1、20202021 学年第一学期高三数学半期考试卷学年第一学期高三数学半期考试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知命题 2 :1,2log1 x pxx，则 p 为( ) A. 2 1,2log1 x xx B. 2 1,2log1 x xx C. 2 1,2log1 x xx D. 2 1,2log1 x xx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题
2、， 所以命题 :p 1x ， 2 2log1 x x， :p 1x ， 2 2log1 x x. 故选：D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 2. 设复数z满足 1 1 3 2 z i z ，则|z A. 5 B. 5 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 由 1 1 3 2 z i z ，得12 36zzzii ，即2zi，则5z ，故选 B. 3. 已知集合 2 log (3)1Pxx ， 32 2 x Qx x ，则 RP Q ( ) A. 0,1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2 【答案】A 【解析】 【分析】 先解对数不等式和分式不等式分别化简集合,P Q
3、，求得 RP ，再进行交集运算即可. 【详解】 22 log (3)1l g 2ox ，032x ， 即13x， 集合13Pxx， 则1 RP xx 或3x ， 又由 32 2 x x ， 得 2 0 x x 等价于20 x x且0 x， 即02x， 集合02Qxx， 故 RP Q 01xx. 故选：A. 4. 已知等差数列 n a的公差为5，前n项和为 n S，且 1 a、 2 a、 5 a成等比数列，则 6 S ( ) A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 【答案】C 【解析】 由题意，得 2 111 (5)(4 5)aa a ， 解得 1 5 2 a ，所以 6 56 5 65
4、90 22 S 故选C 5. 设函数 3 1 3 log,? 0, ( ) log (),? 0, xx f x xx 若( )()f afa，则实数a的取值范围是( ) A. ( 1,0)(0,1) B. (, 1)(1,) C. ( 1,0)(1,)-? D. ( , 1)(0,1) 【答案】C 【解析】 【分析】 由于a的范围不确定，故应分0a和0a 两种情况求解. 详解】当0a时，0a ， 由( )()f afa得 21 2 loglogaa ， 所以 2 2log0a ，可得：1a ， 当0a 时，0a ， 由( )()f afa得 12 2 loglogaa ， 所以 2 2log
5、0a，即01a ，即10a ， 综上可知：10a 或1a . 故选：C 6. 九章算术卷第五商功中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问 积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高 1丈(如图)问它的体积是多少? ”这个问题的答案是( ) A. 5立方丈 B. 6立方丈 C. 7立方丈 D. 9立方丈 【答案】A 【解析】 过点,E F分别作平面EGJ和平面FHI 垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边 是两个一样的四棱锥，所以 11 3 1 221 3 15 23 V 立方丈，故选 A. 7. 设
6、 lnx ax， ln y by， ln y cx，其中x y ，则下列说法正确的是( ) A. acb B. bca C. 2 abc D. 2 cab 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，利用函数的单调性可得答案. 【详解】令ln ,lnxmyn ，因为x y ，所以mn， 所以 2 m ae ， 2 n be ， nm ce，虽然 x ye是单调递增函数，而 22 ,m n无法比较大小， 所以, a b大小无法确定，排除 AB； 22nm ce 2222 +22mnmnnm abe eeec ， 故选：D. 【点睛】本题考查比较大小，构造函数，利用函数的单调性是解答本题的关键点.
