1、高考调研高考调研 第第1页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 高考调研高考调研 第第2页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第3课时课时 函数的单调性和最值函数的单调性和最值 高考调研高考调研 第第3页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1理解函数的单调性及其几何意义 2会运用函数图像理解和研究函数
2、的性质 3会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义 请注意 函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考 的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性 比较大小、求值域、最值或解不等式 高考调研高考调研 第第4页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 课外阅读课外阅读 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐
3、课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1单调性定义 (1)单调性定义：给定区间D上的函数yf(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间 D上的增函数，否则为区间D上的减函数 单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区 间 x1，x2 高考调研高考调研 第第7页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入 手，也可
4、以从导数入手利用定义证明单调性的一般步骤 是a.x1，x2D，且 ，b.计算 并判断符 号，c.结论 设yf(x)在某区间内可导，若f(x) 0 ， 则 f(x) 为 增 函 数，若f(x) 0，则f(x)为减函数 x10，则函数f(x)在区间D上是增函数 答案 (1) (2) (3) (4) 高考调研高考调研 第第12页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2(课本习题改编)已知f(x)2x2x，x1,3，则其 单调递减区间为_；f(x)min_. 答案 1 4，3， 15 高考调研高考调研 第第13页页 第二章
5、第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 (1)(，1)，(1，) (2)(1,1 3(1)函数 y1x 1x的单调递减区间是_； (2)函数 y 1x 1x的单调递减区间是_ 高考调研高考调研 第第14页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 (1)y1x 1x1 2 1x， 当 1x0 或 1x0 时，此函数均为减函数，故减 区间为(1，)，(，1) (2)由1x 1x0，得 x(1,1，此即为递减区间 高考调研高考调研 第第15页页
6、第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4 函 数 f(x) log0.5(x2 2x 8) 的 单 调 递 增 区 间 _；单调递减区间_ 答案 (，2)，(4，) 解析 先求函数的定义域，令x22x80，得x4或x 2，通过图像得函数ux22x8，在x4时，单调递 增，在x2时递减，所以原函数f(x)log0.5(x22x8)在 (4，)上递减，在(，2)上递增 高考调研高考调研 第第16页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 讲评 求函
7、数的单调区间，应先确定函数的定义域，在 定义域的基础上，划分单调增(减)区间，因此，函数的单调区 间应是定义域的子集 高考调研高考调研 第第17页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a b0，则有( ) Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)0，ab，ba. f(a)f(b)，f(b)f(a)，选A. 高考调研高考调研 第第18页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）
8、数学（理） 高三总复习高三总复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第19页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型一题型一 单调性的判断与证明单调性的判断与证明 例 1 已知 a0，函数 f(x)xa x(x0)，证明：函数 f(x) 在(0， a上是减函数，在 a，)上是增函数 【解析】 证明： 设 x1， x2是任意两个正数， 且 0x1x2， 则 f(x1)f(x2) (x1 a x1)(x2 a x2) x1x2 x1x2 (x1x2a) 高考调研高考调研 第第20页页 第二章第二章 函数与基本初等
9、函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 略 当 0x1x2 a时，0x1x2a，又 x1x20，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)在(0， a上是减函数； 当 ax1a，又 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围 思考题思考题1 【解析】 (1)证明 任设 x1x20，x1x20，f(x1)f(x2) f(x)在(，2)上单调递增 已知 f(x) x xa(xa) 高考调研高考调研 第第23页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标
10、版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)略 (2)0a1 (2)解 任设 1x10，x2x10， 要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立， a1. 综上所述知 0a1. 高考调研高考调研 第第24页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x22|x|3； 题型二题型二 求函数的单调区间求函数的单调区间 (2)f(x)log1 2(x 24x5)； (3)yxlnx. 【解析】 (1)f(x) x22x3 x0， x22x3 x
11、0，1x0. y11 x x1 x . x (0,1) 1 (1，) y 0 y 高考调研高考调研 第第28页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)单调递增区间为(，1，0,1 单调 递减区间为1,0，1，) (2)单调递增区间为(2,5)，单调递减区间为(1,2 (3)单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1) 高考调研高考调研 第第29页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 求函数的单调区间与确定单调性
