2021届湖南省湘潭市高三第一次模拟数学理试题(含答案详解)

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1、2021 届高三第一次模拟考届高三第一次模拟考数学数学试卷试卷 本试题卷分为第本试题卷分为第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分,共两部分,共 22 题,时量题,时量 120 分钟,满分分钟,满分 150 分分 第第卷卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知复数 2 ( ,) i abi a b i R,则ab( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 2. 已知向量a与b的夹

2、角为 6 ,且| 2| 2ab,则a b ( ) A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 2 3. 已知集合 2 |23 , |20Mx xxNx x ,则MN( ) A. |23xx B. |2x x C. |1x x D. | 12xx 4. “ 3 cos 5 ”是“ 7 sin 2 225 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正四棱锥PABCD的高为7,且2AB ,则正四棱锥PABCD 的侧面积为( ) A 2 2 B. 4 C. 6 2 D. 8 2 6. 已知 0,0ab ,且 11 1 ab ,则4ab的最

3、小值是( ) A. 2 B. 6 C. 3 D. 9 7. 德国心理学家艾宾浩斯(HEbbinghaus)研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均 匀的最初遗忘速度很快,以后逐渐减慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节(由若干音节 字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的数量,并 根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示)若一名学生背 了 100 个英语单词,一天后,该学生在这 100个英语单词中随机听写 2 个英语单词,以频率代替概率,不考 虑其他因素,则该学生恰有 1个单词不会的概率

4、大约为( ) A. 0.43 B. 0.38 C. 0.26 D. 0.15 8. 已知函数 2 ( )e2 x f xaxax有两个极值点,则 a 的取值范围是( ) A. ( ,)e B. , 2 e C. 2, e D. 2 , 2 e 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题分在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分 9. 已知函数 ( )f x是定义在(,0)(0,)上的奇函数,当 0

5、x时, 2 ( )23f xxx,则下列结论正 确的是( ) A. |( )| 2f x B. 当0 x时, 2 ( )23f xxx C. 1x 是( )f x图象的一条对称轴 D. ( )f x在(, 1) 上单调递增 10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛,下图是 7位评委对甲、乙两位员工评分(满分 10分)的雷达图根 据图中信息,下列说法正确的是( ) A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D. 甲得分的极差小于乙得分的极差 11. 设 F 是抛物线 C: 2 4yx的焦点,直线 l过点 F,且与抛物线 C交

6、于 A,B 两点,O为坐标原点,则下 列结论正确的是( ) A. | 4AB B. | 8OAOB C. 若点 (2,2)P ,则|PAAF的最小值是 3 D. OAB的面积的最小值是 2 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中, 4AB , E, F分别为 1, BB CD中点, P是 1 BC上的动点, 则( ) A. 1 AF 平面 1 ADE B. 平面 1 ADE截正方体 1111 ABCDABC D的截面面积为 18 C. 三棱锥 1 PAD E的体积与 P点的位置有关 D. 过AE作正方体1111 ABCDABC D的外接球的截面,所得截面圆的面积的最小值为5 第第卷卷

7、 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13. 已知函数 3 1,0 log,0 xx f x x x ,则8ff _ 14. 在 6 (2)x的展开式中,含 4 x项的系数为_ 15. 若函数( ) sin(0) 3 f xx 图象在0, 2 内恰有一条对称轴,则的最小值是 _ 16. 已知双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F,过点 F的直线 l:3(2 )yxa与双曲线 C的 右支交于点 A,且与 y 轴交于点 B若OBF的面积为8 3,其中,O 为坐标原点,则 | | AF BF _ 四、

8、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在2sin cos2CA , tan2 2aA ,cos2 6cA这三个条件中任选一个,补充在下面问 题中,并求ABC的面积 问题:在ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且4, 3 aC ,_? 18. 甲、 乙是两名射击运动员, 根据历史统计数据, 甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为 2 5 、2 5 、1 5 , 乙一次射击命中10、9环的概率分别为 1 6 、 5 6 一轮射击中,甲、乙各射击一次甲、乙射击相互独立,

