1、2021 年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2035 的绝对值是（ ） A2035 B2035 C2035 D 2 （3 分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少 1109 万数字 1109 万用科学记数法可表示为（ ） A1.109107 B1.109106 C0.1109108 D11.09106 3 （3 分）下列图形是中心对称图形的有几个？（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4 （3 分）某企业车间有 50 名工人，某一天他
2、们生产的机器零件个数统计如表： 零件个数（个） 6 7 8 人数（人） 15 22 13 表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ） A7 个，7 个 B7 个，6 个 C22 个，22 个 D8 个，6 个 5 （3 分）下列运算中，错误的是（ ） Ax2x3x6 Bx2+x22x2 C （x2）3x6 D （3x）29x2 6 （3 分）下面命题正确的是（ ） A三角形的内心到三个顶点距离相等 B方程 x214x 的解为 x14 C三角形的外角和为 360 D对角线互相垂直的四边形是菱形 7 （3 分）如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中 AB、CD 分别表示
3、地下通道、 市民广场电梯口处地面的水平线，ABC135，BC 的长约是 5，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高 度 h 是（ ） Am B5m Cm D10m 8 （3 分）对于实数 a 和 b，定义一种新运算“”为：ab，这里等式右边是实数运算例如： 13则方程 x2的解是（ ） Ax4 Bx5 Cx6 Dx7 9 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，与 y 轴交于（0，2） ，抛物线的对称轴为直线 x1， 则下列结论中：a+cb；方程 ax2+bx+c0 的解为1 和 3；2a+b0；ca2，其中正确的 结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 1
4、0 （3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 2，BM、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点 P，Q 分别是 平分线 BM、DN 上的点，且满足PAQ45，连接 PQ、PC、CQ则下列结论： BPDQ3.6， QADAPB， PCQ135 BP2+DQ2PQ2，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）因式分解：4a316a2+16a 12 （3 分）端午节是我国传统佳节，小峰同学带了 4 个粽子（除粽馅不同外，其他均相同） ，其中有两个肉 馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子，准备从中任意拿出
5、两个送给他的好朋友小悦，小悦拿到的两个 粽子都是肉馅的概率是 13 （3 分）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60， 此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 60 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 米 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BE，AF 分别是ABC，CAB 平分线，BE，AF 交于点 O， OMAB，AB10，AC8，则 OM 15 （3 分）如图，已知双曲线 y（x0）和 y（x0） ，直线 OA 与双曲线 y交于点 A，将直 线 OA 向下平移与双曲线 y交于点 B，与 y 轴交于点 P，与双曲线
6、 y交于点 C，SABC6，BP： CP2：1，则 k 的值为 三解答题（共三解答题（共 55 分）分） 16 （6 分）计算： （3020）02cos45+|1| 17 （6 分）先化简，再求值：，其中 18 （8 分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动该校随机抽取部分学生，四个类别：A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对戏剧的喜爱情况，将 结 果 绘 制 成 如 图 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 根 据 图 中 提 供 的 信 息 解 决 下 列 问 题 ： （1）此次共调查了 名学生； （2）扇形统计图中B
7、类所对应的扇形圆心角的大小为 度； （3）请通过计算补全条形统计图； （4）该校共有 1560 名学生估计该校表示“很喜欢”的 A 类的学生有多少人？ 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 20 （8 分）今年新型冠状病毒肺炎（COVID19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢 这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措复课返校后， 为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训
8、练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进 5 根 跳绳和 6 个毽子共需 196 元；购进 2 根跳绳和 5 个键子共需 120 元 （1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售， 其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的 3 倍，跳绳的数量不 多于 310 根，请你求出学校花钱最少的购买方案 21 （9 分）如图，已知ABC 内接于O，直径 AD 交 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CFAD，垂足为 F过点 D 作O 的切线，交 AB 的延长线于点 G （1
9、）若G50，求ACB 的度数； （2）若 ABAE，求证：BADCOF； （3）在（2）的条件下，连接 OB，设AOB 的面积为 S1，ACF 的面积为 S2，若，求 tanCAF 的值 22 （10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大 值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐标；并探究：
10、在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2035 的绝对值是（ ） A2035 B2035 C2035 D 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数， 2035 的绝对值等于 2035 故选：B 2 （3 分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少 1109 万数字 1109 万用科学记数法可表示为（ ） A1.109
