1、2021 届广东省中山市高三六校第一次联考数学试题届广东省中山市高三六校第一次联考数学试题 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 2 10Ax x ，0,1,2,3B ，则 R C AB( ) A. 2,3 B. 0,1 C. 1,1 D. , 11, 2. 下列说法正确的是( ) A. “f(0)0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B. 若 p： 0 xR， 2 00 10 xx ，则 p：xR ， 2 10 xx C. “若 6 ，则 1 sin 2 ”否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” D. 若p q 为假命题，则 p，q 均为假命题 3. 等差数列 n a的公差为0d
2、d ，且 361013 32,aaaa若8 m a ，则m( ). A. 8 B. 4 C. 6 D. 12 4. 函数 1 ( )2 x f x 的大致图象为( ) A. B. C. D. 5. 已知平面向量, a b满足| | 1ab，若(2)0abb，则向量, a b的夹角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 6. 已知二项式 2 1 2 n x x 所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含 1 x 项的系数是( ) A. -84 B. -14 C. 14 D. 84 7. 已知 ,0 x y ，则 14 xy xy 最小值为( ) A. 6 B. 7 C.
3、 8 D. 9 8. 函数 2 1,1 ( ) ln ,1 xx f x x x 则下列命题正确的是( ) A. 函数 f x是偶函数 B. 函数 f x最小值是 0 C. 函数 f x的单调递增区间是 1, D. 函数 f x的图象关于直线1x 对称 9. 在ABC中，三边长分别为 ,2a a， 4a+，最小角的余弦值为 13 14 ，则这个三角形的面积为( ) A. 15 3 4 B. 15 4 C. 21 3 4 D. 35 3 4 10. 设双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，上存在关于y轴对称的两点P， Q(P在的右支上)，使得
4、 21 22PQPFPF，O为坐标原点，且POQ为正三角形，则的离心 率为( ) A. 6 2 B. 5 2 C. 6 D. 5 二、不定项选择题二、不定项选择题 11. 若 lg21fxx ，则下列命题正确的是( ) A. 2f x是偶函数 B. f x在区间(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数 C. f x没有最大值 D. f x没有最小值 12. 已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的最大值为 2， 其图象相邻两条对称轴之间的 距离为 2 且 f x的图象关于点,0 12 对称，则下列判断错误的是( ) A. 函数 f x的图象关于直线 5 12 x对称 B. 要得到函数 f
5、 x的图象，只需将2cos 2yx的图象向右平移 6 个单位 C. 当, 6 6 x 时，函数 f x的最小值为 2 D. 函数 f x, 6 3 上单调递增 三、填空题三、填空题 13. 已知复数 32 i z i (i为虚数为单位)，则z _. 14. 曲线 11 lnf x xx 在点 1,1f处的切线方程是_. 15. 如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知 cmBCEF ， 2cmAE ，4cmBECF，7cmAD，且AEEF，AD 底面AEF.某工厂要将其铸成一个实 心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为_cm. 16. 已知
6、ABC三个顶点、 、A BC均在抛物线 2 yx上，给出下列命题： 若直线BC过点 3 ,0 8 M ，则存在ABC使抛物线 2 yx的焦点恰为ABC的重心； 若直线BC过点1,0N，则存在点A使ABC为直角三角形； 存在ABC，使抛物线 2 yx的焦点恰为ABC的外心； 若边AC的中线/BMx轴，2BM ，则ABC的面积为2 3. 其中正确的序号为_ 四、解答题四、解答题 17. 在ABC中，60A ， 3 . 7 ca 1求sinC的值； 2若7a，求ABC的面积 18. 已知数列 n a前n项和 n S，点 * , n n SnN 在函数 2 11 1 22 yxx的图象上. (1)求
7、n a的通项公式； (2)设数列 2 1 nn a a 的前n项和为 n T，不等式 7 log1 12 na Ta对任意的正整数n恒成立，求实数a的取 值范围. 19. 如图， 已知矩形ABCD中，22ABAD，O为CD的中点， 沿AO将三角形AOD折起， 使3DB . (1)求证：平面AOD 平面ABCO； (2)若BD上有一点M使得二面角MOAB的平面角的正切值为 1 2 ，试确定M点的位置. 20. 某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为 485 公斤，今年单价为 3.70元/公斤，估计明年 单价不变的可能性为10%，变为 3.90 元/公斤的可能性为70%，变为 4.00 元/公
