1、20202021 学年上学期高三期中考试数学试题学年上学期高三期中考试数学试题 分值：分值：150 分分 一、选择题一、选择题( (本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的项是符合题目要求的) ). 1. 已知集合 2 13A, ,a，1B,a2，若ABB，则实数a的取值为( ) A. 1 B. -1 或 2 C. 2 D. -1 或 1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用ABB可得BA，则23a或 2 2aa ，解出a的值检验是否满足元素互异性即可. 【详解】因为A
2、BB所以BA， 当23a时，1a ，131A, ,，不满足元素互异性，不成立； 当 2 2aa 时，1a或2a， 1a时，131A, ,，不满足元素互异性，不成立； 2a时，134A, ,， 14B,，满足条件， 所以2a， 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数，考查了元素的互异性，属于基础题. 2. 若复数z满足 (1)2izi ，则下列说法正确的是( ) A. z的虚部为i B. z为实数 C. 2z D. 2zzi 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求出1zi ，根据复数的概念、复数的模长公式、共轭复数的概念可得答案 【详解】因为(1)2izi，所以
3、22 (1) 1(1)(1) iii z iii 22 1 2 i i ， 所以z的虚部为1，z为虚数，| |1|1 12zi ，112zzii ， 故,A B D错误，C正确. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数的概念、复数的模长公式、共轭复数的概念，属于 基础题. 3. 下列命题为真命题的是( ) A. 若0ab，则 11 ab B. 若0ab，则 22 acbc C. 若0cab，则 ab cacb D. 若0abc，则 aac bbc 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式性质，做差法比较大小等，依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于 A选项，当2,1
4、ab 时，不等式不成立，故是假命题； 对于 B选项，当0c =时，不满足，故为假命题； 对于 C选项，当3,2,1cab时， 21 322 ab cacb ，不满足，故为假命题. 对于 D选项，由于0abc，所以 0 a bcb acab caacacbc bbcb bcb bcb bc ，即 aac bbc ，故为真命题. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算能力，是基础题. 4. 设函数 ( )f x的导函数是 ( ) fx，若( )() cossin 2 f xfxx ，则() 3 f ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】
5、A 【解析】 【分析】 求导后，令 2 x ，可求得( ) 2 f 0，再令 3 x 可求得结果. 【详解】因为( )() cossin 2 f xfxx ，所以( )()( sin )cos 2 fxfxx ， 所以()()( sin)cos 2222 ff () 2 f ，所以()0 2 f ， 所以( )cosfxx ，所以 1 ()cos 332 f . 故选：A 【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题. 5. 在ABC中，已知30 , 2,2Aac，则b=( ) A. 31 B. 31或31 C. 62 D. 62 或62 【答案】B 【解析】 【分析】 根据角A
6、的余弦定理列出关于b的方程，从而求解出b的值. 【详解】因为 222 2cosabcbcA，所以 2 2 320bb ， 所以31b 或31b ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，主要考查学生基本计算，难度较易. 6. 已知 3 cos() 45 x ， 177 124 x ，则 2 sin22sin 1tan xx x 的值为( ) A. 28 75 B. 21 100 C. 28 75 D. 21 100 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 177 124 x 以及 3 cos() 45 x 求出 4 sin() 45 x ，进而求出 4 tan() 43 x ，根据诱