11、107 B1.109106 C0.1109108 D11.09106 【解答】解：1109 万11090000， 110900001.109107 故选：A 3 （3 分）下列图形是中心对称图形的有几个？（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：从左到右第一、第二、第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形 故选：C 4 （3 分）某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表： 零件个数（个） 6 7 8 人数（人） 15 22 13 表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ） A7 个，7 个 B7 个，6 个 C22 个，22 个 D
12、8 个，6 个 【解答】解：由表可知 7 个出现次数最多，所以众数为 7 个， 因为共有 50 个数据， 所以中位数为第 25 个和第 26 个数据的平均数，即中位数为 7 个 故选：A 5 （3 分）下列运算中，错误的是（ ） Ax2x3x6 Bx2+x22x2 C （x2）3x6 D （3x）29x2 【解答】解：Ax2x3x5，故本选项符合题意； Bx2+x22x2，故本选项不合题意； C （x2）3x6，故本选项不合题意； D （3x）29x2，故本选项不合题意 故选：A 6 （3 分）下面命题正确的是（ ） A三角形的内心到三个顶点距离相等 B方程 x214x 的解为 x14 C三角
13、形的外角和为 360 D对角线互相垂直的四边形是菱形 【解答】解：A、三角形的内心到三条边的距离相等，原命题是假命题，不符合题意； B、方程 x214x 的解为 x14 或 x0，原命题是假命题，不符合题意； C、三角形的外角和为 360，是真命题； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C 7 （3 分）如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中 AB、CD 分别表示地下通道、 市民广场电梯口处地面的水平线，ABC135，BC 的长约是 5，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高 度 h 是（ ） Am B5m Cm D10m 【解答】解：如
14、图，作 CHAB 于 H 在 RtCBH 中，CHB90，BC5，CBH45， sin45， CHBC5 故选：B 8 （3 分）对于实数 a 和 b，定义一种新运算“”为：ab，这里等式右边是实数运算例如： 13则方程 x2的解是（ ） Ax4 Bx5 Cx6 Dx7 【解答】解：已知等式整理得：1， 去分母得：12x+4， 解得：x5， 经检验 x5 是分式方程的解 故选：B 9 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，与 y 轴交于（0，2） ，抛物线的对称轴为直线 x1， 则下列结论中：a+cb；方程 ax2+bx+c0 的解为1 和 3；2a+b0；ca2，其
15、中正确的 结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ， ab+c0， a+cb，故本选项正确； 由对称轴为 x1，一个交点为（1，0） ， 另一个交点为（3，0） ， 方程 ax2+bx+c0 的解为1 和 3，故本选项正确； 由对称轴为 x1， 1， b2a，则 2a+b0，故本选项正确； 抛物线 yax2+bx+c 与 y 轴交于（0，2） ， c2， a0， ca2，故本选项正确； 故选：D 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 2，BM、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点 P，Q 分别是 平分线 BM
16、、DN 上的点，且满足PAQ45，连接 PQ、PC、CQ则下列结论： BPDQ3.6， QADAPB， PCQ135 BP2+DQ2PQ2，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：BM、DN 分别是正方形 ABCD 的两个外角平分线， ADQABP135， BAP+APB45， PAQ45， QAD+BAP45， QADAPB，故正确； ABPQDA， ， 正方形 ABCD 边长为 2， BPDQADAB4，故错误； ， ， 即， PBCCDQ45， PBCCDQ， BCPDQC， PCQ36090DQCDCQ， DQC+DCQ180CDQ18045， PCQ1
17、35，故正确； 如图，将AQD 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG，连接 GP，AB 与 GP 相交于点 H， ADQABG， GABQAD，AGAQ，BGDQ，AGBAQD， GAPGAB+BAPQAD+BAPBADPAQ45， GAPPAQ45， APAP， AGPAQP（SAS） ， GPQP， PBC45，HBC90， HBP45， GBPGBH+HBPAGB+GAB+45AQD+QAD+45， AQD+QAD180ADQ18013545， GBP90， GBP 是直角三角形， BP2+BG2GP2， BP2+DQ2PQ2，故正确 属于其中正确的有，共 3 个 故选：C 二填空题（每
18、题二填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）因式分解：4a316a2+16a 4a（a2）2 【解答】解：4a316a2+16a 4a(a24a+4) 4a（a2）2 故答案为：4a（a2）2 12 （3 分）端午节是我国传统佳节，小峰同学带了 4 个粽子（除粽馅不同外，其他均相同） ，其中有两个肉 馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦，小悦拿到的两个 粽子都是肉馅的概率是 【解答】解：肉粽记为 A、红枣粽子记为 B、豆沙粽子记为 C，由题意可得， 由树状图可知共有 12 种可能的结果，其中小悦拿到的两个粽子都是肉馅的情况数为 2，
19、 小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率， 故答案为： 13 （3 分）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60， 此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 60 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 80 米 【解答】解：由题意可得：tan30， 解得：BD20（米） ， tan60， 解得：DC60（米） ， 故该建筑物的高度为：BCBD+DC80（米） 故答案为 80 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BE，AF 分别是ABC，CAB 平分线，BE，AF 交于点 O， OMAB，AB10，AC8，则 OM 2 【解答】解：
