1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（文科） （问卷）年新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（文科） （问卷） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1 （5 分）命题“若0 x ，则0 xy ”的逆否命题是( ) A若0 x ，则0 xy B若0 xy ，则0 x C若0 xy ，则 0 x D若0 x ，则0 xy 2 （5 分）设集合 2 |23 0Ax xx ，| 22BxZx 剟则AB的元素个
2、数为( ) A2 B3 C4 D5 3 （5 分）如图，则(ab ) A 12 23ee B 12 23ee C 12 32ee D 12 32ee 4 （5 分）若实数m，n满足mn，且0mn ，则下列选项正确的是( ) A 33 0mn B 11 ( )( ) 22 mn C()0lg mn D 11 mn 5 （5 分）秦九韶是我国南宋著名数学家，他在 1247 年完成的著作数书九章中提出的 多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶 算法求多项式值的一个实例若输入的n，x的值分别是 4，3，则输出的v的值为( ) 第 2 页（共 21 页） A29
3、 B88 C264 D791 6 （5 分）下列命题中正确的是( ) A有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 7 （5 分）以椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等 边三角形，且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为 6，则椭圆C的标准方程为( ) A 22 1 43 xy B 22 1 84 xy C 22 1 1612 xy D 22 1 6448 xy 8 （5 分）筒车是我国古代发明的一种水
4、利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理假定在水 流量稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动， 筒车转轮的中心O到 水面的距离h为1.5m， 筒车的半径r为2.5m， 筒车每秒转动 12 rad ， 如图 1 所示， 盛水桶M 在 0 P处距水面的距离为3.5m，则9s后盛水桶M到水面的距离近似为( )（取21.4) 第 3 页（共 21 页） A1.20m B1.15m C0.35m D0.30m 9 （5 分）已知(0, )，1sin2cos2sin，则sin2( ) A 3 4 B 3 4 C 3
5、8 D 3 8 10 （5 分）某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不 能开门的钥匙扔掉，那么第三次才能打开门的概率为( ) A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 6 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F点(0,)Mm，其渐近线上 一点N满足2FNNM，且0(ON FMO为坐标原点） ，则双曲线C的离心率为( ) A 6 2 B2 C3 D2 12 （5 分）定义在(，0)(0，)上的函数( )f x满足()( )fxf x，且0 x 时 1 ( ) lnx f x x 若关于x的方程( )f xk
6、x有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A(， 1) (0 e ， 1) e B 1 ( e ，0)(0， 1) e C(， 1 )(0 2e ， 1 ) 2e D 3 1 ( 2 e ，0)(0， 3 1 ) 2e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 13 （5 分）已知复数z满足(12 ) |34 |zii，则z 14 （5 分）若函数( )f x满足当0 x 时， 2 ( )log (1)f xx，当0 x 时，( )(2)f xf x， 则f（1） 15（5分） 如图， 在ABC中，P为ABC内点，90BPC，90ABC，4
7、AC ，2BC ， 3PC ，则PA 第 4 页（共 21 页） 16 （5 分）将一边长为 4 的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱 锥，则该正四棱锥外接球的表面积为 三、解答题：第三、解答题：第 17-21 题每题题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程 或演算步骤。或演算步骤。 17 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 2a ， 2 31 22 n Snn，*nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，若 2 10 61
