1、2019-2020 学年湖北省武汉市东西湖区、硚口区八年级（上）期末数学试卷学年湖北省武汉市东西湖区、硚口区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各題中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，分）下列各題中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确， 请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑 1 （3 分）纳米是长度单位，纳米技术已广泛应用于各个领域，已知 1 纳米0.000000001 米，某原子的直 径大约是 2 纳米，用科学记数法表示该原子的直径约为（ ） A0.210 9 米
2、B210 8 米 C210 9 米 D210 10 米 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a2）3a5 C （2a2）38a6 Da6a2a3 3 （3 分）若分式的值为 0，则 x 的值是（ ） A2 B2 C2 D任意实数 4 （3 分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A4x2+8x14x（x+2）1 B （x+3） （x3）x29 Cx2x+1（x1）2 Dx25x6（x+1） （x6） 5 （3 分）下列分式中，是最简分式的是（ ） A B C D 6 （3 分）运用乘法公式计算（2x+y3） （2xy+3） ，下列结果正确的是（ ） A4x2
3、y26y+9 B4x2y2+6y9 C4x2+y26y+9 D4x2y26y9 7 （3 分）一个三角形的两边长分别为 2 和 5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ） A11 B12 C13 D14 8 （3 分） 一个圆柱形容器的容积为 2Vm3， 开始用一个小水管向容积内注水， 水面高度达到容积的一半后， 改用一根口径（直径）为小水管 2 倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间 tmin 设小水管的 注水速度为 xm3/min，则下列方程正确的是（ ） A+t B+t C+2t D+t 9 （3 分）将大小不同的两个正方形按图 1，图 2 的方式摆放若图 1 中阴影
4、部分的面积是 20，图 2 中阴影 部分的面积是 14，则大正方形的边长是（ ） A6 B7 C8 D9 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，连接 CD，将BCD 沿直线 CD 翻折后， 点 B 恰好落在边 AC 的 E 点处，若 CE：AE5：3，SABC20，则点 D 到 AC 的距离是（ ） A B C4 D3 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分式有意义的条件是 12 （3 分）若 ama2a7，则 m 的值为 13 （3 分）如果 4x2mxy+9y2是一个完全平方式，
5、则 m 14 （3 分）已知实数 a，b 满足 ab3，ab2，则 a+b 的值为 15 （3 分）式子 3的最大值为 16 （3 分）问题背景： 如图 1，点 C 为线段 AB 外一动点，且 ABAC2，若 BCCD，BCD60，连接 AD，求 AD 的最 大值 解决方法： 以 AC 为边作等边ACE， 连接 BE， 推出 BEAD， 当点 E 在 BA 的延长线上时， 线段 AD 取得最大值 4 问题解决： 如图 2，点 C 为线段 AB 外一动点，且 ABAC2，若 BCCD，BCD90，连接 AD，当 AD 取得 最大值时，ACD 的度数为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小
6、题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程： 18 （8 分）因式分解 （1）x316x； （2）4xy24x2yy3 19 （8 分）如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E，AD3，DE2，求 BE 的长 20 （8 分） （1）计算：5a2a4+（2a2）3（3a3）2 （2）先化简，再求值： （x+2+） ，其中 x5 21 （8 分）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC 的顶点在格 点，请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）如图 1，作ABC 关于直线 l 的对
