1、 第 1 页（共 14 页） 2021 年上海市崇明区高考数学二模试卷年上海市崇明区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，其中分，其中 16 题每题题每题 4 分，分，712 题每题题每题 5 分）分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 】【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 】 1 （4 分）已知集合 | 12Axx ， 1B ，0，1，AB 2 （4 分）复数(1)(zii i是虚数单位）在复平面内所对应的点在第 象限 3 （4 分）已知圆锥的底面面积为，母线长为 2，则该圆锥的高等于 4 （4 分）直线 1
2、( 32 xt t yt 为参数）的一个方向向量可以是 5 （4 分）已知lim(1)0 n n x ，则实数x的取值范围是 6 （4 分）已知实数x，y满足条件 | 1 | 1 x y ，则2zxy的最大值等于 7 （5 分）设( )f xlgx，若(1)faf（a）0，则实数a的取值范围为 8 （5 分）已知 2 2 ()nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 64，则该展开式中常数 项的值等于 9 （5 分）已知等差数列 n x的公差0d ，随机变量等可能地取值 1 x， 2 x， 3 x， 9 x， 则方差D 10 （5 分）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和
3、 2 名女生参加农场体验活 动，体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场 主站在中间的概率等于 .（用数字作答） 11 （5 分）设 1( ) yfx 是函数( )sin 288 x f xx ， 2 x ， 2 的反函数，则函数 1 ( )( )yf xfx 的最小值等于 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，过点( 3, )Pa作圆 22 20 xyx的两条切线，切点 分别为 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y若 21212121 ()()()(2)0 xxxxyyyy，则实数a的 值等于 二、选择题（本大题共有二、选择题（
4、本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 】分，否则一律得零分 】 第 2 页（共 14 页） 13 （5 分）关于x、y的二元一次方程组 341 310 xy xy 的增广矩阵为( ) A 341 () 1310 B 341 () 1310 C 341 () 13 10 D 341 () 1310 14 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A 3 y
5、x Byx Cylgx Dsinyx 15 （5 分）数列 n a满足 1 2a ，则“对任意的p，*rN，都有 p rpr aa a 是“ n a为等 比数列”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 16 （5 分）已知以下三个陈述句： p：存在aR且0a ，对任意的xR，均有(2)(2 ) x ax fff （a）恒成立； 1 q：函数( )yf x是减函数，且对任意的xR，都有( )0f x ； 2 q：函数( )yf x是增函数，存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x； 用这三个陈述句组成两个命题，命题S： “若 1 q，则p ” ；命题T
6、： “若 2 q，则p” 关于S，T，以下说法正确的是( ) A只有命题S是真命题 B只有命题T是真命题 C两个命题S，T都是真命题 D两个命题S，T都不是真命题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤】区域内写出必要的步骤】 17 （14 分）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 2 BAC ， 1 4A A ，点M 为线段 1 A A的中点 （1）求直三棱柱 111 ABCABC的表面积； （2）求异面直线BM与 11 BC所
7、成的角的大小 （结果用反三角函数值表示） 第 3 页（共 14 页） 18 （14 分）已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1()f xxxxxR （）求函数( )f x的最小正周期及在区间0， 2 上的最大值和最小值； （）若 0 6 () 5 f x， 0 4 x ， 2 ，求 0 cos2x的值 19 （14 分）某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产x件，需另投入成本为 ( )C x当年产量不足 80 件时， 2 1 ( )10 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 80 件时 10000 . ( )511450C xx x （万元）每件商品售价为 50
8、 万元，通过市场分析，该厂生产的产 品能全部售完 （1）写出年利润( )L x（万元）关于年产量x（件)的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 20 （16 分）双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一 点 （1）当2b 时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线BF的倾斜角为 4 ，与双曲线C的另一交点为D，且| 8BD ，求b的值； （3）若0AF BF，且| |AFBF，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证： 2EFAEAF 21（18 分） 对于数列 n a， 定义 n a为数列 n a的差