8、 n T，求n的值 18 （12 分）2021 年 1 月 1 日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律中华人民共和 国民法典颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代为深入了解民法典 ，大力营造 学法守法用法的良好氛围， 高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了 100 名同学参加 学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为 6 组：40，50)，50， 60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100，得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值； （2）估计这 100 名学生比赛成绩的中位数（同组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）在抽取的 100
9、 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为“非优秀” ，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成 绩是否优秀与文理科别有关”？ 优秀 非优秀 合计 文科生 30 理科生 55 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 第 5 页（共 21 页） 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图所示，四棱锥PAB
10、CD中，PA 菱形ABCD所在的平面，60ABC， 点E、F分别是BC、PD的中点 （1）求证：平面AEF 平面PAD； （2）当22ABAP时，求多面体PABEF的体积 20 （12 分）已知抛物线 2 2(04)ypxp的焦点为F，点P在抛物线上，点P的纵坐标 为 6，且| 10PF （1）求抛物线的标准方程； （2） 若A，B为抛物线上的两个动点 （异于P点） 且APAB， 求点B纵坐标的取值范围 21 （12 分）已知函数( )(2) x f xxealnxx，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线 与x轴平行 （1）求a的值； （2）证明：函数( )f x存在唯一的极大值点
11、0 x，并且 0 4()3f x 选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分作答时用计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22 （10 分）在极坐标系下，方程2sin3的图形为如图所示的“三叶玫瑰线” （1）当玫瑰线的0， 2 时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； 第 6 页（共 21 页） （2）求曲线cos()2 3 6 上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时 的点M、N的极坐标 23已知
12、x，0y （1）当8xyxy时，求xy的最小值； （2）当2xy时，证明： 2222 () 2x yxy 第 7 页（共 21 页） 2021 年新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（文科） （问卷）年新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（文科） （问卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1 （5 分）命题“若0 x ，则0 xy ”的逆否命题是( ) A若0 x ，则0 xy B若0 xy ，则0
13、x C若0 xy ，则 0 x D若0 x ，则0 xy 【解答】解：命题“若0 x ，则0 xy ”的逆否命题是： “若0 xy ，则0 x ” 故选：B 2 （5 分）设集合 2 |23 0Ax xx ，| 22BxZx 剟则AB的元素个数为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：集合 2 |23 0 |(1)(3) 0 | 13Ax xxxxxxx剟剟， 又| 22 2BxZx 剟，1，0，1，2， 所以 1AB ，0，1，2， 故AB的元素个数为 4 个 故选：C 3 （5 分）如图，则(ab ) A 12 23ee B 12 23ee C 12 32ee D 12 32ee 【解
14、答】解：由题意得： 12 3aee， 12 4bee， 故 121212 3(4 )23abeeeeee， 第 8 页（共 21 页） 故选：A 4 （5 分）若实数m，n满足mn，且0mn ，则下列选项正确的是( ) A 33 0mn B 11 ( )( ) 22 mn C()0lg mn D 11 mn 【解答】解：对于:Amn， 33 mn， 33 0mn，故A正确； 对于:Bmn， 11 ( )( ) 22 mn ，故B错误； 对于C：不妨设0.1m ，0.1n ，则()0.20lg mnlg，故C错误； 对于D：令1m ，1n ，则 11 mn ，故D错误； 故选：A 5 （5 分）
15、秦九韶是我国南宋著名数学家，他在 1247 年完成的著作数书九章中提出的 多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶 算法求多项式值的一个实例若输入的n，x的值分别是 4，3，则输出的v的值为( ) A29 B88 C264 D791 【解答】解：模拟程序的运行，可得： 4n ，3x ，2v ，3i ， 满足条件0i，执行循环体，9v ，2i ， 满足条件0i，执行循环体，29v ，1i ， 满足条件0i，执行循环体，88v ，0i ， 满足条件0i，执行循环体，264v ，1i ， 第 9 页（共 21 页） 此时，不满足条件0i，退出循环，输出v的值为
