1、2021 年江西省年江西省九所重点中学高考数学联考试卷（理科）（九所重点中学高考数学联考试卷（理科）（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 AB（ ） A（1，1） B（1，2） C（0，1） D（0，2） 2复数 z 满足 z（1+i）|1i|，则复数 z 的虚部是（ ） A1 B1 C D 3在ABC 中，|+|，AB4，AC3，则在方向上的投影是（ ） A4 B3 C4 D3 4 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f （ x ） 满 足 ： f （ x ） f （ x 6 ） ， 且 当 0 x
2、3 时 ， （a 为常数），则 f（2020）+f（2021）的值为（ ） A2 B1 C0 D1 5设 ，则 m0+m1+m2+m6（ ） A21 B64 C78 D156 6设 alog26，blog312，clog515，则（ ） Aabc Bcba Cbac Dcab 7如图是一个正方体纸盒的展开图，把 1，1，2，2，3，3 分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则 所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是（ ） A B C D 8已知函数 的部分图象如图所示，则关于函数 f（x）下列说 法正确的是（ ） Af（x）的图象关于直线对称 Bf（x）的图象关于点 Cf（x）在区间上
3、是增函数 D将 ysin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到 f（x）的图象 9已知正方体 ABCDA1B1C1D1和空间任意直线 l，若直线 l 与直线 AB 所成的角为 1，与直线 CC1所成的 角为 2，与平面 ABCD 所成的角为 1，与平面 ACC1A1所成的角为 2，则（ ） A1+2 B1+2 C1+2 D1+2 10点 O 为坐标原点，若 A，B 是圆 x2+y216 上的两个动点，且AOB120，点 P 在直线 3x+4y+250 上运动，则的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 11关于 x 的方程在（0，+）上只有一个实根，则实数 k（ ） Ae1 B1 C0 De
4、12设函数 yf（x）的图象由方程确定，对于函数 f（x）给出下列命题： P1：x1，x2R，x1x2，恒有成立； P2：yf（x）的图像上存在一点 P，使得 P 到原点的距离小于； P3：对于xR，2f（x）+x0 恒成立 则下列正确的是（ ） AP1P2 BP1P3 CP2P3 DP1P3 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知随机变量 服从正态分布 N（3，2），P（6）0.84，则 P（0） 14已知离心率为 2 的双曲线 C1：的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中 心与 C2的顶点重合，M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|5，则 C1的标准方程为
5、15已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，角 A，B，C 成等差数列，且 b4若 D，E 分别为边 AC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心，则GDE 面积的最大值为 16已知三棱锥 ABCD，ABADBCCD5，BD8，AC3，则以点 C 为球心，为半径的球面 与侧面 ABD 的交线长为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答，第必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据
6、要求作答.（一）必考题共（一）必考题共 60 分分 17已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bntanantanan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 18如图，平面 ABCD平面 DBNM，且菱形 ABCD 与菱形 DBNM 全等，且MDBDAB，G 为 MC 中 点 （1）求证：GB平面 AMN； （2）求二面角 AMNB 的余弦值 19已知正三角形 ABC，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：每掷一次骰子，把一枚 棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点
7、数大于 3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动设掷骰子 n 次时，棋子移 动到 A，B，C 处的概率分别为：Pn（A），Pn（B），Pn（C），例如：掷骰子一次时，棋子移动到 A，B， C 处的概率分别为 P1（A）0， （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 A，B，C 处的概率 P3（A），P3（B），P3（C）； （2）记 Pn（A）an，Pn（B）bn，Pn（C）cn，其中 an+bn+cn1，bncn，求 a8 20 已知椭圆 E：的焦距为，点 P（0，2）关于直线 yx 的对称点在椭圆 E 上 （1）求椭圆 E 的方程； （2）如图，椭圆 E 的上、下