9、分数列， 其中 1nnn aaa ，*nN， 如果对任意的*nN，都有 1n a n a，则称数列 n a为差分增数列 （1）已知数列 1，2，4，x，16，24 为差分增数列，求实数x的取值范围； （2）已知数列 n a为差分增数列， 且 12 1aa，* n aN若2021 k a ，求非零自然数k的 最大值； （3）已知项数为2k的数列 3 log(1 n an ，2，3，2 )k是差分增数列，且所有项的和等 第 4 页（共 14 页） 于k，证明： 1 3 kk a a 第 5 页（共 14 页） 2021 年上海市崇明区高考数学二模试卷年上海市崇明区高考数学二模试卷 参考答案与试题解
10、析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，其中分，其中 16 题每题题每题 4 分，分，712 题每题题每题 5 分）分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 】【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 】 1 （4 分）已知集合 | 12Axx ， 1B ，0，1，AB 0，1 【解答】解：集合 | 12Axx ， 1B ，0，1， 则0AB ，1， 故答案为：0，1 2 （4 分）复数(1)(zii i是虚数单位）在复平面内所对应的点在第 二 象限 【解答】解： 2 (1)1iiiii ， (1)ii即复数为1i ，
11、 1i 在复平面内对应的点( 1,1)位于第二象限 故答案为：二 3 （4 分）已知圆锥的底面面积为，母线长为 2，则该圆锥的高等于 3 【解答】解：圆锥的底面面积为，所以圆锥的底面半径为：r， 2 r，解得1r ，母线长为 2， 则该圆锥的高： 22 213 故答案为：3 4 （4 分）直线 1 ( 32 xt t yt 为参数）的一个方向向量可以是 (1, 2)a 【解答】解：把直线 1 ( 32 xt t yt 为参数）化为一般方程为250 xy， 因为直线250 xy的斜率为2， 故直线 1 ( 32 xt t yt 为参数）的一个方向向量可以是(1, 2)a 故答案为：(1, 2)a
12、 5 （4 分）已知lim(1)0 n n x ，则实数x的取值范围是 (0,2) 第 6 页（共 14 页） 【解答】解：lim(1)0 n n x ， 111x ， 解得：02x， 故答案为：(0,2) 6 （4 分）已知实数x，y满足条件 | 1 | 1 x y ，则2zxy的最大值等于 3 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，(1,1)A， 由2zxy，得2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时，直线在y轴上的截距 最大， z有最大值为 3 故答案为：3 7 （5 分）设( )f xlgx，若(1)faf（a）0，则实数a的取值范围为 1 (0, ) 2 【解答】解：
13、由题意，( )f xlgx在(0,)上单调递增， (1)faf（a）0， 10aa ， 1 (0, ) 2 a ， 故答案为 1 (0, ) 2 8 （5 分）已知 2 2 ()nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 64，则该展开式中常数 项的值等于 60 【解答】解： 2 2 ()nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于264 n ，则6n ， 第 7 页（共 14 页） 故展开式的通项公式为 626 3 166 ( 2)( 2) rrrrrrr r TCxxCx ， 令630r，求得2r ， 可得展开式中常数项等于 22 6( 2) 60C 故答案为：60 9 （5 分
14、）已知等差数列 n x的公差0d ，随机变量等可能地取值 1 x， 2 x， 3 x， 9 x， 则方差D 2 20 3 d 【解答】解：因为 n x是等差数列，公差为d， 所以 19 5 2 xx xx ， 所以方差 22222222 152595 1120 ()()() (1694)2 993 Dxxxxxxddddd 故答案为： 2 20 3 d 10 （5 分）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活 动，体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场 主站在中间的概率等于 11 105 .（用数字作答） 【解答
15、】解：根据题意，农场主与 6 名同学站成一排，有 7 7 5040A 种不同的站法， 若农场主站在中间，有 6 6 720A 种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有 24 24 4192A A 种站法， 则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有 624 624 4528AA A种站法， 则其概率 52811 5040105 P ， 故答案为： 11 105 11 （5 分）设 1( ) yfx 是函数( )sin 288 x f xx ， 2 x ， 2 的反函数，则函数 1 ( )( )yf xfx 的最小值等于 2 162 【解答】解：因为函数( )sin 288 x f
16、 xx 在 2 x ， 2 上是单调递增函数， 又 1( ) yfx 是函数( )f x的反函数， 所以( )f x与 1( ) fx 的单调性相同， 第 8 页（共 14 页） 函数( )f x在 2 x ， 2 上的值域为 4 ， 2 ， 函数 1 ( )( )yf xfx 的定义域为 4 ， 2 ， 因为() 24 f ，故 1( ) 42 f ， 所以 1 ( )( )yf xfx 的最小值为 1 2 ()() 44162 ff 故答案为： 2 162 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，过点( 3, )Pa作圆 22 20 xyx的两条切线，切点 分别为 1 (M x， 1)