7、导公 式 和 二 倍 角 的 余 弦 公 式 得 7 s i n 2 25 x ， 然 后 利 用 恒 等 变 换 公 式 将 2 s i n 22 s i n 1t an xx x 化 简 为 s i n 2t a n () 4 xx 后，代入计算可得结果. 【详解】因 177 124 x ，所以 73 642 x ， 因为 3 cos() 45 x ， 所以 22 34 sin()1 cos ()1 () 4455 xx ， sin() 4 tan() 4 cos() 4 x x x 4 5 3 5 4 3 ， sin2cos(2)cos 2() 24 xxx 2 97 2cos121 4
8、2525 x ， 所以 2 sin22sin 1tan xx x 2sin (cossin ) sin 1 cos xxx x x 2sin cos (cossin ) cossin ) xxxx xx sin2 (1tan ) 1tan xx x tantan 4 sin2 1tantan 4 x x x sin2tan() 4 xx 7428 () 25375 . 故选：A 【点睛】本题考查了同角公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角差的正切公式， 属于中档题. 7. 已知函数 3 1 3 1 ( )( ), ( )log, ( )(0) 2 x f xx g xxx h
9、 xxx x 的零点分别为, ,a b c，则, ,a b c的大小 顺序为( ) A. abc B. cab C. bca D. bac 【答案】B 【解析】 【分析】 将函数 3 1 3 1 ( )( ), ( )log, ( )(0) 2 x f xx g xxx h xxx x 的零点，转化为函数y x 的图象分别与函 数 3 1 3 1 ( ) ,log,(0) 2 x yyx yxx 的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数 3 1 3 1 ( )( ), ( )log, ( )(0) 2 x f xx g xxx h xxx x 的零点， 即为函数y x 的图象分别
10、与函数 3 1 3 1 ( ) ,log,(0) 2 x yyx yxx 的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图象可得：cab， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的 思想方法，属于中档题. 8. 已知关于x方程(21)(1)0 x exm x有两个不等实根，则实数m的取值范围是( ) A. 3 2 4, 11,e B. 3 2 , 4e C. 3 2 4, 11,0e D. 3 2 , 41,0e 【答案】D 【解析】 【分析】 将问题转化为“方程 21 1 x ex m x 有两个不等实根”，构造新函数 21 1 x ex
11、f x x ，利用导数分析 其单调性以及取值情况，由此确定出方程有两个不等实根时m的取值范围. 【详解】当1x 时，2110 x exm xe，所以1x 不是方程的解， 当1x 时，2110 x exm x有两个不等实根 21 1 x ex m x 有两个不等实根， 即 21 1 x ex y x 与y m 的图象有两个交点， 令 21 1 1 x ex f xx x ， 2 23 1 x xxe fx x ，令 0fx ，所以0 x或 3 2 x ， 当,0 x 时， 0fx ， f x单调递增，当0,1x时， 0fx ， f x单调递减， 当 3 1, 2 x 时， 0fx ， f x单调
12、递减，当 3 , 2 x 时， 0fx ， f x单调递增， 3 3 2 2 32 01,4 1 2 2 e ffe ， 11 lim0,lim,lim, lim xx xx f xf xf xf x ， 所以要使 21 1 x ex y x 与y m 的图象有两个交点，则01m或 3 2 4me ， 解得10m 或 3 2 4me ，所以m的取值范围是 3 2 , 41,0e ， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究方程根的问题，主要考查学生的转化、分析与计算能力，难度较难.方程根 的数目问题可以转化为函数图象的交点个数问题，也可转化为函数的零点个数问题. 二、选择题二、选择题( (本题
13、共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分) ). 9. 若“,xM xx ”为假命题，“,3xM x ”为真命题，则集合M可以是( ) A. 03xx B. 12xx C. 3x x D. 0 x x 【答案】AB 【解析】 【分析】 求出,xM xx ”为假命题，对应的x的范围，“,3xM x ”为真命题，对应的x的范围，求交集 即可. 【详解】因为,xM xx ”为假
14、命题， 所以,xM xx 为真命题， 所以xM，0 x， 若“,3xM x ”为真命题， 所以x的范围是03xx 集合M可以是03xx的子集， 故选：AB 【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围，属于中档题. 10. 函数( )sin( )(0,0,) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( ) A. 将函数 ( )f x的图象向右平移 12 个单位得到函数( )sin(2) 4 g xx 的图象 B. 函数 ( )f x的图象关于点(,0), 26 k kz 对称 C. 函数 ( )f x的单调递增区间为 5 , 1212 kkkz D. 直线 2 3 x 是函