8、顶点分别为 A，B，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 C，D 求COD 面积的最大值； 当 AD 与 BC 相交于点 Q 时，试问：点 Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理 由 21已知函数 f（x）2xalnx+4a，（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2） 令 g （x） f （x） sinx， 若存在 x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2时， g （x1） g （x2） ， 证明： （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，
9、如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）过原点 O 引一条射线分别交曲线 C 和直线 l 于 A，B 两点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2a| （1）若 a1，求不等式 f（x）4x2的解集； （2）已知 m+n2，若对任意 xR，都存在 m0，n0，使得，求实数 a 的取值范围
10、参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 AB（ ） A（1，1） B（1，2） C（0，1） D（0，2） 解：Ax|0 x2，Bx|1x1， AB（0，1） 故选：C 2复数 z 满足 z（1+i）|1i|，则复数 z 的虚部是（ ） A1 B1 C D 解：z（1+i）|1i|，z（1+i）（1i）（1i），zi， 则复数 z 的虚部是， 故选：C 3在ABC 中，|+|，AB4，AC3，则在方向上的投影是（ ） A4 B3 C4 D3 解：|+|， 0， ， 又 AB4，AC3， 在方向上的投影是|cos，|
11、cos（ACB） |cosACB 3； 如图所示 故选：D 4 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f （ x ） 满 足 ： f （ x ） f （ x 6 ） ， 且 当 0 x 3 时 ， （a 为常数），则 f（2020）+f（2021）的值为（ ） A2 B1 C0 D1 解：根据题意，函数 f（x）满足：f（x）f（x6），则函数 f（x）是周期为 6 的周期函数， 则 f（2020）f（2+3376）f（2），f（2021）f（1+3376）f（1）， 又由 f（x）为定义域为 R 的奇函数，则 f（2）f（2），f（1）f（1）， 又由当 0 x3 时， 则 f（0）a
12、+log0.51a0，则 a0， 则 f（1）log0.5（1+1）1，f（2）2（22）0， 则 f（2020）+f（2021）f（1）f（2）1， 故选：D 5设 ，则 m0+m1+m2+m6（ ） A21 B64 C78 D156 解：因为， 又因为二项式的展开式 T ， 则 r0 时，m012；r1 时，m11239； r2 时，m212326；r3 时，m312333； r4 时，m412340；r5 时，m512353， r6 时，m612366， 故 m0+m1+m2+m3+m4+m5+m621， 故选：A 6设 alog26，blog312，clog515，则（ ） Aabc
13、Bcba Cbac Dcab 解：因为 alog262，blog3122，clog5152， 所以 ac，bc， 因为 log23log3 4 0， 故 log23log34， alog261+log23，blog3121+log34， 所以 abc 故选：B 7如图是一个正方体纸盒的展开图，把 1，1，2，2，3，3 分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则 所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是（ ） A B C D 解：由题意，图中有 6 个位置，将 1，1，2，2，3，3 这 6 个数字在 6 个位置全排列，共有 A66种结果， 要使所得到的正方中体相对面上的两个数都相等都相等
14、，必须是 1、1 相对，2、2 相对，3、3 相对， 正方体有 6 个面，写第一个数字时有 6 种选择， 剩下四个面，则第三个数字只有 4 种选择， 此时剩余两个面，2 个数字，有 2 种选择； 以此类推，可得出正方体两个对面上两数字和相等的组合方式有 64248 所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率为： P 故选：C 8已知函数 的部分图象如图所示，则关于函数 f（x）下列说 法正确的是（ ） Af（x）的图象关于直线对称 Bf（x）的图象关于点 Cf（x）在区间上是增函数 D将 ysin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到 f（x）的图象 解：由函数 f（x）sin（x+）（0，
15、|）的部分图象得， f（0）sin，由五点法画图知 ， 又 f（）sin（+）0，所以+2，解得 2， 所以 f（x）sin（2x+） 对于 A，f（）sin（+），所以 f（x）的图象不关于直线 x对称，A 错误； 对于 B，f（）sin（+），所以 f（x）的图象不关于点（，0）对称，B 错误； 对于 C，x，时，2x+，0，所以 f（x）在区间，上是增函数，C 正确； 对于 D，把 ysin2x 向右平移个单位，得 ysin2（x）sin（2x），得不到 f（x）的图 象，D 错误 故选：C 9已知正方体 ABCDA1B1C1D1和空间任意直线 l，若直线 l 与直线 AB 所成的角为
16、1，与直线 CC1所成的 角为 2，与平面 ABCD 所成的角为 1，与平面 ACC1A1所成的角为 2，则（ ） A1+2 B1+2 C1+2 D1+2 解：不妨将直线 l 平移使其过点 A，则 l 与侧面 BB1C1C 的交点为 F， 过 F 作 FEBC，垂足为 E，则 FE平面 ABCD， 所以 1BAFEAF，2AFE90EAF， 则 1+2EAF+（90EAF）90，故选项 B 正确，选项 A 错误； 由于平面 ABCD 与平面 ACC1A1有交线 AC， 故当 l 为 AC 时，120，故选项 B，D 错误 故选：B 10点 O 为坐标原点，若 A，B 是圆 x2+y216 上的
