1、2021 年河南省中考数学线上公益大模考诊断试卷年河南省中考数学线上公益大模考诊断试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1的绝对值是（ ） A B C5 D5 22020 年，我国国内生产总值达到 101.6 万亿元，数据“101.6 万亿”用科学记数法表示为（ ） A10.161013 B0.10161015 C1.0161012 D1.0161014 3将一块直角三角尺 ABC 按如图所示的方式放置，其中点 A、C 分别落在直线 a、b 上，若 ab，1 65
2、，则2 的度数为（ ） A75 B65 C35 D25 4下列计算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （2a）36a3 Ca3a5a8 D （a2）2a24 5如图是由 7 个相同的小正方体搭成的几何体，在标号为的小正方体上方添加一个小正方体后，所得几 何体的三视图与原几何体的三视图相比没有发生变化的是（ ） A主视图和俯视图 B主视图和左视图 C左视图和俯视图 D主视图、左视图和俯视图 6若点 A（2，y1） ，B（1，y2）在反比例函数 y的图象上，则 y1y2的值为（ ） A负数 B0 C正数 D无法确定 7下列说法正确的是（ ） A了解河南省初中生身高情况适宜全面调查 B甲，乙两名射
3、击运动员 5 次射击成绩的方差分别为 s甲 21.2，s 乙 22，说明甲的射击成绩比乙的射 击成绩稳定 C同旁内角互补是必然事件 D已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次一定可投中 6 次 8关于 x 的一元二次方程 x（x+1）3mx 的根的情况是（ ） A无实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判断 9如图，在ABCD 中，AB2，点 E 为 AD 的中点，按以下步骤作图：以点 E 为圆心，EA 长为半径 作弧，交 AB 于点 F；再分别以点 A 和点 F 为圆心，大于AF 的长为半径作弧，两弧相交于点 M； 作直线 EM 交 AB 于点 N，连
4、接 CE若ADC135，DE2，则 CE 的长为（ ） A2 B4 C2 D 10如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A，B，C，D 在坐标轴上，且 B（4，0） ，以 AB 为边构造菱形 ABEF， 将菱形 ABEF 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 45，则第 164 次旋转结束时， 点 F164的坐标为（ ） A （4，4） B （4，4） C （4，4） D （4，4） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若 a，b 都是无理数，且 ab1，则 a，b 的值分别是 （填一组满足条件的值） 12关于 x 的不等式组的解集
5、在数轴上如图表示，则 a 的值为 13某社团中有三名男生和一名女生，该社团将随机选派两名同学作为代表参加市级比赛，恰好选中一男 一女的概率是 14如图，在扇形 BCD 中，BCD150，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧交于点 A，连接 AC，若 BC4，则图中阴影部分的面积为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，E、F 分别为 AB、CD 边上的点，且 EFBC，G 为 EF 上一 点，且 GF2，M、N 分别为 GD、EC 的中点，则 MN 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （1），其中
6、a+2 17 （9 分）某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了 25 名 学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： c八年级 D 组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94； d七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示： 平均数 中位数 七年级 87.36 87 八年级 91.36 a 根据所给信息，解答下列问题： （1）根据统计图，对比两个年级成绩在 90 分以上（含 90 分）的百分比，七年级比八年级 ； （填 “大”或“小” ） （2）表中 a 的值为 ； （3） 小华的测试成绩为 89 分， 他
7、的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游， 请判断小华是 年 级的学生，并说明理由； （4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了 4 名同学的成绩记录如 下表： 七年级 八年级 学生代 码 A B C D E F G H 成绩 98 93 90 95 87 96 其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这 4 名同学中各有 2 名同学可 以获得奖励，于是小明说 G 和 H 两名同学中只有一名同学可以获得奖励请问小明的说法是否正确？并 说明理由 18 （9 分）蔡明园公园位于河南省驻马店市上蔡县蔡都镇西南部，其公园南山门被誉为“亚洲第一门”
