1、2021 年河南省郑州市中原区二校联考中考数学试卷年河南省郑州市中原区二校联考中考数学试卷（B 卷）卷） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题均有分）下列各题均有 4 个答案，其中只有一个答案是正确个答案，其中只有一个答案是正确. 1下面有理数比较大小，正确的是（ ） A02 B53 C23 D14 2在“流浪地球”的影片中地球要摆脱太阳引力，必须靠外力推动达到逃逸速度，已知地球绕太阳公转的 速度约为 110000km/h，这个数用科学记数法表示为（单位：km/h） （ ） A0.11104 B0.11106 C1.1105 D1.1104 3 “爱我中华
2、” ，如图所示，用 KT 板制作的“中”字的俯视图是（ ） A B C D 4下列运算正确的是（ ） A （a3）2a6 B2a2+3a26a2 C2a2a32a6 D 5为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛来自不同年级的 30 名参赛同学 的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人 2 4 9 10 5 A92 分，96 分 B94 分，96 分 C96 分，96 分 D96 分，100 分 6一元二次方程 x2+4x+50 的根的情况是（ ） A无实数根 B有一个实根 C有两个相等的实数根 D有两个不
3、相等的实数根 7为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将 420 亩荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率 是原计划的 1.5 倍，进而比原计划提前 2 天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山 x 亩，可列方程为 （ ） A2 B+2 C D+ 8 如图， 在平面直角坐标系中， PBPA， ABx 轴于点 E， 正比例函数 ymx 的图象和反比例函数 y 的图象相交于 A、P（1，2）两点，则点 B 的坐标是（ ） A （1，3） B （1，4） C （1，5） D （1，6） 9如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，
4、再分别以 M、 N 为圆心， 大于 MN 的长为半径画弧， 两弧交于点 P， 连接 AP 并延长交 BC 于点 D， 则下列说法中正确的个数是（ ） 点 D 到BAC 的两边距离相等； 点 D 在 AB 的中垂线上； AD2CD AB2CD A1 B2 C3 D4 10运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气 阻力，足球距离地面的高度 y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 x（单位：s）近似满足函数关系 y ax2+bx+c（a0） 如图记录了 3 个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高 点时，最接近的时刻 x 是（ ）
5、A4 B4.5 C5 D6 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11写出一个比大且比小的整数为 12在实数范围内，对于任意实数 m，n（m0）规定一种新运算：mnmn+mn3例如：4242+4 2321若 x23，则 x 13如图，在 RtABC 中，ACB90，A60，AC6，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 ABC，此时点 A恰好在 AB 边上，则点 B与点 B 之间的距离为 14如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 M 为 DE 的中点，BM 分别交 AC 和 CD 于点 P，Q若ABC 的面积为 6，则图中阴影部分的
6、面积为 15如图，在ABC 中，ACB90，A30，AB2，点 P 是 AC 上的动点，连接 BP，以 BP 为边作等边BPQ，连接 CQ，则点 P 在运动过程中，线段 CQ 长度的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （2），其中 x（） 1 +（2）0+2sin30 17 （9 分）央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A 微信、B 支 付宝、C 现金、D 其他调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整 的统计图 请你根据统计图提供的信息，
7、解答下列问题： （1）本次一共调查了 名购买者； （2）请补全条形统计图在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 度 （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “现金”三种付款方式中选一种方式进行付 款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率 18 （9 分）如图，AB 是O 的直径，D 是O 外一点DB 和 DC 都与O 相切，切点分别是点 B、C，连 接 OD 交O 于点 E，连接 AC （1）求证：ACOD； （2）如果 AB2， 当 BD 时，四边形 OACE 是菱形； 当 BD 时，四边形 OCDB 是正方形 19 （9 分） “C919
8、”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得 的一数据不完整的航模飞机机翼图纸，ABCD，AMBNED，AEDE，请根据图中数据，求出线段 BE 和 CD 的长度 （结果精确到 0.1cm，sin370.60，cos370.80，tan370.75） 20 （9 分）某商场销售一种成本为每件 30 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x （元）之间的关系可近似看作一次函数 y10 x+600，商场销售该商品每月获得利润为 w（元） （1）求 w 与 x 之间的函数关系式； （2）如果商场销售该商品每月想要获得 2000 元的利润，那么每月成