17、两个动点，且AOB120，点 P 在直线 3x+4y+250 上运动，则的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 解：因为 （）212， 又点 O 到直线 3x+4y+250 的距离为 d， 所以|min5，此时直线 OP 与直线垂直， 所以（52）2123，即的最小值为3， 故选：A 11关于 x 的方程在（0，+）上只有一个实根，则实数 k（ ） Ae1 B1 C0 De 解：关于 x 的方程在（0，+）上只有一个实根， 即 x（ex1）lnxk 有且仅有一个正根， 令 f（x）x（ex1）lnx，x0 则 f（x）（x+1）ex1（x+1）（ex）， 令 g（x）ex，x0， 则 g（x
18、）ex+0， 记 e 0，即 g（x0）0， （0，x0）上 g（x）0，（x0，+）上 g（x）0， 又因为 x0， 故（0，x0）上 f（x）0，（x0，+）上 f（x）0， 当 x+时，f（x）+，x0 时，f（x）+， 故当 xx0时，f（x0）k 且 e ， kx0（e1）lnx01x0lnx01， 故选：B 12设函数 yf（x）的图象由方程确定，对于函数 f（x）给出下列命题： P1：x1，x2R，x1x2，恒有成立； P2：yf（x）的图像上存在一点 P，使得 P 到原点的距离小于； P3：对于xR，2f（x）+x0 恒成立 则下列正确的是（ ） AP1P2 BP1P3 CP2
19、P3 DP1P3 解：作函数图象草图如图所示， 因为 f（x）在 R 上单调递减，所以x1，x2R，x1x2，恒有成立， 所以 P1为真； 由图象知 yf（x）的图像上的点 P 到原点的距离最小值为，所以 P2为假； 由图象知 yf（x）的图像与 yx 有交点，所以xR，2f（x）+x0 恒成立不成立，所以 P3为假 对于 A，P1P2为假，所以 A 错， 对于 B，P1P3为假，所以 B 错 对于 C，P2P3为真，所以 C 对， 对于 D，P1P3为假，所以 D 错 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知随机变
20、量 服从正态分布 N（3，2），P（6）0.84，则 P（0） 0.16 解：随机变量 服从正态分布 N（3，2）， 3， P（6）0.84， P（6）10.840.16， P（0）P（6）1P（6）0.16， 故答案为：0.16 14已知离心率为 2 的双曲线 C1：的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中 心与 C2的顶点重合，M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|5，则 C1的标准方程为 x2 1 解：由 e，得 c2a2+b24a2，即 b， 所以，所以 C1：， M 为双曲线与抛物线的公共点， 由，得 12x216cx3c20 （16c）2412（3c2）400c2， 得
21、x，即或， x0， 则|MF|，解得 c2 C1的标准方程为 x2 1 故答案为：x21 15已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，角 A，B，C 成等差数列，且 b4若 D，E 分别为边 AC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心，则GDE 面积的最大值为 解：ABC 中，角 A，B，C 成等差数列，A+C2B，A+C+B180，B60， 由余弦定理得，b2a2+c22accosB， 由 b4，则 16a2+c22accosa2+c2ac2acacac， 当且仅当 ac 时取等号，ac16， 所以ABC 的面积为 SABCacsinB164， 又 D，E 分别为边
22、AC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心， 由平面几何知识可得GDE 的面积为 SGDESABC4， 所以GDE 面积的最大值为， 故答案为： 16已知三棱锥 ABCD，ABADBCCD5，BD8，AC3，则以点 C 为球心，为半径的球面 与侧面 ABD 的交线长为 解：如图， 取 BD 中点 E，连接 AE，CE，ABAD5，BCCD5， AEBD，CEBD， 又 BD8， AC3，AEC 为等边三角形， 取 AE 中点 F，则 CFAE，可得 CF 又设 C 到 AB（或 AD）的距离为 h， 由， 可得 h， 以 C 为球心，为半径的球面与侧面 ABD 的交线为圆， 圆的半径为 r，
23、 则交线长为 2 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答，第必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题共（一）必考题共 60 分分 17已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bntanantanan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 解：（1）设等差数列an的公差为 d，d0， a11，a1，
24、a3，a9成等比数列， ， 即（1+2d）21+8d，解得 d1 或 d0（舍去）， 故an的通项为 an1+（n1）1n； （2）， 18如图，平面 ABCD平面 DBNM，且菱形 ABCD 与菱形 DBNM 全等，且MDBDAB，G 为 MC 中 点 （1）求证：GB平面 AMN； （2）求二面角 AMNB 的余弦值 解：（1）证明：连接 AC，交 DB 于 E，连接 GE， 在AMC 中，G，E 分别是 CM，CA 中点，GEAM， GE平面 AMN，AM平面 AMN，GE平面 AMN， 又菱形 DBNM 中，MNBE， 同理可证 BE平面 AMN， 又BEGEE，BE平面 GBE，GE