8、，学 完了三角函数知识后，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量南山门最高点的高度”作为一项课题 活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量为了减小测量误差，小组在测量仰角以 及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表： 课题 测量南山门最高点的高度 实物图 成员 组长： 组员：， 测量工卷尺测角仪 具 测量示 意图 说明：AB 表示南山门最高点到地面的竖直距离，测角仪的高 度 CDEF1.5m，点 C、F 与点 B 在同一直线上，点 C、F 之间的距离可直接测得，且点 A、B、C、D、E、F 在同一平 面内 测量数 据 测量项目 第一次 第二次
9、平均值 的度数 35.95 36.05 36 的度数 45.09 44.91 45 C、F 之间的距离 79.58m 79.62m 79.6m （1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求南山门最高点的高度 AB （结果精确到 0.1m，参 考数据：sin360.59，cos360.81，tan360.73，1.41） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出 一个即可） （如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） 19 （9 分）为提升校园体育运动多样性，助力师生“阳光运动” ，某校决定采购一批排球和足球，小
10、明在某 体育用品商店咨询了排球和足球的售价具体信息： 购买 2 个排球和 3 个足球共需 460 元， 购买 12 个排球 所需费用与购买 5 个足球所需费用相同 （1）求排球和足球的售价分别是多少元？ （2）若该校计划购进排球和足球共 100 个，其中排球的数量不超过足球的 3 倍，请设计出最省钱的购买 方案，并说明理由 20 （9 分）如图，抛物线 yax24x+c 经过点 A（2，2） ，且当 x1 时，函数 y 有最小值 （如需作图或 作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） （1）求抛物线的解析式； （2）点 B 的坐标为（3，4） ，点 B 关于原点的对称点为 B
11、，点 C 是抛物线对称轴上一动点，若抛物 线在直线 BB下方的部分与直线 BC 有公共点，求点 C 纵坐标 yc的取值范围 21 （10 分）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的 交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角直线和圆的交角有以下性质：直 线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角 （如需作图或作辅助线， 请先将原题草图画在对应题目的答题区 域后再作答 ） （1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求 证” ，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可） 已知：如图，直线 l
12、 与O 相交于点 A、B，过点 B 作 求证：ABD （2）如图，直线 l 与O 相交于点 A、B，AD 为O 的直径，BC 切O 于点 B，交 DA 的延长线于 点 C，若 ADBC，AC2，求O 的半径 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，AB6cm，E 是线段 AB 上一动点，D 是 BC 的中点，过点 C 作射线 CG，使 CGAB，连接 ED 并延长交 CG 于点 F，连接 AF设 A、E 两点间的距 离为 xcm，E、F 两点间的距离为 ycm 小亮根据学习函数的经验， 对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究（如需作图或作辅助线， 请先将原题草图画在
13、对应题目的答题区域后再作答 ） 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）列表：如表的已知数据是根据 A、E 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，分别得到了 x 与 y 的 几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 请你通过计算补全表格； （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出剩余的点（x，y） ，并画出函数 y 关于 x 的图象； （3）根据函数图象，当 E、F 两点间的距离 y 最小时，A、E 两点间的距离约为 cm； （4）解决问题：当 EFAE2 时，BE 的长度大约是 cm （结果保留