9、每次射击也互不影响 (1)在一轮射击中,求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率; (2)记一轮射击中,甲、乙命中的环数之和为X,求X的分布列; (3)进行三轮射击,求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率 19. 在如图所示的几何体中,,ABCACEBCD均为等边三角形,且平面ACE 平面ABC,平面 BCD平面ABC (1)证明:/DEAB (2)求二面角A CEB的余弦值 20. 在数列 n a中, 111 1 ,30 2 nnnn aaaaa (1)证明:数列 1 n a 是等差数列; (2)若 32 n n a b n ,求数列 n b的前 n 项和 n S 21. 已知点 (0,1)

10、P 为椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 上一点,且直线 220 xy 过椭圆 C 的一个焦点 (1)求椭圆 C的方程 (2)不经过点 (0,1)P 的直线l与椭圆C相交于A, B两点, 记直线,AP BP的斜率分别为 12 ,k k, 若 12 2kk , 直线 l是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,说明理由 22. 已知函数 ln1 ( ) x x f x e (1)求 ( )f x的最大值; (2)当1x时, 2 (ln1) x axxe恒成立,求 a的取值范围 2021 届高三第一次模拟考数学试卷届高三第一次模拟考数学试卷 本试题卷分为第卷本试题卷分为第卷

11、( (选择题选择题) )和第卷和第卷( (非选择题非选择题) )两部分, 共两部分, 共 22 题, 时量题, 时量 120 分钟, 满分分钟, 满分 150 分分 第卷第卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知复数 2 ( ,) i abi a b i R,则ab( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数相等求出, a b,进而可求a b 【详解】解: 2 1 2 i a

12、bii i , 1,2ab , 1ab . 故选:B 【点睛】本题考查复数相等的应用,考查复数的除法,是基础题. 2. 已知向量a与b的夹角为 6 ,且| 2| 2ab,则a b ( ) A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】由| 2| 2ab,则2a ,1b , 又向量a与b的夹角为 6 , 所以 3 cos,2 13 2 a ba ba b . 故选:A 【点睛】本题考查了向量数量积的定义,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 3. 已知集合 2 |23 , |20Mx xxNx x ,则MN( ) A. |23

13、xx B. |2x x C. |1x x D. | 12xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件先分别求解出集合,M N,然后根据并集概念求解出MN的结果. 【详解】因为 2 23xx ,所以13x- ,所以13Mxx , 又因为20 x,所以2x,所以2Nx x , 所以2MNx x , 故选:B. 【点睛】本题考查集合的并集运算,其中涉及解一元二次不等式的解法,难度较易. 4. “ 3 cos 5 ”是“ 7 sin 2 225 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由 7 sin 2 22

14、5 求得cos的值,结合充分条件、必要条件的定义可得出结论. 【详解】 2 7 sin 2cos22cos1 225 , 3 cos 5 . 所以, 37 cossin 2 5225 且 37 cossin 2 5225 . 因此, “ 3 cos 5 ”是“ 7 sin 2 225 ”的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了诱导公式以及二倍角余弦公式的应用,考查计算 能力,属于基础题. 5. 已知正四棱锥PABCD的高为7,且2AB ,则正四棱锥PABCD 的侧面积为( ) A. 2 2 B. 4 C. 6 2 D. 8 2 【答案】D 【解析】 【

15、分析】 根据底面边长以及正四棱锥的高可得侧高7 12 2 ,即可得到答案. 【详解】正四棱锥的底面边长为2,高为 7, 则侧面的高为 2 2 712 2h , 所以侧面积为 1 42 2 28 2 2 S . 故选:D 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题,属于基础题. 6. 已知 0,0ab ,且 11 1 ab ,则4ab的最小值是( ) A. 2 B. 6 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 1144 445529 aba b abab abbaba , 当且仅当 3 2 a ,3b时取等号, 故选:D 【点睛】本题考查了基本不