9、本至少多少元？ （3）若销售价不低于 40 元且不高于 55 元，请直接写出每月销售新产品的利润 w 的取值范围 21 （10 分）如图，Q 是与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦 AB 上一动点，连接 PQ 并延长 交于点 C，连接 AC已知 AB6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，A， C 两点间的距离为 y2cm 小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值；
10、 x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37 y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，并画 出函数 y1，y2的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B（如图） 抛物线 y ax2+bx（a0）经过点 A （1）求线段 AB 的长； （
11、2）如果抛物线 yax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C，且 BC，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线 yax2+bx 的顶点 D 位于AOB 内，求 a 的取值范围 23 （11 分） （1）问题发现 如图 1，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE45，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE 填空： 的值为 ； DBE 的度数为 （2）类比探究 如图 2，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE60，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE请判断的值及DBE 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图 3，在（2）的条
12、件下，将点 D 改为直线 AB 上一动点，其余条件不变，取线段 DE 的中点 M，连接 BM、CM，若 AC2，则当CBM 是直角三角形时，线段 BE 的长是多少？请直接写出答案 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题均有分）下列各题均有 4 个答案，其中只有一个答案是正确个答案，其中只有一个答案是正确. 1下面有理数比较大小，正确的是（ ） A02 B53 C23 D14 【分析】直接利用有理数比较大小的方法分别比较得出答案 【解答】解：A、02，故此选项错误； B、53，正确； C、23，故此选项错误； D、14，故
13、此选项错误； 故选：B 2在“流浪地球”的影片中地球要摆脱太阳引力，必须靠外力推动达到逃逸速度，已知地球绕太阳公转的 速度约为 110000km/h，这个数用科学记数法表示为（单位：km/h） （ ） A0.11104 B0.11106 C1.1105 D1.1104 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为整数，据此判断即 可 【解答】解：1100001.1105 故选：C 3 “爱我中华” ，如图所示，用 KT 板制作的“中”字的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可 【解答】解：这个几何体的俯视图为： 故
14、选：C 4下列运算正确的是（ ） A （a3）2a6 B2a2+3a26a2 C2a2a32a6 D 【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断 【解答】解：A、 （a3）2a6，此选项错误； B、2a2+3a25a2，此选项错误； C、2a2a32a5，此选项错误； D、，此选项正确； 故选：D 5为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛来自不同年级的 30 名参赛同学 的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人 2 4 9 10 5 A92 分，96 分 B94
15、分，96 分 C96 分，96 分 D96 分，100 分 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可 【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第 15、16 个数的平均数， 所以全班 30 名同学的成绩的中位数是：94； 96 出现了 10 次，出现的次数最多，则众数是 96， 所以这些成绩的中位数和众数分别是 94 分，96 分 故选：B 6一元二次方程 x2+4x+50 的根的情况是（ ） A无实数根 B有一个实根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：424540， 方程无实数根 故选：
16、A 7为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将 420 亩荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率 是原计划的 1.5 倍，进而比原计划提前 2 天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山 x 亩，可列方程为 （ ） A2 B+2 C D+ 【分析】设原来平均每天绿化荒山 x 亩，则实际平均每天绿化荒山 1.5x 亩，根据工作时间工作总量 工作效率结合实际比原计划提前 2 天完成绿化任务，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 【解答】解：设原来平均每天绿化荒山 x 亩，则实际平均每天绿化荒山 1.5x 亩， 依题意，得：2 故选：A 8 如图， 在平面直角坐标系中， PBPA， ABx 轴于
17、点 E， 正比例函数 ymx 的图象和反比例函数 y 的图象相交于 A、P（1，2）两点，则点 B 的坐标是（ ） A （1，3） B （1，4） C （1，5） D （1，6） 【分析】证明PNOBMP，则 MPON1，故 MNMP+PN1+23，即可求解 【解答】解：AP 为正比例函数，故点 A、P 关于原点对称，则点 A（1，2） ，则设点 B（1，t） ， 过点 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 N，交点 B 与 x 轴的平行线于点 M， MPB+NPO90，MPB+MBP90， NPOMPB， BM1（1）2PN2，PNOBMP90， PNOBMP（AAS） ， MPON1， 故