14、1 位小数） 23 （11 分）如图，ABC 为直角三角形，ACB90，BAC30，点 D 在 AB 边上，过点 D 作 DEAC 于点 E，取 BC 边的中点 F，连接 DF 并延长到点 G，使 FGDF，连接 CG （如需作图或作辅 助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） 问题发现： （1）填空：CE 与 CG 的数量关系是 ，直线 CE 与 CG 所夹的锐角的度数为 探究证明： （2）将ADE 绕点 A 逆时针旋转， （1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图所示情况给出证 明，若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若 AB4，AD3，将ADE 由图位置绕点 A 逆
15、时针旋转 （0180） ，当ACE 是直 角三角形时，请直接写出 CG 的值 2021 年河南省中考数学线上公益大模考诊断试卷年河南省中考数学线上公益大模考诊断试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1的绝对值是（ ） A B C5 D5 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去 掉这个绝对值的符号 【解答】解：|， 故选：B 22020 年，我国国内生产总值达到 101.6 万
16、亿元，数据“101.6 万亿”用科学记数法表示为（ ） A10.161013 B0.10161015 C1.0161012 D1.0161014 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：101.6 万亿1016000000000001.0161014 故选：D 3将一块直角三角尺 ABC 按如图所示的方式放置，其中点 A、C 分别落在直线 a、b 上，若 ab，1 65，则2 的度数为（ ） A75 B65 C35 D25 【分析】根据平行线的性质得出31，进而利用互余解答即可 【解答】解：如图， ab， 3
17、165， 2+390， 2903906525 故选：D 4下列计算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （2a）36a3 Ca3a5a8 D （a2）2a24 【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式分 别计算得出答案 【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法计算，故此选项错误； B、 （2a）38a3，故此选项错误； C、a3a5a8，故此选项正确； D、 （a2）2a24a+4，故此选项错误； 故选：C 5如图是由 7 个相同的小正方体搭成的几何体，在标号为的小正方体上方添加一个小正方体后，所得几 何体的三视图与原几何体的三视图相比没有发
18、生变化的是（ ） A主视图和俯视图 B主视图和左视图 C左视图和俯视图 D主视图、左视图和俯视图 【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到 的图形，结合图形即可作出判断 【解答】解：若在正方体的正上方放上一个同样的正方体， 则主视图与原来相同，都是 3 层，底层 3 个正方形，中间是 2 个正方形，上层左边是 1 个正方形，左齐； 俯视图与原来相同，都是两层，上层 3 个正方形，下层 1 个正方形，左齐； 左视图发生变化，原来是左视图的右边 1 列只有 1 个正方形，后来变为 2 个正方形 所以主视图不变，俯视图不变 故选：A 6若点 A（2，
19、y1） ，B（1，y2）在反比例函数 y的图象上，则 y1y2的值为（ ） A负数 B0 C正数 D无法确定 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出 结论 【解答】解：反比例函数 y中，km2+10， 此函数图象的两个分支分别为与一三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 21， y1y2， y1y20， 故选：C 7下列说法正确的是（ ） A了解河南省初中生身高情况适宜全面调查 B甲，乙两名射击运动员 5 次射击成绩的方差分别为 s甲 21.2，s 乙 22，说明甲的射击成绩比乙的射 击成绩稳定 C同旁内角互补是必然事件 D已知某篮
20、球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次一定可投中 6 次 【分析】根据全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义进行判断即可 【解答】解：A、河南省初中学生身高情况调查采用全面调查，费时费力且不已完成，适合抽样调查， 不符合题意； B、在一定条件下，方差越小说明数据稳定，符合题意； C、两直线平行的条件下，同旁内角互补，而缺少条件则同旁内角不一定互补，不符合题意； D、概率是反映事件发生机会的大小，不一定是确定数据，不符合题意； 故选：B 8关于 x 的一元二次方程 x（x+1）3mx 的根的情况是（ ） A无实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判断
