1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 23 存在性问题需精练存在性问题需精练 ( (共共 1313 道道题题) ) 1 1 （ （20192019 江苏徐州）江苏徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上AOB 的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y 轴于点D，连接CD （1）求P的度数及点P的坐标； （2）求OCD的面积； （3）AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由 【答案】
2、见解析。 【解析】 （1）如图，作PMOAYM，PNOB于N，PHAB于H利用全等三角形的性质解决问题即可 （2）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出 OC，OD即可解决问题 （3）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b，可得AB6ab，推出OA+OB+AB6， 可得a+b+6，利用基本不等式即可解决问题 解： （1）如图，作PMOAYM，PNOB于N，PHAB于H PMAPHA90， PAMPAH，PAPA， PAMPAH（AAS） ， PMPH，APMAPH， 同理可证：BPNBPH， PHPN，BPNBPH， PMPN， PMOM
3、ONPNO90， 四边形PMON是矩形， MPN90， APBAPH+BPH（MPH+NPH）45， PMPN， 可以假设P（m，m） ， P（m，m）在y上， m 29， m0， m3， P（3，3） （2）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b， AB6ab， AB 2OA2+OB2， a 2+b2（6ab）2， 可得ab186a6b， 93a3bab， PMOC， ， ， OC，同法可得OD， SCODOCDO6 （3）设OAa，OBb，则AMAH3a，BNBH3b， AB6ab， OA+OB+AB6， a+b+6， 2+6， （2+）6， 3（2） ， ab5436， SAOB
4、ab2718， AOB的面积的最大值为 2718 2.(20202.(2020 年浙江湖州年浙江湖州) )如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx 2+bx+c（c0）的顶点为 D，与y 轴的交点为C过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧） ，点B在AC的延长线上， 连结OA，OB，DA和DB （1）如图 1，当ACx轴时， 已知点A的坐标是（2，1） ，求抛物线的解析式； 若四 边形AOBD是平行四边形，求证：b 24c （2）如图 2，若b2，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出 点A的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【分析】
5、（1）先确定出点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论； 先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出DF，再判断出AFDBCO，得出DFOC，即可得出结 论；来源:学科网 ZXXK （2）先判断出抛物线的顶点坐标D（1，c+1） ，设点A（m，m 22m+c） （m0） ， 判断出AFDBCO（AAS） ，得出AFBC，DFOC，再判断出ANFAMC， 出，进而求出m的值，得出点A的纵坐标为cc，进而判断出点M的坐标 为（0，c） ，N（1，c） ，进而得出CM， DN，FNc，进而求出c，即可得出结论来源:学科网 解： （1）ACx轴，点A（2，1） ， C（0，1） ， 将点A（2，1） ，C（0，
6、1）代入抛物线解析式中，得， ， 抛物线的解析式为yx 22x+1； 如图 1，过点D作DEx轴于E，交AB于点F， ACx轴， EFOCc， 点D是抛物线的顶点坐标， D（，c+） ， DFDEEFc+c， 四边 形AOBD是平行四边形， ADDO，ADOB， DAFOBC， AFDBCO90， AFDBCO（AAS） ， DFOC， c， 即b 24c； （2）如图 2，b2 抛物线的解析式为yx 22x+c， 顶点坐标D（1，c+1） ， 假设 存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形， 设点A（m，m 22m+c） （m0） ， 过点D作DEx轴于点E，交AB于F， AFDEFCBC