16、 264 故选：C 6 （5 分）下列命题中正确的是( ) A有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 【解答】解：对于A：上下底面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，假 如两个斜棱柱叠放在一块，就不叫棱柱，故A错误； 对于B：各个面都是三角形的几何体是三棱锥，与棱锥的定义矛盾，故B错误； 对于C：只有夹在圆柱的两个平行截面间且平行于底面的几何体才是一个旋转体，故C错 误； 对于D：圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故D正确
17、故选：D 7 （5 分）以椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等 边三角形，且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为 6，则椭圆C的标准方程为( ) A 22 1 43 xy B 22 1 84 xy C 22 1 1612 xy D 22 1 6448 xy 【解答】解：由椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形可得3bc， 再由椭圆C上的点到左焦点的最大距离为 6，则可得6ac， 又因为 222 abc，可得 2 4120cc，解得2c ， 解得： 2 16a ， 2 12b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy ，
18、故选：C 8 （5 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理假定在水 流量稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动， 筒车转轮的中心O到 第 10 页（共 21 页） 水面的距离h为1.5m， 筒车的半径r为2.5m， 筒车每秒转动 12 rad ， 如图 1 所示， 盛水桶M 在 0 P处距水面的距离为3.5m，则9s后盛水桶M到水面的距离近似为( )（取21.4) A1.20m B1.15m C0.35m D0.30m 【解答】解：如图，设 0 1MOP ，2MON ， 由
19、题意可得 3.51.54 sin1 2.55 ，所以 3 cos1 5 ， 因为旋转的角度为 3 9 124 ， 所以 33342322 sin2sin( 1)sin 1coscos 1sin() 444525210 ， 所以 221.4 sin21.52.5 ()1.51.51.50.351.15 1044 hhr ， 故选：B 9 （5 分）已知(0, )，1sin2cos2sin，则sin2( ) A 3 4 B 3 4 C 3 8 D 3 8 【解答】解：1sin2cos2sin， 2 2sin2sin cossin， (0, )， sin0， 2(sincos )1， 1 sinco
20、s 2 ， 第 11 页（共 21 页） 2 1 (sincos )12sincos 4 ， 1 1sin2 4 ， 3 sin2 4 故选：A 10 （5 分）某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不 能开门的钥匙扔掉，那么第三次才能打开门的概率为( ) A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 6 【解答】解：第三次才能打开门， 第一次和第二次都没有打开门，第三次打开门， 第三次才能打开门的概率为： 2121 4326 P 故选：D 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F点(0,)Mm，其渐近线上 一点
21、N满足2FNNM，且0(ON FMO为坐标原点） ，则双曲线C的离心率为( ) A 6 2 B2 C3 D2 【解答】解：如图， 2FNNM，点N为FM的三等分点，且靠近M点， 0ON FM，ONFM，则1 ONFM kk ， 0 1 0 b m ac ，即 ac m b ， 2FNNM， 2 ( ,) 33 cm N，即 2 ( ,) 33 cac N b ， 第 12 页（共 21 页） 代入 b yx a ，可得 2 33 acbc ba ，即 22 2ab， 又 222 bca， 22 3ac，得3 c e a 故选：C 12 （5 分）定义在(，0)(0，)上的函数( )f x满足(
22、)( )fxf x，且0 x 时 1 ( ) lnx f x x 若关于x的方程( )f xkx有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A(， 1) (0 e ， 1) e B 1 ( e ，0)(0， 1) e C(， 1 )(0 2e ， 1 ) 2e D 3 1 ( 2 e ，0)(0， 3 1 ) 2e 【解答】解：当0 x 时， 1 ( ) lnx f x x ， 则 2 2 ( ) lnx fx x ， 当 2 0 xe时，( )0fx，( )f x单调递增， 当 2 xe时，( )0fx，( )f x单调递减， 故 2 2 1 ( )() max f xf e e ，
23、又当xe时，( )0f x ，所以函数( )f x的图像如图： ( ()( )fxf x知，函数( )f x为偶函数） ， 设直线yax(0)a 和yax 与函数( )f x的图像相切， 则当0ka或0ak 时，ykx与( )f x的图像有 3 个交点， 当ka或ka 时，ykx与( )f x的图像有 2 个交点， 当ka或ka 时，ykx与( )f x的图像有 1 个交点， 第 13 页（共 21 页） 设直线yax和yax 与函数( )f x的图像相切于 0 (x， 0 ()f x，则 0 ()afx， 切线方程为： 0 ()yfx x，将点 0 (x， 0 ()f x代入得 000 ()