17、y， 2 (N x， 2) y若 21212121 ()()()(2)0 xxxxyyyy，则实数a的 值等于 4 【解答】解： 22 20 xyx化为： 22 (1)1xy，可得圆心(1,0)C 21212121 ()()()(2)0 xxxxyyyy， 2222 212121 2()0 xxyyyy， 利用圆的方程可得： 22 222 20 xyx， 22 111 0 xyx， 1221 222()0 xxyy， 21 21 1 yy xx ， 由圆的切线性质可得：1 MNCP kk ， 21 21 0 1 3 1 yya xx ， 11 4 a ，解得4a 故答案为：4 二、选择题（本大
18、题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 】分，否则一律得零分 】 13 （5 分）关于x、y的二元一次方程组 341 310 xy xy 的增广矩阵为( ) A 341 () 1310 B 341 () 1310 C 341 () 13 10 D 341 () 1310 【解答】解： 341 310 xy xy 的增广矩阵 341 13 10 ， 第 9 页（共 14
19、 页） 故选：C 14 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A 3 yx Byx Cylgx Dsinyx 【解答】解： 3 yx 在(0,1)上单调递减，不符合题意； yxmylgx为非奇非偶函数，不符合题意； sinyx为奇函数且在(0,1)上单调递增 故选：D 15 （5 分）数列 n a满足 1 2a ，则“对任意的p，*rN，都有 p rpr aa a 是“ n a为等 比数列”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：对任意的p，*rN，都有 p rpr aa a ，取pn，1r ，则 1 1
20、2 n n a a a ，因 此数列 n a是公比为 2 的等比数列； 反之不成立：例如取2 n a ，则 312 24aa a， “对任意的p，*rN，都有 p rpr aa a 是“ n a为等比数列”的充分非必要条件， 故选：A 16 （5 分）已知以下三个陈述句： p：存在aR且0a ，对任意的xR，均有(2)(2 ) x ax fff （a）恒成立； 1 q：函数( )yf x是减函数，且对任意的xR，都有( )0f x ； 2 q：函数( )yf x是增函数，存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x； 用这三个陈述句组成两个命题，命题S： “若 1 q，则p ” ；命题T： “若
21、 2 q，则p” 关于S，T，以下说法正确的是( ) A只有命题S是真命题 B只有命题T是真命题 C两个命题S，T都是真命题 D两个命题S，T都不是真命题 【解答】解：对于命题S： “若 1 q，则p” ； 当( )f x单调递减且( )0f x 恒成立时，存在0a ，此时22 x ax ， 而( )f x递减，所以(2)(2 ) x ax ff ， 第 10 页（共 14 页） 又因为( )0f x 恒成立， 则f（a）0，则有(2)(2 ) x ax fff （a）恒成立； 对于命题T： “若 2 q，则p” 当( )f x递增，存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x， 存在0a ，则
22、 0 ax，f（a）0， 由于0a ，则22 x ax ， 而( )f x递增，则(2)(2 ) x ax ff ， 故(2)(2 ) x ax fff （a）恒成立， 命题T也为真命题 两个命题S，T都是真命题 故选：C 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤】区域内写出必要的步骤】 17 （14 分）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 2 BAC ， 1 4A A ，点M 为线段 1 A A的中点 （1）求直三棱柱 111
23、ABCABC的表面积； （2）求异面直线BM与 11 BC所成的角的大小 （结果用反三角函数值表示） 【解答】解： （1）直三棱柱 111 ABCABC的底面积为 11 1 1 22 ， 侧面积为(1 12)484 2 ， 所以直三棱柱 111 ABCABC的表面积为 1 284 294 2 2 ； （2）因为 11 / /BCBC，所以MBC（或补角）即为异面直线BM与 11 BC所成的角 连接CM，在三角形MBC中，2BC ， 22 215BM ，5CM ， 第 11 页（共 14 页） 可得 222 52510 cos 2102 52 BMBCCM MBC BM BC 所以异面直线BM与
24、 11 BC所成的角的大小为 10 arccos 10 18 （14 分）已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1()f xxxxxR （）求函数( )f x的最小正周期及在区间0， 2 上的最大值和最小值； （）若 0 6 () 5 f x， 0 4 x ， 2 ，求 0 cos2x的值 【解答】解： （1）由 2 ( )2 3sin cos2cos1f xxxx，得 2 ( )3(2sin cos )(2cos1)3sin2cos22sin(2) 6 f xxxxxxx 所以函数( )f x的最小正周期为 因为( )2sin(2) 6 f xx 在区间0， 6 上为增函数，在区间
25、 6 ， 2 上为减函数， 又(0)1f，()2 6 f ，()1 2 f ，所以函数( )f x在区间0， 2 上的最大值为 2，最小值 为1 （）由（1）可知 00 ()2sin(2) 6 f xx 又因为 0 6 () 5 f x，所以 0 3 sin(2) 65 x 由 0 4 x ， 2 ，得 0 2 2 63 x ， 7 6 从而 2 00 4 cos(2)1sin (2) 665 xx 所以 0000 34 3 cos2cos(2)cos(2)cossin(2)sin 66666610 xxxx 第 12 页（共 14 页） 19 （14 分）某工厂某种航空产品的年固定成本为 2