8、斤的可能性为20%.统计杂 交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图.统计近 10年杂交稻的单价(单位：元/公斤)与种 植亩数(单位：万亩)的关系，得到的 10 组数据记为,1,2,10 ii x yi ，并得到散点图如图. (1)根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值； (2)在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计 将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过 795公斤的概率； (3)判断杂交稻的单价y(单位：元/公斤)与种植亩数x(单位：万亩)是否线性相关？若相关，试根据以 下的参考数据求出y关于x的线性回归方程； 统计参考数据：1.60
9、x ，2.82y ， 10 1 0.52 ii i xxyy ， 10 2 1 0.65 i i xx ， 附：线性回归方程 ybxa， 1 2 1 () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx. 21. 已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于 1 2 ，它的一个顶点恰好是抛物线 2 8 3xy的 焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点 2,3P ，2, 3Q在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQBPQ ， 试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由. 22. 已知函数 lnf xx， ln1g xxx. (1)求函数 g x的单调区间； (
10、2)令 G xxg x，求证：函数 G x存在唯一的极大值点；(定义：若 0 G x是函数 G x的极大值， 则称 0 x是函数 G x的极大值点) (3)若函数 f x的图象与函数 (0) b h xaxb x 的图象交于 11 ,P x y， 22 ,Q x y两点， 其中 12 xx ， 求证： 1212 22 xxxx fh . 2021 届广东省中山市高三届广东省中山市高三六校第一次联考数学试题六校第一次联考数学试题 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 2 10Ax x ，0,1,2,3B ，则 R C AB( ) A. 2,3 B. 0,1 C. 1,1 D. , 11, 【答案
11、】B 【解析】 【分析】 由集合A的描述有 |1Ax x 或1x ，应用集合的交补运算求 R C AB即可. 【详解】由 2 10 |1Ax xx x 或1x ， | 11 R C Axx ，由0,1,2,3B ， 0,1 R C AB I. 故选：B 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据已知集合利用交补运算求集合，属于简单题. 2. 下列说法正确的是( ) A. “f(0)0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B. 若 p： 0 xR， 2 00 10 xx ，则 p：xR ， 2 10 xx C. “若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” D.
12、 若p q 为假命题，则 p，q 均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】 根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可 【详解】对于 A，f (0)0 时，函数 f (x)不一定是奇函数，如 f(x)x2，xR； 函数 f (x) 是奇函数时，f(0)不一定等于零，如 f(x) 1 x ，x0； 是即不充分也不必要条件，A错误； 对于 B，命题 p： 0 xR， 2 00 10 xx 则p：xR，x2x10，B 错误； 对于 C，若 6 ，则 sin 1 2 的否命题是 “若 6 ，则 sin 1 2 ”，正确 对于 D，若 pq为假命题，则 p，q 至少有一假命题，错误； 故选
13、C 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复 合命题与简单命题的关系等知识，是基础题 3. 等差数列 n a的公差为0d d ，且 361013 32,aaaa若8 m a ，则m( ). A. 8 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】 由等差数列性质可知 8 432a ，从而求得结果. 【详解】3 136 102 8 且 n a为等差数列 3136108 2aaaaa，即 8 432a 8 8a 8m 本题正确选项：A 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题. 4. 函数 1 ( )2 x f x 的大致图