12、的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差 或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图 像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定 义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区 间，依据是“同增异减” (6)求函数单调区间，定义域优先 高考调研高考调研 第第30页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 求
13、下列函数的单调区间 (1)f(x)x|1x|； 思考题思考题2 (2)f(x) 1 32xx2； (3)y3x26lnx. 【解析】 (1)f(x) 2x1x1， 1x1， 画图知单调递增区 间为(，1 高考调研高考调研 第第31页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)32xx20，3x0，得 x1，单调递增区间为(1，) 由 y0，得 0x0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 高考调研高考调研 第第34页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复
14、习高三总复习 【解析】 (1)当 a1 2时，f(x)x 1 2x2， 联想到 g(x)x1 x的单调性， 猜想到求 f(x)的最值可先证 明 f(x)的单调性任取 1x1x2， 则 f(x1)f(x2)(x1x2)( 1 2x1 1 2x2) x 1x22x1x21 2x1x2 . 高考调研高考调研 第第35页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1x11，2x1x210. 又 x1x20， f(x1)0. 这样问题就转化为求g(x)的最小值(a)，从而得到关于a 的不等式，解之即可 (2)用等价变换和函数思想解
15、题 在区间1，)上，f(x)x 22xa x 0 恒成立x22x a0 恒成立 高考调研高考调研 第第37页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 g(x)(x1)2a1，对称轴为x1，且开口向上 所以g(x)在1，)上递增 所以g(x)在1，)上的最小值为g(1)3a. 由3a0，得a3. 【答案】 (1)7 2 (2)a3 高考调研高考调研 第第38页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究3 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值
16、的重要方 法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方 法 (2)函数的最值与单调性的关系： 若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最 大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最 大值为f(b)，最小值为f(a) 高考调研高考调研 第第39页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题3 求函数 f(x)x1 x在1,3上的最值 【解析】 方法一：设 1x1x23， f(x2)f(x1)x2 1 x2(x1 1 x1) x2x1 1 x
17、1 1 x2x2x1 x2x1 x1x2 (x2x1)(1 1 x1x2)， 高考调研高考调研 第第40页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1x10. f(x)x1 x在1,3上为增函数 最小值为 f(1)0，最大值为 f(3)8 3. 方法二：在1,3上，yx 为增函数，y1 x为减函数， yx1 x为增函数，以下同方法一 【答案】 最小值为 f(1)0，最大值为 f(3)8 3 高考调研高考调研 第第41页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总
18、复习高三总复习 例4 (1)已知函数yloga(2ax)在0,1上是x的减函数， 则实数a的取值范围是_ 【解析】 设u2ax，a0且a1， 函数u在0,1上是减函数 由题意可知函数ylogau在0,1上是增函数， a1.又u在0,1上要满足u0， 题型四题型四 单调性的应用单调性的应用 高考调研高考调研 第第42页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1,2) 2a10， 2a00， 得 a2. 综上得 1a2. 高考调研高考调研 第第43页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课
19、标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)已知f(x)的定义域为(0，)，且在其上为增函数，满 足f(xy)f(x)f(y)，f(2)1，试解不等式f(x)f(x2)3. 【解析】 f(2)f(2)f(4)，f(2)1， f(4)2. 321f(4)f(2)f(8) f(x)f(x2)fx(x2)， 原不等式为fx(x2)f(8) 高考调研高考调研 第第44页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 根据函数的定义域和单调性有 【答案】 x|2x4 x0， x20， xx28 2x4. 原不等式的
20、解集为x|2x4 高考调研高考调研 第第45页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究4 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高 考中热点，主要体现对性质的应用 高考调研高考调研 第第46页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)已知函数f(x)在区间0，)上单调递 增，则满足f(x22x3)0，x22x36. x22x30，3x1. 【答案】 3x1 思考题思考题4 高考调研高考调研 第第47页页 第二章第二章 函数与基本初
21、等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)已知 f(x) 2ax1，x0， a1， a2a11， 解得 a 的取值范围是3 2a0)，单调递增区间：(， a， a，)；单调递减区间： a，0)，(0， a 高考调研高考调研 第第49页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上) 同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“”符号连 接 5若f(x)具有对称轴xa，则在xa两侧的对称区间上 f(x)具有相反的单调性； 若f(x