7、8. 已知函数 ee 2 xx f xa (aR， e为自然对数的底数)，若 gf x与 yff x的值域 相同，则a的取值范围是 A. 0a B. 1a C. 04a D. 0a 或04a 【答案】A 【解析】 排除法：当1a 时，令 x et ， 1 ( )24f xt t ，值域为4,)，( ( )f f x在 4,)上为增函数，值域为 25 ,) 4 ，不合题意舍去； 当0a 时，( )2 a f xt t ， 2 22 3 ( )120 ata fx tt ， ( )f x 的值域为R ( ( )yf f x的值域也是R，不符合题意，排除 C 和 D. 当 1 2 a 时， 1 (
8、)2 2 f xt t ， 2 1 ( )10 2 fx t ，函数在(0,)上单增，值域为R，( ( )f f x 的 值域也为R，符合题意，排除 B，选 A. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx，下列说法正确的有( ) A. ( ) f x的最小正周期是2 B. ( ) f x最
9、大值为2 C. ( ) f x的图象关于 3 x 对称 D. ( )f x的图象关于 2 ,0 3 对称 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用三角函数的性质，逐个判断选项即可求解 【详解】 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxxsin23cos22sin(2) 3 xxx ，明显可得， A 错，B对； 对于 C，因为()0 3 f ，所以，( )f x的图象不关于 3 x 对称，C 错； 对于 D，因为 2 ()0 3 f ，所以，( )f x的图象关于 2 ,0 3 对称，D 对； 故选：BD 10. 已知平面向量OA、OB、OC为三个单位向量，且0OA OB，若OCxOAy
10、OB (, x yR)， 则x y 的可能取值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 以向量OA、OB方向为 x，y 轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量cos ,sinOC，可计算 cossinxy 取值范围，即得结果. 【详解】依题意，OA、OB是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA、OB作为一组垂直的单 位基底可以表示单位圆上任一点Ccos ,sin(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量 OC， 0,2， 因为1,0OA，0,1OB ，cos ,sinOC，OCxOAyOB， 所以cos ,sinxy，故cossin2s
11、in 4 xy ， 0,2， 故2, 2xy ，故可以是选项中的 0，1， 2. 故选：ABC. 11. 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为3，线段 11 B D上有两个动点,E F，且1EF ，以下结论正 确的有( ) A. ACBE B. 异面直线 ,AE BF所成的角为定值 C. 点A到平面BEF的距离为定值 D. 三棱锥ABEF的体积是定值 【答案】ACD 【解析】 【详解】 由ACBD， 1 ACDD可证AC 平面 11 D DBB，从而AC BE，故 A正确； 取特例， 当 E 与 1 D重合时， F是 F ，AE即 1 AD， 1 AD平行 1 BC， 异面直线,
12、AE BF所成的角是 1 C BF ， 当 F 与 1 B重合时， E是 E ，BF即 1 BB， 异面直线,AE BF所成的角是 1 A AE ， 可知 1 C BF 与 1 A AE 不相等，故异面直线,AE BF所成的角不是定值，故 B错误； 连结BD交AC于O，又AC 平面 11 D DBB，点A到平面 11 BDD B的距离是 2 = 2 AO，也即点A到平面 BEF的距离是 2 2 ，故 C正确； 2 = 2 AO为三棱锥ABEF的高，又 111 1 224 BEF S ，故三棱锥ABEF的体积为 1122 34224 为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距
13、离常见方法为： (1)定义法：直接作平面的垂线，求垂线； (2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； (3)向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可. 12. 在 nnn A B C(1,2,3,n )中，内角, nnn A B C的对边分别为, nnn a b c， nnn A B C的面积为 n S，若 5 n a ， 1 4b ， 1 3c ，且 22 2 1 2 4 nn n ac b ， 22 2 1 2 4 nn n ab c ，则( ) A. nnn A B C一定是直角三角形 B. n S为递增数列 C. n S有最大值 D. n S有最小值 【答案】ABD
