2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

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1、第 1 页（共 20 页） 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若2zi，则 2 | (zz ) A10 B2 C26 D3 2 （5 分）设集合 2 |6 0Ax xx ， |20Bxxa ，且 | 22 ABxx 剟，则(a ) A2 B2 C4 D4 3 （5 分） “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界

2、最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积2SRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当2C，16S时， ( r R ) A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 4 （5 分）已知( 2 ，)，2sin2cos21，则cos( ) A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 5 （5 分）设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线C上异于O的一点，过 P作PQl于Q，

3、则线段FQ的垂直平分线( ) A经过点P B经过点O C平行于直线OP D垂直于直线OP 6 （5 分）将函数( )sinf xx（其中0)的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于第 2 页（共 20 页）直线x对称，则的最小值是( ) A 1 3 B1 C 5 3 D 2 3 7 （5 分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元 ) 4 5 6 7 8 9 销量V （件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 ( ) A 1 6 B

4、 1 3 C 1 2 D 2 3 8 （5 分）在ABC中，O为中线AM的中点，若2AM ，则()OAOBOC等于( ) A2 B2 C1 D1 9（5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA， 10bc，ABC的面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3 B5 C8 D2 2 10 （5 分）已知点( , )P x y是曲线 43 ( )2f xxx在点(1，f（1）)处的切线上一点，则 2 (0,0) xy xy xy 的最小值为( ) A4 B9 C5 D16 11 （5 分）已知 2 1 log 3 2 a ， 5 2log

5、 2b ，0.75c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acab Babc Cbca Dbac 12 （5 分）已知 311 ( )(1)22 xx f xxxee ，其中e是自然对数的底数，若 ()(1)0f lnaf a，则实数a的取值范围是( ) A(0,1) B(1,) C(0,2) D(2,) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 3 页（共 20 页） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ，则2zxy的最小值是 14 （5 分）一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切，且与直线:1

6、l x 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 15 （5 分）点P在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右支上，其左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 1 PF的垂直平分线恰好过点 2 F，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）菱形ABCD中，2AB ，120DAB，将CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体EABD的体积最大时，四面体EABD的外接球的面积为三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考

7、题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，/ /ABCD， 222PDABADCD，E为PA上一点，且32PEPA （）证明：平面EBC 平面PAC；（）求三棱锥PBCE的体积 18 （12 分）已知等差数列 n a中，公差0d ， 11 77S，且 2 a， 6 1a ， 11 a成等比数列（1）求数列 n a的通项公式；（2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存

8、在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的取值范围 19 （12 分） “一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松” 又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们第 4 页（共 20 页）参加马拉松运动的情况进行了统计调查其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑调练天数不大于 2 天 3 天或 4 天不少于 5 天人数 3

9、0 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于 5 天，则称其为“热烈参与者” ，否则称为“非热烈参与者” （1）经调查，该市约有 2 万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男 140 女 55 合计附： 2 2 () ( ()()()() n adbc kn ab cdac bd 为样本容量） 2 0 ()P kk 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.02

10、5 0.010 0.005 0.001 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3 （1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点( 3,8)D 的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值 21 （12 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若曲线( )yf x在点 0 (1,)Py处的切线为:(1)0lexyn，求m，n；（

11、2）当1m 时，若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，试求实数 a的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程第 5 页（共 20 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 ( k k xcos t t ysin t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的

12、极坐标方程为 2 cos3 sin120 （1）当2k 时，求出 1 C的普通方程，并说明该曲线的图形形状（2）当1k 时，P是曲线 1 C上一点，Q是曲线 2 C上一点，求PQ的最小值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |24|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ；（2）记( )f x的最小值为M，若实数a，b满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 第 6 页（共 20 页） 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析参考答

14、Bx x剟?，且 | 22ABxx 剟， 2 2 a ，解得4a 故选：C 3 （5 分） “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积2SRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当2C，16S时， ( r R ) 第 7 页（共 20 页） A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 【解答】解：由已知可得平面中心到球心的距离为Rh，又球冠周长为22Cr

15、，所以1r ，又216SRh，所以 8 h R ，因为 222 ()rRhR，即 222 12RRhhR，解得 2 64 15 R ，即 8 15 R ，故 115 8 8 15 r R ，故选：B 4 （5 分）已知( 2 ，)，2sin2cos21，则cos( ) A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 【解答】解：( 2 ，)，2sin2cos21， 2 4sincos12sin1 ，即2cossin 再根据 22 sincos1，cos0，求得 5 cos 5 ，故选：B 5 （5 分）设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线C上异于O的一