14、象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 1 1 1 ( )2 2 x x f x ，根据图象的平移原则可得结果. 【详解】由于 1 1 1 ( )2 2 x x f x ， 故其图象可以看做是由 1 2 x y 向右平移一个单位单位得到， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象，图象的平移法则，属于基础题. 5. 已知平面向量, a b满足| | 1ab，若(2)0abb，则向量, a b的夹角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量数量积公式知 2 2 |1bb rr 代入(2)0abb，化
15、简可得 1 2 a b，然后再代入| | 1ab，即 可求出向量, a b的夹角. 【详解】 2 (2)2210abba bba b rrrr rrr r Q ， 1 2 a b 1 cos, 2 a b a b a b r r r r r r ，故向量, a b的夹角为60 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及向量夹角的计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题 6. 已知二项式 2 1 2 n x x 的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含 1 x 项的系数是( ) A. -84 B. -14 C. 14 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二项式系数之
16、和等于 128，可求得 n 的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含 1 x 项的系数. 【详解】因为二项式的系数之和等于 128， 所以2128 n ，解得7n， 所以二项式展开式的通项公式为 27714 3 177 1 =(2)()2( 1) rrrrrrr r TCxCx x ， 令14 31r，解得=5r， 所以展开式中含 1 x 项的系数为 525 72 ( 1) 84C ， 故选：A 【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属 基础题. 7. 已知 ,0 x y ，则 14 xy xy 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C.
17、 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 将 14 xy xy 展开，即可由基本不等式求出最小值 【详解】 144 ,0,()1 452 49 yx x yxy xyxy 当且仅当 4yx xy ，即20yx时，等号成立 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意“一正二定三相等”的使用条件，属于基础题 8. 函数 2 1,1 ( ) ln ,1 xx f x x x 则下列命题正确的是( ) A. 函数 f x是偶函数 B. 函数 f x最小值是 0 C. 函数 f x的单调递增区间是1, D. 函数 f x的图象关于直线1x 对称 【答案】B 【解析】 【分析】 画出函数图
18、像，由图判断. 【详解】画出函数 f x图象如图： 可知函数 f x是非奇非偶函数，A 错误； 函数 f x最小值是 0，B 正确； 函数 f x的单调递增区间是1,，1,0，C 错误； 01f， 2ln2f， 02ff，所以函数不关于1x 对称，D错误. 故选:B. 【点睛】此题考查函数的性质，属于基础题. 9. 在ABC中，三边长分别为 ,2a a ，4a+，最小角的余弦值为 13 14 ，则这个三角形的面积为( ) A. 15 3 4 B. 15 4 C. 21 3 4 D. 35 3 4 【答案】A 【解析】 【分析】 设最小角为，故对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值
19、，再由三角形面积公式求解 即可 【详解】设最小角为，故对应的边长为a， 则 cos 2222 2 (4)(2)122013 2422121614 aaaaa aaaa ，解得a3 最小角的余弦值为 13 14 ， 22 133 3 11 () 1414 sincos 113 315 3 4235 22144 ABC Saasin 故选A 【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题 10. 设双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，上存在关于y轴对称的两点P， Q(P在的右支上)，使得 21 22PQPFPF，O为坐标原点，且
20、POQ为正三角形，则的离心 率为( ) A. 6 2 B. 5 2 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 因为 21 22PQPFPF，所以 2 2222 2 42,3()(3)4,145 P PP P yb PQaxa ybe xa 选 点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于, ,a b c的方程或不等式， 再根 据, ,a b c的关系消掉b得到 , a c的关系式，而建立关于 , ,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的 几何性质、点的坐标的范围等. 二、不定项选择题二、不定项选择题 11. 若 lg21fxx ，则下列命题正确的是( )
