1、专题专题 12 12 等边三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质 一选择题 1关于等边三角形，下列说法中错误的是（ ） A等边三角形中，各边都相等 B等腰三角形是特殊的等边三角形 C两个角都等于 60 的三角形是等边三角形 D有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形 解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确； B、等边三角形是特殊的等腰三角形，此选项错误； C、两个角都等于 60 的三角形是等边三角形，此选项正确； D、有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形，此选项正确； 故选：B 2如图，四边形 ABCD 为菱形，AB2，DAB60 ，点 E、F 分别在边 DC、BC 上，且 C
2、ECD，CF CB，则 S CEF（ ） A B C D 解：四边形 ABCD 为菱形，AB2，DAB60 ABBCCD2，DCB60 CECD，CF CB CECF CEF 为等边三角形 S CEF 故选：D 3如图，半径为 1 的半圆 O 上有两个动点 A，B，CD 为直径，若 AB1，则四边形 ABCD 的面积的最大值 为（ ） A B4 C D 解：过点 O 作 OHAB 于点 H，连接 OA，OB，分别过点 A、H、B 作 AECD、HFCD，BGCD 于点 E、F、G， AB1，O 的半径1， OH ， 垂线段最短， HFOH， HF（AE+BG）， S四边形ABCDS AOC+S
3、 AOB+S BOD ， ， ， 故选：C 4如图， ABC 是等边三角形，P 是三角形内任意一点，D、E、F 分别是 AC、AB、BC 边上的三点，且 PFAB，PDBC，PEAC若 PF+PD+PEa，则 ABC 的边长为（ ） Aa Ba Ca Da 解：延长 EP 交 BC 于点 G，延长 FP 交 AC 于点 H，如图所示： PFAB，PDBC，PEAC， 四边形 AEPH、四边形 PDCG 均为平行四边形， PEAH，PGCD 又ABC 为等边三角形， FGP 和 HPD 也是等边三角形， PFPGCD，PDDH， PE+PD+PFAH+DH+CDAC， ACa； 故选：D 5如图
4、， MNP 中，P60 ，MNNP，MQPN，垂足为 Q，延长 MN 至 G，取 NGNQ，若 MNP 的周长为 12，MQa，则 MGQ 周长是（ ） A8+2a B8+a C6+a D6+2a 解：MNP 中，P60 ，MNNP MNP 是等边三角形 又MQPN，垂足为 Q， PMPNMN4，NQNG2，MQa，QMN30 ，PNM60 ， NGNQ， GQMN， QGMQa， MNP 的周长为 12， MN4，NG2， MGQ 周长是 6+2a 故选：D 6如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线， ABC 是等边三角形ADC30 ，AD3，BD5，则 CD 的长为（ ） A B
5、4 C D4.5 解：如图，以 CD 为边作等边 CDE，连接 AE BCDBCA+ACDDCE+ACDACE， 在 BCD 和 ACE 中， ， BCDACE（SAS）， BDAE 又ADC30 ， ADE90 在 Rt ADE 中，AE5，AD3， 于是 DE， CDDE4 故选：B 7如图，在 ABC 中，ACB90 ，D 是 AB 上的点，过点 D 作 DEAB 交 BC 于点 F，交 AC 的延长线 于点 E，连接 CD，DCADAC，则下列结论正确的有（ ） DCBB；CDAB；ADC 是等边三角形；若E30 ，则 DEEF+CF A B C D 解：在 ABC 中，ACB90 ，
6、DEAB， ADEACB90 ， A+B90 ，ACD+DCB90 ， DCADAC， ADCD，DCBB；故正确； CDBD， ADCD， CDAB；故正确； DCADAC， ADCD， 但不能判定 ADC 是等边三角形；故错误； 若E30 ， A60 ， ACD 是等边三角形， ADC60 ， ADEACB90 ， EDCBCDB30 ， CFDF， DEEF+DFEF+CF故正确 故选：B 8如图，ABAC，AEECCD，A60 ，若 EF2，则 DF（ ） A3 B4 C5 D6 解：如图，过点 E 作 EGBC，交 BC 于点 G ABAC，A60 ， ABC 是等边三角形， ACB
7、60 ， ECCD， CEDCDEACB30 ， AEF30 ， AFE90 ，即 EFAB， ABC 是等边三角形，AECE， BE 平分ABC， EGEF2， 在 Rt DEG 中，DE2EG4， DFEF+DE2+46； 方法二、 ABAC，A60 ， ABC 是等边三角形， ACB60 ， ECCD， CEDCDEACB30 ， ABC 是等边三角形，AECE， BE 平分ABC， ABECBE30 CDE， BEDE，BFD90 ， BE2EF4DE， DFDE+EF6； 故选：D 9如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，D 为边 BC 上一点，且 BDCD点 E，F 分别在