21、 【分析】将原方程变形成一般式，由根的判别式可得出（1m）2+12，由偶次方的非负性可得出（1 m）20，进而可得出（1m）2+120，即0，由此可得出原方程有两个不相等的实数根 【解答】解：原方程可变形为 x2+（1m）x30 （1m）241（3）（1m）2+12 （1m）20， （1m）2+120，即0， 关于 x 的一元二次方程 x（x+1）3mx 有两个不相等的实数根 故选：C 9如图，在ABCD 中，AB2，点 E 为 AD 的中点，按以下步骤作图：以点 E 为圆心，EA 长为半径 作弧，交 AB 于点 F；再分别以点 A 和点 F 为圆心，大于AF 的长为半径作弧，两弧相交于点 M
22、； 作直线 EM 交 AB 于点 N，连接 CE若ADC135，DE2，则 CE 的长为（ ） A2 B4 C2 D 【分析】由题意得，MNAB，根据平行四边形的性质得到 ABCD，ABCD2，延长 CD 交 MN 于 G，根据等腰直角三角形的性质得到 DGEGDE，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：由题意得，MNAB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD2， 延长 CD 交 MN 于 G， CGN90， CDA135， EDG45， DEG 是等腰直角三角形， DGEGDE， CGCD+DG3， CE2， 故选：A 10如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A，B，C，D
23、 在坐标轴上，且 B（4，0） ，以 AB 为边构造菱形 ABEF， 将菱形 ABEF 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 45，则第 164 次旋转结束时， 点 F164的坐标为（ ） A （4，4） B （4，4） C （4，4） D （4，4） 【分析】先求出点 F 坐标，由题意可得每次 8 旋转一个循环，即可求解 【解答】解：点 B（4，0） ， OB4， OA4， ABOA4， 四边形 ABEF 是菱形， AFAB4， 点 F（4，4） ， 由题意可得每次 8 旋转一个循环， 1648204， 点 F164的坐标与点 F 坐标关于原点对称， 点 F164的坐
24、标（4，4） ， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若 a，b 都是无理数，且 ab1，则 a，b 的值分别是 ， （填一组满足条件的值） 【分析】由于初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001的数， 而本题中 a 与 b 的关系为 ab1，故确定 a 和 b 【解答】解：ab1， b 例如 a，则 b 故答案为， 12关于 x 的不等式组的解集在数轴上如图表示，则 a 的值为 3 【分析】根据数轴解第二个方程，利用已知不等式组的解集得出关于 a 的等式，进而得出答案 【解答】解：， 解得 x， 由数
25、轴可知3， 解得 a3 故答案为：3 13某社团中有三名男生和一名女生，该社团将随机选派两名同学作为代表参加市级比赛，恰好选中一男 一女的概率是 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公 式求解 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中是一男一女两名同学的结果数为 6， 所以恰好选中一男一女两名同学的概率 故答案为： 14如图，在扇形 BCD 中，BCD150，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧交于点 A，连接 AC，若 BC4，则图中阴影部分的面积为 4+4 【分析】连接 AB首先证明ABC 是等边三角形，推
26、出 S阴SABC+S扇形CAD即可解决问题 【解答】解：如图，连接 AB ABACBC， ABC 是等边三角形， ABCACB60， S扇形CABS扇形BCA，ACD1506090， S阴SABC+S扇形CAD4+4+4， 故答案为 4+4 15如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，E、F 分别为 AB、CD 边上的点，且 EFBC，G 为 EF 上一 点，且 GF2，M、N 分别为 GD、EC 的中点，则 MN 3 【分析】取 DF 的中点 H，CF 的中点 Q，连接 MH，NQ，过点 M 作 MKNQ 于 K，由三角形中位线定 理可得 NQEF4，MHGF1，MHEF，NQEF，HQ
27、CD3，由勾股定理可求解 【解答】解：如图，取 DF 的中点 H，CF 的中点 Q，连接 MH，NQ，过点 M 作 MKNQ 于 K， EFBC，ABCD， 四边形 BCFE 是平行四边形， 又BCD90， 四边形 BCFE 是矩形， EFBCAD8， M、N 分别为 GD、EC 的中点，H 是 DF 的中点，Q 是 CF 的中点， NQEF4，MHGF1，MHEF，NQEF，HQCD3， MHNQ， KMNQ，NQD90， MKHQ， 四边形 MHQK 是平行四边形， MK3，KQMH1， NK3， MNMK3， 故答案为 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题
