1、2021 届高三第一次模拟考届高三第一次模拟考数学数学试卷试卷 本试题卷分为第本试题卷分为第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分，共两部分，共 22 题，时量题，时量 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知复数 2 ( ,) i abi a b i R，则ab( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 2. 已知向量a与b的夹
2、角为 6 ，且| 2| 2ab，则a b ( ) A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 2 3. 已知集合 2 |23 , |20Mx xxNx x ，则MN( ) A. |23xx B. |2x x C. |1x x D. | 12xx 4. “ 3 cos 5 ”是“ 7 sin 2 225 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正四棱锥PABCD的高为7，且2AB ，则正四棱锥PABCD 的侧面积为( ) A 2 2 B. 4 C. 6 2 D. 8 2 6. 已知 0,0ab ，且 11 1 ab ，则4ab的最
3、小值是( ) A. 2 B. 6 C. 3 D. 9 7. 德国心理学家艾宾浩斯(HEbbinghaus)研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均 匀的最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节(由若干音节 字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的数量，并 根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示)若一名学生背 了 100 个英语单词，一天后，该学生在这 100个英语单词中随机听写 2 个英语单词，以频率代替概率，不考 虑其他因素，则该学生恰有 1个单词不会的概率
4、大约为( ) A. 0.43 B. 0.38 C. 0.26 D. 0.15 8. 已知函数 2 ( )e2 x f xaxax有两个极值点，则 a 的取值范围是( ) A. ( ,)e B. , 2 e C. 2, e D. 2 , 2 e 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9. 已知函数 ( )f x是定义在(,0)(0,)上的奇函数，当 0
5、x时， 2 ( )23f xxx，则下列结论正 确的是( ) A. |( )| 2f x B. 当0 x时， 2 ( )23f xxx C. 1x 是( )f x图象的一条对称轴 D. ( )f x在(, 1) 上单调递增 10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是 7位评委对甲、乙两位员工评分(满分 10分)的雷达图根 据图中信息，下列说法正确的是( ) A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D. 甲得分的极差小于乙得分的极差 11. 设 F 是抛物线 C： 2 4yx的焦点，直线 l过点 F，且与抛物线 C交
6、于 A，B 两点，O为坐标原点，则下 列结论正确的是( ) A. | 4AB B. | 8OAOB C. 若点 (2,2)P ，则|PAAF的最小值是 3 D. OAB的面积的最小值是 2 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中， 4AB ， E， F分别为 1, BB CD中点， P是 1 BC上的动点， 则( ) A. 1 AF 平面 1 ADE B. 平面 1 ADE截正方体 1111 ABCDABC D的截面面积为 18 C. 三棱锥 1 PAD E的体积与 P点的位置有关 D. 过AE作正方体1111 ABCDABC D的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为5 第第卷卷
7、 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知函数 3 1,0 log,0 xx f x x x ，则8ff _ 14. 在 6 (2)x的展开式中，含 4 x项的系数为_ 15. 若函数( ) sin(0) 3 f xx 图象在0, 2 内恰有一条对称轴，则的最小值是 _ 16. 已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F，过点 F的直线 l：3(2 )yxa与双曲线 C的 右支交于点 A，且与 y 轴交于点 B若OBF的面积为8 3，其中，O 为坐标原点，则 | | AF BF _ 四、
8、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在2sin cos2CA ， tan2 2aA ，cos2 6cA这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，并求ABC的面积 问题：在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且4, 3 aC ，_？ 18. 甲、 乙是两名射击运动员， 根据历史统计数据， 甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为 2 5 、2 5 、1 5 ， 乙一次射击命中10、9环的概率分别为 1 6 、 5 6 一轮射击中，甲、乙各射击一次甲、乙射击相互独立，