7、称图形A1B1C1； （2）如图 2，作ABC 的高 CD； （3）如图 3，作ABC 的中线 CE； （4）如图 4，在直线 l 上作出一条长度为 1 个单位长度的线段 MN（M 在 N 的上方） ，使 AM+MN+NB 的 值最小 22 （10 分）两个工程队共同参与一项筑路工程若先由甲、乙两队合作 30 天，剩下的工程再由乙队单独 做 15 天可以完成， 共需施工费 810 万元若由甲、 乙合作完成此项工程共需 36 天， 共需施工费 828 万元 （1）求乙队单独完成这项工程需多少天 （2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？ （3）若工程预算的总费用不超过 840 万元，则乙队最少施
8、工多少天？ 23 （10 分）在等边ABC 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上 （1）如图 1，若 AEBF，以 AC 为边作等边ACD，AF 交 CE 于点 O，连接 OD 求证：AFCE； OD 平分AOC； （2）如图 2，若 AE2CF，作BCPAEC，CP 交 AF 的延长线于点 P，求证：CECP 24 （12 分）在 RtABC 中，ACBC，ACB90，点 D 是 BC 上一点 （1）如图 1，AD 平分BAC，求证：ABAC+CD； （2）如图 2，点 E 在线段 AD 上，且CED45，BED30，求证：BE2AE； （3）如图 3，CDBD，过 B 点作 BMAD
9、交 AD 的延长线于点 M，连接 CM，过 C 点作 CNCM 交 AD 于 N，求证：DN3DM 2019-2020 学年湖北省武汉市东西湖区、硚口区八年级（上）期末数学试卷学年湖北省武汉市东西湖区、硚口区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各題中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，分）下列各題中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确， 请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑 1 （3 分）纳米是长度单位，纳米技术已广泛应用于各个领域
10、，已知 1 纳米0.000000001 米，某原子的直 径大约是 2 纳米，用科学记数法表示该原子的直径约为（ ） A0.210 9 米 B210 8 米 C210 9 米 D210 10 米 【分析】小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同 的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：1 纳米0.000 000 001 米10 9 米， 2 纳米210 9 米 故选：C 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a2）3a5 C （2a2）38a6 Da6a2a3 【分析
11、】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方可以计算出各个选项中式子的正确结果，从而可 以解答本题 【解答】解：a2a3a5，故选项 A 错误； （a2）3a6，故选项 B 错误； （2a2）38a6，故选项 C 正确； a6a2a4，故选项 D 错误； 故选：C 3 （3 分）若分式的值为 0，则 x 的值是（ ） A2 B2 C2 D任意实数 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案 【解答】解：分式的值为 0， x+20， 解得：x2 故选：A 4 （3 分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A4x2+8x14x（x+2）1 B （x+3） （x3）x29 Cx2x
12、+1（x1）2 Dx25x6（x+1） （x6） 【分析】根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解，也叫做分解因式即可判断 【解答】解：根据分解因式的定义可知： D 选项是把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解， 故选：D 5 （3 分）下列分式中，是最简分式的是（ ） A B C D 【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断 【解答】解：A原式， 所以 A 选项不符合题意； B原式1， 所以 B 选项不符合题意； C原式a+2， 所以 C 选项不符合题意； D原式是最简分