18、 MNMP+PN1+23， 故点 B 的坐标为（1，3） ， 故选：A 9如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N， 再分别以 M、 N 为圆心， 大于 MN 的长为半径画弧， 两弧交于点 P， 连接 AP 并延长交 BC 于点 D， 则下列说法中正确的个数是（ ） 点 D 到BAC 的两边距离相等； 点 D 在 AB 的中垂线上； AD2CD AB2CD A1 B2 C3 D4 【分析】根据角平分线的性质和含 30的直角三角形的性质解答即可 【解答】解：由图可知：AD 是BAC 的平分线， 点 D 到BAC 的两边距离相等，正确
19、； ABC 中，C90，B30， BDAB30， ADDB， 点 D 在 AB 的中垂线上，正确； C90，B30， DAC30， AD2CD，正确； AB2AC，ACCD， AB2CD，正确； 故选：D 10运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气 阻力，足球距离地面的高度 y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 x（单位：s）近似满足函数关系 y ax2+bx+c（a0） 如图记录了 3 个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高 点时，最接近的时刻 x 是（ ） A4 B4.5 C5 D6 【分析】由题意得出点（3，18）
20、 、 （5，20） 、 （7，14）在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，再用待定系数 法求出抛物线解析式，进而配成顶点式，即可得出结论 【解答】解：由题意得，点（3，18） 、 （5，20） 、 （7，14）在抛物线 yax2+bx+c（a0）上， ， ， 抛物线解析式为 yx2+9x（x）2+， 当 x时，足球飞行达到最高点， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11写出一个比大且比小的整数为 2（或 3） 【分析】先估算出和的大小，再找出符合条件的整数即可 【解答】解：12，34， 比大且比小的整数为 2（或 3） 故答案为：2（或 3）
21、12在实数范围内，对于任意实数 m，n（m0）规定一种新运算：mnmn+mn3例如：4242+4 2321若 x23，则 x 0 或2 【分析】根据新定义得到方程 x2+2x33，再解方程即可得出答案 【解答】解：由题意得：x2x2+2x33， x2+2x0， x（x+2）0， 解得：x10，x22 故答案为：0 或2 13如图，在 RtABC 中，ACB90，A60，AC6，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 ABC，此时点 A恰好在 AB 边上，则点 B与点 B 之间的距离为 6 【分析】连接 BB，如图，先根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BC6，再根据旋转的性质 得到
22、CACA， CBCB， ACABAB， 则可判断CAA为等边三角形， 所以ACA60， 然后判断CBB为等边三角形，从而得到 BB的长 【解答】解：连接 BB，如图， ACB90，A60，AC6， BCAC6， ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB 边上， CACA，CBCB，ACABAB， CACA，A60， CAA为等边三角形， ACA60， BCB60， CBB为等边三角形， BBCB6， 即点 B与点 B 之间的距离为 6 故答案为 6 14如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 M 为 DE 的中点，BM 分别交 AC 和 CD
23、 于点 P，Q若ABC 的面积为 6，则图中阴影部分的面积为 7 【分析】由四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，易证得BCPBDE，ABPCQP DQM，又由点 M 为 DE 的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， ADBCCE，ABCD，ACDE， BCPBDE，ABPCQPDQM， CP：EMBC：BE1：2， 点 M 为 DE 的中点， CP：DM1：2， CP：ACCP：DE1：4， SABC6， SABPSABC， CP：AP1：3， SPCQSABP， CP：DM1：2， SDQM4SP
24、CQ2， S阴影SABP+SPCQ+SDQM7 故答案为：7 15如图，在ABC 中，ACB90，A30，AB2，点 P 是 AC 上的动点，连接 BP，以 BP 为边作等边BPQ，连接 CQ，则点 P 在运动过程中，线段 CQ 长度的最小值是 【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE由QBCPBE（SAS） ，推出 QCPE，推出当 EP AC 时，QC 的值最小； 【解答】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE ACB90，A30， CBE60， BEAE， CEBEAE， BCE 是等边三角形， BCBE， PBQCBE60， QBCPBE， QBPB，CBEB，
25、QBCPBE（SAS） ， QCPE， 当 EPAC 时，QC 的值最小， 在 RtAEP 中，AE，A30， PEAE， CQ 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （2），其中 x（） 1 +（2）0+2sin30 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据有理数的混合运算求出 x 的值，代入 计算即可 【解答】解：原式（） ， x（） 1 +（2）0+2sin30 22+1+2 22+1+1 2， 原式3 17 （9 分）央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目