16、等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题. 7. 德国心理学家艾宾浩斯(HEbbinghaus)研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均 匀的最初遗忘速度很快,以后逐渐减慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节(由若干音节 字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的数量,并 根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示)若一名学生背 了 100 个英语单词,一天后,该学生在这 100个英语单词中随机听写 2 个英语单词,以频率代替概率,不考 虑其他因素,则该学生恰有 1个单词不会的概率大约

17、为( ) A. 0.43 B. 0.38 C. 0.26 D. 0.15 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得到一天后记得的,和忘记的单词数量,然后利用古典概型的概率公式求解 概率即可. 【详解】解:根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得 100个英语单词,一天后,忘记了 74 个,还记得 26 个, 则该学生恰有 1 个单词不会的概率 11 7426 2 100 0.38 CC P C . 故选:B. 【点睛】本题考查古典概型的求解,考查学生的阅读和理解能力,是基础题. 8. 已知函数 2 ( )e2 x f xaxax有两个极值点,则 a 的取值范围是( ) A. ( ,)e

18、B. , 2 e C. 2, e D. 2 , 2 e 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数有两个极值点得到关于a的方程有两个解,采用分离常数的方法分离出 1 2a ,并采用构造新函数的 方法确定出新函数的取值情况,由此分析出a的取值情况. 【 详 解】 因为 2 ( )e2 x fxaxax有 两 个极 值 点, 所以 0fx 有 两 个不 同 实数 根, 所以 220 x eaxa有两个不同实数根, 所以21 x ea x有两个不同实数根,显然0a, 所以 11 2 x x ae 有两个不同实数根,记 1 x x g x e , 2 x x gx e , 当,2x 时 0g x ,当2

19、,x时 0g x , 所以 g x在,2上单调递增,在2,上单调递减,所以 2max 1 2g xg e , 又因为,1x 时, 0g x ;当0,2x时, 2 1 0,g x e ;当2,x时, 2 1 0,g x e , 所以当 11 2 x x ae 有两个不同实数根时 2 11 0, 2ae , 所以 2 2ae,所以 2 2 e a , 故选:D. 【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围,其中涉及到分离参数方法的使用,对学生的理解 与计算能力要求较高,难度较难. 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项

20、中,有多项符合题分在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分 9. 已知函数 ( )f x是定义在(,0)(0,)上的奇函数,当 0 x时, 2 ( )23f xxx,则下列结论正 确的是( ) A. |( )| 2f x B. 当0 x时, 2 ( )23f xxx C. 1x 是( )f x图象的一条对称轴 D. ( )f x在(, 1) 上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意先求解出0 x时, f x的解析式,然后根据已知条件作出 f x的图象,根据图象即可判断

21、出 1x 是否为对称轴以及 f x在, 1 上是否单调递增. 【详解】当0 x时,0 x ,所以 2 23fxxxf x ,所以 2 23f xxx, 所以 2 2 23,0 23,0 xxx f x xxx ,作出 f x图象如下图所示: 由图象可知: , 22,f x ,所以 2fx ,故 A正确; 当0 x时, 2 23,f xxx故 B正确; 由图象可知1x 显然不是 f x对称轴,故 C 错误; 由图象可知 f x在, 1 上单调递增,故 D正确; 故选:ABD. 【点睛】本题考查奇函数的综合应用,其中涉及函数的解析式、单调性、对称性,考查学生综合分析问题 的能力,难度一般. 10.

22、 某工厂组织员工进行专业技能比赛,下图是 7位评委对甲、乙两位员工评分(满分 10分)的雷达图根 据图中信息,下列说法正确的是( ) A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D. 甲得分的极差小于乙得分的极差 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据雷达图将甲的得分和乙的得分从小到大排列,依次计算出他们得分的中位数、众数、平均数和极差, 即可判断. 【详解】由雷达图可知,甲的得分从小到大排列依次是 8.8,9.1,9.3,9.5,9.5,9.7,9.9;乙的得分从小 到大排列依次是 8.5,8.9,9.4,9.6,9.