21、A. 2f x偶函数 B. f x在区间(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数 C. f x没有最大值 D. f x没有最小值 【答案】ABC 【解析】 分析】 首先根据奇偶性的定义判断 A， 然后作出 f x的图像， 观察图像可知函数的单调性和最值， 进而判断 BCD. 【详解】由 lg21f xx 对于 A，21()lglg(2)1fxxf xx，所以(2)f x是偶函数； 对于 BCD，作出 f x的图像，如下图， 由图像可知 f x在()2，上是减函数，在(2,)上是增函数，函数存在最小值 0，不存在最大值. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性，函数的单调性以
22、及最值，考查学生的逻辑思维能力与数 形结合思想，属于常考题. 12. 已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的最大值为 2， 其图象相邻两条对称轴之间的 距离为 2 且 f x的图象关于点,0 12 对称，则下列判断错误的是( ) A. 函数 f x的图象关于直线 5 12 x对称 B. 要得到函数 f x的图象，只需将2cos 2yx的图象向右平移 6 个单位 C. 当 , 6 6 x 时，函数 f x的最小值为 2 D. 函数 f x在 , 6 3 上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】 首先根据函数性质求函数的解析式 2sin 2 6 xf x ，分别利用其平移规律，对称性
23、，单调性和最 值的性质进行判断即可. 【详解】函数最大值是 2，则2A ， 函数图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 2 T ，解得2， 函数图像关于点,0 12 对称， 2 12 k ，kZ， 解得 6 k ，kZ， 又 2 ， 所以 6 ，所以函数 2sin 2 6 xf x ， 对于 A， f x的对称轴由2 62 xk ，kZ，可得 1 26 xk ，kZ，直线 5 12 x不是其 对称轴，故 A 错误； 对于 B，将2cos2yx的图像向右平移 6 个单位，可得，2cos 22cos 2 63 yxx 2cos 22sin 2 626 xx 的图像，故 B 正确； 对于 C，, 6
24、 6 x 时，2, 66 2 x ， 可得 1 sin 2,1 62 x ， 所以 2 ,2 2 f x ， 即函数 f x的最小值为 2 2 ，故 C错误； 对于 D， 由, 6 3 x ， 可得： 5 2, 626 x ， 由正弦函数的图像和性质可得函数 f x在, 6 3 上 单调递减，故 D错误. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数sinyAx解析式的求解和图像的平移变换公式、正弦函数的对称性、单调 性和最值等有关性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 三、填空题三、填空题 13. 已知复数 32 i z i (i为虚数为单位)，则z _. 【答案】 23 7 i 【解析】 【分
25、析】 根据复数的除法运算法则求出 23 77 zi，利用共轭复数定义，可求得z. 【详解】因为 32 i z i ( 32 ) ( 32 )( 32 ) ii ii 2323 3477 i i ， 所以 2323 = 777 i zi . 故答案为： 23 7 i 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，考查学生的运算能力，属于基础题. 14. 曲线 11 lnf x xx 在点 1,1f处的切线方程是_. 【答案】230 xy 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义先求解出切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 【详解】 2 11 0fxx xx ， 11
26、 12kf .又 1 1f，所以切点坐标为1,1. 所以曲线 11 lnf x xx 在点 1,1f处的切线方程为121yx ，即230 xy. 故答案为：230 xy. 【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程的求法，主要考查导数的几何意义，难度较易. 15. 如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知 cmBCEF ， 2cmAE ，4cmBECF，7cmAD，且AEEF，AD 底面AEF.某工厂要将其铸成一个实 心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为_cm. 【答案】 3 3 【解析】 【分析】 几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱
