程中运动的路径长即为半径为 OB，圆心角为 60 度的弧长 【解答】解： （1）如图，作 OHAB 于 H， OCOB60cm， CHBH， 在 RtOBH 中， cosOBC， BHOBcos50600.6438.4（cm） ， ACAB2BH120238.443.2（cm） ， AC 的长约为 43.2cm； （2）AC60cm， BC60cm， OCOB60cm， OCOBBC60cm， OBC 是等边三角形， 半径为 OB，圆心角为 60 度的弧长203.1462.8（cm） ， 点 O 在此过程中运动的路径长约为
37、 62.8cm 27 （8 分） 如果三角形的两个内角 与 满足 90， 那么我们称这样的三角形为 “准互余三角形” （1）若ABC 是“准互余三角形” ，A90，B20，求C 的度数； （2）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB4，BC5，点 D 是 BC 延长线上一点若ABD 是 “准互余三角形” ，求 CD 的长； （3）如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，AC4，CD5，BAC90，ACD2 ABC，且BCD 是“准互余三角形” ，求 BD 的长 【分析】 （1）由“准互余三角形”定义可求解； （2）由勾股定理可求 AC3，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似
38、三角形的性质可求解； （3）如图，将ABC 沿 BC 翻折得到EBC，可得 CEAC4，BCABCE，CBACBE， EBAC90，通过证明CEBBED，可求 BE6，由勾股定理可求解 【解答】解： （1）ABC 是“准互余三角形” ，A90，B20， 若AB90，则A110， C1801102050， 若AC90， A+B+C180， C35； （2）BAC90，AB4，BC5， AC3， ABD 是“准互余三角形” ， BADB90，或BADADB90， 当BADADB90， BAC+CADADB90， CADADB， ACCD3， 当BADB90， BAC+CADB90， BCAD， A
39、DCBDA， ADCBDA， ， ， CD； （3）如图，将ABC 沿 BC 翻折得到EBC， CEAC4，BCABCE，CBACBE，EBAC90， ABE+ACE180， ACD2ABCABE， ACD+ACE180， 点 D，点 C，点 E 三点共线， BCDACD+ACB2ABC+ACB90+ABC， BCDABC90， BCD 是“准互余三角形” ， BCDCDB90， 90+ABCCDB90， CDBABCEBC， 又EE， CEBBED， ， 即， BE6， BD3 28 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 以 1cm/
40、s 的速度向点 B 移动；同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动设运动时间为 t 秒 （1）当 t2 时，DPQ 的面积为 28 cm2； （2）在运动过程中DPQ 的面积能否为 26cm2？如果能，求出 t 的值，若不能，请说明理由； （3）运动过程中，当 A、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上时，求 t 的值； （4）运动过程中，当以 Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形 ABCD 的边共有 4 个交点时，直接写出 t 的 取值范围 【分析】 （1）由矩形的性质得出 ADBC12，CDAB6，ABC90，由题意得出 AP 2，BQ4，BPABAP4，CQB
41、CBQ8，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出 答案； （2）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出方程，解方程即可； （3）证出 A、P、D 三点在以 DP 为直径的圆上，由圆周角定理得出PQD90，由勾股定理得出方 程，解方程即可； （4）求出Q 与边 AD 相切时 t 的值，再求出Q 过点 D 时 t 的值，即可得出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC12，CDAB6，ABC90， 由题意得：APt，BQ2t， BPABAP6t，CQBCBQ122t， 当 t2 时，AP2，BQ4，BPABAP4，CQBCBQ8， DPQ 的面积1261224468
42、28（cm2） ， 故答案为：28； （2）不能；理由如下： 根据题意得：DPQ 的面积， 整理得：t26t+100， b24ac40， 方程无实数根， DPQ 的面积不可能为 26cm2； （3）A90， A、P、D 三点在以 DP 为直径的圆上， 若点 Q 也在圆上，则PQD90， PQ2（6t）2+（2t）2，DQ262+（122t）2，DP2t2+122，PQ2+DQ2DP2， （6t）2+（2t）2+62+（122t）2t2+122； 解得 t16，t2， t6 或时 A、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上 （4）如图 1，Q 与边 AD 相切时， 过点 Q 作 QEAD， Q 与边
43、AD 相切， QEQP， 由勾股定理得：62（6t）2+（2t）2； 解得 t10（舍去） ，t2， 如图 2，Q 过点 D 时， 则 QDQP， 由勾股定理得： （6t）2+（2t）262+（122t）2； 解得：t1618，t2618（舍去） ， 当t618 时，Q 与矩形 ABCD 的边共有四个交点 29 （8 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，过点 A 的直线 l 交抛物线 于点 C（2，m） （1）求抛物线的解析式 （2） 点 P 是线段 AC 上一个动点， 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E， 求线段 PE 最大时点 P
44、的坐标 （3）点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以点 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A、B 的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将 C 点横坐标代入抛物线的解析 式中，即可求出 C 点的坐标，再由待定系数法可求出直线 AC 的解析式 （2）PE 的长实际是直线 AC 与抛物线的函数值的差，可设 P 点的横坐标为 m，用 m 分别表示出 P、E 的纵坐标，即可得到关于 PE 的长、m 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得 PE 的最大值 （3）存在如图，
45、设抛物线与 y 的交点为 K，由题意 K（0，3） ，可知 CKx 轴，分图中四种情形， 利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，B（3，0）代入 yx2+bx+c， 得到 解得， yx22x3 （2）将 C 点的横坐标 x2 代入 yx22x3，得 y3，C（2，3） ； 直线 AC 的函数解析式是 yx1 设 P 点的横坐标为 m（1m2） ，则 P、E 的坐标分别为：P（m，m1） ，E（m，m22m3） ； P 点在 E 点的上方，PE（m1）（m22m3）m2+m+2， （m）2+， 10， 当 m时，PE 的最大值，此时 P（，） （3）存在 理由：如图，设抛物线与 y 的交点为 K，由题意 K（0，3） ， C（2，3） ， CKx 轴，CK2， 当 AC 是平行四边形 ACF1D1的边时，可得 D1（3，0） 当 AC 是平行四边形 AF1CD2的对角线时，AD2CK，可得 D2（1，0） ， 当点 F 在 x 轴的上方时，令 y3，3x22x3， 解得 x1， F3（1，3） ，F4（1+，3） ， 由平移的性质可知 D3（4，0） ，D4（4+，0） 综上所述，满足条件的点 D 的坐标为（3，0）或（1，0）或（4，0）或（4+，0）