9、每次射击也互不影响 (1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率； (2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为X，求X的分布列； (3)进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率 19. 在如图所示的几何体中，,ABCACEBCD均为等边三角形，且平面ACE 平面ABC，平面 BCD平面ABC (1)证明：/DEAB (2)求二面角A CEB的余弦值 20. 在数列 n a中， 111 1 ,30 2 nnnn aaaaa (1)证明：数列 1 n a 是等差数列； (2)若 32 n n a b n ，求数列 n b的前 n 项和 n S 21. 已知点 (0,1)
10、P 为椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 上一点，且直线 220 xy 过椭圆 C 的一个焦点 (1)求椭圆 C的方程 (2)不经过点 (0,1)P 的直线l与椭圆C相交于A， B两点， 记直线,AP BP的斜率分别为 12 ,k k， 若 12 2kk ， 直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由 22. 已知函数 ln1 ( ) x x f x e (1)求 ( )f x的最大值； (2)当1x时， 2 (ln1) x axxe恒成立，求 a的取值范围 2021 届高三第一次模拟考数学试卷届高三第一次模拟考数学试卷 本试题卷分为第卷本试题卷分为第卷
11、( (选择题选择题) )和第卷和第卷( (非选择题非选择题) )两部分， 共两部分， 共 22 题， 时量题， 时量 120 分钟， 满分分钟， 满分 150 分分 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知复数 2 ( ,) i abi a b i R，则ab( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数相等求出, a b，进而可求a b 【详解】解： 2 1 2 i a
12、bii i ， 1,2ab ， 1ab . 故选：B 【点睛】本题考查复数相等的应用，考查复数的除法，是基础题. 2. 已知向量a与b的夹角为 6 ，且| 2| 2ab，则a b ( ) A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】由| 2| 2ab，则2a ，1b ， 又向量a与b的夹角为 6 ， 所以 3 cos,2 13 2 a ba ba b . 故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3. 已知集合 2 |23 , |20Mx xxNx x ，则MN( ) A. |23
13、xx B. |2x x C. |1x x D. | 12xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件先分别求解出集合,M N，然后根据并集概念求解出MN的结果. 【详解】因为 2 23xx ，所以13x- ，所以13Mxx ， 又因为20 x，所以2x，所以2Nx x ， 所以2MNx x ， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的并集运算，其中涉及解一元二次不等式的解法，难度较易. 4. “ 3 cos 5 ”是“ 7 sin 2 225 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由 7 sin 2 22
14、5 求得cos的值，结合充分条件、必要条件的定义可得出结论. 【详解】 2 7 sin 2cos22cos1 225 ， 3 cos 5 . 所以， 37 cossin 2 5225 且 37 cossin 2 5225 . 因此， “ 3 cos 5 ”是“ 7 sin 2 225 ”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了诱导公式以及二倍角余弦公式的应用，考查计算 能力，属于基础题. 5. 已知正四棱锥PABCD的高为7，且2AB ，则正四棱锥PABCD 的侧面积为( ) A. 2 2 B. 4 C. 6 2 D. 8 2 【答案】D 【解析】 【
15、分析】 根据底面边长以及正四棱锥的高可得侧高7 12 2 ，即可得到答案. 【详解】正四棱锥的底面边长为2，高为 7， 则侧面的高为 2 2 712 2h ， 所以侧面积为 1 42 2 28 2 2 S . 故选：D 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题，属于基础题. 6. 已知 0,0ab ，且 11 1 ab ，则4ab的最小值是( ) A. 2 B. 6 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 1144 445529 aba b abab abbaba ， 当且仅当 3 2 a ，3b时取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了基本不