14、【解析】 【分析】 先结合已知条件得到 2222 11 1 25=25 2 nnnn bcbc ，进而得到 222 25= nnn bca，得 A 正确，再利用面 积公式得到递推关系 1 22 1875 = 6 4 4 nn SS ，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由 22 2 1 2 4 nn n ac b ， 22 2 1 2 4 nn n ab c 得， 2222 22 11 22 44 nnnn nn acab bc 222 11 22 nnn abc 22 251 22 nn bc ，故 2222 11 1 25=25 2 nnnn bcbc ， 又 22 11 25=
15、0bc， 22 250 nn bc， 222 25= nnn bca， 故 nnn ABC一定是直角三角形， A正确； nnn A B C的面积为 1 2 nnn Sb c，而 422222 2222 22 11 24 22 4416 nnnnnn nnnn nn abcab c acab bc ， 故 422222 2 2222 111 24 1875 161875 = 16166 4 1 nnnn n nn nn nn abcab bSS c c S ， 故 2 22 1 2 2 18751875 = 64464 3 4 nn nnn SS SSS ， 又 22 125 = 244 nn
16、nnn bc b cS (当且仅当 5 2 = 2 nn bc时等号成立) 2 2 1 2 1875 =0 6 3 44 n nn S SS ， 又由 1 4b ， 1 3c 知 nn bc不是恒成立， 即 2 1 2 nn SS ， 故 1nn SS ， 故 n S为递增数列， n S有最小值 1 6S，无最大值，故 BD正确，C 错误. 故选：ABD 【点睛】 本题解题关键是利用递推关系得到 2222 11 1 25=25 2 nnnn bcbc ， 进而得到 222 25= nnn bca， 再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断. 三、填空题：本题共三、填空题
17、：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知向量(1, 3)a r ，(3,)bm r ，且b在a上的投影为3，则m_ 【答案】3 【解析】 【分析】 利用数量积的定义得到投影 cos a b b a ，再利用数量积和模长的坐标运算代入计算即可. 【详解】设a与b的夹角是，利用投影定义，b在a上的投影为cosb，因为cosa bab r rrr ， 33 ,1a bm a，所以 33 cos3 2 ma b a b ，解得3m . 故答案为：3. 14. 设变量x，y满足约束条件 1, 4, 2, xy xy y 则目标函数 2zxy 的最大值为_ 【答案
18、】6.5 【解析】 分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得 最优解的坐标，代入目标函数得答案 详解：由题作出可行域如图， 联立 1 4 xy xy 3 5 (,) 2 2 A化目标函数 22 xz y 由图可知过 A 时截距最大，故 z 的最大值为 6.5，故答案为 6.5 点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15. 已知函数 sincosf xxax的图象关于直线 6 x 对称， 1 x是 f x的一个极大值点， 2 x是 f x 的一个极小值点，则 12 xx的最小值为_ 【答案】 2 3 【解析】 【
19、分析】 根据图象关于 6 x 对称，分析得到 6 f 为函数最值，由此分析计算出a的值并化简 f x，根据条件 表示出 12 ,x x，然后分析出 12 xx的最小值. 【详解】因为 f x的图象关于 6 x 对称，所以 2 13 1 622 faa ， 所以解得3a ，所以 sin3cos2sin 3 f xxxx ， 又因为 11 2sin2 3 f xx ，所以 111 2, 32 xkkZ ，所以 111 2, 6 xkkZ ， 又因为 22 2sin2 3 f xx ，所以 222 2, 32 xkkZ 所以 222 5 2, 6 xkkZ ， 所以 121212 5 22, 66
20、xxkkkZ kZ ， 所以 121212 2 2, 3 xxkkkZ kZ ，显然当 12 0kk时有最小值， 所以 12min 22 33 xx ， 故答案为： 2 3 . 【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路： (1)根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值，代入计算出函数值等于对应的最值，由此计算出参数值； (2)已知对称轴为xa，则根据 2faxf x，代入具体x的值求解出a的值. 16. 三棱锥ABCD中，60ABCCBDDBA ，2BCBD，面ACD的面积为 11，则此三 棱锥外接球的表面积为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 利用三角形全等和三角形