23、6,9.8,10. 甲得分的中位数为 9.5,乙得分的中位数为 9.6,9.59.6,故 A 错误; 甲得分的众数为 9.5,乙得分的众数 9.6,9.59.6,故 B错误; 甲得分的平均数为 8.89.1 9.39.59.59.79.9 9.4 7 ,乙得分的平均数 8.58.99.49.69.69.8 10 9.4 7 ,平均数相等,故 C正确; 甲得分的极差为9.9 8.8 1.1,乙得分的极差108.51.5,1.1 1.5,故 D正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数和极差的求解,属于基础题. 11. 设 F 是抛物线 C: 2 4yx的焦点,直线 l过点 F,且

24、与抛物线 C交于 A,B 两点,O为坐标原点,则下 列结论正确的是( ) A. | 4AB B. | 8OAOB C. 若点 (2,2)P ,则|PAAF的最小值是 3 D. OAB的面积的最小值是 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 讨论直线 l是否有斜率,分别计算|AB|和OAB的面积或其范围,判断 A,D,举特例判断 B错误,根据抛 物线性质和三点共线判断 C 【详解】解:F(1,0),不妨设 A在第一象限, (1)若直线 l无斜率,则 A(1,2),B(1,2), 则|AB|4,|OA|OB|2|OA|2 5, 1 4 12 2 OAB S ,显然 B 错误; (2)若直线 l存在

25、斜率, 设直线 l斜率为 k,则直线 l的方程为:yk(x1),显然 k0, 联立方程组 2 1 4 yk x yx ,消元得: 2222 240k xkxk , 设 1122 ,A x yB x y, 则 2 12 22 244 2 k xx kk , |AB| 12 xx24 2 4 k 4, 原点 O到直线 l的距离 2 1 k d k , 22 2 1141 42 12 22 1 OAB k SABd kk k , 综上,|AB|4, OAB S2,故 A 正确,D正确, 过点 A向准线作垂线,垂足为 N,则|PA|AF|PA|AN|, 又 P(2,2)在抛物线右侧,故当 P,A,N

26、三点共线时,|PA|AF|取得最小值 3,故 C正确 故选:ACD 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的简单性质,属于中档题 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中, 4AB , E, F 分别为 1, BB CD的中点, P 是 1 BC上的动点, 则( ) A. 1 AF 平面 1 ADE B. 平面 1 ADE截正方体 1111 ABCDABC D的截面面积为 18 C. 三棱锥 1 PAD E体积与 P 点的位置有关 D. 过AE作正方体 1111 ABCDABC D的外接球的截面,所得截面圆的面积的最小值为5 【答案】AB 【解析】 【分析】 建立坐标系,利

27、用向量法可判断 A;取 11 BC中点G,连接 1 ,DG GE,利用平面性质可知等腰梯形 1 ADGE 即为截面,求出其面积即可判断;根据平行间的距离不变可判断 C;设外接球心为 O,过 O作OOAE , 垂足为 O ,则以 O 为圆心,O A为半径的圆是过 AE 面积最小的截面圆,求出其面积即可判断 D. 【详解】对于 A,如图,以 A 为原点, 1 ,AD AB AA为坐标轴建立空间直角坐标系, 则 11 0,0,0 ,0,4,2 ,0,0,4 ,4,2,0 ,4,0,4AEAFD, 11 0,4,2 ,4,2, 4 ,4,0,4AEAFAD, 1 0 44 2240AE AF , 1

28、AFAE, 11 4 40 2440AD AF , 11 AFAD, 1 AEADA, 1 AF 平面 1 ADE,故 A 正确; 对于 B,如图,取 11 BC中点G,连接 1 ,DG GE,则 1 / /GEC B且 1 1 2 2 2 GEC B,可知 11 / /C BAD, 所以 1 ,A D G E共面,则等腰梯形 1 ADGE即为截面,可求得其面积为 18,故 B 正确; 对于 C, 可知在正方体中, 11 / /BCAD, 又 1 BC 平面 1 ADE, 1 AD 平面 1 ADE, 所以 1/ / BC平面 1 ADE, 因为 P是 1 BC上的动点,所有P到平面 1 AD