28、，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 a+2 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子， 然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1） ， 当 a+2 时，原式 17 （9 分）某校为了解七、八年级学生对“文明知识礼仪”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了 25 名 学生进行相关测试，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： c八年级 D 组测试成绩数据为：90，90，91，92，93，94，94； d七、八年级被抽取学生测试成绩的平均数、中位数如下表所示： 平均数 中位数 七年级 87.36 87 八年级 91.36 a
29、根据所给信息，解答下列问题： （1）根据统计图，对比两个年级成绩在 90 分以上（含 90 分）的百分比，七年级比八年级 小 ； （填 “大”或“小” ） （2）表中 a 的值为 91 ； （3） 小华的测试成绩为 89 分， 他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上游， 请判断小华是 七 年 级的学生，并说明理由； （4）学校决定对本次测试成绩优异的学生进行奖励，老师从七、八年级各抽取了 4 名同学的成绩记录如 下表： 七年级 八年级 学 生 代 码 A B C D E F G H 成 绩 98 93 90 95 87 96 其中有两名同学的成绩被墨汁污染了，但老师说七年级和八年级被抽取的这
30、 4 名同学中各有 2 名同学可 以获得奖励，于是小明说 G 和 H 两名同学中只有一名同学可以获得奖励请问小明的说法是否正确？并 说明理由 【分析】 （1）计算出七年级 90 分及以上所占得百分比即可； （2）计算出八年级各个组的人数，再根据中位数的意义可求出 a 的值； （3）根据中位数的意义进行判断即可； （4）根据中位数，获奖人数进行判断即可 【解答】解： （1）因为七年级 90 分及以上所占得百分比为： （6+3）25100%36%，八年级 90 分及 以上所占得百分比为 28%+32%60%， 所以两个年级成绩在 90 分以上（含 90 分）的百分比，七年级比八年级小， 故答案为：
31、小； （2）八年级 A 组人数：254%1（人） ，B 组人数：258%2（人） ，C 组人数：2528%7（人） ， D 组人数：2528%7（人） ，E 组人数：2532%8（人） ， 将这 25 人的成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数为 91， 因此中位数是 91，即 a91， 故答案为诶：91； （3）小华是七年级学生，理由：七年级的中位数是 87，八年级的中位数是 91，而小华成绩为 89 且处在 中上游，所以小华是七年级学生， 故答案为：七； （4）小明的说法正确，理由：七年级中有 2 人能够获得奖励，将七年级的学生成绩从小到大排列为 98， 95，93，90， 则获奖的学生
32、成绩为 98，95，由题意可知八年级 F 同学的成绩为 96，且 9695，则 F 同学一定可以获 奖， 因为八年级只有 2 人获奖， 所以 G、H 两位同学中只有一位可以获奖 18 （9 分）蔡明园公园位于河南省驻马店市上蔡县蔡都镇西南部，其公园南山门被誉为“亚洲第一门” ，学 完了三角函数知识后，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量南山门最高点的高度”作为一项课题 活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量为了减小测量误差，小组在测量仰角以 及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表： 课题 测量南山门最高点的高度 实物 图 成员 组长： 组
33、员：， 测量 工具 卷尺测角仪 测量 示意 图 说明：AB 表示南山门最高点到地面的竖直距离，测角仪的高 度 CDEF1.5m，点 C、F 与点 B 在同一直线上，点 C、F 之间的距离可直接测得，且点 A、B、C、D、E、F 在同一平 面内 测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 35.95 36.05 36 的度数 45.09 44.91 45 C、F 之间的距离 79.58m 79.62m 79.6m （1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求南山门最高点的高度 AB （结果精确到 0.1m，参 考数据：sin360.59，cos360.81，tan360.73，1.
34、41） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出 一个即可） （如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） 【分析】 （1）设 DE 交 AB 于 G分别求出 AG，BG 的长可得结论 （2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等 【解答】解： （1）设 DE 交 AB 于 G 由题意，CDBG1.5m，CFDE79.6m， 在 RtADG 中，AGD90， tanADG， 0.73， 在 RtAEG 中，tanAEG， 1， AGEG， DGDEEGDEAG， 0.73， AG33.59（m）