16、点，过 P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线( ) A经过点P B经过点O C平行于直线OP D垂直于直线OP 第 8 页（共 20 页）【解答】解：如图所示：，由抛物线的定义可知，| |PFPQ， FPQ为等腰三角形，且FQ为等腰三角形FPQ的底边，线段FQ的垂直平分线经过点P，故选：A 6 （5 分）将函数( )sinf xx（其中0)的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于直线x对称，则的最小值是( ) A 1 3 B1 C 5 3 D 2 3 【解答】解：将函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度，得sin()sin() 44 yxx ， sin() 4 yx

17、的图象关于直线x对称， 42 k ，kZ， 24 33 k，kZ， 0，的最小值为 2 3 ，故选：D 7 （5 分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：第 9 页（共 20 页）单价x（元 ) 4 5 6 7 8 9 销量V （件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 ( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解： 113 (456789) 62 x ， 1 (908483807568)80 6 y 4yxa ， 106

18、a，回归直线方程4106yx ；数据(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68) 6 个点中有 3 个点在直线右上方，即(6,83)，(7,80)，(8,75) 其这些样本点中任取 1 点，共有 6 种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率 31 62 P 故选：C 8 （5 分）在ABC中，O为中线AM的中点，若2AM ，则()OAOBOC等于( ) A2 B2 C1 D1 【解答】解：由题意画出草图：由于点M为ABC中边BC的中点， 2OBOCOM， (OA)22| |OBOCOA OMOAOM O为中线AM上的中点，即A、O、M三点共线

19、， 2AM ， (OA)2| |2 1 12OBOCOAOM 故选：A 第 10 页（共 20 页） 9（5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA， 10bc，ABC的面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3 B5 C8 D2 2 【解答】解：因为 5 sinsincos 4 aABbbA，由正弦定理可得 5 sinsinsinsinsincos 4 AABBBA，因为0B，所以sin0B ，所以 2 5 sincos 4 AA，可得 2 5 1coscos 4 AA，即 2 (2cos1)0A，解得 1 cos 2 A

20、，所以 3 sin 2 A，因为 125 3 sin 24 ABC SbcA ，所以25bc ，又10bc，所以 2222 2cos()31003 2525abcbcAbcbc ，所以5a 故选：B 10 （5 分）已知点( , )P x y是曲线 43 ( )2f xxx在点(1，f（1）)处的切线上一点，则 2 (0,0) xy xy xy 的最小值为( ) A4 B9 C5 D16 【解答】解： 43 ( )2f xxx的导数为 32 ( )46f xxx，可得在点(1，f（1）)处的切线的斜率为2，切点为(1, 1)，则切线的方程为12(1)yx ，点( , )P x

21、y在切线上，可得21xy，x，0y ，则 2212122 (2)()415229 xyxy xy xyxyxyyx ，第 11 页（共 20 页）当且仅当 1 3 xy时，取得等号则 2 (0,0) xy xy xy 的最小值为 9 故选：B 11 （5 分）已知 2 1 log 3 2 a ， 5 2log 2b ，0.75c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acab Babc Cbca Dbac 【解答】解： 22 11 log 3log 2 22 a 3 2 2 13 2log 2 24 ， 3 4 a，即ac， 22 4 13343 3 log 3log311 22444 l

22、g lglglglg a lglglglg ， 55 5 454 4 2log 2log 411 555 lg lglglg b lglglg ， 45 34 ， 45 34 lglg，又45lglg， 45 34 45 lglg lglg ，即ab， bac ，故选：D 12 （5 分）已知 311 ( )(1)22 xx f xxxee ，其中e是自然对数的底数，若 ()(1)0f lnaf a，则实数a的取值范围是( ) A(0,1) B(1,) C(0,2) D(2,) 【解答】解： 311 ( )(1)22 xx f xxxee ，则 211 ( )3(1)2 xx f xxee