13、式 故选：D 6 （3 分）运用乘法公式计算（2x+y3） （2xy+3） ，下列结果正确的是（ ） A4x2y26y+9 B4x2y2+6y9 C4x2+y26y+9 D4x2y26y9 【分析】原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可 【解答】解：原式4x2（y3）24x2y2+6y9 故选：B 7 （3 分）一个三角形的两边长分别为 2 和 5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最 大时，对应的第三边的长 【解答】解：设第三边为 a， 根据三
14、角形的三边关系，得：52a5+2， 即 3a7， a 为整数， a 的最大值为 6， 则三角形的最大周长为 6+2+513 故选：C 8 （3 分） 一个圆柱形容器的容积为 2Vm3， 开始用一个小水管向容积内注水， 水面高度达到容积的一半后， 改用一根口径（直径）为小水管 2 倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间 tmin 设小水管的 注水速度为 xm3/min，则下列方程正确的是（ ） A+t B+t C+2t D+t 【分析】根据题意列出方程解答即可 【解答】解：设小水管的注水速度为 x 立方米/分钟，可得：+t， 故选：B 9 （3 分）将大小不同的两个正方形按图 1，图 2
15、 的方式摆放若图 1 中阴影部分的面积是 20，图 2 中阴影 部分的面积是 14，则大正方形的边长是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】设大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，根据题意列方程组，即可得到结论 【解答】解：设大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，根据题意可得： ab+b（ab）20，ab14， 解得：a7 故选：B 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，连接 CD，将BCD 沿直线 CD 翻折后， 点 B 恰好落在边 AC 的 E 点处，若 CE：AE5：3，SABC20，则点 D 到 AC 的距离是（ ） A B C4 D
16、3 【分析】由折叠的性质可得 BCCE，设 BCCE5x，AE3x，由三角形面积关系可求 x1，即可求 解 【解答】解：设点 D 到 AC 的距离为 h， 将BCD 沿直线 CD 翻折后，点 B 恰好落在边 AC 的 E 点处， BCCE， CE：AE5：3， 设 BCCE5x，AE3x， AC8x， SABC205x8x， x1， BC5，CA8， SADCAChSABC， 点 D 到 AC 的距离 h， 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分式有意义的条件是 x1 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案
17、 【解答】解：由有意义，得 x+10， 解得 x1 故答案为：x1 12 （3 分）若 ama2a7，则 m 的值为 5 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可计算 【解答】解：根据同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 得 m+27 解得 m5 故答案为 5 13 （3 分）如果 4x2mxy+9y2是一个完全平方式，则 m 12 【分析】这里首末两项是 2x 和 3y 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 2x 和 3y 积的 2 倍 【解答】解：4x2mxy+9y2是一个完全平方式， mxy22x3y， m12 14 （3 分）已知实数
18、 a，b 满足 ab3，ab2，则 a+b 的值为 【分析】根据完全平方公式可得答案 【解答】解：因为 ab3，ab2， 所以 a2+b2（ab）2+2ab 32+22 9+4 13， 所以（a+b）2a2+b2+2ab 13+22 17， 所以 a+b 故答案为： 15 （3 分）式子 3的最大值为 3 【分析】直接利用配方法结合二次根式的性质得出答案 【解答】解：x2+4x+7（x+2）2+3， 当 x2 时，x2+4x+7 最小为 3，此时 3最大， 故原式的最大值为：3 故答案为：3 16 （3 分）问题背景： 如图 1，点 C 为线段 AB 外一动点，且 ABAC2，若 BCCD，B
19、CD60，连接 AD，求 AD 的最 大值 解决方法： 以 AC 为边作等边ACE， 连接 BE， 推出 BEAD， 当点 E 在 BA 的延长线上时， 线段 AD 取得最大值 4 问题解决： 如图 2，点 C 为线段 AB 外一动点，且 ABAC2，若 BCCD，BCD90，连接 AD，当 AD 取得 最大值时，ACD 的度数为 112.5 【分析】以 AC 为直角边作等腰直角ACE，CEAC，ECA90，连接 BE，易证ECBACD， 由 SAS 证得ECBACD，得出 BEAD，证明当 AD 取得最大值时，E、A、B 三点共线，由等腰直 角三角形的性质得出CAE45，由平角得出CAB18