16、等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 7. 德国心理学家艾宾浩斯(HEbbinghaus)研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均 匀的最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节(由若干音节 字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的数量，并 根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示)若一名学生背 了 100 个英语单词，一天后，该学生在这 100个英语单词中随机听写 2 个英语单词，以频率代替概率，不考 虑其他因素，则该学生恰有 1个单词不会的概率大约
17、为( ) A. 0.43 B. 0.38 C. 0.26 D. 0.15 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得到一天后记得的，和忘记的单词数量，然后利用古典概型的概率公式求解 概率即可. 【详解】解：根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得 100个英语单词，一天后，忘记了 74 个，还记得 26 个， 则该学生恰有 1 个单词不会的概率 11 7426 2 100 0.38 CC P C . 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的求解，考查学生的阅读和理解能力，是基础题. 8. 已知函数 2 ( )e2 x f xaxax有两个极值点，则 a 的取值范围是( ) A. ( ,)e
18、B. , 2 e C. 2, e D. 2 , 2 e 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数有两个极值点得到关于a的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出 1 2a ，并采用构造新函数的 方法确定出新函数的取值情况，由此分析出a的取值情况. 【 详 解】 因为 2 ( )e2 x fxaxax有 两 个极 值 点， 所以 0fx 有 两 个不 同 实数 根， 所以 220 x eaxa有两个不同实数根， 所以21 x ea x有两个不同实数根，显然0a， 所以 11 2 x x ae 有两个不同实数根，记 1 x x g x e ， 2 x x gx e ， 当,2x 时 0g x ，当2
19、,x时 0g x ， 所以 g x在,2上单调递增，在2,上单调递减，所以 2max 1 2g xg e ， 又因为,1x 时， 0g x ；当0,2x时， 2 1 0,g x e ；当2,x时， 2 1 0,g x e ， 所以当 11 2 x x ae 有两个不同实数根时 2 11 0, 2ae ， 所以 2 2ae，所以 2 2 e a ， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解 与计算能力要求较高，难度较难. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项
20、中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9. 已知函数 ( )f x是定义在(,0)(0,)上的奇函数，当 0 x时， 2 ( )23f xxx，则下列结论正 确的是( ) A. |( )| 2f x B. 当0 x时， 2 ( )23f xxx C. 1x 是( )f x图象的一条对称轴 D. ( )f x在(, 1) 上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意先求解出0 x时， f x的解析式，然后根据已知条件作出 f x的图象，根据图象即可判断
21、出 1x 是否为对称轴以及 f x在, 1 上是否单调递增. 【详解】当0 x时，0 x ，所以 2 23fxxxf x ，所以 2 23f xxx， 所以 2 2 23,0 23,0 xxx f x xxx ，作出 f x图象如下图所示： 由图象可知： , 22,f x ，所以 2fx ，故 A正确； 当0 x时， 2 23,f xxx故 B正确； 由图象可知1x 显然不是 f x对称轴，故 C 错误； 由图象可知 f x在, 1 上单调递增，故 D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学生综合分析问题 的能力，难度一般. 10.
22、 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是 7位评委对甲、乙两位员工评分(满分 10分)的雷达图根 据图中信息，下列说法正确的是( ) A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D. 甲得分的极差小于乙得分的极差 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据雷达图将甲的得分和乙的得分从小到大排列，依次计算出他们得分的中位数、众数、平均数和极差， 即可判断. 【详解】由雷达图可知，甲的得分从小到大排列依次是 8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9；乙的得分从小 到大排列依次是 8.5，8.9，9.4，9.6，9.