8、边 AB，AC 上，且EDF90 ，M 为边 EF 的中点，连接 CM 交 DF 于点 N若 DFAB，则 CM 的长为（ ） A B C D 解：等边三角形边长为 2，BDCD， BD，CD ， 等边三角形 ABC 中，DFAB， FDCB60 ， EDF90 ， BDE30 ， DEBE， BEBD，DE ， 如图，连接 DM，则 Rt DEF 中，DMEFFM， FDCFCD60 ， CDF 是等边三角形， CDCF ， CM 垂直平分 DF， DCN30 ，DNFN， Rt CDN 中，DN，CN， M 为 EF 的中点， MNDE ， CMCN+MN+ ， 故选：C 10 如图， 在
9、平面直角坐标系中 xOy 中， 已知点 A 的坐标是 （0， 1） ， 以 OA 为边在右侧作等边三角形 OAA1， 过点 A1作 x 轴的垂线， 垂足为点 O1， 以 O1A1为边在右侧作等边三角形 O1A1A2， 再过点 A2作 x 轴的垂线， 垂足为点 O2，以 O2A2为边在右侧作等边三角形 O2A2A3，按此规律继续作下去，得到等边三角形 O2018A2018A2019，则点 A2019的纵坐标为（ ） A（）2016 B（）2017 C（）2018 D（）2019 解：三角形 OAA1是等边三角形， OA1OA1，AOA160 ， O1OA130 在直角 O1OA1中，OO1A19
10、0 ，O1OA130 ， O1A1OA1，即点 A1的纵坐标为； 同理，O2A2O1A2（ ）2，O3A3O2A3（）3， 即点 A2的纵坐标为（ ）2， 点 A3的纵坐标为（ ）3， 点 A2019的纵坐标为（）2019 故选：D 二填空题 11已知半径为 2 的O 中，弦 AC2，弦 AD，则AOD ，COD 解：如图，在 AOD 中，OA2+OD222+228，AD2（2）28， OA2+OD2AD2， AOD90 ； 连接 OC，OAOCAC2， AOC 是等边三角形， AOC60 CODAOC+AOD60 +90 150 或CODAODAOC90 60 30 故答案为：90 ；150
11、 或 30 12如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸 A，B 两点，“九曲桥”的每一段与 AC 平行或 BD 平行，若 AB100m，AB60 ，则此“九曲桥”的总长度为 解：如图，延长 AC、BD 交于点 E，延长 HK 交 AE 于 F，延长 NJ 交 FH 于 M 由题意可知，四边形 EDHF，四边形 MNCF，四边形 MKGJ 是平行四边形， AB60 ， ABC 是等边三角形， EDFM+MK+KHCN+JG+HK，ECEF+FCJN+KG+DH， “九曲桥”的总长度是 AE+EB2AB200m 故答案为：200m 13如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C 为小路端点）和一
12、棵小树（A 为小树位置）测得的相 关数据为：ABC60 ，ACB60 ，BC48 米，则 AC 米 解：ABC60 ，ACB60 ， BAC60 ， ABC 是等边三角形， BC48 米， AC48 米 故答案为：48 14 如图， 在 ABC 中， AB1.8， BC3.9， B60 ， 将 ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 ADE， 当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 解：由旋转的性质可得：ADAB， B60 ， ABD 是等边三角形， BDAB， AB1.8，BC3.9， CDBCBD3.91.82.1 故答案为：2.1 15如图，在矩形 ABCD
13、 中，AB3，ACB60 ，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF，以 DF 为 斜边作FDE60 的直角三角形 DEF， 使点 E 和点 A 位于 DF 两侧， 点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中， 点 E 的运动路径长是 解：E 的运动路径是线段 EE的长； AB3，ACB60 ， BC ， 当 F 与 A 点重合时， 在 Rt ADE中，AD，ADE60 ， DEAD，CDE30 ， 当 F 与 C 重合时，EDC60 ， EDE90 ，DEE30 ， 在 Rt DEE中，EE； 故答案为 三解答题 16如图， ABC 是等边三角形，DFAB，DECB，EFAC，求证：
14、DEF 是等边三角形 证明：ABC 是等边三角形， ABACBC，ABCACBCAB60 ， DFAB，DECB，EFAC， DABACFCBE90 ， FACBCEDBA30 ， DEF180 90 30 60 ， DFDEEF， DEF 是等边三角形 17在等边 ABC 中， （1）如图 1，P，Q 是 BC 边上两点，APAQ，BAP20 ，求AQB 的度数； （2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧，且 APAQ，点 Q 关于 直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM 依题意将图 2 补全； 求证：PAPM 解：（1）ABC 为等边