27、锥构成，求出体积，利用等体积转换法求出球的半径. 【详解】设铸得的铁球的半径为 cmr ， 依题意，可得该几何体的体积为 111 242(74)5 232 ， 则 3 4 5(1 20%) 3 r， 解得 3 3r . 故答案为： 33 【点睛】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识. 求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行 求解其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何 体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. 16. 已知ABC的三个顶点、 、A BC均在抛物线 2 y
28、x上，给出下列命题： 若直线BC过点 3 ,0 8 M ，则存在ABC使抛物线 2 yx的焦点恰为ABC的重心； 若直线BC过点1,0N，则存在点A使ABC为直角三角形； 存在ABC，使抛物线 2 yx的焦点恰为ABC的外心； 若边AC的中线/BMx轴，2BM ，则ABC的面积为2 3. 其中正确的序号为_ 【答案】. 【解析】 【分析】 对于设出直线BC方程， 与抛物线联立， 利用韦达定理， 求出,B C坐标和， 再利用重心坐标公式， 求出A 点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论； 对于当直线BC过点1,0N，可证OBOC，即可得出结论为正确； 对于判断以焦点为圆心的圆与抛物线是否有三个交点
29、； 对于设AC方程与抛物线联立，利用韦达定理，求出AC中点坐标，然后转化为B点坐标，将B点坐标 代入抛物线方程，求出ABC的面积，即可判断结论是否正确. 【详解】设、 、A BC三点坐标分别为 112233 ( ,) (,) (,)x yxyx y、， 直线BC过点 3 ,0 8 M ，设BC方程为 3 8 xmy， 联立 2 3 8 xmy yx ，消去x，得 22 33 0,0 82 ymym ， 2 23232323 333 ,() 844 yym y yxxm yym ， 抛物线 2 yx的焦点恰为ABC的重心， 2 12312311 3 ,0, 4 xxxyyyxmym ， 将A点坐
30、标代入抛物线方程 22, 0mmm ， 当0m时， 3636 (0,0), ( ,),( ,) 8484 ABC，正确； 直线BC过点1,0N，设BC方程为1xmy， 联立 2 1xmy yx 消去x得， 2 10ymy ， 22 232323232323 ,1,1,0yym y yx xy yx xy y ， 0,OB OCOBOC，而点O在抛物线上，故正确； 设以抛物线焦点 1 ( ,0) 4 F为圆心的圆半径为r， 其方程为 222 1 () 4 xyr，与抛物线方程联立得 2222 111 (),(), 444 xxrxrxr ， 方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
31、 不存在ABC，使抛物线 2 yx的焦点恰为ABC的外心；不正确； AC的方程为x myn ，代入抛物线方程得， 22 1313 0,40,ymynmnyym y yn ， 2 1313 ()22xxm yynmn 设AC中点 00 (,)M xy，/BMx轴，2BM ， 2 2 (2,) 22 mnm B ，代入抛物线方程得 2 22 2 ()2,48 22 mmn mn ， 22 131313 1 2 |()442 22 3 2 ABC Syyyyy ymn . 不正确. 故答案为:. 【点睛】本题考查直线与抛物线的关系，考查抛物线和圆的位置关系以及三角形的面积，灵活运用韦达定 理，设而不
32、求是解题的关键，属于较难题. 四、解答题四、解答题 17. 在ABC中，60A ， 3 . 7 ca 1求sinC的值； 2若7a，求ABC的面积 【答案】(1) 3 3 14 ；(2)6 3. 【解析】 【分析】 1由 3 7 ca，根据正弦定理可得 3 sinsin 7 CA，从而可求出答案； 2根据同角的三角函数的关系求出 cosC，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sinB，利用三角形面积公式计算即可 【详解】(1)60A， 3 7 ca， 由正弦定理可得 3333 3 sinsin 77214 CA. (2)若7a，则3c ， CA， 22 sincos1CC，又由 1可得 13
33、cos 14 C ， 31313 34 3 sinsinsin coscos sin 2142147 BACACAC， 114 3 sin7 36 3 227 ABC SacB 【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角 形的有力工具，其常见用法有以下三种：(1)知道两边和一边的对角，求另一边的对角(一定要注意讨论钝 角与锐角)；(2)知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；(3)证明化简过程中边角互化；(4)求三角 形外接圆半径. 18. 已知数列 n a前n项和 n S，点 * , n n SnN 在函数 2 11 1 22 yxx的