15、数( )f x图象的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得 ( )f x的解析式再利用 函数 sin()yAx 的图象与性质逐一判断选项即可 【详解】根据函数 ( )sin()(0f xAxA ，0，| |) 2 的部分图象， 可得1A， 1 27 4123 ，2 再根据五点法作图可得2 3 ， 3 ， ( )sin(2) 3 f xx ， 将函数 ( )f x的图象向右平移 12 个单位得到函数( )sin(2)sin(2) 636 g xxx ，故A错误； 令2 3 xk ，kZ，可得 26 k x ，kZ，故函数
16、( )f x的图象关于点(,0), 26 k kZ 对称，故 B正确； 令222 232 kxk 剟，kZ，解得 5 1212 kx k 剟，kZ， 故函数 ( )f x的单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ ，故C正确； 令2 32 xk ，kZ，可得 212 k x ，kZ， 故函数 ( )f x图象的对称轴为 212 k x ，kZ，故D错误 故选：BC 【点睛】本题主要考查由函数 sin()yAx 的部分图象求解析式，还考查了函数 sin()yAx 的图象 变换规律，正弦函数的图象的对称性与单调性，属于中档题 11. 已知函数 1 ( )( ) 2 x f xab的图象过原点，且
17、无限接近直线2y 但又不与该直线相交，则( ) A. 函数 ( )f x为奇函数 B. 函数 ( )f x的单调递减区间是 0, C. 函数 ( )f x的值域为 0， D. 函数 ( )f x有唯一零点 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据函数过原点和无限接近直线 2y 得到 2ab，再根据解析式判断函数的单调性，奇偶性，值域和 零点得到答案. 【详解】函数 1 ( )( ) 2 x f xab的图象过原点，则(0)0fab，ab， 易知 1 1 2 2 2 x x x y 无限接近0y 又不与该直线相交， ( )f x无限接近直线2y 但又不与该直线相交，根据平移法则知2ab. 1 (
18、)22 2 x f x ， 11 ()2222 22 xx fxf x ，函数为偶函数； 函数 ( )f x的单调递减区间是 0,，B正确； 函数 ( )f x的值域为 20 ，C 错误； 1 ( )220 2 x f x ，即 1 1 2 x ，解得0 x，D正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了函数的解析式，单调性，奇偶性，值域，零点，意在考查学生对于函数知识的综合应 用能力. 12. 已知函数 32 ( )2f xxxx ，若过点 (1, )Pt可作曲线( )yf x 的三条切线，则t的取值可以是( ) A. 0 B. 1 27 C. 1 28 D. 1 29 【答案】CD 【解析】
19、【分析】 考虑在点和过点两种情况，利用切线方程得出t的函数关系式，然后，利用函数的性质进行求解即可 【详解】 32 ( )2f xxxx ， 2 ( )341fxxx ， 由已知得，过点(1, )Pt作曲线( )yf x的三条切线，情况如下： 点(1, )Pt在曲线上，故此时，切点为(1, )Pt，把P点代入函数可得，(1,0)P，利用切线公式得， (1)(1)yfx，所以，此时，切线为x轴，但此时，切线只有一条，不符题意； 点(1, )Pt不在曲线上，故此时，设切点为 00 (,)xy，故切线经过(1, )Pt 切线方程为： 0 ()(1)ytfxx ，所以， 2 0000 ( 341)(1
20、)ytxxx ，又因为切点在曲线上，所以， 32 0000 2yxxx ， 又因为切线的斜率为：联立方程得， 2 0000 32 0000 ( 341)(1) 2 ytxxx yxxx ，化简得， 32 000 2541txxx， 令 32 ( )2541g xxxx，即 ( )tg x有三个解，即yt与( )yg x有三个交点， 令 2 ( )61042(1)(32)0g xxxxx，可得两极值点为 1 1x ， 2 2 3 x ； 对于( )g x，在 2 , 3 x 和1,时，单调递增，在 2 (,1) 3 x时单调递减， 所以，当 2 ( )(1) 3 gtg 时，因为 21 ( )