21、面积公式求出高AE为 11，2 3ACAD ，进而利用余弦定理，得出 90ACBADB，即ACBC，ADDB，进而得出AB为外接圆直径，进而求解 【详解】 如图，2BCBD，60ABCCBDDBA，ABCABDVV，则ACAD，2CD ，又 由面ACD的面积为 11，则 ACD的高AE为 11，且根据余弦定理，可得2 3ACAD ， 60ABCDBA，可得4AB ，90ACBADB，即ACBC，ADDB，明显地，当 球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，24ABR，所以，三 棱锥外接球的表面积为 2 416R 故答案为：16 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用
22、余弦定理和三角形性质得到ACBC，ADDB，进而根据球 内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径来求解，难度属于中等 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 在2 3 ABC S，1a b ，sin2sinAB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问 题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 7c ，sin cos 6 cAaC ， ？ 注：如果选
23、择多个条件分别作答，按第一个解答计分 【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】 【分析】 先利用已知条件计算 3 C 和 22 7abab，再利用所选条件逐一计算即可. 【详解】因为 sincos 6 cAaC ，所以sin sinsincos 6 CAAC ， 又因为sin0A，所以sin cos 6 CC ，即 2 sinsin 3 CC ， 又因为(0, )C， 所以 2 3 CC ， 所以 3 C 由余弦定理得 222 2coscababC， 即 22 7abab， 若选：因为 1 sin 2 ABC SabC，所以8ab，所以 2 ()781ab ，与 2 ()0ab矛盾，所以满足 条
24、件的三角形不存在 若选：因为1a b ，所以 22 21abab，又 22 7abab，所以6ab， 故 22 225abab，即5ab，所以三角形周长57Cabc 若选：因为sin2sinAB，所以2ab，联立 22 7abab，解得 2 21 3 a ， 21 3 b ，所以三角 形周长217Cabc 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 18. 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 面AB
25、C，2ACBC， 2 2AB ， 1 4CC ，M是 棱 1 CC上一点 (1)若,M N分别是 1 CC，AB的中点，求证： /CN面 1 ABM； (2)若 1 3 2 C M ，求二面角 1 AB MC的大小 【答案】(1)证明见解析；(2) 4 . 【解析】 【分析】 (1)连接 A1B交 AB1于 P，根据平行四边形 AA1B1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得 NP与 CM 平行且 相等， 从而四边形 MCNP是平行四边形， 可得 CNMP， 再结合线面平行的判定定理， 得到 CN平面 AB1M； (2)以 C 为原点，CA，CB，CC1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直
26、角坐标系如图，根据题意得到 C、A、 、 B1、M各点的坐标，从而得到向量AB、 1 B M的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求 出平面 AMB1的法向量n (5，3，4)，结合平面 MB1C 的一个法向量CA(2，0，0)，利用空间两个向 量的夹角公式，得到n与CA的夹角，即得二面角 AMB1C 的大小 【详解】(1)连结 A1B交 AB1于 P因为三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 P 是 A1B 的中点 因为 M，N分别是 CC1，AB 的中点，所以 NP / CM，且 NP = CM，所以四边形 MCNP 是平行四边形，所以 CN/MP因为 CN平面 AB1M，MP平面
27、 AB1M，所以 CN /平面 AB1M (2)因为 AC=BC=2， 2 2AB ， 所以由勾股定理的逆定理知 BCAC又因为 CC1平面 ABC，以 C为 原点， CA， CB， CC1分别为 x 轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz 因为 1 3 2 C M ， 所以 C(0,0,0)， A(2,0,0)， B1(0,2,4)， 5 (0,0, ) 2 M ， 5 ( 2,0, ) 2 AM ， 1 3 (0, 2,) 2 B M 设平面 1 AMB的法向量( , , )nx y z，则 0n AM ， 1 0n B M 即 5 ( 2,0, ) ( , , )=0 2 3