22、)具有对称中心(a，b)，则在xa两侧的对称区间上 f(x)具有相同的单调性 6函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变 单调区间，上下平移不改变单调区间 高考调研高考调研 第第50页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第51页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1(2014北京理)下列函数中，在区间(0，)上为增函 数的是( ) 答案 A Ay x1 By(x1)2 Cy2 x Dylog0
23、.5(x1) 高考调研高考调研 第第52页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 A 项，函数 y x1在1，)上为增函数， 所以函数在(0，)上为增函数，故正确；B 项，函数 y (x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故 错误；C 项，函数 y2 x 1 2 x 在 R 上为减函数，故错误；D 项，函数 ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误 高考调研高考调研 第第53页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复
24、习 2若函数yx2bxc(x0，)是单调函数，则实 数b的取值范围是( ) Ab0 Bb0 Cb0 Db0 Ck0. 高考调研高考调研 第第55页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 答案 A 4设函数 f(x)2x1 x1(x0)，则 f(x)( ) 高考调研高考调研 第第56页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 当 x0，(2x1 x)(2x) (1 x)2 2x 1 x2 2
25、， 即2x 1 x2 2， 2x 1 x1 2 21，即 f(x)2 21，当且仅当2x1 x，即 x 2 2 时取等号，此时函数 f(x)有最大值，选 A. 高考调研高考调研 第第57页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 5给定函数yx1 2，ylog 1 2(x1)，y|x1|， y2x 1，其中在区间(0,1)上是单调递减的函数的序号是 _ 高考调研高考调研 第第58页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 6若函数f(x)
26、|2xa|的单调递增区间是3，)，则a _. 答案 6 解析 画图知a6. 高考调研高考调研 第第59页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 7若函数 f(x)loga(x2ax1 2)有最小值，则实数 a 的 取值范围是_ 答案 (1， 2) 解析 当 a1 且 x2ax1 2有最小值时，f(x)才有最小值 loga2a 2 4 ， a1， 0 1a2时，yminf(a)a22. 高考调研高考调研 第第63页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习
27、高三总复习 【讲评】 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自 变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关 系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区 分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解 决 高考调研高考调研 第第64页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据 具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的 函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数 的最值如可用三角代换解决形如a2b21及部分根式函数 形式的
28、最值问题 高考调研高考调研 第第65页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例 2 (1)函数 f(x)x2 1x的最大值为_ 【解析】 设 1xt(t0)， x1t2. yx2 1x1t22t t22t1(t1)22. 当 t1 即 x0 时，ymax2. 高考调研高考调研 第第66页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)求函数 yx 4x2的值域 【解析】 换元法：由 4x20，得2x2，设 x 2cos(0， )， 则 y2
29、cos 44cos22cos2sin 2 2cos( 4)， 4 4， 5 4 ， cos( 4)1， 2 2 ，y2 2，2 高考调研高考调研 第第67页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3不等式法 主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值 问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种： a2b22ab(a，b 为实数)；ab 2 ab(a0，b0)； ab(ab 2 )2a 2b2 2 (a，b 为实数) 高考调研高考调研 第第68页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新
30、课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【思路】 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利 用基本不等式求得最值 例 3 设 x，y，z 为正实数，x2y3z0，则y 2 xz的最小 值为_ 高考调研高考调研 第第69页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 因为 x2y3z0， 所以 yx3z 2 ，所以y 2 xz x29z26xz 4xz . 又 x，z 为正实数，所以由基本不等式， 得y 2 xz 6xz6xz 4xz 3. 当且仅当 x3z 时取“” 故y 2 xz的最小值为 3.故填
31、3. 高考调研高考调研 第第70页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题，一般地， 可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决在利用均 值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”， 特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误 高考调研高考调研 第第71页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求 函数的最值这种利用函数单调性