7、O， 四边形AOBD是平行四边形， ADBO，ADOB， DAFOBC， AFDBCO（AAS） ， AFBC，DFOC， 过点A作AMy轴于M，交DE于N， DECO， ANFAMC， ， AMm，ANAMNMm1， ， ， 点A的纵坐标为（） 22（ ）+ccc， AMx轴， 点M的坐标为（0，c） ，N（1，c） ， CMc（c）， 点D的坐标为（1，c+1） ， DN（c+1）（c）， DFOCc， FNDNDFc， ， ， c， c， 点A纵坐标为， A（，） ， 存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形 3. 3.（20212021 广西南宁模拟）广西南宁模拟）如图，已知在平行
8、四边形ABCD中，AB5，BC8，cosB 4 5 ，点P是边BC上 的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧） ，射线CE与射线BA交于点G （1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）联结AP，当AP/CG时，求弦EF的长； （3）当AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长 【答案】 （1）CP的长为 5； （2） 7 4 EF ； （3）圆C的半径长为10 【解析】解： （1）作AHBC于H BH = 4，AH = 3，CH = 4 22 5ACAHCH，CP = AC = 5； （2）AP/CG，APCE为平行四边形， 又CE = CP， APCE为菱形 设CP =
9、 x，则AP = CP， 22 AHPHCP 即 2 94xx，解得： 25 8 x ， 7 4 EF ； （3）设AEt，则 2 94CEt AEGDEC，5 8 t AG t ， 2 94 8 t GEt t 分情况讨论 AE = AG，解得：3t ； AE = GE，解得： 39 8 t ，此时E在F点右边，舍去； AG = GE，解得：0t 或8t ，均不可能，舍去 当AE = 3 时，10CE 【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求 出的值的取舍 4. （20202020 贵州遵义）贵州遵义）如图，抛物线yax 2 2+9 4
10、x+c经过点A（1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点 为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MPy轴，交抛物线于点P （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请 A B C D E F G P H 说明理由； （3）以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出M的半径 【答案】 （1）y 3 4 x 2+9 4 x+3； （2）不存在，理由见解析； （3）M 的半径为 9 4 或 8 3 【解析】（1） 已知抛物线 yax 2+9 4 x+c 经过点 A(1,0)和点 C(0,3)， 利用待定系数法即
11、可求得抛物线解析式； （2）在抛物线上找到一点 Q，使得QCO等边三角形，过点 Q 作 OMOB 于点 M，过点 Q 作 QNOC 于点 N，根据QCO 是等边三角形，求得 Q 点坐标，再验证 Q 点是否在抛物线上； （3）分两种情况当M 与 y 轴相切，如图所示，令 M 点横坐标为 t，PM=t，将 PM 用 t 表示出来，列出 关于 t 的一元二次方程，求得 t，进而求得半径；M 与 x 轴相切，过点 M 作 MNOB 于 N，如图所示， 令 M 点横坐标为 m，因为 PN=2MN，列出关于 m 的一元二次方程，即可求出 m，进而求得M 的半径 【详解】 （1）抛物线 yax 2+9 4
12、x+c 经过点 A(1,0)和点 C(0,3) 9 0 4 3 ac c 解得 3 4 3 a c 该抛物线的解析式为：y 3 4 x 2+9 4 x+3 故答案为：y 3 4 x 2+9 4 x+3 （2）在抛物线上找到一点 Q，使得QCO 是等边三角形，过点 Q 作 OMOB 于点 M，过点 Q 作 QNOC 于点 N QCO 是等边三角形，OC=3 CN= 3 2 NQ= 2222 33 3 3( ) 22 CQCN 即 Q( 3 3 2 , 3 2 ) 当 x= 3 3 2 时，y 3 4 ( 3 3 2 ) 2+9 4 3 3 2 +3= 27 333 816 3 2 Q( 3 3
13、2 , 3 2 )不在抛物线上 y 3 4 x 2+9 4 x+3 故答案为：不存在，理由见解析 （3）M 与 y 轴相切，如图所示 y 3 4 x 2+9 4 x+3 当 y=0 时， 3 4 x 2+9 4 x+3=0 解得 x1=-1，x2=4 B(4,0) 令直线 BC 的解析式为 y=kx+b 40 3 kb b 解得 3 4 3 k b 直线 BC 的解析式为 3 3 4 yx 令 M 点横坐标为 t MPy 轴，M 与 y 轴相切 t= 3 4 t 2+9 4 t+3- 3 (3) 4 t 解得 t= 8 3 M 的半径为 8 3 M 与 x 轴相切，过点 M 作 MNOB 于
