1、 1 专题专题 23 多边形内角和问题多边形内角和问题 1多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 3多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 4多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2） 180 7多边形的外角和：多边形的内角和为 360。 8.多边形对角线的条数： （1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n
2、-2）个三角形。 （2）n 边形共有 2 3)-n(n 条对角线。 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019 贵州铜仁）贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内 角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ） A360 B540 C630 D720 【答案】C 【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是 180的倍数，都能被 180 整除，分析四个答案，只有 630 不能被 180 整除，所以a+b不可能是 630 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 2 2】 （】 （
3、20192019 广西梧州）广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ） A108 B120 C135 D140 【答案】D 【解析】先根据多边形内角和定理：180 （n2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数 该正九边形内角和180（92）1260， 则每个内角的度数 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019 湖南湘西州）湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是 1080，则这个多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 【答案】D 【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变 形和数据处理。 多边形的内角和可以表示成（n
4、2） 180，列方程可求解 设所求多边形边数为n， 则（n2） 1801080， 解得n8 【例题【例题 4 4】 （】 （20192019 海南）海南）如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆 心角BOD的大小为 度 【答案】144 【解析】根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求出 AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题 五边形ABCDE是正五边形， EA108 AB、DE与O相切， OBAODE90， BOD（52）1809010810890144。 3 一、选择题一、选择题 1 1 （ （20192019 湖北
5、咸宁）湖北咸宁）若正多边形的内角和是 540，则该正多边形的一个外角为（ ） A45 B60 C72 D90 【答案】C 【解析】 根据多边形的内角和公式 （n2） 180求出多边形的边数， 再根据多边形的外角和是固定的 360， 依此可以求出多边形的一个外角 正多边形的内角和是 540， 多边形的边数为 540180+25， 多边形的外角和都是 360， 多边形的每个外角360572 2 2 （ （20192019 内蒙古巴彦卓尔）内蒙古巴彦卓尔）下列命题： 若x 2+kx+ 是完全平方式，则k1； 若A（2，6） ，B（0，4） ，P（1，m）三点在同一直线上，则m5； 等腰三角形一边上的
6、中线所在的直线是它的对称轴； 一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，则这个多边形是六边形 其中真命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】利用完全平方公式对进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对 进行判断；根据等腰三角形的性质对进行判断；根据多边形的内角和和外角和对进行判断 若x 2+kx+ 是完全平方式，则k1，所以错误； 若A（2，6） ，B（0，4） ，P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为yx+4，则x1 时，m5， 所以正确； 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以错误； 一个多边形的内角和是它的外角和的 2
7、倍，则这个多边形是六边形，所以正确 专题典型训练题 专题典型训练题 4 3 3 （ （20192019 宁夏）宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF， 扇形DCE则图中阴影部分的面积是（ ） A6 B6 C12 D12 【答案】B 【解析】正六边形ABCDEF的边长为 2， 正六边形ABCDEF的面积是： 66， FABEDC120， 图中阴影部分的面积是： 6， 4.4.（20182018 苏州）苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边形对角线的条数是（ ） A 27 B 35 C 44 D 54 【答案】C
8、 【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一 步代入多边形的对角线计算方法，即可解答 设这个内角度数为 x，边数为 n， （n2）180 x=1510， 180n=1870+x， n 为正整数， n=11， =44 5.5.（20182018 齐齐哈尔）齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是 60，则这个多边形的边数是（ ） A3 B，4 C.5 D.6 5 【答案】D 【解析】由一个多边形的每一个外角都等于 60，且多边形的外角和等于 360，即可求得这个多边形的 边数 一个多边形的每一个外角都等于 60，且多边形的外角和等于 360， 这
9、个多边形的边数是：36060=6 6.6.（20182018 武汉）武汉）一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边形对角线的条数是（ ） A 27 B 35 C 44 D 54 【答案】C 【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一 步代入多边形的对角线计算方法，即可解答 设这个内角度数为 x，边数为 n， （n2）180 x=1510， 180n=1870+x， n 为正整数， n=11， =44 7.7.（20182018 大连）大连）如图，在ABC 中，A=40，D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点，则BDC= 【答