29、E的距离为定值,故三棱锥 1 PAD E的体积与 P 点的位置无 关,故 C 错误; 对于 D,设外接球心为 O,过 O作OOAE ,垂足为 O ,则以 O 为圆心,O A为半径的圆是过 AE 面 积最小的截面圆, 则2,2,2O,设 1 0, , 2 Oyy , 1 2,2,2 2 OOyy ,0,4,2AE , 1 24220 2 OOAEyy ,解得 12 5 y , 则 22 1266 5 555 O A ,故截面圆的最小面积为 2 6 536 55 ,故 D 错误. 【点睛】本题考查立体几何的综合问题,属于中档题. 第卷第卷 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题

30、小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13. 已知函数 3 1,0 log,0 xx f x x x ,则8ff _ 【答案】2 【解析】 【分析】 由函数 yf x的解析式由内到外逐层可计算得出8ff 的值. 【详解】 3 1,0 log,0 xx f x x x ,88 19f , 因此, 2 33 89log 9log 32fff. 故答案为:2. 【点睛】本题考查分段函数值的计算,考查计算能力,属于基础题. 14. 在 6 (2)x的展开式中,含 4 x项的系数为_ 【答案】60 【解析】 【分析】 利用二项式定理的展开式的通项公式: 1 Cr n rr rn Tab 即可求解.

31、 【详解】 6 (2)x的展开式的通项公式: 6 16 2 r rr r TC x , 令64r ,解得2r =, 所以含 4 x项的系数为 2 2 6 260C. 故答案为:60 【点睛】本题考查了二项式定理,需熟记通项公式,考查了基本运算能力,属于基础题. 15. 若函数( ) sin(0) 3 f xx 的图象在0, 2 内恰有一条对称轴,则的最小值是 _ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 采用整体替换的方法分析对称轴,由此得到关于的不等式,从而求解出的最小值. 【详解】因为0, 2 x ,所以, 3323 x , 又因为 f x在0, 2 上恰有一条对称轴,所以 3 2232 ,

32、所以 17 33 ,所以的最小值为 1 3 , 故答案为: 1 3 . 【点睛】本题考查根据三角函数对称轴求解参数值,其中涉及利用整体替换的方法分析三角函数的对称 轴,难度一般. 16. 已知双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F,过点 F的直线 l:3(2 )yxa与双曲线 C的 右支交于点 A,且与 y轴交于点 B若OBF的面积为8 3,其中,O 为坐标原点,则 | | AF BF _ 【答案】 3 8 【解析】 【分析】 根据题意可得2ca,再由 1 22 38 3 2 OBF Saa,求出a,利用 222 bca即可求解. 【详解】令0y ,可得2xa

33、,即2ca, 令0 x,可得2 3ya , 所以 1 22 38 3 2 OBF Saa ,解得2a,所以4c , 所以 222 12bca,即双曲线的标准方程为: 22 1 412 xy , 直线 l:3(4)yx, 联立 22 1 412 3(4) xy yx ,解得 5 2 x , 3 3 2 y , 即 53 3 , 22 A ,0, 4 3B, 过A作出y轴的垂线,垂足为D, 则 3 3 0, 2 D , 所以 |3 |8 DOAF BFBO 故答案: 3 8 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小

34、题,共小题,共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在2sin cos2CA , tan2 2aA ,cos2 6cA这三个条件中任选一个,补充在下面问 题中,并求ABC的面积 问题:在ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且4, 3 aC ,_? 【答案】2 36 2. 【解析】 【分析】 选作为已知条件, 和4, 3 aC 求得A的正余弦,由正弦定理求得 c,sinsin(BA C )求得sinB, 最后由面积公式求得答案; 选作为已知条件,由和4a可得cosA,sin A,由正弦定理求得 c sinsin(BA C