32、求最值的方法就是函数单 调性法这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中 的某一问中出现 高考调研高考调研 第第72页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出 函数的最值，然后利用条件求得参数a的值 例 4 设 a1，函数 f(x)logax 在区间a,2a上的最大值 与最小值之差为1 2，则 a_. 【解析】 a1，函数 f(x)logax 在区间a,2a上是 增函数，函数在区间a,2a上的最大值与最小值分别为 loga2a，logaa1.loga21 2，a4.故
33、填 4. 高考调研高考调研 第第73页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在 给定区间上的单调性，这是问题的关键 高考调研高考调研 第第74页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5导数法 设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值 与f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值 的方法就
34、是导数法 例5 函数f(x)x312x1在闭区间3,0上的最大值、 最小值分别是_ 【思路】 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数 值比较大小，确定最值 高考调研高考调研 第第75页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 因为f(x)3x212，所以令f(x)0，得x 2或x2(舍去)又f(3)10，f(2)17，f(0)1，比较 得，f(x)的最大值为17，最小值为1. 【讲评】 利用导数法求函数最值的三个步骤：第 一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值 f(a)，f(b)；第三，比
35、较上述极值与端点函数值的大小，即得 函数的最值函数的最大值及最小值点必在以下各点中取 得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点 高考调研高考调研 第第76页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 6平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法， 可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的 函数最值问题 例 6 已知函数 y 1x x3的最大值为 M，最小 值为 m，则m M的值为( ) A.1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 高考调研高考调研 第第77页页 第二章第二章 函数与基本初
36、等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定 义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可 以利用二次函数的最值解决 高考调研高考调研 第第78页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 由题意，得 1x0， x30. 所以函数的定义域为x|3x1 两边平方，得 y242 1x x3 42 1xx3. 所以当 x1 时，y 取得最大值 M2 2； 当 x3 或 1 时，y 取得最小值 m2，选 C. 高考调研高
37、考调研 第第79页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【讲评】 对于形如 y acx cxb的无理函数的 最值问题，可以利用平方法将问题化为函数 y2(ab) 2 acxcxb的最值问题， 这只需利用二次函数的最值即 可求得 高考调研高考调研 第第80页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 7数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几 何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法 【思路】 本题实质上是一个分段函数的
38、最值问题先 根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解 例 7 对 a，bR，记 max|a，b| a，ab， b，ab， 函数 f(x) max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_ 高考调研高考调研 第第81页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 由|x1|x2|， 得(x1)2(x2)2.所以 x1 2. 高考调研高考调研 第第82页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 所以 f(x) |x1|，x1 2， |x2
39、|，x1 2. 其图像如图所示 由图形易知，当 x1 2时，函数有最小值， 所以 f(x)minf(1 2)| 1 21| 3 2. 高考调研高考调研 第第83页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 8线性规划法 线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：由条件 写出约束条件；画出可行域，并求最优解；根据目标函 数及最优解，求出最值 例8 已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x y4，yx，x1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等 于_，最大值等于_ 【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题，求解 时
40、，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值 高考调研高考调研 第第84页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 由题意， 得点 P(x， y)的坐标满足 xy4， yx， x1. 高考调研高考调研 第第85页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 画出可行域，如图所示 由条件，得 A(2,2)，|OA|2 2； B(1,3)，|OB| 10； C(1,1)，|OC| 2. 故|OP|的最大值为 10，最小值为 2. 高考调研高考调研 第第86页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练