14、N，如图所示 令 M 点横坐标m PN=2MN 2 393 32(3) 444 mmm 解得 m=1 或 m=4（舍去） M 的半径为： 339 33 444 m 故答案为：M 的半径为 9 4 或 8 3 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问题， 二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质 5 5. .（20212021 武汉模拟）武汉模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 2 yaxbxc的顶点是 A(1， 3)，将 OA 绕点 O 顺时针旋转90后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点 C
15、（1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AC 上一动点，且不与点 A，C 重合，过点 P 作平行于 x 轴的直线，与OAB的边分别交于 M，N 两点，将AMN以直线 MN 为对称轴翻折，得到A MN 设点 P 的纵坐标为 m 当A MN在OAB内部时，求 m取值范围； 是否存在点 P，使 5 6 A MN OAB SS ,若存在，求出满足 m 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 2 1 yx22x； （2） 4 3 3 m；存在，满足 m 的值为6 19 或 639 3 【解析】 （1）作 ADy 轴于点 D，作 BEx 轴于点 E，然后证明AODBOE，则 AD=BE，OD=OE，即
16、可得到点 B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）由点 P 为线段 AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点 P 与点 A 重合时；点 P 与点 C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案； 根据题意，可分为两种情况进行分析：当点 M 在线段 OA 上，点 N 在 AB 上时；当点 M 在线段 OB 上， 点 N 在 AB 上时；先求出直线 OA 和直线 AB 的解析式，然后利用 m 的式子表示出两个三角形的面积，根据 等量关系列出方程，解方程即可求出 m 的值 解： （1）如图：作 ADy 轴于点 D，作 BEx 轴于点 E， ADO=BEO=90， 将 OA
17、 绕点 O 逆时针旋转90后得到 OB， OA=OB，AOB=90， AOD+AOE=BOE+AOE=90， AOD=BOE， AODBOE， AD=BE，OD=OE， 顶点 A 为（1，3） ， AD=BE=1，OD=OE=3， 点 B 的坐标为（3，1） ， 设抛物线的解析式为 2 (1)3ya x， 把点 B 代入，得 2 (3 1)31a ， 1a， 抛物线的解析式为 2 (1)3yx ， 即 2 22yxx； （2）P 是线段 AC 上一动点， 3m， 当A MN在OAB内部时， 当点A恰好与点 C 重合时，如图： 点 B 为（3，1） ， 直线 OB 的解析式为 1 3 yx ，
18、令1x ，则 1 3 y ， 点 C 的坐标为（1， 1 3 ） ， AC= 110 3() 33 ， P 为 AC 的中点， AP= 1105 233 ， 54 3 33 m ， m 的取值范围是 4 3 3 m； 当点 M 在线段 OA 上，点 N 在 AB 上时，如图： 点 P 在线段 AC 上，则点 P 为（1，m） ， 点A与点 A 关于 MN 对称，则点A的坐标为（1，2m- -3） ， 3A Pm ， 18 (23)2 33 A Cmm， 设直接 OA 为y ax ，直线 AB 为ykxb， 分别把点 A，点 B 代入计算，得 直接 OA 为3yx；直线 AB 为25yx ， 令
19、y m ， 则点 M 的横坐标为 3 m ，点 N 的横坐标为 5 2 m ， 555 2326 mm MNm ； 2 11555515 () (3) 22261224 A MN SMNA Pmmmm ； 138 3(2)34 223 OA B SA Cmm ； 又 5 6 A MN OAB SS ， 2 55155 (34) 12246 mmm， 解得： 619m 或 619m （舍去） ； 当点 M 在边 OB 上，点 N 在边 AB 上时，如图： 把y m 代入 1 3 yx ，则3xm=-， 555 3 222 m MNmm ， 18 (23)2 33 A Cmm ， 2 115555
20、15 () (3) 2222424 A MN SMNA Pmmmm ， 138 3(2 )43 223 OA B SA Cmm ， 5 6 A MN OAB SS ， 2 55155 (43 ) 4246 mmm， 解得： 639 3 m 或 639 3 m （舍去） ； 综合上述，m 的值为： 619m 或 639 3 m 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形 的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点 P 的位置注意运 用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题 6. 6.（20212021 江西模拟）