26、前支付方式有：A 微信、B 支 付宝、C 现金、D 其他调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整 的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 200 名购买者； （2）请补全条形统计图在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 108 度 （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “现金”三种付款方式中选一种方式进行付 款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率 【分析】 （1）根据 B 的人身和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择 A 和 D 的
27、人数，从而可以将条形统计图补充完整；用 360乘以 A 种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角的度数； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得 出答案 【解答】解： （1）本次一共调查的购买者有：5628%200（名） ； 故答案为：200； （2）D 方式支付的有：20020%40（人） ， A 方式支付的有：20056444060（人） ， 补全的条形统计图如图所示： 在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360108； 故答案为：108； （3）根据题意画图如下： 共有 9 种等可能的情况
28、数，其中两人恰好选择同一种付款方式的有 3 种， 则两人恰好选择同一种付款方式的概率是 18 （9 分）如图，AB 是O 的直径，D 是O 外一点DB 和 DC 都与O 相切，切点分别是点 B、C，连 接 OD 交O 于点 E，连接 AC （1）求证：ACOD； （2）如果 AB2， 当 BD 时，四边形 OACE 是菱形； 当 BD 1 时，四边形 OCDB 是正方形 【分析】 （1）想办法证明 ACBC，ODBC 即可判断 （2）当 BD时，四边形 OACE 是菱形根据四边相等的四边形是菱形证明即可 当 BD1 时，四边形 OCDB 是正方形根据有一个角是 90的菱形是正方形证明即可 【解
29、答】 （1）证明：连接 BC，OC DB，DC 是O 的切线， DBDC， OCOB， ODBC， AB 是直径， ACB90，即 ACBC， ACOD （2）解：当 BD时，四边形 OACE 是菱形 理由：连接 EC BD 是O 的切线， BDOB， OBD90， tanDOB， DOB60， ACOD， OACDOB60， OAOC， AOC 是等边三角形， ACOAOE， ACOE， 四边形 OACE 是平行四边形， OAOE， 四边形 OACE 是菱形 故答案为 当 BD1 时，四边形 OCDB 是正方形 理由：BD，DC 是O 的切线， DBDC， OBOC1，BD1， OBBDDC
30、OC， 四边形 OCDB 是菱形， OBD90， 四边形 OCDB 是正方形 故答案为 1 19 （9 分） “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得 的一数据不完整的航模飞机机翼图纸，ABCD，AMBNED，AEDE，请根据图中数据，求出线段 BE 和 CD 的长度 （结果精确到 0.1cm，sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【分析】在 RtBED 中可先求得 BE 的长，过 C 作 CFAE 于点 F，则可求得 AF 的长，从而可求得 EF 的长，即可求得 CD 的长 【解答】解：BNED， NBDBDE37， AE
31、DE， E90， BEDEtanBDE18.8（cm） ， 如图，过 C 作 AE 的垂线，垂足为 F， FCACAM45， AFFC25cm， CDAE， 四边形 CDEF 为矩形， CDEF， AEAB+EB35.75（cm） ， CDEFAEAF10.8（cm） ， 答：线段 BE 的长约等于 18.8cm，线段 CD 的长约等于 10.8cm 20 （9 分）某商场销售一种成本为每件 30 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x （元）之间的关系可近似看作一次函数 y10 x+600，商场销售该商品每月获得利润为 w（元） （1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
32、 （2）如果商场销售该商品每月想要获得 2000 元的利润，那么每月成本至少多少元？ （3）若销售价不低于 40 元且不高于 55 元，请直接写出每月销售新产品的利润 w 的取值范围 【分析】 （1）根据月利润（销售单价成本价）销售量，从而列出关系式； （2）令 w2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价，再根据：月成本成本价销售量可得答 案； （3）将（2）中 w 的解析式配方，根据二次函数的性质及售价的范围，可得答案 【解答】解： （1）w（x30） （10 x+600）10 x2+900 x18000 （2）由题意得，10 x2+900 x180002000， 解得：x140，x2
33、50， 当 x40 时，成本为 30（1040+600）6000（元） ， 当 x50 时，成本为 30（1050+600）3000（元） ， 每月想要获得 2000 元的利润，每月成本至少 3000 元； （3）w（x30） （10 x+600） 10 x2+900 x18000 10（x45）2+2250 当 x45 时，w 取得最大值 2250 销售价不低于 40 元且不高于 55 元，55 离对称轴 x45 远， 当 x55 时，w 取得最小值，最小值为 1250 销售价不低于 40 元且不高于 55 元时，每月销售新产品的利润 w 的取值范围为：1250w2250 21 （10 分）
34、如图，Q 是与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦 AB 上一动点，连接 PQ 并延长 交于点 C，连接 AC已知 AB6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，A， C 两点间的距离为 y2cm 小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值； x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.62 4.67 3.76 3 2.65 3.18 4.37 y2/cm 5.