23、6，9.8，10. 甲得分的中位数为 9.5，乙得分的中位数为 9.6，9.59.6，故 A 错误； 甲得分的众数为 9.5，乙得分的众数 9.6，9.59.6，故 B错误； 甲得分的平均数为 8.89.1 9.39.59.59.79.9 9.4 7 ，乙得分的平均数 8.58.99.49.69.69.8 10 9.4 7 ，平均数相等，故 C正确； 甲得分的极差为9.9 8.8 1.1，乙得分的极差108.51.5，1.1 1.5，故 D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数和极差的求解，属于基础题. 11. 设 F 是抛物线 C： 2 4yx的焦点，直线 l过点 F，且
24、与抛物线 C交于 A，B 两点，O为坐标原点，则下 列结论正确的是( ) A. | 4AB B. | 8OAOB C. 若点 (2,2)P ，则|PAAF的最小值是 3 D. OAB的面积的最小值是 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 讨论直线 l是否有斜率，分别计算|AB|和OAB的面积或其范围，判断 A，D，举特例判断 B错误，根据抛 物线性质和三点共线判断 C 【详解】解：F(1，0)，不妨设 A在第一象限， (1)若直线 l无斜率，则 A(1，2)，B(1，2)， 则|AB|4，|OA|OB|2|OA|2 5， 1 4 12 2 OAB S ，显然 B 错误； (2)若直线 l存在
25、斜率， 设直线 l斜率为 k，则直线 l的方程为：yk(x1)，显然 k0， 联立方程组 2 1 4 yk x yx ，消元得： 2222 240k xkxk ， 设 1122 ,A x yB x y， 则 2 12 22 244 2 k xx kk ， |AB| 12 xx24 2 4 k 4， 原点 O到直线 l的距离 2 1 k d k ， 22 2 1141 42 12 22 1 OAB k SABd kk k ， 综上，|AB|4， OAB S2，故 A 正确，D正确， 过点 A向准线作垂线，垂足为 N，则|PA|AF|PA|AN|， 又 P(2，2)在抛物线右侧，故当 P，A，N
26、三点共线时，|PA|AF|取得最小值 3，故 C正确 故选：ACD 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单性质，属于中档题 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中， 4AB ， E， F 分别为 1, BB CD的中点， P 是 1 BC上的动点， 则( ) A. 1 AF 平面 1 ADE B. 平面 1 ADE截正方体 1111 ABCDABC D的截面面积为 18 C. 三棱锥 1 PAD E体积与 P 点的位置有关 D. 过AE作正方体 1111 ABCDABC D的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为5 【答案】AB 【解析】 【分析】 建立坐标系，利
27、用向量法可判断 A；取 11 BC中点G，连接 1 ,DG GE，利用平面性质可知等腰梯形 1 ADGE 即为截面，求出其面积即可判断；根据平行间的距离不变可判断 C；设外接球心为 O，过 O作OOAE ， 垂足为 O ，则以 O 为圆心，O A为半径的圆是过 AE 面积最小的截面圆，求出其面积即可判断 D. 【详解】对于 A，如图，以 A 为原点， 1 ,AD AB AA为坐标轴建立空间直角坐标系， 则 11 0,0,0 ,0,4,2 ,0,0,4 ,4,2,0 ,4,0,4AEAFD, 11 0,4,2 ,4,2, 4 ,4,0,4AEAFAD， 1 0 44 2240AE AF ， 1
28、AFAE， 11 4 40 2440AD AF ， 11 AFAD， 1 AEADA， 1 AF 平面 1 ADE，故 A 正确； 对于 B，如图，取 11 BC中点G，连接 1 ,DG GE，则 1 / /GEC B且 1 1 2 2 2 GEC B，可知 11 / /C BAD， 所以 1 ,A D G E共面，则等腰梯形 1 ADGE即为截面，可求得其面积为 18，故 B 正确； 对于 C， 可知在正方体中， 11 / /BCAD， 又 1 BC 平面 1 ADE， 1 AD 平面 1 ADE， 所以 1/ / BC平面 1 ADE， 因为 P是 1 BC上的动点，所有P到平面 1 AD
29、E的距离为定值，故三棱锥 1 PAD E的体积与 P 点的位置无 关，故 C 错误； 对于 D，设外接球心为 O，过 O作OOAE ，垂足为 O ，则以 O 为圆心，O A为半径的圆是过 AE 面 积最小的截面圆， 则2,2,2O，设 1 0, , 2 Oyy ， 1 2,2,2 2 OOyy ，0,4,2AE ， 1 24220 2 OOAEyy ，解得 12 5 y ， 则 22 1266 5 555 O A ，故截面圆的最小面积为 2 6 536 55 ，故 D 错误. 【点睛】本题考查立体几何的综合问题，属于中档题. 第卷第卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题
30、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知函数 3 1,0 log,0 xx f x x x ，则8ff _ 【答案】2 【解析】 【分析】 由函数 yf x的解析式由内到外逐层可计算得出8ff 的值. 【详解】 3 1,0 log,0 xx f x x x ，88 19f ， 因此， 2 33 89log 9log 32fff. 故答案为：2. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题. 14. 在 6 (2)x的展开式中，含 4 x项的系数为_ 【答案】60 【解析】 【分析】 利用二项式定理的展开式的通项公式： 1 Cr n rr rn Tab 即可求解.