20、0CAE135，由等腰三角形的性质 得出ACBABC（180CAB）22.5，则ACDACB+BCD112.5 【解答】解：以 AC 为直角边作等腰直角ACE，CEAC，ECA90，连接 BE，如图 2 所示： BCD90， ECA+ACBBCD+ACB，即ECBACD， 在ECB 和ACD 中， ECBACD（SAS） ， BEAD， 当 AD 取得最大值时，BE 也取得最大值， BEAE+AB， 当且仅当 E、A、B 三点共线时，BEAE+AB， 当 AD 取得最大值时，E、A、B 三点共线， ACE 是等腰直角三角形， CAE45， CAB180CAE18045135， ABAC， AC
21、BABC（180CAB）（180135）22.5， ACDACB+BCD22.5+90112.5， 故答案为：112.5 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程： 【分析】根据等式的性质，可去分母转化成整式方程，根据解整式方程，可得答案 【解答】解；方程两边都乘以 x（x+3） ，得 x+35x 解得 x， 经检验：x是分式方程的解 18 （8 分）因式分解 （1）x316x； （2）4xy24x2yy3 【分析】 （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 2 项，可采用平方 差公式继续分解 （2）此多项式有公因式
22、，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，可采用完全平方公式 继续分解 【解答】解： （1）x316x x（x216） x（x4） （x+4） ； （2）4xy24x2yy3 y（4x24xy+y2） y（2xy）2 19 （8 分）如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E，AD3，DE2，求 BE 的长 【分析】根据同角的余角相等可得ACDCBE，根据“AAS”可证ACDCBE，可得 CEAD 3，即可求 BE 的长； 【解答】解：ACB90， ACD+BCD90 ADCE，BECE， DBEC90， CBE+BCD90， ACDCBE，且 ACBC，
23、ADCBEC90 ACDCBE（AAS） ， CEAD3，BECD， ECCD+DE， BE321 20 （8 分） （1）计算：5a2a4+（2a2）3（3a3）2 （2）先化简，再求值： （x+2+） ，其中 x5 【分析】 （1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出 值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即 可求出值 【解答】解： （1）原式（5a68a6）9a63a69a6； （2）原式， 当 x5 时，原式16 21 （8 分）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形
24、的顶点叫做格点，ABC 的顶点在格 点，请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）如图 1，作ABC 关于直线 l 的对称图形A1B1C1； （2）如图 2，作ABC 的高 CD； （3）如图 3，作ABC 的中线 CE； （4）如图 4，在直线 l 上作出一条长度为 1 个单位长度的线段 MN（M 在 N 的上方） ，使 AM+MN+NB 的 值最小 【分析】 （1）根据轴对称的性质即可得到结论； （2）根据题意作出图形即可； （3）根据题意作出图形即可； （4） 作 A 关于直线 l 对称点 C， 作 CDl 且 CD1， 连接 BD 交直
25、线 l 与 N， 作 CMBD 交直线 l 于 M， 连接 AM，于是得到结论 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图所示，线段 CD 即为所求； （3）如图所示，线段 CE 即为所求； （4）作 A 关于直线 l 对称点 C，作 CDl 且 CD1， 连接 BD 交直线 l 与 N，作 CMBD 交直线 l 于 M，连接 AM， 则 AM+MN+NB 的值最小 22 （10 分）两个工程队共同参与一项筑路工程若先由甲、乙两队合作 30 天，剩下的工程再由乙队单独 做 15 天可以完成， 共需施工费 810 万元若由甲、 乙合作完成此项工程共需 36 天， 共需施工费