34、图象上. (1)求 n a的通项公式； (2)设数列 2 1 nn a a 的前n项和为 n T，不等式 7 log1 12 na Ta对任意的正整数n恒成立，求实数a的取 值范围. 【答案】(1) 2,1 ,2 n n a n n ；(2) 1 1 2 a. 【解析】 【分析】 (1)由点 , n n S 在函数 f x的图象上，得到 2 11 1 22 n Snn，结合 n a与 n S的关系，即可求得数列的通 项公式； (2)由(1)得2n时， 2 111 11 222 nn a an nnn ，利用“裂项相消法”求得 7111 12212 n T nn ，再结合数列的单调性和题设条件，
35、列出不等式，即可求解. 【详解】(1)由点 , n n S 在函数 2 11 1 22 f xxx的图象上，可得 2 11 1 22 n Snn， 当2n时， 2 1 11 111 22 n Snn ， 两式相减，可得 1nnn aSSn ， 当1n 时， 11 2aS，不符合上式. 所以 n a的通项公式为 2,1 ,2 n n a n n ， (2)由(1)得2n时， 2 111 11 222 nn a an nnn ， 可得 13242 111 n nn T a aa aa a 11111111 6224352nn ， 7111 12212nn ， 又由 12 TT ， 因为 1 1 0
36、 13 nn TT nn ，所以数列 n T单调递增，所以n， 7 12 n T ， 要使不等式 7 log1 12 na Ta对任意正整数n恒成立，只要 77 log1 1212 a a， 即log1log aa aa，解得 1 1 2 a. 【点睛】本题主要考查了利用 n a与 n S的关系求数列的通项公式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调 性的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 19. 如图， 已知矩形ABCD中，22ABAD，O为CD的中点， 沿AO将三角形AOD折起， 使3DB . (1)求证：平面AOD 平面ABCO； (2)若BD上有一点M使得二面角MOAB的平
37、面角的正切值为 1 2 ，试确定M点的位置. 【答案】(1)证明见解析；(2)M是BD的中点 【解析】 分析】 (1)ADO为等腰直角三角形，可知 22AOAD ，连结BO，易知OBOA，由勾股定理可得 OBOD，进而可证明OB平面AOD，结合OB平面ABCO，可得平面AOD 平面ABCO； (2)以O为坐标原点，分别以直线OA，OB为x轴和y轴，以过点O且垂直平面ABCO的直线为z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，设BM BD ，可表示出 22 ,22 , 22 M ，设二面角 MOAB的平面角为， 则 1 t a n 2 ， 可得 2 5 cos 5 ， 分别求出平面MOA、AOB的法向
38、量n、m， 结合cos , m n m n m n 2 5 5 ，可求出，即可得出答案. 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，22ABAD，O为CD的中点， ADO为等腰直角三角形，则 22AOAD ， 连结BO，易知 2AOBO ，即 222 AOBOAB，即OBOA . 又 2 2 22 2 2 123ODOBDB，OBOD， 又OAODO，OA，OD平面AOD，OB平面AOD， 又OB平面ABCO，平面AOD 平面ABCO. (2)以O为坐标原点，分别以直线OA，OB为x轴和y轴，以过点O且垂直平面ABCO的直线为z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0O，0, 2,0B，(
39、 2,0,0)A， 过点D作DHAO，交AO于H，易知H为AO的中点， 平面AOD 平面ABCO，平面AOD平面ABCOAO，DH 平面AOD， DH 平面ABCO， 则 12 22 DHAO，所以 22 ,0, 22 D ， 又 221 2 0 22 OCAB , ，所以 22 0 22 C ,. 设BM BD ，01，设, ,M a b c， 由 22 2 22 BD ,-, ，,2,BMa bc，则,2,a bc 22 2 22 ,-, ，所以 22 ,22 , 22 abc，即 22 ,22 , 22 M ， 设平面MOA的一个法向量为( , , )nx y z， 由 0 0 n n
40、O A M O ，得 20 22 220 22 x xyz ，则 0 22 x z y ， 取0, ,22n，平面AOB的一个法向量为0,0,1m， 设二面角MOAB的平面角为，则 1 tan 2 ，所以 0, 2 ， 所以 22 sin1 tan cos2 sincos1 ，解得 2 5 cos 5 ， 则 22 222 5 cos, 5 (22) m n m n m n ，解得 1 2 . 所以M是BD的中点. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法解决二面角问题，考查学生的计算求解能力与空 间想象能力，属于中档题. 20. 某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为 485