28、 (0, 2,) ( , , )=0. 2 x y z x y z ， ，令5x ，则 3,4yz ，即(5, 3,4)n 又平面 MB1C的一个法向量是 =(2,0,0)CA，所以 2 cos,= 2| n CA n CA n CA 由图可知二面角 A-MB1-C为锐角，所以二面角 A-MB1-C 的大小为 4 【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知 BCAC又因为 CC1平面 ABC，进而 以 C 为原点，CA，CB，CC1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难 度属于中档题 19. 已知等比数列 n a的公比1q ，满足： 234 28
29、aaa，且 3 2a 是 24 ,a a的等差中项 (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 1 2 log nnn baa ， n S为数列 n b的前n项和，求使 1 21000 n n Sn 成立的正整数n的最小值 【答案】(1)2n n a ；(2)9. 【解析】 分析】 (1)先根据已知条件列基础量 1, a q满足的关系，结合1q 计算解得 1, a q，再写通项公式即可； (2)先化简 n b，再利用错位相减法求其前 n项和 n S，再代入不等式解得 1 21002 n ，结合 * nN，得到n 的取值范围，即得结果. 【详解】 解： (1) 3 2a 是 24 ,a a的等差
30、中项， 324 22aaa， 代入 234 28aaa， 可得 3 8a ， 24 20aa， 2 1 2 11 8 20 a q a qa q ，解之得 1 2 2 a q 或 1 32 1 2 a q ， 1q ， 1 2 2 a q ，数列 n a通项公式为2n n a ； (2) 11 22 log2 log 22 nnn nnn baan ， 2 1 22 22n n Sn ， 231 21 22 222 nn n Snn ， 得 231111 2 1 2 222222222 1 2 n nnnnn n Snnn 1111 222221000 nnnn n Snnn ， 1 2100
31、2 n ， 又因为 * nN， 910 2512,21024，所以1 10n ，所以9n， 所以使 1 21000 n n Sn 成立的正整数n的最小值为9. 【点睛】一般地，如果数列 n a是等差数列， n b是等比数列，求数列 nn ab的前 n 项和时，可采用“错 位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 n b的公比，然后作差求解, 在写出“ n S”与“ n qS” 的表达 式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ nn SqS”的表达式，化简计算即可 20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABC，/ /,90ADBCABC ，2AD ，2 3AB ， 6BC
32、 (1)求证：平面PBD 平面PAC； (2)PA长为何值时，直线PC与平面PBD所成角最大？并求此时该角的正弦值 【答案】(1)证明见解析；(2)2 3PA ，直线PC与平面PBD所成角最大，此时该角的正弦值为 3 5 . 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件，得到BDPA，再利用正切函数的性质， 求得 00 30 ,BAC60ABD，得到BDAC，进而可证得平面PBD 平面PAC； (2)建立空间坐标系，得到2 3,2,0BD ，0, 2,DPt，2 3,6,PCt，进而得到平面PBD 的一个法向量为 2 3 1, 3,n t ，进而可利用向量的公式求解 【详解】(1)PA 平面,ABC
33、D BD 平面ABCD，BDPA， 又 3 tan,tan3 3 ADBC ABDBAC ABAB ， 00 30 ,BAC60ABD， 0 90AEB，即BDAC(E为AC与BD交点) 又PAAC，BD 平面PAC，又因为BD 平面PBD，所以， 平面PAC 平面PBD (2)如图，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间坐标系，如图， 设APt，则2 3,0,0 ,2 3,6,0 ,0,2,0 ,0,0,BCDPt， 则2 3,2,0BD ，0, 2,tDP ，2 3,6,PCt，设平面PBD法向量为 , ,nx y z ， 则 0 0 n BD n DP ，即 2 320 20
34、 xy ytz ，取1x ，得平面PBD的一个法向量为 2 3 1, 3,n t ， 所以 22 22 6 33 3 cos, 12144 48451 PC n PC n PC n tt tt ， 因为 22 22 144144 5151275tt tt ，当且仅当 2 3t 时等号成立， 所以 5 c 3 33 5 3 os,PC n ，记直线PC与平面PBD所成角为，则sincos,PC n，故 3 sin 5 ， 即2 3t 时，直线PC与平面PBD所成角最大，此时该角的正弦值为 3 5 【点睛】 关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD 平面PAC，进而证明平面PAC