35、62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，并画 出函数 y1，y2的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 3 或 4.91 或 5.77 cm 【分析】 （1）利用圆的半径相等即可解决问题； （2）利用描点法画出图象即可 （3）图中寻找直线 yx 与两个函数的交点的横坐标以及 y1与 y2的交点的横坐标即可； 【解答】解： （1）PA6 时，AB6，BC4.37，AC4.11， AB2AC2+BC2， ACB90， AB
36、 是直径 当 x3 时，PAPBPC3， y13， 故答案为 3 （2）函数图象如图所示： （3）观察图象可知：当 xy，即当 PAPC 或 PAAC 时，x3 或 4.91， 当 y1y2时，即 PCAC 时，x5.77， 综上所述，满足条件的 x 的值为 3 或 4.91 或 5.77 故答案为 3 或 4.91 或 5.77 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B（如图） 抛物线 y ax2+bx（a0）经过点 A （1）求线段 AB 的长； （2）如果抛物线 yax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C，且 BC，求这条抛
37、物线的表达式； （3）如果抛物线 yax2+bx 的顶点 D 位于AOB 内，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先求出 A，B 坐标，即可得出结论； （2）设点 C（m，m+5） ，则 BC|m|，进而求出点 C（2，4） ，最后将点 A，C 代入抛物线解析 式中，即可得出结论； （3） 将点A坐标代入抛物线解析式中得出b10a， 代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为 （5， 25a） ， 即可得出结论 【解答】解： （1）针对于直线 yx+5， 令 x0，y5， B（0，5） ， 令 y0，则x+50， x10， A（10，0） ， AB5； （2）设点 C（m，m+5） ， B（0，5）
38、， BC|m|， BC， |m|， m2， 点 C 在线段 AB 上， m2， C（2，4） ， 将点 A（10，0） ，C（2，4）代入抛物线 yax2+bx（a0）中，得， ， 抛物线 yx2+x； （3）点 A（10，0）在抛物线 yax2+bx 中，得 100a+10b0， b10a， 抛物线的解析式为 yax210axa（x5）225a， 抛物线的顶点 D 坐标为（5，25a） ， 将 x5 代入 yx+5 中，得 y5+5， 顶点 D 位于AOB 内， 025a， a0； 23 （11 分） （1）问题发现 如图 1，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCD
39、E45，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE 填空： 的值为 1 ； DBE 的度数为 90 （2）类比探究 如图 2，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE60，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE请判断的值及DBE 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图 3，在（2）的条件下，将点 D 改为直线 AB 上一动点，其余条件不变，取线段 DE 的中点 M，连接 BM、CM，若 AC2，则当CBM 是直角三角形时，线段 BE 的长是多少？请直接写出答案 【分析】 （1）由直角三角形的性质可得ABCCAB45CDECED，可得 ACBC，CD CE，由“
40、SAS”可证 ACDBCE，可得 BEAD，CABCBE45，即可求解； （2）通过证明ACDBCE，可得的值，CBECAD60，即可求DBE 的度数； （3）分点 D 在线段 AB 上和 BA 延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证 CMBM，即 可求 DE2，由相似三角形的性质可得ABE90，BEAD， 由勾股定理可求 BE 的长 【解答】解： （1）ACBDCE90，CABCDE45， ABCCAB45CDECED， ACBC，CDCE， ACBDCE90， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， BEAD，CABCBE45， DBEABC+CBE
41、90，1， 故答案为：1，90 （2），DBE90 理由如下：ACBDCE90，CABCDE60， ACDBCE，CEDABC30 tanABCtan30 ACBDCE90，CABCDE60， RtACBRtDCE ，且ACDBCE ACDBCE ，CBECAD60 DBEABC+CBE90 （3）若点 D 在线段 AB 上，如图， 由（2）知：，ABE90 BEAD AC2，ACB90，CAB90 AB4，BC2 ECDABE90，且点 M 是 DE 中点， CMBMDE， CBM 是直角三角形 CM2+BM2BC2（2）2， BMCM DE2 DB2+BE2DE2， （4AD）2+（AD）224 AD+1 BEAD3+ 若点 D 在线段 BA 延长线上，如图 同理可得：DE2，BEAD BD2+BE2DE2， （4+AD）2+（AD）224， AD1 BEAD3 综上所述：BE 的长为 3+或 3
