1、2021 年福建省龙岩市永定区金丰片区中考数学第一次联考试卷年福建省龙岩市永定区金丰片区中考数学第一次联考试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列标志中不是中心对称图形的是（ ） A 中国移动 B 中国银行 C 中国人民银行 D 方正集团 2下列计算正确的是（ ） A2a+5a7a B2xx1 C3+a3a Dx2x3x6 3 把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度后， 所得函数的表达式为 （ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x+1）22 Cy2（x1）2+2 Dy2（x1）22 4反比例函数 y在每个象限内的函数
2、值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm1 Dm1 5绕口令： “四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有 16 个汉字，任选一个汉字，这个字是“四” 的概率是（ ） A B C D 6如图，已知 mn，将含 30的直角三角板如图放置，若140，则2（ ） A40 B30 C20 D10 7如图，用 4 个相同的小长方形与一个小正方形镶嵌而成一个大正方形图案，大正方形面积为 25，小正方 形面积为 9用 x、y 表示小长方形的长和宽（xy） ，由图可判断下列关系式中，不正确的是（ ） Ax+y5 Bxy3 C4xy16 Dx2y212 8如图，PA、P
3、B 切O 于点 A、B，直线 FG 切O 于点 E，交 PA 于 F，交 PB 于点 G，若 PA8cm，则 PFG 的周长是（ ） A8cm B12cm C16cm D20cm 9 如图， 在菱形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 若 AB2， BAD120， 则 BD 的长为 （ ） A2 B3 C2 D 10如图，已知ABC 中，C90，ACBC，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到ABC 的位置，连接 CB，则CBA 的度数为（ ） A15 B20 C30 D45 二填空题（每小题二填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11不等式组的解集是 12
4、分解因式：x36x2+9x 13若将二次函数 yx22x+3 配方为 y（xh）2+k 的形式，则 y 14如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD30，且 BE2，则 CD 15若抛物线 y（a+1）x2（a+1）x+1 与 x 轴有且仅有一个公共点，则 a 的值为 16如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 B 与原点 O 重合，与反比例函数 y的图象交于 E、F 两点，若 DEF 的面积为，则 k 的值 三解答题（共三解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x2x10 18 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 asin30 19 （8 分）如图，
5、RtABC 中，ABC90，EFBC，FGAB，APCF，求证：AEFPGC 20 （8 分） 如图顶角为 36的等腰三角形ABC 中， 请用尺规作图法在 AC 边上找一点 P， BCP 与ABC 相似 （保留作图痕迹，不写作法） 21 （8 分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动” ，让 同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学 这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图 （1）这次被调查的同学共有 人； （2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据； （3）校学生会通过数据
6、分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食用一餐据此 估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐 22 （10 分）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱 AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （ CBE，如图 1 所示） ，此时液面刚好过棱 CD，并与棱 BB交于点 Q，此时液体的形状为直三棱柱，三 视图及尺寸如图 2 所示，求当正方体平放（正方形 ABCD 在桌面上）时，液体的深度 23 （10 分）在”新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行 销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示： 项目 购进