41、公斤，今年单价为 3.70元/公斤，估计明年 单价不变的可能性为10%，变为 3.90 元/公斤的可能性为70%，变为 4.00 元/公斤的可能性为20%.统计杂 交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图.统计近 10年杂交稻的单价(单位：元/公斤)与种 植亩数(单位：万亩)的关系，得到的 10 组数据记为,1,2,10 ii x yi ，并得到散点图如图. (1)根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值； (2)在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计 将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过 795公斤的概率； (3)判断杂交稻的单价y(单位
42、：元/公斤)与种植亩数x(单位：万亩)是否线性相关？若相关，试根据以 下的参考数据求出y关于x的线性回归方程； 统计参考数据：1.60 x ，2.82y ， 10 1 0.52 ii i xxyy ， 10 2 1 0.65 i i xx ， 附：线性回归方程 ybxa， 1 2 1 () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 【答案】(1)3.9(元/公斤)；(2)782，0.104；(3)是， 0.84.10yx . 【解析】 【分析】 (1)设明年常规稻的单价为，列出的分布列，利用公式计算( )E即可； (2)根据频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，可以求
43、出杂交稻的亩产平均值；根据以频率作 为概率，利用独立事件与互斥事件的概率公式，可以预计出将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过 795公斤的概率； (3)散点图中各点大致分布在一条直线附近可判断线性相关，根据题中给的数据利用最小二乘法可以求出线 性回归方程； 【详解】(1)设明年常规稻的单价为元/公斤， 则的分布列为 3.70 3.90 4.00 P 0.1 0.7 0.2 3.7 0.1 3.9 0.74.0 0.23.9E， 估计明年常规稻的单价平均值为 3.9(元/公斤)； (2)杂交稻的亩产平均值为： 750 810 8200.005760 8000.017707900.02780 0
44、.025 10 78.2 10782， 依题意知杂交稻的亩产超过 795 公斤的概率为：0.1 0.05 20.2P ， 则将来三年中至少二年，杂交稻的亩产超过 795公斤的概率为： 223 3 0.21 0.20.20.104C ； (3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻的单价y与种植亩数x线性相关， 由题中提供的数据得： 0.52 0.8 0.65 b ， 由y bxa ，得 2.820.8 1.604.10aybx ， 所以线性回归方程为 0.84.10yx . 【点睛】本题考查了求离散型随机变量的分布列及均值,考查最小二乘法求线性回归方程，以及独立事件与 互斥
45、事件的概率公式，是中档题 21. 已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于 1 2 ，它的一个顶点恰好是抛物线 2 8 3xy的 焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点 2,3P ，2, 3Q在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQBPQ ， 试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由. 【答案】(1) 22 1 1612 xy ；(2)斜率为定值 1 2 ，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意，设椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab ，再根据已知条件列方程组求解 a、b、c 即可； (2)由APQBPQ 可设直线PA的斜为k，则PB的斜率为k， 1
46、1 ,A x y， 22 ,B x y，联立直线 PA 与椭圆的方程，根据韦达定理用 k表示 1 2x ，同理用 k表示出 2 2x ，两式联立可用 k表示 12 xx、 12 xx，代入 12 12 AB yy k xx 中即可得证. 【详解】(1)椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上， 设椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab ，0ab， 椭圆的离心率等于 1 2 ，一个顶点恰好是抛物线 2 8 3xy的焦点， 2 3b ， 1 2 c a ， 又 222 abc， 22 1 12 4 aa，解得4a， 椭圆C的方程为 22 1 1612 xy . (2)当APQBPQ 时，PA，PB的斜率之和为 0， 设直线PA的斜为k，则PB的斜率为k，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 设直线PA的方程为32yk x ， 由 22 32 1 1612 yk x xy ，消去y并整理， 得： 222 348 32