15、三角形 B60 APCBAP+B80 APAQ AQBAPC80 ， （2）补全图形如图所示， 证明：过点 A 作 AHBC 于点 H，如图 由 ABC 为等边三角形，APAQ， 可得PABQAC， 点 Q，M 关于直线 AC 对称， QACMAC，AQAM MAC+PACPAB+PAC60 ， APAM， APM 为等边三角形 PAPM 18如图 1，图 2， ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 边上的两个动点（与点 A、B、C 不重合）， 始终保持 BDCE （1）当点 D、E 运动到如图 1 所示的位置时，求证：CDAE （2）把图 1 中的 ACE 绕着 A 点顺时针旋转
16、 60 到 ABF 的位置（如图 2），分别连接 DF、EF 找出图中所有的等边三角形（ ABC 除外），并对其中一个给予证明； 试判断四边形 CDFE 的形状，并说明理由 证明：（1）ABC 是正三角形， BCCA，BECA60 ， 又BDCE， BCDCAE， CDAE （2）图中有 2 个正三角形，分别是 BDF， AFE 由题设，有 ACEABF， CEBF，ECAABF60 ， 又BDCE， BDCEBF， BDF 是正三角形， AFAE，FAE60 ， AFE 是正三角形 四边形 CDFE 是平行四边形 FDBABC60 ， FDEC， 又FDFBEC， 四边形 CDFE 是平行四
17、边形 19 如图， 点 O 是等边 ABC 内一点， D 是 ABC 外的一点， AOB110 ， BOC， BOCADC， OCD60 ，连接 OD （1）求证： OCD 是等边三角形； （2）当 150 时，试判断 AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时， AOD 是等腰三角形 解：（1）BOCADC， OCDC， OCD60 ， OCD 是等边三角形 （2） AOD 是直角三角形 理由如下： OCD 是等边三角形， ODC60 ， BOCADC，150 ， ADCBOC150 ， ADOADCODC150 60 90 ， AOD 是直角三角形 （3）OCD 是等边三角形
18、， CODODC60 AOB110 ，ADCBOC， AOD360 AOBBOCCOD360 110 60 190 ， ADOADCODC60 ， OAD180 AODADO180 （190 ）（60 ）50 当AODADO 时，190 60 ， 125 当AODOAD 时，190 50 ， 140 当ADOOAD 时， 60 50 ， 110 综上所述：当 110 或 125 或 140 时， AOD 是等腰三角形 20已知在平面直角坐标系内 A（4，0）、B（2，0），点 P 是 y 轴正半轴上一个动点，联结 AP过点 O 作 ODPA，垂足为 D联结 BD 并延长交 y 轴于点 F （1
19、）如果 OD2，求 PF 的长； （2）如果 PDPF，求 OP 的长 解：（1）ODPA， ADO90 ， OD2，OA4， ODOA， OAP30 ， AOD60 ， OB2， ODOB， ODB 是等边三角形， OBF60 ， OFOB2 ， OPOA ， PFOFOP； （2）PFPD， PFDPDF， OB2，OA4， OBAB， ODAP， BDAB， ADBBAD， PDEADB， PFDPDFADBBAD， POD+AODAOD+OAD90 ， PODOAD， PODOFD， ODDF， ODBD2， ODOA， OAD30 ， OPOA 21如图所示，已知一个面积为 S 的等
20、边三角形，现将其各边 n 等分（n 为大于 2 的整数），并以相邻等分 点为顶点向外作小等边三角形 （1）当 n5 时，共向外作出了 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ，这些小 等边三角形的面积和为 ；（用含 S 的式子表示） （2）当 nk 时，共向外作出了 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ，这些小 等边三角形的面积和为 ；（用含 k 和 S 的式子表示） （3）若大等边三角形的面积为 100，则当 n10 时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三 角形的面积和为多少？ 解：（1）当 n5 时，共有 3 （52）9 个小等边三角形， 每个小三角形与大三角形边长的比， 大三角形的面积是 S， 每个小三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S； （2）由（1）可知，当 nk 时，共有 3 （k2）3（k2），每个小等边三角形的面积为S，每个 小三角形的面积和为S 故答案为：（1）9，S，S；（2）3（k2），S，S； （3）当 S100，n10 时， 3（n2）3 （102）24（个）， S 10024 即共向外作出了 24 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 24