35、)求得sinB,最后由面积公式求得答案; 选作为已知条件,由cos2 6cA得 2 6 cos A c ,sin A,再利用正弦定理可得 c,得A的正余弦, sinsin(BA C )求得sinB,最后由面积公式求得答案. 【详解】选2sin cos2CA , 因为 3 C ,所以2sincos2 3 A , 26 cos 33 A, 因为0A,所以 2 63 sin1 33 A , 由正弦定理得 34 sin6 sin23 3 a cC A , 由sinsin()sin(=sin cos +cos sinBA CA CACAC ) 316333 2 =+ 32326 , 所以 1133 2

36、sin4 62 36 2 226 ABC SacB ; 选 tan2 2aA , 由4a得 2 tan 2 A,又0A,所以0 2 A , sin2 cos2 A A , 所以 2 22 cos1sin1cos 2 AAA , 所以 6 cos 3 A , 3 sin 3 A , 由正弦定理得 34 sin6 sin23 3 a cC A , 由sinsin()sin(=sin cos +cos sinBA CA CACAC ) 316333 2 =+ 32326 , 所以 1133 2 sin4 62 36 2 226 ABC SacB ; 选cos2 6cA, 由cos2 6cA得 2 6

37、 cos0A c , 又0A,所以0 2 A 所以 2 2 2 6 sin1 cos1AA c , 由正弦定理 sinsin ac AC 得 2 4 3 2 6 1 2 c c ,解得6c , 所以 6 cos 3 A , 3 sin 3 A , 由sinsin()sin(=sin cos +cos sinBA CA CACAC ) 316333 2 =+ 32326 , 所以 1133 2 sin4 62 36 2 226 ABC SacB . 故答案为:2 36 2. 【点睛】本题是三选一题型,考查了由正弦定理解三角形、求三角形面积. 18. 甲、 乙是两名射击运动员, 根据历史统计数据,

38、 甲一次射击命中10、9、8环概率分别为 2 5 、2 5 、1 5 , 乙一次射击命中10、9环的概率分别为 1 6 、 5 6 一轮射击中,甲、乙各射击一次甲、乙射击相互独立, 每次射击也互不影响 (1)在一轮射击中,求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率; (2)记一轮射击中,甲、乙命中的环数之和为X,求X的分布列; (3)进行三轮射击,求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率 【答案】(1) 2 3 ;(2)分布列见解析;(3) 215 216 . 【解析】 【分析】 (1) 设 一 次 射 击 后 , 甲 命 中 的 环 数 为, 乙 命 中 的 环 数 为 , 由 题 意 可 得

39、891010PPPPP,结合独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概 率公式可求得所求事件的概率; (2)由题意可知随机变量X的可能取值有17、18、19、20,利用独立事件的概率乘法公式可计算得出随 机变量X在不同取值下的概率,可得出随机变量X的分布列; (3)求出每轮射击后,甲、乙命中的环数之和为17的概率,再利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件 的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】(1)设一次射击后,甲命中的环数为,乙命中的环数为, 则甲命中的环数不高于乙命中的环数为 12212 891010 55563 PPPPP; (2)题意可知随机变量X的可能取值有17、18、19、20, 1

40、51 17 566 P X , 112511 18 565630 P X , 21252 19 56565 P X , 211 20 5615 P X , 所以,随机变量X的分布列如下表所示: X 17 18 19 20 P 1 6 11 30 2 5 1 15 (3)每轮射击后,甲、乙命中的环数之和为17的概率为 151 566 p , 三轮射击后,甲、乙命中的环数之和最小为17 351 , 因此,进行三轮射击,求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为 3 1215 1 6216 . 【点睛】本题考查随机变量分布列的求解,同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概 率公式求解事