25、平面 GBE， 平面 GBE平面 AMN， 又GB平面 GBE， GB平面 AMN （2）连接 ME，由菱形 ABCD 与菱形 DBNM 全等，且MDBDBA， 可得出 ADABBD，DMBDMB，MEBD， 又平面 ABCD平面 MNBD，且平面 ABCD平面 MNBDBD， ME平面 ABCD， 则以 EA 为 x 轴，EB 为 y 轴，EM 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 令 AB2，则，D（0，1，0）， ，B（0，1，0）， 设平面 AMN 的一个法向量为， 则由，得， 则可令 x1，得 y0，z1，平面 AMN 的一个法向量为， x 轴平面 BMN，可设平面 BMN 的一个法向量
26、为， 设二面角 AMNB 的平面角为 ， ， 又二面角 AMNB 为锐二面角， 二面角 AMNB 的余弦值为 19已知正三角形 ABC，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：每掷一次骰子，把一枚 棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于 3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动设掷骰子 n 次时，棋子移 动到 A，B，C 处的概率分别为：Pn（A），Pn（B），Pn（C），例如：掷骰子一次时，棋子移动到 A，B， C 处的概率分别为 P1（A）0， （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 A，B，C 处的
27、概率 P3（A），P3（B），P3（C）； （2）记 Pn（A）an，Pn（B）bn，Pn（C）cn，其中 an+bn+cn1，bncn，求 a8 解：（1）设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为：Pn（A），Pn（B），Pn（C）， ， ， （2）bncn，即 bn1cn1，n2， 又， n2 时， 又an1+bn1+cn11，可得 2bn+bn11， 由， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又， 故 20 已知椭圆 E：的焦距为，点 P（0，2）关于直线 yx 的对称点在椭圆 E 上 （1）求椭圆 E 的方程； （2）如图，椭圆 E 的上、下顶点分别为 A，
28、B，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 C，D 求COD 面积的最大值； 当 AD 与 BC 相交于点 Q 时，试问：点 Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理 由 解：（1）因为点 P（0，2）关于直线 yx 的对称点为（2，0）， 且（2，0）在椭圆 E 上，所以 a2， 又， 则 b2a2c2422， 所以椭圆 E 的方程为 （2）设直线 l 的方程为 ykx+2，C（x1，y1），D（x2，y2）， 点 O 到直线 l 的距离为 d.消去 y 整理得：（1+2k2）x2+8kx+40， 由0，可得， 且， ， 设，则， 当且仅当即时等号成立， COD
29、 的面积的最大值为， 由题意得，AD：，BC：， 联立方程组，消去 x 得， 又x1+x22kx1x2，解得 y1， 故点 Q 的纵坐标为定值 1 21已知函数 f（x）2xalnx+4a，（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2） 令 g （x） f （x） sinx， 若存在 x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2时， g （x1） g （x2） ， 证明： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+）， ，当 a0 时，f（x）0 当 a0 时，由 f（x）0 得，由 f（x）0 得， 当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增， 当 a0 时，f（x）在上单调递减，在单调递
30、增 （2）证明：g（x）2xalnxsinx+4a， g（x1）g（x2），2x1alnx1sinx12x2alnx2sinx2， a（lnx1lnx2）2（x1x2）（sinx1sinx2）， 令 h（x）xsinx，则 h（x）1cosx0， h（x）在（0，+）上单调递增， 不妨设 x1x20，h（x1）h（x2）， x1sinx1x2sinx2（sinx1sinx2）x2x 1， 2（x1x2）（sinx1sinx2）2（x1x2）+（x2x1）x1x2， a（lnx1lnx2）x1x2， ， 下面证明， 令，只需证，只需证， 设，则， m（t）在（1，+）递增，m（t）m（1）0，
31、即成立， 即 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）过原点 O 引一条射线分别交曲线 C 和直线 l 于 A，B 两点，求的最大值 解：（1）由曲线 C 的参数方程得： 曲线 C 的直角坐标方程为
32、 又由，cos+sin8， 将 xcos，ysin，代入上式， 得直线 l 的直角坐标方程为 x+y80 （2）在极坐标系内，A（1，），B（2，）， 则，2cos+2sin8 （当 sin（2）1 时取等号，符合题意） 的最大值为 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2a| （1）若 a1，求不等式 f（x）4x2的解集； （2）已知 m+n2，若对任意 xR，都存在 m0，n0，使得，求实数 a 的取值范围 解：（1）当 a1 时，不等式 f（x）4x2即为|x1|+|x+2|4x2， 当 x2 时，化为 x22x50 无解， 当2x1 时，化为 x21，从而1x1， 当 x1 时，化为 x2+2x30 无解 原不等式的解集为x|1x1； （2）f（x）|xa|+|x+2a|（xa）（x+2a）|3|a|， ， 当且仅当 2mn，即，时等号成立， 53|a|， 或， a 的取值范围为