21、江西模拟）如图，在ABC中，CA = CB，AB = 8， 4 cos 5 A 点D是AB边上的一个动点，点E 与点A关于直线CD对称，联结CE、DE （1）求底边AB上的高； （2）设CE与AB交于点F，当ACF为直角三角形时，求AD的长； （3）联结AE，当ADE是直角三角形时，求AD的长 【答案】 （1）3； （2）AD的长为 5 2 或 25 7 ； （3）AD的长为 1 【解析】解： （1）过C作CHAB于H AC = BC，AB = 8，AH = BH = 4 又 4 cos 5 A ，AC = BC = 5，CH = 3； （2）分情况讨论： 当90AFC时，F与H重合，EH =
22、 2 EA， 33 42 DHEH 5 2 AD ； 当90ACF时，作DMAC于M，设CM = x， 45ACDECD ，CMDMx 44 33 AMDMx， 4 5 3 xx，解得： 15 7 x 525 37 ADDM； 综上：当ACF为直角三角形时，AD的长为 5 2 或 25 7 ； （3）AD = DE，ADE为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边 90ADE 135ADCEDC 45CDB 3DHCH 1AD 【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认真分析，注意 进行分类讨论 A B C D E H 7. 7. （20212021 重庆模
23、拟）重庆模拟） 如图， 已知ABC为等边三角形，AB = 6， 点P是AB上的一个动点 （与A、B不重合） ， 过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在ABC内作正方形DEFG，其中D、E 在BC上，F在AC上 （1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域； （2）当BP = 2 时，求CF的长； （3）GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由 【答案】（1） 3393 3yx（63 33x） ； （2）2 32； （3）BP的长为 306 3 11 或者为63 3 【解析】（1）ABC为等边三角形， 60BC
24、 ，6ABBCAC； DPAB，BPx，2BDx； 又四边形DEFG是正方形， EFBC，EFDEy， 3 3 ECy； 3 26 3 xyy， 3393 3yx（63 33x）； （2）当BP = 2 时， 33293 333y ， 2 2 32 3 y CF ； （3）GDP能成为直角三角形 1 90PGD时，如图； 63xyy， 6313393 3xx ， 解得： 306 3 11 x A B C D E F G P 2 90GPD时，如图； 则 3 4 2 xxy， 3 43393 3 2 xxx ， 解得：63 3x 当GDP为直角三角形， BP的长为 306 3 11 或者为63
25、3 【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性，注意对相关性质的准确 运用 8. 8. （20212021 天津模拟）天津模拟） 如图， 在ABC中，90C，AC = 4 cm，BC = 5 cm， 点D在BC上， 并且CD = 3 cm 现 有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以 1cm/s 的速度，沿AC向终点C移动；点Q以 1.25 cm/s 的速度沿BC向终点C移动过点P作PE / BC交AD于点E，联结EQ设动点运动时间为x（s） （1）用含x的代数式表示AE、DE的长度； （2）当x为何值时，EDQ为直角三角形 【答案】（1） 5 4 AEx
26、， 5 5 4 DEx； （2）当x为 2.5 s 或 3.1 s 时，EDQ为直角三角形 A B C D E P Q A B C D E F G P A B C D E F G P 【解析】 （1）在Rt ADC中，AC = 4，CD = 3，则AD = 5 EP / DC， AEPADC， AEAP ADAC ，即 54 AEx ， 5 4 AEx， 5 5 4 DEx； （2）分两种情况讨论： 1 当90EQD时，如图； 易得4EQPCx，又EQ / AC， EDQADC， EQDQ ACDC ，即 41.252 43 xx ， 解得：x = 2.5； 2 当90QED时，如图； CDA