24、()f xfx x， 00 0 2 00 12lnxlnx x xx ，整理得： 0 3 2 lnx ， 当 3 2 0 xe时等式成立，故 3 1 2 a e ， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 13 （5 分）已知复数z满足(12 ) |34 |zii，则z 12i 【解答】解：(12 ) |34 | 5zii， 则 55(12 ) 12 12(12 )(12 ) i zi iii ， 故答案为：12i 14 （5 分）若函数( )f x满足当0 x 时， 2 ( )log (1)f xx，当0 x 时，( )(2)f xf
25、x， 则f（1） 1 【解答】解：根据题意，当0 x 时，( )(2)f xf x，则f（1）(12)( 1)ff， 又由当0 x 时， 2 ( )log (1)f xx，则 2 ( 1)log 21f ， 则f（1）1， 故答案为：1 15（5分） 如图， 在ABC中，P为ABC内点，90BPC，90ABC，4AC ，2BC ， 3PC ，则PA 7 【解答】解：在ABC中，90ABC，4AC ，2BC ， 可 得 2222 4223A BA CB C， 可 得 233 s i n 42 AB ACB AC ， 可 得 60ACB， 在BCP中，90BPC，2BC ，3PC ，可得 3 co
26、s 2 BCP，可得30BCP， 在ACP中，可得603030ACPACBBCP ， 由余弦定理可得 22222 3 2cos4( 3)2437 2 APACCPAC CPACP ， 第 14 页（共 21 页） 解得7PA 故答案为：7 16 （5 分）将一边长为 4 的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱 锥，则该正四棱锥外接球的表面积为 25 2 【解答】解：由图可知，正四棱锥的底面边长为 2，斜高为 3，则高为 22 312 2， 如图， 设底面正方形的中心为F，连接AF，则正四棱锥的外接球的球心在AF上， 设为O，连接OE，则OAOER（四棱锥外接球的半径） ， 1
27、 2 2 FECE， 222 (2 2)( 2)RR，解得 5 2 2 R ， 则该正四棱锥外接球的表面积为 2 525 4() 22 2 故答案为： 25 2 三、解答题：第三、解答题：第 17-21 题每题题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程 或演算步骤。或演算步骤。 17 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 2a ， 2 31 22 n Snn，*nN （1）求数列 n a的通项公式； 第 15 页（共 21 页） （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，若 2 10 6
28、1 n T，求n的值 【解答】解： （1）当2n时， 2 1 31 (1)(1) 22 n Snn ，又 2 31 22 n Snn， 两式相减可得， 22 1 3131 (1)(1)31 2222 nnn aSSnnnnn ， 上式对1n 也成立， 所以31 n an，*nN； （2） 1 11111 () (31)(32)3 3132 nn a annnn ， 1 1111111 11 ()() 3 255831323 2322(32) n n T nnnn ， 若 2 10 61 n T，即 210 2(62)61 n n ， 解得20n 18 （12 分）2021 年 1 月 1 日新
29、中国成立以来第一部以“法典”命名的法律中华人民共和 国民法典颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代为深入了解民法典 ，大力营造 学法守法用法的良好氛围， 高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了 100 名同学参加 学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为 6 组：40，50)，50， 60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100，得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值； （2）估计这 100 名学生比赛成绩的中位数（同组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于
30、 80 分为“非优秀” ，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成 绩是否优秀与文理科别有关”？ 优秀 非优秀 合计 文科生 30 理科生 55 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 16 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由题意可知：(0.0050.0100.0200.0400.010) 101a， 解得：
31、0.015a （2）(0.0050.0100.020) 100.350.5，(0.0050.0100.0200.040) 100.750.5， 中位数在70，80)之间，设为m， 0.35(70)0.040.5m， 解得：73.75m ， 这 100 名学生比赛成绩的中位数估计值为 73.75 （3）抽取的 100 名学生中， “优秀”的人数为100 (0.0150.010) 1025人， “非优秀”的 人数为1002575人， 22列联表如下图： 优秀 非优秀 合计 文科生 15 30 45 理科生 10 45 55 合计 25 75 100 2 2 100 (15 45 10 30) 3.