31、 【详解】 6 (2)x的展开式的通项公式： 6 16 2 r rr r TC x ， 令64r ，解得2r =， 所以含 4 x项的系数为 2 2 6 260C. 故答案为：60 【点睛】本题考查了二项式定理，需熟记通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题. 15. 若函数( ) sin(0) 3 f xx 的图象在0, 2 内恰有一条对称轴，则的最小值是 _ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 采用整体替换的方法分析对称轴，由此得到关于的不等式，从而求解出的最小值. 【详解】因为0, 2 x ，所以, 3323 x ， 又因为 f x在0, 2 上恰有一条对称轴，所以 3 2232 ，
32、所以 17 33 ，所以的最小值为 1 3 ， 故答案为： 1 3 . 【点睛】本题考查根据三角函数对称轴求解参数值，其中涉及利用整体替换的方法分析三角函数的对称 轴，难度一般. 16. 已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F，过点 F的直线 l：3(2 )yxa与双曲线 C的 右支交于点 A，且与 y轴交于点 B若OBF的面积为8 3，其中，O 为坐标原点，则 | | AF BF _ 【答案】 3 8 【解析】 【分析】 根据题意可得2ca，再由 1 22 38 3 2 OBF Saa，求出a，利用 222 bca即可求解. 【详解】令0y ，可得2xa
33、，即2ca， 令0 x，可得2 3ya ， 所以 1 22 38 3 2 OBF Saa ，解得2a，所以4c ， 所以 222 12bca，即双曲线的标准方程为： 22 1 412 xy ， 直线 l：3(4)yx， 联立 22 1 412 3(4) xy yx ，解得 5 2 x ， 3 3 2 y ， 即 53 3 , 22 A ，0, 4 3B， 过A作出y轴的垂线，垂足为D， 则 3 3 0, 2 D ， 所以 |3 |8 DOAF BFBO 故答案： 3 8 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小
34、题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在2sin cos2CA ， tan2 2aA ，cos2 6cA这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，并求ABC的面积 问题：在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且4, 3 aC ，_？ 【答案】2 36 2. 【解析】 【分析】 选作为已知条件， 和4, 3 aC 求得A的正余弦，由正弦定理求得 c，sinsin(BA C ）求得sinB， 最后由面积公式求得答案； 选作为已知条件，由和4a可得cosA，sin A，由正弦定理求得 c sinsin(BA C
35、）求得sinB，最后由面积公式求得答案； 选作为已知条件，由cos2 6cA得 2 6 cos A c ，sin A，再利用正弦定理可得 c，得A的正余弦， sinsin(BA C ）求得sinB，最后由面积公式求得答案. 【详解】选2sin cos2CA ， 因为 3 C ，所以2sincos2 3 A ， 26 cos 33 A， 因为0A，所以 2 63 sin1 33 A ， 由正弦定理得 34 sin6 sin23 3 a cC A ， 由sinsin()sin(=sin cos +cos sinBA CA CACAC ） 316333 2 =+ 32326 ， 所以 1133 2
36、sin4 62 36 2 226 ABC SacB ； 选 tan2 2aA ， 由4a得 2 tan 2 A，又0A，所以0 2 A ， sin2 cos2 A A , 所以 2 22 cos1sin1cos 2 AAA ， 所以 6 cos 3 A ， 3 sin 3 A ， 由正弦定理得 34 sin6 sin23 3 a cC A ， 由sinsin()sin(=sin cos +cos sinBA CA CACAC ） 316333 2 =+ 32326 ， 所以 1133 2 sin4 62 36 2 226 ABC SacB ； 选cos2 6cA， 由cos2 6cA得 2 6
37、 cos0A c ， 又0A，所以0 2 A 所以 2 2 2 6 sin1 cos1AA c ， 由正弦定理 sinsin ac AC 得 2 4 3 2 6 1 2 c c ，解得6c ， 所以 6 cos 3 A ， 3 sin 3 A ， 由sinsin()sin(=sin cos +cos sinBA CA CACAC ） 316333 2 =+ 32326 ， 所以 1133 2 sin4 62 36 2 226 ABC SacB . 故答案为：2 36 2. 【点睛】本题是三选一题型，考查了由正弦定理解三角形、求三角形面积. 18. 甲、 乙是两名射击运动员， 根据历史统计数据，
38、 甲一次射击命中10、9、8环概率分别为 2 5 、2 5 、1 5 ， 乙一次射击命中10、9环的概率分别为 1 6 、 5 6 一轮射击中，甲、乙各射击一次甲、乙射击相互独立， 每次射击也互不影响 (1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率； (2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为X，求X的分布列； (3)进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率 【答案】(1) 2 3 ；(2)分布列见解析；(3) 215 216 . 【解析】 【分析】 (1) 设 一 次 射 击 后 ， 甲 命 中 的 环 数 为， 乙 命 中 的 环 数 为 ， 由 题 意 可 得
39、891010PPPPP，结合独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概 率公式可求得所求事件的概率； (2)由题意可知随机变量X的可能取值有17、18、19、20，利用独立事件的概率乘法公式可计算得出随 机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列； (3)求出每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为17的概率，再利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件 的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】(1)设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为， 则甲命中的环数不高于乙命中的环数为 12212 891010 55563 PPPPP； (2)题意可知随机变量X的可能取值有17、18、19、20， 1