26、50 万元，每生产x件，需另投入成本为 ( )C x当年产量不足 80 件时， 2 1 ( )10 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 80 件时 10000 . ( )511450C xx x （万元）每件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的产 品能全部售完 （1）写出年利润( )L x（万元）关于年产量x（件)的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解答】解： （1）当080 x时，根据年利润销售收入成本， 22 11 ( )501025040250 33 L xxxxxx ； 当80 x时，根据年利润销售收入成本， 10000100
27、00 ( )505114502501200()L xxxx xx 综合可得， 2 1 40250,080 3 ( ) 10000 1200(),80 xxx L x xx x （2）当080 x时， 22 11 ( )40250(60)950 33 L xxxx ， 当60 x 时，( )L x取得最大值(60)950L万元； 当80 x时， 1000010000 ( )1200() 1200212002001000L xxx xx ， 当且仅当 10000 x x ，即100 x 时，( )L x取得最大值(100)1000L万元 综合，由于9501000， 当产量为 100 千件时，该厂在
28、这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元 20 （16 分）双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一 点 （1）当2b 时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线BF的倾斜角为 4 ，与双曲线C的另一交点为D，且| 8BD ，求b的值； （3）若0AF BF，且| |AFBF，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证： 2EFAEAF 【解答】解： （1）由2b ，可得双曲线的方程为 2 2 1 4 y x ，渐近线方程为2yx ， 第 13 页（共 14 页） 则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为 2( 2)4 | 12( 2)
29、3 ， 即有夹角为 4 arctan 3 ； （2）直线BF的斜率为tan1 4 ，又 2 ( 1Fb，0)，则直线BF的方程为 2 1yxb， 设 1 (B x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 由 2 2 2 2 1 1 xyb y x b 可得 222 2 1 (1)2 10yb yb b ， 所以 22 12 2 21 1 bb yy b ， 4 12 2 1 b y y b ， 所以 224 2 12 22 214 |2 |2()8 11 bbb BDyy bb ， 化为 2 11 1 2b ，解得2b ； （3）证明：令 2 1xcb，则 2 2 2 1 y c b ，解得
30、 22 1yb cb ， 由BFAF时， 2 |BFb，而 2 | 11AFb ，所以 22 11bb ， 解得3b ，即双曲线的方程为 2 2 1 3 y x ，( 1,0)A ，(2,0)F， 设( , )E m n，可得 22 3(1)nm， tan 2 n EFA m ，tan 1 n EAF m ， 所以 22222 2 2 2 (1)2 (1) 1 tan2tan (1)(1)3(1)2 1 (1) n n mn mn m EAFEFA nmnmmm m ， 因为E为第一象限的点，可得2EFAEAF 21（18 分） 对于数列 n a， 定义 n a为数列 n a的差分数列， 其中
31、 1nnn aaa ，*nN， 如果对任意的*nN，都有 1n a n a，则称数列 n a为差分增数列 （1）已知数列 1，2，4，x，16，24 为差分增数列，求实数x的取值范围； （2）已知数列 n a为差分增数列， 且 12 1aa，* n aN若2021 k a ，求非零自然数k的 最大值； （3）已知项数为2k的数列 3 log(1 n an ，2，3，2 )k是差分增数列，且所有项的和等 第 14 页（共 14 页） 于k，证明： 1 3 kk a a 【解答】 （1）解：数列 1，2，4，x，16，24 的差分数列为 1，2，4x ，16x，8， 由题意可得 4162 28 2
32、432 x x x ，解得810 x， 故实数x的取值范围是(8,10) （2）解：由题意， 1 0a ， n aN， 因为数列 n a为差分增数列，所以对任意的*nN，都有 1n a n a， 所以 2 a 1 0a ， 2 1a ，同理， 3 2a ，1 k ak ，*kN， 所以当2k时， 1k aa 1 a 2 a 1 (2)(1) 1 12(2)1 2 k kk ak ， 所以 (2)(1) 2021 1 2 kk ， 解得65k， 所以非零自然数k的最大值为 65 （3）证明：假设 1 3 kk a a ， 由题意知0(1 n an，2，3，2 )k， 因为项数为2k的数列 3 l
33、og n a所有项的和等于k， 所以 31323332 loglogloglog k aaaak， 即 31232 log k a a aak， 所以 1232 3k k aa aa， 因为数列 3 log(1 n an ，2，3，2 )k是差分增数列， 所以 3133231 loglogloglog nnnn aaaa ， 所以 12 1 nn nn aa aa ，因此 3224 12321 k k aaaa aaaa ， 所以对任意的1m k ，*mN，都有 121 2 mkm mk m aa aa ，即 1221mk mmkm aaa a ， 所以 122213221 3 kkkkk a aa aa aa a ， 所以 1232 3k k aa aa与 1232 3k k aa aa矛盾， 故假设不成立，所以 1 3 kk a a