21、327 g，(1)0g，所以，当 1 0 27 t 时，满足y t 与( )yg x 有三个交点，而 111 0 292827 故选：CD 【点睛】本题考查切线方程的应用，关键点在于区分在点和过点两种情况，难点在于利用数形结合考虑t的 取值范围. 三、填空题三、填空题( (本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) ). 13. 已知角的终边上一点 31A，则tan()_. 【答案】 3 3 【解析】 【分析】 根据角的终边上一点31A，利用三角函数的定义得到 3 tan 3 ，再利用诱导公式求解. 【详解】因为角的终边上一点31A， 所以 3 tan 3 ，
22、所以 3 tan()tan 3 ， 故答案为： 3 3 【点睛】本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 14. 已知函数 1 ,2 ( )= 3 (1),2 x x f x f xx ，则 3 (2log 2)f的值为_. 【答案】 2 27 【解析】 【分析】 利用分段函数直接带入进行求值即可. 【详解】 1 ,2 ( )= 3 (1),2 x x f x f xx ， 3 3 3 log 23 log 2 33 112 2log 23log 23 3327 ff ， 故答案为： 2 27 . 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的取值范围直接带入求解即可，属于基础题
23、. 15. 已知函数 2 ( )2()f xxaxaR，若 (1,4)x ，使得( )0f x ，则a的取值范围是_. 【答案】1a 【解析】 【分析】 转化为 2 ax x 在(1,4)x时能成立，利用 2 yx x 在(1,4)上为递减函数，求出 27 (,1) 2 x x 后可得 解. 【详解】(1,4)x ，使得( )0f x ，等价于 2 20 xax，即 2 ax x 在(1,4)x时能成立， 因为 2 yx x 在(1,4)上为递减函数，所以 27 (,1) 2 x x ， 所以1a . 故答案为：1a . 【点睛】本题考查了一元二次不等式能成立问题，考查了转化化归思想，属于基础
24、题. 16. 已知正实数满足 22 91 3xyxy ，则当x_时， 131 xyxy 取得最小值是_. 【答案】 (1). 1 3 (2). 9 【解析】 分析】 由 22 91 3xyxy ， 利 用 重 要 不 等 式 得 到 1 3 xy ， 然 后 利 用 基 本 不 等 式 转 化 为 1311 31 2 xyxyx yxy ，再利用二次函数性质求解. 【详解】因为 22 91 3xyxy ， 所以1 36xyxy，解得 1 3 xy ，当且仅当31xy，即 1 ,1 3 xy时，取等号， 所以 2 2 1311 31111 22 3333339 xyxyx yxyxyxyxy ，
25、 所以 131 xyxy 的最小值是 9， 故答案为： 1 3 ，9. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值以及二次函数性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于 中档题. 四、解答题四、解答题( (本题共本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ). 17. 在2b； 2 3c ； 222 3acacb 这三个条件中任选两个， 补充在下面问题中， 求BCD 的大小和ACD的面积. 问题：已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，2a，设D为边AB上一点， 2BDCD ， . 注：如果选择多个条
26、件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】 4 BCD ，ACD的面积为 1 【解析】 【分析】 若选，作CEAB于E，由ACBC得： 1 3 2 BEAB，在RtBEC中，求出 6 B ，进而 求出 6 A ， 2 3 C ，利用正弦定理求出 4 BCD ，进一步求出2AD ，用三角形面积公式可得 ACD的面积； 若选：，利用 222 3acacb 求出 6 B 后，用选的方法可求得结果；若选：，利用 222 3acacb 求出 6 B 和2b后，用选的方法可求得结果. 【详解】若选 作CEAB于E，由ACBC得： 1 3 2 BEAB， 在RtBEC中， 3 cos 2 BE B BC ，
27、6 B ，因为2ab，所以 6 A ， 2 3 C ， 在BCD中， sinsin CDBD BBCD ， 12 sinsin2 22 BD BCDB CD ， 又因为D为边AB上一点，所以 2 3 BCDACB ， 4 BCD ， 25 3412 ACD ，所以 55 12612 ADC ， 在 ACD中2ACAD， 2 11 sin2sin1 226 ACD SAC ADA 若选， 因为 222 3acacb ， 所以 222 3 cos 22 acb B ac ， 因为0B， 所以 6 B ， 因为2ab， 所以 2 , 63 AC ， 在BCD中， sinsin CDBD BBCD ，