40、51 17 566 P X ， 112511 18 565630 P X ， 21252 19 56565 P X ， 211 20 5615 P X ， 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 17 18 19 20 P 1 6 11 30 2 5 1 15 (3)每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为17的概率为 151 566 p ， 三轮射击后，甲、乙命中的环数之和最小为17 351 ， 因此，进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为 3 1215 1 6216 . 【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概 率公式求解事
41、件的概率，考查计算能力，属于中等题. 19. 在如图所示的几何体中，,ABCACEBCD均为等边三角形，且平面ACE 平面ABC，平面 BCD平面ABC (1)证明：/DEAB (2)求二面角A CEB的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2) 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)取,AC BC的中点,F G，通过证明平行四边形来证明/DEAB； (2)建立空间直角坐标系，通过平面法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值. 【详解】(1)取,AC BC的中点,F G，连接,EF FG DG，如下图所示： 因为,ACEBCD为等边三角形，所以,EFAC DGBC， 又因为平面ACE 平面ABC，
42、 平面BCD平面ABC， 且平面ACE平面ABCAC， 平面BCD平 面ABCBC， 所以EF 平面ABC，DG 平面ABC，所以/EFDG， 又因为ACBC，所以ACEBCD，所以EFDG， 所以四边形EFGD是平行四边形，所以/DEFG， 又因为,F G为,AC BC中点，所以/FGAB，所以/DEAB； (2)以,FA FB FE为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系如下图所示：设 2AB ， 则1,0,0 ,1,0,0 ,0,0, 3 ,0, 3,0ACEB，所以1,0, 3 ,1, 3,0CECB， 取平面ACE一个法向量 1 0,1,0n ，设平面BCE一个法向量 2 , ,nx
43、 y z， 所以 2 2 0 0 CE n CB n ，所以 30 30 xz xy ，取3x ，所以 2 3, 1, 1n ， 所以 12 15 cos, 515 n n ，所以二面角A CEB的余弦值为 5 5 . 【点睛】本题考查立体几何的综合应用，其中涉及线线平行的证明、向量法求解二面角的余弦值，难度一 般.利用向量方法求解二面角的余弦值时，计算出平面法向量夹角的余弦值后要注意结合立体图形判断二面 角余弦值的正负. 20. 在数列 n a中， 111 1 ,30 2 nnnn aaaaa (1)证明：数列 1 n a 是等差数列； (2)若 32 n n a b n ，求数列 n b的
44、前 n 项和 n S 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 32 n n 【解析】 【分析】 (1)将条件中的等式变形为 1 11 3 nn aa 即可证明； (2)求出数列 n a的通项公式，代入 32 n n a b n ，可得 111 3 3132 n b nn ，利用裂项相消法即可求 和. 【详解】解：(1)由 11 30 nnnn aaaa 得 1 11 3 nn aa ， 故数列 1 n a 是以 3为公差的等差数列； (2)由(1)得 1 11 +123131 n ndn aa n ， 则 1 31 n a n ， 111 3231 3231 1 332 n n a b nnnn
45、n ， 111 3132 1 1111111 1 3 25588113 22 3322 n n n S nnn . 【点睛】本题考查等差数列的证明，考查裂项相消法求和，是基础题. 21. 已知点 (0,1)P 为椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 上一点，且直线 220 xy 过椭圆 C 的一个焦点 (1)求椭圆 C的方程 (2)不经过点 (0,1)P 的直线l与椭圆C相交于A， B两点， 记直线,AP BP的斜率分别为 12 ,k k， 若 12 2kk ， 直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由 【答案】(1) 2 2 1 5 x y；(2) 1
46、, 1 【解析】 【分析】 (1)根据题意，可得2c ，再将点 (0,1)P 代入椭圆方程可得1b，结合 222 abc即可求解. (2)讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程y kxm ，将直线与椭圆方程联立，消y 可得 222 1 510550kxkmxm ，由题意利用韦达定理整理可得10km ，进而可求解. 【详解】(1)点 (0,1)P 为椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， 则 2 1 1 b ，解得1b， 直线220 xy过椭圆 C 的一个焦点， 令0y ，可得2x，即2c ， 所以 222 145abc ， 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 5 x y. (2)当直线l的斜率不存在时， 设 00 ,A x y， 00 ,B xy，( 0 55x且 0 0 x )， 则 00 12 00 11 2 yy kk xx ，解得 0 1x ，直线恒过点1, 1 ； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kxm ， 直线与椭圆的交点 11 ,A