7、数量（件） 购进所需费用 （元） 酒精消毒液 测温枪 第一次 30 40 8300 第二次 40 30 6400 （1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）公司决定酒精消毒液以每件 20 元出售，测温枪以每件 240 元出售为满足市场需求，需购进这两 种商品共 1000 件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的 4 倍，求该公司销售完上述 1000 件商品获 得的最大利润 24 （12 分）如图，点 A（m，6） ，B（n，1）在反比例函数图象上，ADx 轴于点 D，BCx 轴于点 C， DC5 （1）求 m，n 的值并写出反比例函数的表达式； （2）连接 AB，E 是
8、线段 AB 上一点，过点 E 作 x 轴的垂线，交反比例函数图象于点 F，若 EFAD， 求出点 E 的坐标 25 （14 分）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+6 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 C，点 B 在线段 OA 上，且ABC 的面积为 16，抛物线 yx2+bx+c 经过 B、C 两点； （1）C 点坐标为 ；B 点坐标为 ； （2）求抛物线解析式； （3）D 为线段 OC 上一点，连接 AD，过点 D 作 DEAD 交抛物线于 E，若，求 E 点坐标； （4）在（3）的条件下，将ADE 绕点 A 逆时针旋转一定的角度得到AMN，其中点 D 与点 M 对应，
9、点 E 与点 N 对应，在旋转过程中过点 M 作 MHy 轴交线段 OA 于 H，连接 NH，当 NH 平分 AM 时，求 M 点坐标，并判断点 M 是否在抛物线上 2021 年福建省龙岩市永定区金丰片区中考数学第一次联考试卷年福建省龙岩市永定区金丰片区中考数学第一次联考试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列标志中不是中心对称图形的是（ ） A 中国移动 B 中国银行 C 中国人民银行 D 方正集团 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故错误； C、不是中心
10、对称图形故正确； D、是中心对称图形故错误 故选：C 2下列计算正确的是（ ） A2a+5a7a B2xx1 C3+a3a Dx2x3x6 【分析】根据合并同类项、同底数幂的运算法则计算 【解答】解：A、符合合并同类项法则，故本选项正确； B、2xxx1，故本选项错误； C、3 和 a 不是同类项，故本选项错误； D、x2x3x6x5，故本选项错误 故选：A 3 把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度后， 所得函数的表达式为 （ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x+1）22 Cy2（x1）2+2 Dy2（x1）22 【分析】根据图象右移减，上移加，可得答
11、案 【解答】解：把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表 达式为 y2（x1）2+2， 故选：C 4反比例函数 y在每个象限内的函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm1 Dm1 【分析】根据反比例函数的性质得 m+10，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得 m+10， 解得 m1 故选：D 5绕口令： “四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有 16 个汉字，任选一个汉字，这个字是“四” 的概率是（ ） A B C D 【分析】直接根据频率的概念即可得出结论 【解答】解：这句含有 16 个汉字的
12、绕口令中， “四”出现了 6 次， 出现的频率为 故选：C 6如图，已知 mn，将含 30的直角三角板如图放置，若140，则2（ ） A40 B30 C20 D10 【分析】 根据三角形内角和定理求出3， 根据平行线的性质求出4， 根据三角形的外角性质求出即可 【解答】解：C90，140， 3180C150， mn， 4350， A30， 254A503020， 故选：C 7如图，用 4 个相同的小长方形与一个小正方形镶嵌而成一个大正方形图案，大正方形面积为 25，小正方 形面积为 9用 x、y 表示小长方形的长和宽（xy） ，由图可判断下列关系式中，不正确的是（ ） Ax+y5 Bxy3 C
13、4xy16 Dx2y212 【分析】根据大正方形和小正方形的面积可分别计算出 x+y 与 xy 的值，在通过两个完全平方式的转化 可求出 4xy 的值，最后通过平方差公式可计算出的 x2y2值 【解答】解：大正方形的面积为 25，所以边长为 5，即 x+y5；正确，故 A 项不符合题意； 小正方形的面积为 9，所以边长为 3，即 xy3；正确，故 B 项不符合题意； 4xy（x+y）2（xy）225916；正确，故 C 项不符合题意； x2y2（x+y） （xy）5315；错误，故 D 项符合题意 故选：D 8如图，PA、PB 切O 于点 A、B，直线 FG 切O 于点 E，交 PA 于 F，