28、 12 sinsin2 22 BD BCDB CD ， 又因为D为边AB上一点，所以 2 3 BCDACB ， 4 BCD ， 25 3412 ACD ，所以 55 12612 ADC ， 在 ACD中，2ACAD， 2 11 sin2sin1 226 ACD SAC ADA . 若选：， 因为 222 3acacb ，所以 222 3 cos 22 acb B ac ，因为0B，所以 6 B ， 222 2(2 3)32 2 34b ，所以2b，因为2ab，所以 2 , 63 AC ， 在BCD中， sinsin CDBD BBCD ， 12 sinsin2 22 BD BCDB CD ，
29、又因为D为边AB上一点，所以 2 3 BCDACB ， 4 BCD ， 25 3412 ACD ，所以 55 12612 ADC ， 在 ACD中，2ACAD， 2 11 sin2sin1 226 ACD SAC ADA . 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题. 18. 设集合 222 280 ,430Ax xxBx xaxa (1)若xA是xB的必要条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使AB成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 42 33 a；(2)存在，42a . 【解析】 【分析】 (1)xA
30、是xB的必要条件可转化为BA，建立不等式求解即可； (2)假设AB，建立不等关系，有解则存在，无解则不存在. 【详解】42Axx ，30Bx xaxa (1)由已知得：BA 42 432 a a 42 33 a ， 即实数a的取值范围 42 33 a， (2)假设存在a满足条件， 则42a 或432a ， 42a 即存在42a 使AB. 【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查了必要条件，属于中档题. 19. 已知定义域为R的函数 1 2 ( ) 2 x x b f x a 是奇函数. (1)求, a b的值； (2)判断函数 ( )f x的单调性，并说明理由； (3)若
31、对于任意tR，不等式 22 (2)(2)0fttftk成立，求k的取值范围. 【答案】(1)2a；1b；(2)在 R上单调递增，理由见解析；(3)1k . 【解析】 【分析】 (1)由 f x是 R 上的奇函数，可得 00f，可求出b的值，再利用 110ff，可求出a的值； (2)由(1)可知 f x的表达式，任取 12 ,x x R，且 12 xx ，比较 12 f xf x与 0的大小关系，可得出函 数的单调性； (3)由 f x是奇函数，可将不等式转化为 22 (2)2fttf kt ，再结合函数是 R 上的增函数，可知对 一切tR， 2 20ttk恒成立，令即可求出答案. 【详解】(1
32、)因为 ( )f x是 R上的奇函数，所以(0)0f ，即 1+ 0 2 b a ，解得1b 又 110ff，即 1 1 1 1 2 0 14aa ，解得2a 2a ，1b (2) f x在 R上单调递增，理由如下： 由(1)知 1 2111 ( ) 22221 x xx f x ，任取 12 ,x xR,且 12 xx 则 12 1221 12 12 1122 212121 1111 () 22122211 xx xxxx xx f xf x 因为函数2xy 在 R 上是增函数且 12 xx ， 12 220 xx 又 12 21210 xx ， 12 0f xf x即 12 f xf x
33、f x在 R上为增函数. (3)因 ( )f x是奇函数，从而不等式： 22 (2)(2)0fttftk等价于 222 222fttftkf kt ， 又 ( )f x为增函数，由上式推得： 22 22ttkt，即对一切tR有： 2 20ttk， 从而判别式4 401kk 所以k的取值范围为：1k . 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的转化能力与计算求解 能力，属于中档题. 20. 已知定义域为,0 2 的函数 2 ( )3sin22cosf xxxm的最大值为 2. (1)求函数 ( )f x的单调递减区间； (2)求使( )0f x 成立的x的取值集
34、合. 【答案】(1), 26 ；(2)0 3 xx . 【解析】 【分析】 (1)化简 3sin2cos212sin 21 6 f xxxmxm ，然后，求出m，然后，利用三角函数 的性质求解即可 (2)根据题意得， 1 sin 2 62 x ，利用三角函数得图像性质即可求解 【详解】解： 3sin2cos212sin 21 6 f xxxmxm ,0 2 x p 轾 ? 犏 犏 臌 7 2, 666 x 当 7 2 66 x 时 2 x max2fxm 2sin 21 6 f xx (1)令 7 2 662 x 解得： 26 x 所以单调递减区间为, 26 (2)2sin 210 6 x 1