23、， 11 ( )6(1) xx fxxee ， 11 ( )6 xx fxee ， 1 0 x e ， 1 0 x e ，( )0fx ，( )fx单调递增，而f（1）0，故1x 时，( )0fx，1x 时，( )0fx，故( )fx在(,1)递减，在(1,)递增，故( )fxf（1）0，故( )f x在R上单调递增，若()(1)0f lnaf a，则()(1)f lnaf a ，由(1)(1)f afa ，得：()(1)f lnafa ，第 12 页（共 20 页）故1lnaa ，即10lnaa ，(0)a ，令h（a）1(0)lnaaa，则h（a） 1 10 a ，故h

24、（a）在(0,)单调递增， 1a 时，h（a）0，故01a时，h（a）0，1a 时，h（a）0，故10lnaa 的解集是(0,1)，故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ，则2zxy的最小值是 1 【解答】解：画出约束条件 1 1 2 y y x xy 表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数2zxy可化为2yxz ，平移目标函数知，当目标函数过点(0, 1)C时，直线2yxz 在y轴上的截距最小，此时z 取得最小值，所以z的最小值为201

25、1 min z 故答案为：1 14 （5 分）一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切，且与直线:1l x 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 2 12yx 【解答】解：定圆 22 :(3)4Fxy的圆心(3,0)F，半径为 2，第 13 页（共 20 页）设动圆圆心P点坐标为( , )x y，动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线1x 的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，2PAr，dr |2PAd，即： 22 (3)21xyx，化简得： 2 12yx 动圆圆心轨迹方程为 2 12yx 故答案为： 2 12yx 15 （5 分）点P在双曲线 22 22 1(0,0) x

27、c，即有 22 4()bac，即 222 4()()caac，可得 3 5 ac，即 5 3 e ，故答案为： 5 3 第 14 页（共 20 页） 16 （5 分）菱形ABCD中，2AB ，120DAB，将CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体EABD的体积最大时，四面体EABD的外接球的面积为 20 【解答】解：当平面EBD 平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面积为定值，所以此时四面体EABD的体积最大设三角形ABD的外接圆的圆心为 1 O，半径 2 32 3 2 2sin1203 r ，设四面体EABD的外接球的球心为O，三角形EBD的外接圆的

28、圆心为 2 O，可得 2 1 23211OOr ，所以 222 1 4 15RrOO ，则四面体EABD的外接球的面积为 2 44520SR ，故答案为：20 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共第 15 页（共 20 页） 60 分分 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，

29、/ /ABCD， 222PDABADCD，E为PA上一点，且32PEPA （）证明：平面EBC 平面PAC；（）求三棱锥PBCE的体积【解答】（）证明：PA平面ABCD，BC 平面ABCD，PABC，在直角梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD，2AB ，1ADCD， 2ACBC， 222 ACBCAB， ACBC，又PAAC，PA平面PAC， AC 平面PAC， BC平面PAC， BC 平面EBC，平面EBC 平面PAC （）解： P BCEB PCE VV ，由（1）可知BC 平面PCE，所以三棱锥BPCE的高为2BC ， 32PEPA，2 PE AE ， 22 16 32

30、33 23 PCEPAC SS ， 162 3 2 339 P BCEB PCE VV 第 16 页（共 20 页） 18 （12 分）已知等差数列 n a中，公差0d ， 11 77S，且 2 a， 6 1a ， 11 a成等比数列（1）求数列 n a的通项公式；（2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意可得 1 2 111 11 10 1177 2 (51)()(10 ) ad adad ad 即 1 57, (74 ) (75 )36 ad dd 又因为0d ，所以 1 2,

31、1 a d 所以1 n an（5 分）（2） 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn ， 11111111 233412222(2) n n T nnnn 存在 * nN，使得 1 0 nn Ta 成立存在 * nN，使得(2) 0 2(2) n n n 成立即存在 * nN，使得 2 2(2) n n 成立 2 11 4 2(2)16 2(4) n n n n （当且仅当2n 时取等号） 1 16 ，即实数的取值范围是 1 (, 16 （12 分） 19 （12 分） “一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松” 又成为了兰州的另一张名片，

32、随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑调练天数不大于 2 天 3 天或 4 天不少于 5 天人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于 5 天，则称其为“热烈参与者” ，否则称为“非热烈参与者” 第 17 页（共 20 页）（1）经调查，该市约有 2 万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参

33、与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男 140 女 55 合计附： 2 2 () ( ()()()() n adbc kn ab cdac bd 为样本容量） 2 0 ()P kk 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解：