14、交 PB 于点 G，若 PA8cm，则 PFG 的周长是（ ） A8cm B12cm C16cm D20cm 【分析】由于 PA、FG、PB 都是O 的切线，可根据切线长定理，将ABC 的周长转化为切线长求解 【解答】解：根据切线长定理可得：PAPB，FAFE，GEGB； 所以PFG 的周长PF+FG+PG， PF+FE+EG+PG， PF+FA+GB+PG， PA+PB 16cm， 故选：C 9 如图， 在菱形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 若 AB2， BAD120， 则 BD 的长为 （ ） A2 B3 C2 D 【分析】首先根据菱形的性质知 AC 垂直平分 B
15、D，再由 RtABO 求出 BO，即可求出 BD 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BD2BO， BAD120， BAO60，ABO30， AOAB1，BO， BD2 故选：C 10如图，已知ABC 中，C90，ACBC，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到ABC 的位置，连接 CB，则CBA 的度数为（ ） A15 B20 C30 D45 【分析】如图，作辅助线；证明ABB为等边三角形，此为解决问题的关键性结论；证明BBC BAC，得到BBCABC，即可解决问题 【解答】解：如图，连接 BB；由题意得： ABAB，BAB60， ABB为等边三角形， BBA60，B
16、BBA； 在BBC与BAC中， ， BACBAC（SSS） ， BBCABC30， 故选：C 二填空题（每小题二填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11不等式组的解集是 1x2 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】解：， 解不等式得，x1， 解不等式得，x2， 所以，不等式组的解集是 1x2 故答案为：1x2 12分解因式：x36x2+9x x（x3）2 【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：x36x2+9x， x（x26x+9） ， x（x3）2 故答案为：x（x3）2 13若将二次函数 yx22x+3 配方为 y（x
17、h）2+k 的形式，则 y （x1）2+2 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转 化为顶点式 【解答】解：yx22x+3（x22x+1）+2（x1）2+2 故本题答案为：y（x1）2+2 14如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD30，且 BE2，则 CD 4 【分析】连接 OD，设O 的半径为 R，先根据圆周角定理得到BOD2BAD60，再根据垂径定 理由 CDAB 得到 DECE， 在 RtODE 中， OEOBBER2， 利用余弦的定义得 cosEODcos60 ，即，解得 R4，则 OE2，DEOE2，所以
18、CD2DE4 【解答】解：连接 OD，如图，设O 的半径为 R， BAD30， BOD2BAD60， CDAB， DECE， 在 RtODE 中，OEOBBER2，ODR， cosEODcos60， ，解得 R4， OE422， DEOE2， CD2DE4 故答案为：4 15若抛物线 y（a+1）x2（a+1）x+1 与 x 轴有且仅有一个公共点，则 a 的值为 3 【分析】根据 y（a+1）x2（a+1）x+1 与 x 轴有且仅有一个公共点，则 b24ac（a+1）24（a+1） a22a30，进而得出即可 【解答】解：y（a+1）x2（a+1）x+1 与 x 轴有且仅有一个公共点， b24
19、ac（a+1）24（a+1）a22a30， 解得：a13，a21，当 a1，则 a+10，故舍去 故答案为：3 16如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 B 与原点 O 重合，与反比例函数 y的图象交于 E、F 两点，若 DEF 的面积为，则 k 的值 1 【分析】利用对称性可设出 E、F 的两点坐标，表示出DEF 的面积，可求出 k 的值 【解答】解：设 AFa（a2） ，则 F（a，2） ，E（2，a） ， FDDE2a， SDEFDFDE， 解得 a或（不合题意，舍去） ， k1， 故答案为：1 三解答题（共三解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x2x10 【分析】此
20、题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式确定 a，b，c 的值， 然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解 【解答】解：x2x10， ， 18 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 asin30 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【解答】解：当 asin30时， 所以 a 原式 1 19 （8 分）如图，RtABC 中，ABC90，EFBC，FGAB，APCF，求证：AEFPGC 【分析】根据 AAS 即可证明AEFPGC 【解答】证明：EFBC，FGAB， AEFABCPGC90，CPGA， APCF， AFPC， AEFPGC（AAS） 20 （8 分