26、 828 万元 （1）求乙队单独完成这项工程需多少天 （2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？ （3）若工程预算的总费用不超过 840 万元，则乙队最少施工多少天？ 【分析】 （1）设乙队单独完成这项工程需 x 天，由题意列出方程，解方程即可； （2）设甲队每天的施工费为 m 万元，乙队每天的施工费为 n 万元，由题意列出方程组，解方程组解可； （3）求出甲队单独完成这项工程的天数为60，设乙队施工 a 天，甲队施工 b 天，由题意得 ，由得 b60a，把 b60a 代入得 15（60a）+8a840，解得 a 30 即可 【解答】解： （1）设乙队单独完成这项工程需 x 天， 由题意得：3
27、0+1， 解得：x90， 经检验 x90 是分式方程的解； 答：乙队单独完成这项工程需 90 天； （2）设甲队每天的施工费为 m 万元，乙队每天的施工费为 n 万元， 由题意得：， 解得：； 答：甲队每天的施工费为 15 万元，乙队每天的施工费为 8 万元； （3）乙队单独完成这项工程需 90 天，甲、乙合作完成此项工程共需 36 天， 甲队单独完成这项工程的天数为60， 设乙队施工 a 天，甲队施工 b 天， 由题意得：， 由得：b60a， 把 b60a 代入得：15（60a）+8a840， 解得：a30，即乙队最少施工 30 天； 答：乙队最少施工 30 天 23 （10 分）在等边AB
28、C 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上 （1）如图 1，若 AEBF，以 AC 为边作等边ACD，AF 交 CE 于点 O，连接 OD 求证：AFCE； OD 平分AOC； （2）如图 2，若 AE2CF，作BCPAEC，CP 交 AF 的延长线于点 P，求证：CECP 【分析】 （1）根据 SAS 证明ABFCAE 可得结论 利用四点共圆证明AODCOD60即可解决问题 方法二：方法二：过点 D 作 DJOA 于 J，过点 D 作 DHOC 交 OC 的延长线于 H证明 DJDH 即可 解决问题 （2）如图 2 中，取 AE 的中点 M，连接 CM想办法证明CMEPFC（ASA）即可解
29、决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中， ABC 是等边三角形， ABBC，BBAC60， AEBF， ABFCAE（SAS） ， AFEC 如图 1 中，ABFCAE， BAFACE， AOEOAC+ACOOCA+BAFBAC60， 又ACD 是等边三角形， ADCDACDCA60， AOEADC， AOE+AOC180， ADC+AOC180， A，D，C，O 四点共圆， AODACD60，CODCAD60， AODCOD， OD 平分AOC 方法二：过点 D 作 DJOA 于 J，过点 D 作 DHOC 交 OC 的延长线于 H DJOH90， HDJ+JOH180， JOH120，
30、 JDH60ADC， ADJCDH， DADC，DJAH90， ADJCDH（AAS） ， DJDH， DO 平分AOC （2）证明：如图 2 中，取 AE 的中点 M，连接 CM AE2CF，AMME， AMCF， CAMACF60，ACCA， ACMCAF（SAS） ， ACMCAF， CMECAM+ACM60+ACM，CFPACF+CAF60+CAF， CMECFP， EMCF，PCFCEM， CMEPFC（ASA） ， CEPC 24 （12 分）在 RtABC 中，ACBC，ACB90，点 D 是 BC 上一点 （1）如图 1，AD 平分BAC，求证：ABAC+CD； （2）如图 2
31、，点 E 在线段 AD 上，且CED45，BED30，求证：BE2AE； （3）如图 3，CDBD，过 B 点作 BMAD 交 AD 的延长线于点 M，连接 CM，过 C 点作 CNCM 交 AD 于 N，求证：DN3DM 【分析】 （1）如图 1 中，作 DHAB 于 H证明ADCADH 即可解决问题 （2）如图 2 中，过点 C 作 CMCE 交 AD 的延长线于 M，连接 BM证明ACEBCM（SAS） ，推 出 AEBM，再利用直角三角形 30 度角的性质即可解决问题 （3）如图 3 中，作 CHMN 于 H想办法证明 NHHM，DHDM 即可解决问题 【解答】证明： （1）如图 1
32、中，作 DHAB 于 H ACDAHD90，ADAD，DACDAH， ADCADH（ASA） ， ACAH，DCDH， CACB，C90， B45， DHB90， HDBB45， HDHB， BHCD， ABAH+BHAC+CD （2）如图 2 中，过点 C 作 CMCE 交 AD 的延长线于 M，连接 BM ACBECM90， ACEBCM， CED45， CECM， ACEBCM（SAS） ， AEBM，CADCBM， ADCBDM， ACDBMD90 在 RtEMB 中，MEB30， BE2BM2AE （3）如图 3 中，作 CHMN 于 H ACBAMB90，ADCBDM， CANCBM， MCCN， MCNACB90， ACNBCM， CACB， ACNBCM（ASA） ， CNCM， CHMN， HNHM CDDB，CHDBMD90，CDHBDM， CHDBMD（AAS） ， DHDM， HNHM， DN3DM