10、案】110 【解析】由 D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点可推出DBC+DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求 出BDC 的度数 D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点， 有CBD=ABD=ABC，BCD=ACD=ACB， ABC+ACB=18040=140， OBC+OCB=70， 6 BOC=18070=110 8.8.（20182018 沈阳）沈阳）若正多边形的一个内角是 150，则该正多边形的边数是（ ） A6 B12 C16 D18 【答案】B 【解析】根据多边形的内角和，可得答案 设多边形为 n 边形，由题意，得 （n2）180=150n， 解得 n=12 9 9 （
11、（20182018 山东临沂）山东临沂）内角和为 540的多边形是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】根据多边形的内角和公式（n2） 180列式进行计算即可求解 设多边形的边数是 n，则 （n2） 180=540， 解得 n=5 10.10.（20182018 江苏镇江）江苏镇江）已知n边形的内角和=（n-2）180. （1）甲同学说，能取 360；而乙同学说，也能取 630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不 对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定x. 【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析； （2）2. 【解析】 （1）
12、根据多边形的内角和公式判定即可； （2）根据题意列方程，解方程即可. 试题解析：(1)甲对，乙不对. =360，（n-2）180=360， 解得 n=4. =630，（n-2）180=630， 解得 n= 2 11 . n 为整数，不能取 630. 7 (2)由题意得， （n-2）180+360=（n+x-2）180， 解得 x=2. 1111 （ （20182018 湖南岳湖南岳阳）阳）已知正多边形的一个外角等于 40，那么这个正多边形的边数为（ ） A6 B7 C8 D9 【答案】D 【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数 正多边形的一个外角等于 40，且外角和为 360
13、， 则这个正多边形的边数是：36040=9 12.12.（20182018 四川绵阳）四川绵阳）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1080，那么原多边形 的边数为（ ） A7 B7 或 8 C8 或 9 D7 或 8 或 9 【答案】D 【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加 1，可能减少 1，或 不变 首先求得内角和为 1080的多边形的边数，即可确定原多边形的边数 设内角和为 1080的多边形的边数是 n，则（n2） 180=1080， 解得：n=8 则原多边形的边数为 7 或 8 或 9 13.13.（20192019 大庆模拟题
14、）大庆模拟题）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能 是（ ） A360 B540 C720 D900 【答案】D 【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本 题的关键 根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可 将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180+180=360 将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180+360=540 将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360+360=720 14.14.（20
15、192019 长沙模拟题）长沙模拟题）若一个正 n 边形的每个内角为 144，则正 n 边形的所有对角线的条数是（ ） 8 A7 B10 C35 D70 【答案】C 【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正 n 边形的边数本题属于基 础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键 由正 n 边形的每个内角为 144结合多边形内角和公式，即可得出关于 n 的一元一次方程，解方程即可求出 n 的值，将其代入中即可得出结论 一个正 n 边形的每个内角为 144， 144n=180（n2） ，解得：n=10 这个正 n 边形的所有对角线的条
16、数是： =35 15. （20182018 江西）江西）如图，五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD，若 AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE 的度 数为何？（ ） A115 B120 C125 D130 【答案】C 【解析】根据全等三角形的判定和性质得出ABC 与AED 全等，进而得出B=E，利用多边形的内角和 解答即可 正三角形 ACD， AC=AD，ACD=ADC=CAD=60， AB=DE，BC=AE， ABCAED， B=E=115，ACB=EAD，BAC=ADE， ACB+BAC=BAC+DAE=180115=65， BAE=BAC+DAE+CAD=65+60=125
17、二、填空题二、填空题 9 1616 （ （20192019 江苏淮安）江苏淮安）若一个多边形的内角和是 540，则该多边形的边数是 【答案】5 【解析】n边形的内角和公式为（n2） 180，由此列方程求n 设这个多边形的边数是n， 则（n2） 180540， 解得n5 17.17.（20192019 陕西）陕西）若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线长为 【答案】6 【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，AOB，COD 为两个边长相等的 等边三角形，AD=2AB=6，故答案为 6 1818 （ （20192019 江苏徐州）江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为 40的正多边形的顶点若O为正多边形的中心， 则OAD 【答案】140 【解析】利用任意凸多边形的外角和均为 360，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据 多边形的内角和公式计算即可 多边形的每个外角相等，且其和为 360， 据此可得多边形的边数为：， OAD 10 19.19.（经典题）（经典题）一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是_. 【答案】8 【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为 360，根据题意列出方程，解之即可. 设这个多边形边数为 n，（n-2）180=3603，n=8.