34、（1）以 200 人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为： 1 200004000 5 （2）热烈参与者非热烈参与者合计男 35 105 140 女 5 55 60 合计 40 160 200 2 2 200 (35 55 105 5) 7.2926.635 40 160 140 60 K ，故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关 20 （12 分）已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3 （1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点( 3,8)

35、D 的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值【解答】解：（1）设点( , )P x y，由题意可得 22 (5)(0)5 39 5 | 5 xy x 第 18 页（共 20 页）化简整理可得 22 1 94 xy ，所以点P的轨迹E的方程为 22 1 94 xy （4 分）（2）证明：由（1）可得，过点D的直线l斜率存在且不为 0，故可设l的方程为(0)ykxm k， 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，由 22 1 94 ykxm xy 得 222 (49)189360kxkmxm， 22222 (18)4(49)(936)144(

36、94)0kmkmkm，即 22 94mk， 2 1212 22 18936 , 4949 kmm xxx x kk ，而 12 12 33 ABAC yy kk xx 1221 12 (3)(3) (3)(3) y xyx xx 1221 12 ()(3)()(3) (3)(3) kxm xkxm x xx 1212 1212 2(3)()6 3()9 kx xkm xxm x xxx 2 22 2 22 93618 2(3)()6 4949 93618 3 ()9 4949 mkm kkmm kk mkm kk 8 3(3 )mk ，由于直线l过点( 3,8)D ，所以38km，所以

37、1 3 ABAC kk（即为定值）（12 分） 21 （12 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若曲线( )yf x在点 0 (1,)Py处的切线为:(1)0lexyn，求m，n；（2）当1m 时，若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，试求实数 a的取值范围【解答】解：（1）函数 2 ( )(23 ) x f xemxx的导数( )(43) x fxemx，根据函数导数的几何意义，可得 f （1）1eme，即1m 则 2 ( )23 x f xexx，点P坐标为(1,1)e 第 19 页（共 20 页）点P在直线:(

38、1)0lexyn上 2n 故1m ，2n （2）当1m 时， 2 ( )23 x f xexx 关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立， 1 2 x ex a xx ，设 1 ( ) 2 x ex g x xx ，则 222 (1)11(1)11 ( ) 22 xx exex g x xxx ，由1 x yex的导数为1 x ye ，可得0 x 时，0y，函数1 x yex递增，0 x 时，函数1 x yex递减，则1 0 x ex ，即10 x ex ，当1x时， 22 (1)11(1)(1)111 0 222 x exxx xx ，则 1 (

39、 ) 2 x ex g x xx 在1，)递增，可得 3 ( )(1) 2 min g xge，则 3 2 a e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 ( k k xcos t t ysin t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2

40、 cos3 sin120 （1）当2k 时，求出 1 C的普通方程，并说明该曲线的图形形状（2）当1k 时，P是曲线 1 C上一点，Q是曲线 2 C上一点，求PQ的最小值【解答】解：（1）曲线 1 C的参数方程为 2 ( k k xcos t t ysin t 为参数），当2k 时，消t得22xy，(0,0)xy厖，该曲线是以(2,0)A，(0,1)B为端点的线段（2）当1k 时，曲线 1 C的普通方程为椭圆： 2 2 1 4 x y；曲线 2 C的普通方程为直线：23120 xy；第 20 页（共 20 页）可知直线与椭圆相离，则PQ的最小值为P到直线的距离最小值则 |

41、4cos3sin12|5sin()12|125sin() 131313 tttt d ，当sin()1t时，有最小值 7 13 13 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |24|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ；（2）记( )f x的最小值为M，若实数a，b满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 【解答】解：（1）易知 33,2 ( ) |24|1|5, 12 33,1 xx f xxxxx xx 剟因为( ) 5f x ，所以 2 33 5 x x ，或 12 55 x x 剟，或 1 33 5 x x 所以 8 2 3 x ，或02x剟，或，所以 8 0 3 x剟，所以不等式的解集为 8 |0 3 xx 剟（5 分）（2）证明：( ) |24|1|2|(2)(1)| |2| 3 3f xxxxxxx厖，当且仅当2x 时取等号 ( )f x的最小值为3M ，所以 22 3ab，所以 2222 22 22222222 111111211212 ()(2)(1)(2)(22) 212162162163 baba ab abababab ，当且仅当 22 22 12 21 ba ab ，即 2 1a ， 2 2b 时取等号（10 分）

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