27、EDQ，90QEDC， EDQCDA， EQDQ CADA ，即 5 41.252 125 xx ， 解得：x = 3.1； 综上所述：当x为 2.5 s 或 3.1 s 时，EDQ为直角三角形 【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线 段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论 9. （20202020 湖北鄂州）湖北鄂州）如图，抛物线 2 1 2 yxbxc与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左边） ，与 y 轴交 于点 C直线 1 2 2 yx经过 B、C 两点 A B C D E P Q A B C D E
28、P Q （1）求抛物线的解析式； （2） 点P是抛物线上的一动点， 过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、 MPNBC， 垂足为 N设,0M m 点 P 在抛物线上运动，若 P、D、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） 请直 接写出符合条件的 m 的值； 当点 P 在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点 P，使 PNC 与AOC相似若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 13 2 22 yxx； （2）-2， 1 2 ，1； （3）存在， （3，-2） 【解析】 （1）由直线 1 2 2 yx经过 B、C 两点得 B
29、（4，0） ，C（0，-2） 将 B、C 坐标代入抛物线得 2 840 c bc ，解得 3 2 2 b c ， 抛物线的解析式为： 2 13 2 22 yxx； （2）PNBC，垂足为 N ,0M m P（m， 2 13 2 22 mm） ，D（m， 1 2 2 m） ， 分以下几种情况： M 是 PD 的中点时，MD=PM，即 0-（ 1 2 2 m）= 2 13 2 22 mm 解得 1 2m ， 2 4m （舍去） ； P 是 MD 的中点时，MD=2MP，即 1 2 2 m=2（ 2 13 2 22 mm） 解得 1 1 2 m ， 2 4m （舍去） ； D 是 MP 的中点时，2
30、MD=MP，即 2 13 2 22 mm=2（ 1 2 2 m） 解得 1 1m ， 2 4m （舍去） ； 符合条件的 m 的值有-2， 1 2 ，1； 抛物线的解析式为： 2 13 2 22 yxx， A（-1，0） ，B（4，0） ，C（0，-2） AO=1，CO=2，BO=4， AOCO = COBO ，又AOC= COB=90， AOCCOB， ACO= ABC， PNC 与AOC相似 ACO= PCN， ABC= PCN， AB/PC， 点 P 的纵坐标是-2，代入抛物线 2 13 2 22 yxx，得 2 3 2 2 1 2 2 xx 解得： 1 0 x （舍去） ， 2 3x
31、， 点 P 的坐标为： （3，-2） 【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三 角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会 利用分类讨论的思想解决数学问题 10.10.（20212021 杭州模拟）杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（1，0） 、B（4，0） 、C（0， 2） 点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0） ，过点 E作x轴的垂线l交抛物线于点P （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点E在线段OB上运动时，直线
32、l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值； （3）是否存在点P，使BDP是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果 不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 13 2 22 yxx ； （2）m = 2； （3） （3） 1 818P， 2 1 0P ， 3 32P， 【解析】解： （1）二次函数过点A、B， 设二次函数为14ya xx 将点C（0，2）代入，解得 1 2 a 二次函数解析式为： 2 13 2 22 yxx ； （2）D点坐标为（0，2） 直线BD的解析式为： 1 2 2 yx P点坐标为 2 13 ,2 22 mmm ，Q点坐标为 1
33、,2 2 mm CD = PQ， 2 131 224 222 mmm 解得：m = 2 或m = 0（舍） ， 故m的值为 2； （3） 1 818P， 2 1 0P ， 3 32P， 11.11.（20212021 安徽模拟）安徽模拟）如图，在RtABC中，ACB = 90，AB = 13，CD/AB，点E为射线CD上一动点（不 A B C O 与点C重合） ，联结AE交边BC于F，BAE的平分线交BC于点G （1）当CE = 3 时，求SCEFSCAF的值； （2）设CE = x，AE = y，当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式； （3）当AC = 5 时，联结EG，若AEG为