35、， ABAG+BG33.59+1.535.1（m） 答：南山门最高点的高度 AB 约为 35.1m （2）还需要补充项目有：计算过程，人员分工，指导老师，活动感受等 19 （9 分）为提升校园体育运动多样性，助力师生“阳光运动” ，某校决定采购一批排球和足球，小明在某 体育用品商店咨询了排球和足球的售价具体信息： 购买 2 个排球和 3 个足球共需 460 元， 购买 12 个排球 所需费用与购买 5 个足球所需费用相同 （1）求排球和足球的售价分别是多少元？ （2）若该校计划购进排球和足球共 100 个，其中排球的数量不超过足球的 3 倍，请设计出最省钱的购买 方案，并说明理由 【分析】 （
36、1）直接利用购买 2 个排球和 3 个足球共需 460 元，购买 12 个排球所需费用与购买 5 个足球所 需费用相同，进而列出方程组得出答案； （2）利用排球的数量不超过足球的 3 倍，得出不等关系，进而得出答案 【解答】解： （1）设排球的售价是 a 元，足球的售价是 b 元，依据题意可得： ， 解得： 答：排球的售价是 50 元，足球的售价是 120 元； （2）设购买足球 x 个，则购买排球（100 x）个，依据题意可得： 100 x3x， 解得：x25， 设购买排球和足球的总共费用为 w 元，依据题意可得： w50（100 x）+120 x70 x+5000， w 随 x 的增大而增
37、大，且 x 为正整数， 当 x25 时，w 取得最小值，此时 1002575（元） 故购买足球 25 个，购买排球 75 个时最省钱 20 （9 分）如图，抛物线 yax24x+c 经过点 A（2，2） ，且当 x1 时，函数 y 有最小值 （如需作图或 作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） （1）求抛物线的解析式； （2）点 B 的坐标为（3，4） ，点 B 关于原点的对称点为 B，点 C 是抛物线对称轴上一动点，若抛物 线在直线 BB下方的部分与直线 BC 有公共点，求点 C 纵坐标 yc的取值范围 【分析】 （1 根据对称轴求得 a 的值，然后将 A 的坐标代入抛物
38、线解析式求出 c 的值，确定出抛物线解析 式； （2）由题意确定出 B坐标，以及二次函数的最小值，确定出 C 纵坐标的最小值，求出直线 BB解析 式，令 x1 求出 y 的值，即可确定出 yc的取值范围 【解答】解： （1）当 x1 时，函数 y 有最小值， 抛物线的对称轴为直线 x1， 1，解得 a2， 把点 A（2，2）代入 y2x24x+c 中，得 c2， 抛物线的解析式为 y2x24x2； （2）由题意得：B（3，4） 点 C 在抛物线的对称轴上，当 x1 时，y2x24x24， 当点 C 的纵坐标为4 时，直线 BCx 轴，如图，直线 BC 与直线 BB下方抛物线有一个公共点 D；
39、当点 C 的纵坐标小于4 时，直线 BC 与直线 BB下方抛物线无公共点， 直线 BB经过原点，设直线 BB的解析式为 ykx， B（3，4） ， 3k4，解得 k， 直线 BB的解析式为 yx， 当 x1 时，y， 符合要求的点 C 的纵坐标的最大值应小于， 综上所述，4yC 21 （10 分）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的 交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角直线和圆的交角有以下性质：直 线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角 （如需作图或作辅助线， 请先将原题草图画在对应题目的答题区 域后再作答 ） （1）为了说明直
40、线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求 证” ，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可） 已知：如图，直线 l 与O 相交于点 A、B，过点 B 作 DE 切O 于 B 求证：ABD C （2）如图，直线 l 与O 相交于点 A、B，AD 为O 的直径，BC 切O 于点 B，交 DA 的延长线于 点 C，若 ADBC，AC2，求O 的半径 【分析】 （1）如图，连接 BO 并延长交O 于 F，连接 AF，根据圆周角定理得到BAF90，余角 的性质得到ABDF，于是得到结论； （2）如图，连接 BD，根据相似三角形的性质得到 BC2CDAC，设O 的
41、半径为 r，列方程即可得 到结论 【解答】解： （1）已知：如图，直线 l 与O 相交于点 A、B，过点 B 作 DE 切O 于 B， 求证：ABDC 证明：如图，连接 BO 并延长交O 于 F，连接 AF， BF 是O 的直径， BAF90， ABF+F90， ABD+ABF90， ABDF， CF， ABDC； 故答案为：DE 切O 于 B，C； （2）如图，连接 BD， 直线 l 与O 相交于点 A、B，BC 切O 于点 B， 由（1）知，ABCD， CC， ABCBDC， ， BC2CDAC， 设O 的半径为 r， 则 BCAD2r，CDAD+AC2r+2， （2r）22（2r+2）