35、平面 PBD；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC与平面PBD所成角的最大值，难度属于 中档题 21. 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，1AB 米，如图所示小球从A点出 发以8v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后， 以3v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内， 落点记为F记AOE， (1)用表示小球从A到F所用的时间( )f； (2)当小球从A到F所用的时间最短时，求cos的值 【答案】(1) 11 ( ) 833 sin f vvv ， 3 , 44 ；(2) 1 cos 3 【解析】 【分析】 (1)先计算 A到 E 弧长为，确定这一段的用
36、时，再计算 EF长度确定此段用时，再相加即得结果； (2)对函数( )f求导，研究其单调性得到极小值点，即得到最短时间时的cos值. 【详解】解：(1)依题意，AOE，半径是 1，故 A到 E 弧长为，通过 A 到 E弧长所用时间是 8v ， 过O作OGBC于G，则1OG， 1 sinsin OG OF ，得 1 1 sin EF ，则此时所用时间为 11 33 sin3 EF vvv 所以 11 ( ) 833 sin f vvv ， 3 , 44 ； (2) 2 222 11cos33cos8cos(3cos1)(cos3) ( ) 83sin24 sin24 sin f vvvv ， 记
37、 0 (0, )，且 0 1 cos 3 ，则 0 , 4 2 ， 当 0 , 4 时， 1 cos 3 ，所以( )0f ，( )f单调递减， 当 0 3 , 4 时， 1 cos 3 ，所以( )0f，( )f单调递增， 所以 1 cos 3 时，用时最短 所以，当 1 cos 3 时，小球从A到F所用的时间最短 【点睛】利用导数研究实际问题时，首先构建模型得到函数关系，再通过导数研究其单调性和极值，尤其 开区间上只有一个极值点，也就是最值点，再将数据反馈到实际问题中去. 22. 已知函数 12 ( )(2)e(1) x f xxa x (0a ，e是自然对数的底数)， ( ) fx是 (
38、 )f x的导函数 (1)若 1 2 a ，求证：( ) fx在( 1, ) 单调递增； (2)证明： ( )f x有唯一的极小值点(记为 0 x)，且 2 0 3ef x 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)函数 ( )f x求导， 记( )( )g xfx ， 函数( )g x求导， 二次求导， 分析函数的单调性， 即可得证； (2)当 1 2 a ， 1 0 2 a 利用零点存在性定理得到( ) fx在( 1, ) 有唯一的零点设 ( ) fx有唯一的零点，记为s，分析 函数单调性得到s是 ( )f x唯一的极小值点，由单调性知 0 ()( 1)3f
39、xf ， 2 0 ()(1)eh xh，即可得出结 论. 【详解】(1) 1 ( )(1)e2 (1) x fxxa x ， 记( )( )g xfx ， 则 1 ( )e2 x g xxa ， 1 ( )(1)exgxx ， 因为1x ， 所以( )0gx ， 所以( ) g x 在( 1,) 单调递增， ( 1)12ga ， 当 1 2 a 时，( )( 1)0g xg ， 所以( ) fx在( 1, ) 单调递增， (2)当 1 2 a 时，( ) fx在( 1, ) 单调递增， 又 ( 1)20f ， (1)40fa ， 所以函数( ) fx在( 1, ) 有唯一的零点 当 1 0 2
40、 a时，( 1)0g ，(0)20ga， 故 ( 1,0)t ，使得( )0g t ， 且( 1, )xt 时，( )0g x ，( )g x单调递减， ( ,)xt时，( )0g x ，( )g x单调递增， 又 ( 1)20g ， (1)40ga ， 所以函数( )g x在( 1,) 有唯一的零点 综上所述，( ) fx在( 1, ) 有唯一的零点 当1x时， 1 ( )(1)e0 x fxx ， 又( ) fx有唯一的零点，记为s， 且当xs时，( )0fx ， ( )f x单调递减， 当xs时，( )0fx ， ( )f x单调递增， 所以s是 ( )f x唯一的极小值点， 即 0 (
41、 1,1)xs 且满足 0 1 00 (1)e2 (1)0 x xa x ， 由单调性知 0 ()( 1)3f xf ， 另一方面， 0 000 1 1112220 0000000 0 (1)e1 ()(2)e(1)(2)e(1)(23)e 2(1)2 x xxx x f xxa xxxxx x ， 记 21 1 ( )(23)e 2 z h zzz ，则 21 1 ( )(1)e0 2 z h zz ， 所以 ( )h z单调递减， 又因为 0 ( 1,1)x ， 所以 2 0 ()(1)eh xh， 综上所述， 2 0 3ef x 【点睛】方法点睛：究函数 ( )f x的单调性和极值的步骤： 写定义域，对函数 ( )f x求导 ( ) fx；在定义域内，解不等式 ( )0fx 和( )0fx 写出单调区间， 并判断极值点.