20、过 O 作 OGAC 于 G，OHBC 于 H，连接 OC， AF 平分CAB，BE 平分ABC， OGOHOM， C90，AB10，AC8， BC6 SABCACBCABOM+ACOG+BCOH， 86+8OG+， OM2， 故答案为：2 15 （3 分）如图，已知双曲线 y（x0）和 y（x0） ，直线 OA 与双曲线 y交于点 A，将直 线 OA 向下平移与双曲线 y交于点 B，与 y 轴交于点 P，与双曲线 y交于点 C，SABC6，BP： CP2：1，则 k 的值为 3 【解答】解：如图连接 OB，OC，作 BEOP 于 E，CFy 轴于 F OABC， SOBCSABC6， PB：
21、PC1：2， SOPB4，SOPC2， SOBE126， SPBE2， BEPCFP， SCFP2， SOCF， k3 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 55 分）分） 16 （6 分）计算： （3020）02cos45+|1| 【解答】解：原式124+1 14+1 4 17 （6 分）先化简，再求值：，其中 【解答】解： 当时，原式 18 （8 分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动该校随机抽取部分学生，四个类别：A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对戏剧的喜爱情况，将 结 果 绘 制 成 如 图 两 幅 不 完 整
22、 的 统 计 图 ， 根 据 图 中 提 供 的 信 息 解 决 下 列 问 题 ： （1）此次共调查了 60 名学生； （2）扇形统计图中B 类所对应的扇形圆心角的大小为 150 度； （3）请通过计算补全条形统计图； （4）该校共有 1560 名学生估计该校表示“很喜欢”的 A 类的学生有多少人？ 【解答】解： （1）此次共调查的学生数是： （10+25+10）（125%）60（人） 故答案为：60 （2）B 类所对应的扇形圆心角的大小为：360150 故答案为：150； （3）C 类的人数有：6025%15（人） ，补全条形统计图如图所示： （4）1560260（人） ， 答：该校 15
23、60 名学生中“很喜欢”的 A 类的学生有 260 人 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 【解答】 （1）证明：AEBD，AEBD， 四边形 AEBD 是平行四边形， ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， ADB90， 四边形 AEBD 是矩形 （2）解：四边形 AEBD 是矩形， AEB90， ABE30，AE2， BE2，BC4， EC2， AEBC， AEFBCF， ， EFEC 20 （8 分）今年新型冠状病
24、毒肺炎（COVID19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢 这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措复课返校后， 为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进 5 根 跳绳和 6 个毽子共需 196 元；购进 2 根跳绳和 5 个键子共需 120 元 （1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售， 其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的 3 倍，跳绳的数量不 多于 310 根
25、，请你求出学校花钱最少的购买方案 【解答】解： （1）设跳绳原来的售价为 x 元，毽子原来的售价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：跳绳原来的售价为 20 元，毽子原来的售价为 16 元 （2）设学校购进 m 根跳绳，则购进（400m）个毽子， 依题意得：， 解得：300m310 设学校购进跳绳和毽子一共花了 w 元，则 w200.8m+160.75（400m）4m+4800， 40， w 随 m 的增大而增大， 当 m300 时，w 取最小值，此时 400m100 学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳 300 根，毽子 100 个 21 （9 分）如图，已知ABC 内接于O，直径 AD 交
26、 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CFAD，垂足为 F过点 D 作O 的切线，交 AB 的延长线于点 G （1）若G50，求ACB 的度数； （2）若 ABAE，求证：BADCOF； （3）在（2）的条件下，连接 OB，设AOB 的面积为 S1，ACF 的面积为 S2，若，求 tanCAF 的值 【解答】 （1）解：连接 BD，如图， DG 为切线， ADDG， ADG90， AD 为直径， ABD90， 而GDB+G90，ADB+GDB90， ADBG50， ACBADB50； （2）证明：连接 CD，如图， ABAE， ABEAEB， ODOC， ODCOCD， 而ABCADC，
27、 ABEAEBODCOCD， BADDOC； （3）解：BADFOC，ABDOFC， ABDOFC， （）24， ，设 S18x，S29x， 则 SABD2S116x， SOFC16x4x， SAOC9x4x5x， ， 设 OF4k，则 OA5k， 在 RtOCF 中，OC5k， CF3k， tanCAF 22 （10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP
28、 的面积的最大 值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐标；并探究： 在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线顶点坐标为 C（3，6） ， 可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6， 将 B（0，3）代入可得 a， yx2+2x+3； （2）连接 PO， BO3，AO3， 设 P（n，n2+2n+3） ， SABPSBOP+SAOPSABO， SBPOn， SAPOn2+3n+， SABO， SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+， 当 x时，SABP的最大
29、值为； （3）存在，设 D 点的坐标为（t，t2+2t+3） ， 过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G， 则 DGt3，CG6（t2+2t+3）t22t+3， ACD30， 2DGDC， 在 RtCGD 中， CGDG， （t3）t22t+3， t3+3或 t3（舍） D（3+3，3） ， AG3，GD3， 连接 AD，在 RtADG 中， AD6， ADAC6，CAD120， 在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点， 此时，CQDCAD60， 设 Q（0，m） ，AQ 为圆 A 的半径， AQ2OA2+QO29+m2， AQ2AC2， 9+m236， m3或 m3， 综上所述：Q 点坐标为（0，3）或（0，3）