32、033.841 25 75 55 45 K ， 没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关” 19 （12 分）如图所示，四棱锥PABCD中，PA 菱形ABCD所在的平面，60ABC， 点E、F分别是BC、PD的中点 （1）求证：平面AEF 平面PAD； （2）当22ABAP时，求多面体PABEF的体积 第 17 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：连接AC，因为底面ABCD为菱形，60ABC， 所以ABC是正三角形， 因为E是BC的中点，所以AEBC， 又/ /ADBC，所以AEAD， 因为PA 平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PAAE， 又PAADA，所以AE 平面P
33、AD， 又AE 平面AEF，所以平面AEF 平面PAD； （2）解：因为 PABEFP ABEE PAF VVV ， 13 36 P ABEABE VSPA ， 13 36 E PAFPAF VSAE ， 所以 3 3 PABEFP ABEE PAF VVV 20 （12 分）已知抛物线 2 2(04)ypxp的焦点为F，点P在抛物线上，点P的纵坐标 为 6，且| 10PF （1）求抛物线的标准方程； （2） 若A，B为抛物线上的两个动点 （异于P点） 且APAB， 求点B纵坐标的取值范围 【解答】解： （1）抛物线准线方程为： 2 p x 将P纵坐标代入抛物线的方程可得： 2 62px，所以
34、 18 x p ， 由抛物线的性质， 18 10 2 p p ，0p ， 第 18 页（共 21 页） 解得：18p 或2p ， 因为04p， 所以抛物线的标准方程为： 2 4yx； （2）由（1）可得(9,6)P， 设 2 ( 4 n A，)n， 2 0 ( 4 y B， 0) y， 因为APAB， 2 64 6 9 4 PA n k nn ， AB所在的直线方程： 2 6 () 44 nn ynx ，整理可得：()(6)160yn n， 联立 2 ()(6)160 4 yn n yx ，整理可得： 2 (6)6160nyny， 2 (6)4(616) 0yy， 解得：14y或2y 所以点B
35、纵坐标的取值范围 |14y y或2y 21 （12 分）已知函数( )(2) x f xxealnxx，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线 与x轴平行 （1）求a的值； （2）证明：函数( )f x存在唯一的极大值点 0 x，并且 0 4()3f x 【解答】解： （1）( )(1)1 x a fxxe x ， 曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线与x轴平行， f （1）10a ，解得1a （2）证明：由（1）可得：( )(2) x f xxelnxx，(0,)x， 11 ( )(1)1(1)() xx fxxexe xx ， 函数 1 ( ) x g xe x 在(0,
36、)x上单调递增，又 1 ( )20 2 ge，g（1）10e ， 因此函数( )g x存在唯一零点 0 1 (2x ，1) 可得函数( )f x在 0 (0,)x上单调递增，在 0 (x，1)上单调递减，在(1,)上单调递增 第 19 页（共 21 页） 因此函数( )f x存在唯一的极大值点 0 1 (2x ，1) 0 0 1 x e x ，可得 00 xlnx 00000 00 11 ()(2)12()f xxxxx xx ， 0 1 (2x ，1)， 0 0 15 (2, ) 2 x x ， 0 4()3f x 选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任
37、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分作答时用计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22 （10 分）在极坐标系下，方程2sin3的图形为如图所示的“三叶玫瑰线” （1）当玫瑰线的0， 2 时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； （2）求曲线cos()2 3 6 上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时 的点M、N的极坐标 【解答】解： （1）以极点为圆心的单位圆，所以1， 即2sin31， 整理得 1 sin3 2 ，0， 2 ， 所以 5 3 66 或， 整理得
38、5 1818 或 故交点为(1,) 18 或 5 (1,) 18 （ 2 ） 曲 线cos()2 3 6 ， 根 据 222 cos sin x y xy ， 转 换 为 直 角 坐 标 方 程 为 34 30 xy 当玫瑰线2sin3，极径的最大值为 2 时，2， 第 20 页（共 21 页） 所以(2,) 6 N ，转换为直角坐标为( 3,1)， 所以：射线ON的方程为 3 3 yx，过N向直线: 34 30lxy作垂线 垂足为M， 则 22 |3314 3| |2 32 ( 3)1 MN ， 令 00 (,34 3)M xx， 所以 0 0 4 331 3 MN x k x ， 令直线3
39、4 30 xy的斜率为 1 k， 且 1 1 MN kk ， 所以 3 3 MN k， 所以 00 12 33 3333xx， 解得 0 3x ， 所以 0 3y ， 故(3, 3)M， 转换为极坐标为(2 3,) 6 M ， 故| 2 32MN 所以最小值为2 32， 故此时(2 3,) 6 M ，(2,) 6 N 23已知x，0y （1）当8xyxy时，求xy的最小值； （2）当2xy时，证明： 2222 () 2x yxy 【解答】解： （1）x，0y，且8xyxy，所以 2 8() 2 xy xyxy xy ， 令xyt可得 2 432 0tt， 第 21 页（共 21 页） 解得4t或8t舍去，当且仅当2xy时， xy取得最小值为 4； 证明： （2）由x，0y，且2xy， 得 222222222 () ()()() 2 xy x yxyxyxyxyxy 22 222 112 (2) ()()2 222 xyxy xyxy 当且仅当1xy时取等号