34、直角三角形，求BG的长 【答案】 （1） 3 13 ； （2）26yx； （3）BG的长为 6 或 169 24 【解析】解： （1）CD/AB，CE = 3，AB = 13， 3 13 EFCE AFAB 3 13 CEF CAF SEF SAF （2）延长AG交CD于M 2 CMCG ABGB 26CM CD/AB， EMAMABEAM， AE = EM， 26yx （3）90EAG，分两种情况讨论 当90AGE时，可得AG = GM CD/AB， 1 6 2 BGBC； 当90AEG时，可得ACFGEF， ECFGAF，ECFFAG 又FAGGAB ，ECFB ， BGAB ， GA =
35、 GB 169 24 BG A B C G F E D M 综上所述，若AEG为直角三角形，BG的长为 6 或 169 24 【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形 的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式 12 2. .（20192019 金华）金华）如图，在等腰 RtABC中，ACB90，AB142，点D，E分别在边AB，BC上，将 线段ED绕点E按逆时针方向旋转 90得到EF （1）如图 1，若ADBD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD2DO （2）已知点G为AF的中点 如图 2，若ADBD，C
36、E2，求DG的长若AD6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形？ 若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由 【答案】见解析。 【解析】 （1）由旋转的性质得：CDCF，DCF90， ABC是等腰直角三角形，ADBD， ADO90，CDBDAD DCFADC 在ADO和FCO中 AODFOC ADOFCO ADFC ， ， ， ADOFCO DOCO BDCD2 DO （2）如答图 1，连结BF，分别过点D，F作DNBC于点N，FMBC于点M DNEEMF90 又NDEMEF，DEEF， DNEEMFDNEM 又BD7 2，ABC45，DNEM7， BMBCMEEC5，MFNENCEC5 B
37、F5 2 点D，G分别为AB，AF的中点 图3图2图1 G F A F A O F A BBB C(E) D C E D G C D E DG 1 2 BF 5 2 2 过点D作DHBC于点H AD6BD，AB142，BD22 ）当DEG90时，有如答图 2，3 两种情况，设CEt DEF90，DEG， 点E在线段AF上 BHDH2，BE14t，HEBEBH12t DHEECA， DH EC HE CA ，即 2 t 12 14 t ，解得t622， CE622或CE622 ）当DGBC时，如答图 4 过点F作FKBC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MNNA，连结FM 则NCDH2
38、，MC10 设GNt，则FM2t，BK142t DHEEKFKEDH2，KFHE142t MCFK，142t10，t2 GNEC2，GNEC， 四边形GECN是平行四边形 而ACB90， 四边形GECN是矩形 EGN90 当EC2 时，有DGE90 答图1 M N F A B C E D G 答图2 H G F A B C E D 答图3 H G F A B C E D ）当EDG90时，如答图 5 过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作EKFM于点K，过点D作GN的垂线，交 NG的延长线于点P 则PNHCBCHB12 设GNt，则FM2t，PGPNGN12t 由DHEEK
39、F可得FK2， CEKM2t2 HEHCCE12（2t2）142t， EKHE142t， AMACCMACEK14142t282t， MN 1 2 AM14t，NCMNCMt PDt2 由GPDDHE可得 PG HD PD HE ，即 12 2 t 2 142 t t ， 解得t11014，t21014（舍去）， CE2t218214 所以，CE的长为 622，622，2 或 18214. 1313 （20212021 福建模拟）福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B， C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0