21、） 如图顶角为 36的等腰三角形ABC 中， 请用尺规作图法在 AC 边上找一点 P， BCP 与ABC 相似 （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作ABC 的角平分线 BM 交 AC 于点 P，点 P 即为所求 【解答】解：如图，点 P 即为所求 理由：ABAC，A36 ABCC（18036）72， BP 平分ABC， PBCABC36， PBCA36，CC， PBCBAC 21 （8 分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动” ，让 同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学 这餐饭菜的剩余情况，并将
22、结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图 （1）这次被调查的同学共有 1000 人； （2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食用一餐据此 估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐 【分析】 （1）用不剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3） 根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人用一餐， 再根据全校的总人数是 18000 人， 列式计算即可 【解答】解： （1）这次被调查的学生共有 60060%1000 人
23、， 故答案为：1000； （2）剩少量的人数为 1000（600+150+50）200 人， 补全条形图如下： （3）， 答：估计该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供 900 人食用一餐 22 （10 分）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱 AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （ CBE，如图 1 所示） ，此时液面刚好过棱 CD，并与棱 BB交于点 Q，此时液体的形状为直三棱柱，三 视图及尺寸如图 2 所示，求当正方体平放（正方形 ABCD 在桌面上）时，液体的深度 【分析】根据勾股定理求出 BQ，根据棱柱的体积公式计算，得到答案 【解答】解：CQ5dm，BC4dm， BQ
24、3（dm） ， 液体的体积为：V液34424（dm3） ， 正方体平放时，液体的深度是 24（44）1.5（dm） 23 （10 分）在”新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行 销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示： 项目 购进数量（件） 购进所需费用 （元） 酒精消毒液 测温枪 第一次 30 40 8300 第二次 40 30 6400 （1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）公司决定酒精消毒液以每件 20 元出售，测温枪以每件 240 元出售为满足市场需求，需购进这两 种商品共 1000 件，且酒精消毒液的数量不
25、少于测温枪数量的 4 倍，求该公司销售完上述 1000 件商品获 得的最大利润 【分析】 （1）设酒精消毒液每件的进价为 x 元，测温枪每件的进价为 y 元，根据两次进货情况表，可得 出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论 （2）设购进测温枪 m 件，获得的利润为 W 元，则购进酒精消毒液（1000m）件，根据总利润单件 利润购进数量，即可得出 W 与 m 之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的 4 倍， 即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问 题 【解答】解： （1）设酒精消毒液每件的进价为 x 元，测温枪每
26、件的进价为 y 元， 根据题意得：， 解得： 酒精消毒液每件的进价为 10 元，测温枪每件的进价为 200 元 （2）设购进测温枪 m 件，获得的利润为 W 元，则购进酒精消毒液（1000m）件， 根据题意得： W（2010） （1000m）+（240200）m30m+10000， 酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的 4 倍， 1000m4m， 解得：m200 又在 W30m+10000 中，k300， W 的值随 m 的增大而增大， 当 m200 时，W 取最大值，最大值为 30200+1000016000， 当购进酒精消毒液 800 件、购进测温枪 200 件时，销售利润最大，最大利润为