35、 sin2 62 x 又 7 2 666 x 5 2 666 x 解得：0 3 x x 的取值集合为0 3 xx 【点睛】本题考查三角函数单调性，以及利用三角函数的取值范围问题，属于基础题 21. 宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅 销全国 12 省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后” 的每亩产量L(单位：百斤)与施用肥料x(单位：百斤)满足如下关系： 2 3 8(2),0 2 ( ) 603 ,3 12 xx L x x x x ，肥料 成本投入为5x(单位：百元)，其它成本投入为10
36、x(单位：百元).已知“金皇后”的市场批发价为 2 元/斤，且 销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为 ( )f x(单位：百元). (1)求 ( )f x的函数关系式； (2)当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？ (参考数据：21.414 ). 【答案】(1) ( )f x 2 3 161532,0 2 1203 15 ,3 12 xxx x xx x ；(2)182.8 斤，最大利润为 5016 元. 【解析】 【分析】 (1)由 215f xL xx以及( )L x的解析式可得结果； (2)分段求出最大值，再取更大的函数值即可得解. 【详解】(1) 21
37、5f xL xx 2 3 161532,0 2 1203 15 ,3 12 xxx x xx x ， (2)当 3 0 2 x时，对称轴 3 0 153 2 3224 x ， 当 3 2 x 时， max45.5f x百元， 当 3 3 2 x时， 120120 135151135215(1)13560 250.16 11 f xxx xx 百 元， 当且仅当 120 151 1 x x 即 2 2 1 1.828x 百斤， 由可知：1.828x 时， max50.16f x百元. 当施用肥料为 182.8 斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润为 5016元. 【点睛】本题考查了分段函数的
38、最值，考查了基本不等式求最值，考查了二次函数求最值，属于中档题. 22. 已知函数 2 ( )(2) xx f xaeaex (1)若0a，求 ( )f x的单调递增区间； (2)若存在正实数 0 x，使得 0 ()f xe ，求实数a的取值范围. 【答案】 (1)当2a时， 单调增区间为(,) ， 当02a时， 单调增区间为 1 (,ln) 2 和 1 (ln,) a ， 当2a时，单调增区间为 1 (,ln) a 和 1 (ln,) 2 (2) 1 a e . 【解析】 【分析】 (1)求 fx 211 xx eae ， 0fx 可以解得： 1 1 ln 2 x ， 2 1 lnx a ，
39、 讨论 1 a 和 1 2 的大小关系即可； (2)当0a ， ( )f x在(0,)上单调递减，( )(0)2f xf 所以存在；讨论当 1 0a e ， 1 1a e ，1a 时( )f x的单调性，利用( )f x的最值即可判断. 【详解】解：(1) 2 221 xx fxaeae211 xx eae 令 0fx ，解得： 1 1 ln 2 x ， 2 1 lnx a ， 当 11 2a ，即2a时， 2 210 x fxe，此时 f x在 R 上单调递增； 单调增区间为(,) 当 11 2a ，即02a时，令 0fx得： 1 x e a 或 1 2 x e ，即 1 ln 2 x 或
40、1 lnx a ， 此时单调增区间为 1 (,ln) 2 和 1 (ln,) a 当 11 2a ，即2a时，令 0fx得： 1 2 x e 或 1 x e a ，解得： 1 ln 2 x 或 1 lnx a 此时单调增区间为 1 (,ln) a 和 1 (ln,) 2 (2) (21)(1) xx fxeae，0 x 当0a 时，( )0fx ， ( )f x在(0,)上单调递减， ( )(0)2f xf ，又x 时，( )f x ， 0 0 x，使得 0 ()f xe ， 当0a时， 11 ( )2 ()() 2 xx fxa ee a 若 1 1 a ，即1a 时，( )0fx ， (
41、)f x在(0,)上单调递增， ( )(0)2f xfe 不满足， 若 1 1 a ，即01a时 ( )f x在 1 (0,ln) a 是单减，在 1 (ln,) a 上单增 min 11211 ( )(ln)ln1ln a f xfa aaaaa 令 1 ( )1lng aa a (01)a 22 111 ( )0 a g a aaa ， ( )g a在(0,1)上单增，且 1 ( )11gee e 1 0a e 时， 1 ( )( )g age e ，此时 0 0 x，使得 0 ()f xe ， 当 1 1a e 时， 1 ( )( )g age e 不满足题意 综上所述： 1 a e 【点睛】本题主要考查了求函数的单调区间，考查了利用方程有解，求参数的范围，属于中档题.