40、） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线 段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 答图4 N M KH G F A B C E D 答图5 H P K M N G F A B C E D 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动， 当其中一点到达终点时， 另一点随之停止运动， 设运动时间为 t 秒 连 接 PQ （1）填空：b= ，c= ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等
41、腰直角三角形？ 若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由； （4）如图，点 N 的坐标为（，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标 【答案】见解析 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3） （x4） 将 a=代入可得到抛物线的解析式，从而可确定 出 b、c 的值； （2）连结 QC先求得点 C 的坐标，则 PC=5t，依据勾股定理可求得 AC=5，CQ 2=t2+16，接下来，依据 CQ 2CP2=AQ2AP2列方程求解即可； （3）过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作
42、MDDE、QEDE，垂足分别为 D、E，MD 交 x 轴与点 F，过 点 P 作 PGx 轴， 垂足为点 G， 首先证明PAGACO， 依据相似三角形的性质可得到 PG=t， AG=t， 然后可求得 PE、DF 的长，然后再证明MDPPEQ，从而得到 PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （4）连结：OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q首先依据三角形的中位线定 理得到 EH=QO=t，RHOQ，NR=AP=t，则 RH=NR，接下来，依据等腰三
43、角形的性质和平行线的 性质证明 NH 是QNQ的平分线，然后求得直线 NR 和 BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标 即可 解： （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3） （x4） 将 a=代入得：y=x 2+ x+4， b=，c=4 （2）在点 P、Q 运动过程中，APQ 不可能是直角三角形 理由如下：连结 QC 在点 P、Q 运动过程中，PAQ、PQA 始终为锐角， 当APQ 是直角三角形时，则APQ=90 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4， C（0，4） AP=OQ=t， PC=5t， 在 RtAOC 中，依据勾股定理得：AC=5，在 RtCOQ 中，依据勾
44、股定理可知：CQ 2=t2+16，在 RtCPQ 中依据勾股定理可知：PQ 2=CQ2CP2，在 RtAPQ 中，AQ2AP2=PQ2， CQ 2CP2=AQ2AP2，即（3+t）2t2=t2+16（5t）2，解得：t=4.5 由题意可知：0t4， t=4.5 不和题意，即APQ 不可能是直角三角形 （3）如图所示： 过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE，垂足分别为 D、E，MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PGx 轴，垂足为点 G，则 PGy 轴，E=D=90 PGy 轴， PAGACO， =，即=， PG=t，AG=t， PE=GQ=GO+OQ=AOAG
45、+OQ=3t+t=3+t，DF=GP=t MPQ=90，D=90， DMP+DPM=EPQ+DPM=90， DMP=EPQ 又D=E，PM=PQ， MDPPEQ， PD=EQ=t，MD=PE=3+t， FM=MDDF=3+tt=3t，OF=FG+GO=PD+OAAG=3+tt=3+t， M（3t，3+t） 点 M 在 x 轴下方的抛物线上， 3+t=（3t） 2+ （3t）+4，解得：t= 0t4， t= （4）如图所示：连结 OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q 点 H 为 PQ 的中点，点 R 为 OP 的中点， EH=QO=t，RHOQ A（3，0） ，N（，0） ， 点 N 为 OA 的中点 又R 为 OP 的中点， NR=AP=t， RH=NR， RNH=RHN RHOQ， RHN=HNO， RNH=HNO，即 NH 是QNQ的平分线 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，把点 A（3，0） 、C（0，4）代入得：， 解得：m=，n=4， 直线 AC 的表示为 y=x+4 同理可得直线 BC 的表达式为 y=x+4 设直线 NR 的函数表达式为 y=x+s，将点 N 的坐标代入得：（）+s=0，解得：s=2， 直线 NR 的表述表达式为 y=x+2 将直线 NR 和直线 BC 的表达式联立得：，解得：x=，y=， Q（，）