41、件的概率,考查计算能力,属于中等题. 19. 在如图所示的几何体中,,ABCACEBCD均为等边三角形,且平面ACE 平面ABC,平面 BCD平面ABC (1)证明:/DEAB (2)求二面角A CEB的余弦值 【答案】(1)证明见解析;(2) 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)取,AC BC的中点,F G,通过证明平行四边形来证明/DEAB; (2)建立空间直角坐标系,通过平面法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值. 【详解】(1)取,AC BC的中点,F G,连接,EF FG DG,如下图所示: 因为,ACEBCD为等边三角形,所以,EFAC DGBC, 又因为平面ACE 平面ABC,

42、 平面BCD平面ABC, 且平面ACE平面ABCAC, 平面BCD平 面ABCBC, 所以EF 平面ABC,DG 平面ABC,所以/EFDG, 又因为ACBC,所以ACEBCD,所以EFDG, 所以四边形EFGD是平行四边形,所以/DEFG, 又因为,F G为,AC BC中点,所以/FGAB,所以/DEAB; (2)以,FA FB FE为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系如下图所示:设 2AB , 则1,0,0 ,1,0,0 ,0,0, 3 ,0, 3,0ACEB,所以1,0, 3 ,1, 3,0CECB, 取平面ACE一个法向量 1 0,1,0n ,设平面BCE一个法向量 2 , ,nx

43、 y z, 所以 2 2 0 0 CE n CB n ,所以 30 30 xz xy ,取3x ,所以 2 3, 1, 1n , 所以 12 15 cos, 515 n n ,所以二面角A CEB的余弦值为 5 5 . 【点睛】本题考查立体几何的综合应用,其中涉及线线平行的证明、向量法求解二面角的余弦值,难度一 般.利用向量方法求解二面角的余弦值时,计算出平面法向量夹角的余弦值后要注意结合立体图形判断二面 角余弦值的正负. 20. 在数列 n a中, 111 1 ,30 2 nnnn aaaaa (1)证明:数列 1 n a 是等差数列; (2)若 32 n n a b n ,求数列 n b的

44、前 n 项和 n S 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 32 n n 【解析】 【分析】 (1)将条件中的等式变形为 1 11 3 nn aa 即可证明; (2)求出数列 n a的通项公式,代入 32 n n a b n ,可得 111 3 3132 n b nn ,利用裂项相消法即可求 和. 【详解】解:(1)由 11 30 nnnn aaaa 得 1 11 3 nn aa , 故数列 1 n a 是以 3为公差的等差数列; (2)由(1)得 1 11 +123131 n ndn aa n , 则 1 31 n a n , 111 3231 3231 1 332 n n a b nnnn

45、n , 111 3132 1 1111111 1 3 25588113 22 3322 n n n S nnn . 【点睛】本题考查等差数列的证明,考查裂项相消法求和,是基础题. 21. 已知点 (0,1)P 为椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 上一点,且直线 220 xy 过椭圆 C 的一个焦点 (1)求椭圆 C的方程 (2)不经过点 (0,1)P 的直线l与椭圆C相交于A, B两点, 记直线,AP BP的斜率分别为 12 ,k k, 若 12 2kk , 直线 l是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,说明理由 【答案】(1) 2 2 1 5 x y;(2) 1

46、, 1 【解析】 【分析】 (1)根据题意,可得2c ,再将点 (0,1)P 代入椭圆方程可得1b,结合 222 abc即可求解. (2)讨论直线的斜率是否存在,设出直线方程y kxm ,将直线与椭圆方程联立,消y 可得 222 1 510550kxkmxm ,由题意利用韦达定理整理可得10km ,进而可求解. 【详解】(1)点 (0,1)P 为椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 上一点, 则 2 1 1 b ,解得1b, 直线220 xy过椭圆 C 的一个焦点, 令0y ,可得2x,即2c , 所以 222 145abc , 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 5 x y. (2)当直线l的斜率不存在时, 设 00 ,A x y, 00 ,B xy,( 0 55x且 0 0 x ), 则 00 12 00 11 2 yy kk xx ,解得 0 1x ,直线恒过点1, 1 ; 当直线的斜率存在时,设直线方程为y kxm , 直线与椭圆的交点 11 ,A

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