42、， 解得 r1，r2（不合题意，舍去） ， O 的半径为 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，AB6cm，E 是线段 AB 上一动点，D 是 BC 的中点，过点 C 作射线 CG，使 CGAB，连接 ED 并延长交 CG 于点 F，连接 AF设 A、E 两点间的距 离为 xcm，E、F 两点间的距离为 ycm 小亮根据学习函数的经验， 对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究（如需作图或作辅助线， 请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）列表：如表的已知数据是根据 A、E 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，
43、分别得到了 x 与 y 的 几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 9.49 7.62 5.83 4.24 3.16 3.16 4.24 请你通过计算补全表格； （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出剩余的点（x，y） ，并画出函数 y 关于 x 的图象； （3）根据函数图象，当 E、F 两点间的距离 y 最小时，A、E 两点间的距离约为 4.5 cm； （4）解决问题：当 EFAE2 时，BE 的长度大约是 3.3（答案不唯一） cm （结果保留 1 位小数） 【分析】 （1）证明CEF为等腰直角三角形，则 yEFCE，即可求解； （2）根据表格数据，描点
44、连线绘制函数图象即可； （3）观察函数图象即可求解； （4）在（2）的图象的基础上，画出函数 yx+2，观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）当 x3 时，点 E、F 的位置为 E和 F， 此时 AEAB，故 CEAB， 则ECB904545，即 RtBCE为等腰直角三角形， 点 D 是 BC 的中点，则 DEBC， 则DEB45，故CED45， ABDG，故GCE90， CEF为等腰直角三角形， 则 yEFCEAC6sin4534.24， 故答案为 4.24； （2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下： （3）从图象看，当 E、F 两点间的距离 y 最小时，A、E 两点间的距离约为
45、x4.5（cm） ， 故答案为 4.5； （4）在（2）的图象的基础上，画出函数 yx+2， 从图象看，两个函数的交点的纵坐标为 x2.7（cm） ， 则 BEABx62.73.3（cm） （答案不唯一） ， 故答案为 6.3（答案不唯一） 23 （11 分）如图，ABC 为直角三角形，ACB90，BAC30，点 D 在 AB 边上，过点 D 作 DEAC 于点 E，取 BC 边的中点 F，连接 DF 并延长到点 G，使 FGDF，连接 CG （如需作图或作辅 助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答 ） 问题发现： （1）填空：CE 与 CG 的数量关系是 ECCG ，直线 CE
46、与 CG 所夹的锐角的度数为 30 探究证明： （2）将ADE 绕点 A 逆时针旋转， （1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图所示情况给出证 明，若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若 AB4，AD3，将ADE 由图位置绕点 A 逆时针旋转 （0180） ，当ACE 是直 角三角形时，请直接写出 CG 的值 【分析】 （1）如图中，过点 D 作 DTBC 于 T证明 ECCTBD，CGBD，CGBD，可得结 论 （2）成立理由如下：连接 CD，BG，延长 BD 交 CE 的延长线于 H，设 BH 交 AC 于点 O利用相似 三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质即可解决问题 （
47、3）分两种情形：如图1 中，当AEC90时，如图2 中，当EAC90时，分别求解即 可 【解答】解： （1）如图中，过点 D 作 DTBC 于 T DEAC， DECECTDTC90， 四边形 ECTD 是矩形， DTEC，DTAC， TDBA30， DTBD， FCFB，CFGBFD，FGFD， CFGBFD（SAS） ， CGBD，FCGB60， ECCG， ACG90+60150， 直线 CE 与 CG 所夹的锐角的度数为 30， 故答案为：ECCG，30 （2）成立理由如下： 连接 CD，BG，延长 BD 交 CE 的延长线于 H，设 BH 交 AC 于点 O 在 RtABC 和 RtADE 中，BACDAE30， cosBAC，cosEAD，EACDAB， ， ACEABD， ，ACEABD， HOCAOB， HOAB30， CFFB，DFFG， 四边形 DCGB 是平行四边形， CGBD，CGBH， 1H30， ECCG，直线 CE 与 CG 所夹的锐角的度数为 30 （3）如图1 中，当AEC90时，由题意 ACAB2，AEAD， EC， CGEC， 如图2 中，当EAC90时，可得 EC， CGEC5 综上所述，CG 的值为或 5