27、16000 元 24 （12 分）如图，点 A（m，6） ，B（n，1）在反比例函数图象上，ADx 轴于点 D，BCx 轴于点 C， DC5 （1）求 m，n 的值并写出反比例函数的表达式； （2）连接 AB，E 是线段 AB 上一点，过点 E 作 x 轴的垂线，交反比例函数图象于点 F，若 EFAD， 求出点 E 的坐标 【分析】 （1）设反比例函数的解析式为 y，根据题意得出方程组，求出方程组的解即可； （2） 设直线 AB 的解析式为 yax+b， 求出直线 AB 的解析式， 设 E 点的横坐标为 m， 则 E （m， m+7） ， F（m，） ，求出 EFm+7，得出关于 m 的方程，
28、求出 m 即可 【解答】解： （1）设反比例函数的解析式为 y， 把（n，1）代入得：kn， 即 y， 点 A（m，6） ，B（n，1）在反比例函数图象上，ADx 轴于点 D，BCx 轴于点 C，DC5， ， 解得：m1，n6， 即 A（1，6） ，B（6，1） ； 反比例函数的解析式为：y； （2）设直线 AB 的解析式为 yax+b， 把 A（1，6）和 B（6，1）代入得：， 解得：a1，b7， 即直线 AB 的解析式为：yx+7， 设 E 点的横坐标为 m，则 E（m，m+7） ，F（m，） ， EFm+7， EFAD， m+7， 解得：m12，m23， 经检验都是原方程的解， 即 E
29、 的坐标为（2，5）或（3，4） 25 （14 分）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+6 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 C，点 B 在线段 OA 上，且ABC 的面积为 16，抛物线 yx2+bx+c 经过 B、C 两点； （1）C 点坐标为 （8，0） ；B 点坐标为 （0，2） ； （2）求抛物线解析式； （3）D 为线段 OC 上一点，连接 AD，过点 D 作 DEAD 交抛物线于 E，若，求 E 点坐标； （4）在（3）的条件下，将ADE 绕点 A 逆时针旋转一定的角度得到AMN，其中点 D 与点 M 对应， 点 E 与点 N 对应，在旋转过程中过点 M 作 M
30、Hy 轴交线段 OA 于 H，连接 NH，当 NH 平分 AM 时，求 M 点坐标，并判断点 M 是否在抛物线上 【分析】 （1）先利用一次函数解析式和坐标轴上点的坐标特征求出 C 和 A 点坐标，再利用三角形面积公 式求出 AB，从而得到 B 点坐标； （2）把 B 点和 C 点坐标代入 yx2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，然后解方程求出 b、c 即可得到 抛物线解析式； （3）作 EFx 轴于 F，如图 1，设 ODt，证明 RtADORtDEF，利用相似比可得 EFt，DF 4，则可表示出 E 点坐标，然后把 E（t+4，t）代入 yx2+x+2 得到关于 t 的方程，然后解方
31、程求 出 t 即可得到 E 点坐标； （4）如图 2，作 NGMH 于 G，NH 交 AM 于 Q，先利用两点间的距离公式计算出 AD、DE，再利用旋 转的性质得 AMAD3，MN2，AMNADE90，接着证明 HQ 为 RtAMH 的斜边 AM 的中线， 得到QHQAQMAM， 利用勾股定理可计算出QN， 则HNQN+QH4， 然后通过证 RtAMHRtMNG 得到， 设 AH3a， HM3b， 则 NG2b， MG2a， 利用勾股定理得到（2a）2+（2b）2（2）2， （3b+2a）2+（2b）2（4）2，再解组成 的方程组得 a 和 b 的值，于是可确定 M 点坐标，最后利用二次函数图
32、象上点的坐标特征判断点 M 是否 在抛物线上 【解答】解： （1）当 y0 时，x+60，解得 x8，则 C（8，0） ， 当 x0 时，yx+66，则 A（0，6） ， SABCABOC， AB4， OBOAAB2， B（0，2） ， 故答案为（8，0） ， （0，2） ； （2）把 B（0，2） ，B（8，0）代入 yx2+bx+c 得，解得 故抛物线解析式为 yx2+x+2； （3）作 EFx 轴于 F，如图 1，设 ODt， ADDE， ADE90， ADO+EDF90， ADO+DAO90， EDFDAO， RtADORtDEF， ， EFt，DF4， E 点坐标为（t+4，t） ，
33、 把 E（t+4，t）代入 yx2+x+2 得（t+4）2+（t+4）+2t， 整理得 3t2+11t600，解得 t1（舍去） ，t23， E 点坐标为（7，2） ； （4）如图 2，作 NGMH 于 G，NH 交 AM 于 Q， A（6，0） ，D（3，0） ，E（7，2） ， AD3，DE2， ADE 绕点 A 逆时针旋转一定的角度得到AMN， AMAD3，MN2，AMNADE90， MHy 轴，HN 平分 AM，即点 Q 为 AM 的中点， QHQAQMAM， 在 RtGNM 中，QN， HNQN+QH+4， AMH+NMG90，AMH+HAM90， HAMNMG， RtAMHRtMNG， ， 设 AH3a，HM3b，则 NG2b，MG2a， 在 RtMNG 中， （2a）2+（2b）2（2）2， 在 RtNHG 中， （3b+2a）2+（2b）2（4）2， 解组成的方程组得，负根舍去， AH3，MH6， M（6，3） ， 当 x6 时，yx2+x+236+6+2， 点 M 不在抛物线上
