1、2021 年湖南省新高考高考数学联考试卷（一）（年湖南省新高考高考数学联考试卷（一）（3 月份）月份） 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1已知 a，bR，若，则 a2021+b2021的值为（ ） A1 B0 C1 D1 或 0 2已知向量 与 的夹角是，且| |1，| |4，若（3 + ） ，则实数 （ ） A B C2 D2 3已知的展开式中各项的二项式系数的和为 512，则这个展开式中第（ ）项是常数项 A3 B4 C5 D6 4 下 列 图 象 可 以 作 为 函 数f （ x ） 的 图 象 的 有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5为加强学
2、生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有 7 名评委给选手评 分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络 评分某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示： 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评分的平均数为 ，那么 下列选项正确的是（ ） A B C D 与关系不确定 6已知双曲线 C：的左焦点为 F1，过 F1的直线与双曲线的渐近线交于 A、B 两 点，以 AB 为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为（ ） A B C
3、2 D3 7向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用平面向量旋转公 式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势， 已知对任意平面向量， 把绕 其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点 P已知平面内点 A（1，2），点，把点 B 绕点 A 沿 顺时针方向旋转后得到点 P，则点 P 的坐标为（ ） A（2，1） B（4，1） C（2，1） D（0，1） 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是侧面 ADD1A1内的动点，且 B1E平面 BDC1，则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是（
4、） A B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9已知复数 z（1+2i）（2i）， 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为 3i B Cz4 为纯虚数 D 在复平面上对应的点在第四象限 10在ABC 中，则下列条件是 AB 的充要条件的有（ ） AsinAsinB BcosAcosB Ccos2Acos
5、2B Dsin2Asin2B 11已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，0）在一个周期内的图象如图所示，其中图象 最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在 y 轴上的截距为则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）的最大值为 2 Cf（x）在区间上单调递增 D为偶函数 12已知数列an，bn均为等差数列，且 a1b1135，a2b2304，a3b3529，则下列各数是数列anbn中 项的有（ ） A810 B922 C1147 D1540 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知直线 l 的一个方
6、向向量，且经过点（1，1），则直线 l 的方程为 14当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度，提高防控能力，某 县疾控中心拟安排某 4 名医务人员到流动人口较多的某 3 个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去 一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 种 15若过点 A（a，0）的任意一条直线都不与曲线 C：y（x1）ex相切，则 a 的取值范围是 16已知点 M 为棱长是 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 的球面上的动点，点 N 为 B1C1的中点， 若满足 CMBN，则动点 M 的轨迹的长度为 四、解答题：本题共四、解答
7、题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2b2（b2+c2a2）（1tanA） （1）求角 C； （2）若，D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度 条件：ABC 的面积 S4 且 BA； 条件： 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn，nN* （1）求证：数列an是等差数列； （2）若数列an的公差不为 0，数列an中的部分项组成数列 ，恰为等比 数列，其中 k11，k25，k317，求数列kn的通项公式 19
8、如图，已知直三棱柱 ABCA2B2C2的底面为正三角形，侧棱长都为 4，A1、B1、C1分别在棱 AA2、BB2、 CC2上，且 A1A21，B1B22，C1C23，过 AB，AC 的中点 M，N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面 （1）证明：中截面 DEFG 是梯形； （2）若直线 A1C1与平面 A2B2C2所成的角为 45，求平面 A1B1C1与平面 A2B2C2所成锐二面角的大小 20已知动圆 Q 过定点 T（2，0），且与 y 轴截得的弦 MN 长为 4，设动圆圆心 Q 的轨迹为 C （1）求轨迹 C 的方程 （
9、2）设 P（1，2），过 F（1，0）作不与 x 轴垂直的直线 l 交轨迹 C 于 A，B 两点，直线 PA，PB 分别 与直线 x1 相交于 D，E 两点，以线段 DE 为直径的圆为 G判断点 F 与圆 G 的位罝关系，并说明理 由 21近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体 质量指数（BodyMassIndex，缩写 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 BMI 中国成人的 BMI 数值标准为： BMI18.4 为偏瘦； 18.5BMI23.9 为正常； 24BMI27.9 为偏胖； BMI 28 为肥胖 为了解某公司员工的身
10、体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8 名员工（编号 18）的 身高 x（cm）和体重 y（kg）数据，并计算得到他们的 BMI 值（精确到 0.1）如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI（近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （）现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检，记抽取到 BMI 值为“正常”员工的人数为 X，求 X 的分布 列及数学期望 （）某调查机构分析发现公司员工的身高 x（cm）和体重 y（kg）之间有较强的线性相关关系，调查员 甲对这 8 人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，
11、且根据回归方程预 报一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg，计算得到的其他数据如下： 170，89920 （1）求 的值及抽取 8 人体重数据的平均值 ； （2） 调查员乙代替甲继续数据处理时， 发现编号为 8 的员工体重数据有误， 应增加 8kg， 其身高数据 182cm 无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为 180cm 的员工的体 重 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为：， 22已知函数 （1）若 f（x）在（0，+）内是减函数，求 a 的取值范围； （2）若 a2，
12、证明：当 x0 时，f（x）1ex1 参考答案参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1已知 a，bR，若，则 a2021+b2021的值为（ ） A1 B0 C1 D1 或 0 解：a，1a2，a+b，0，b0， a，0，1a2，a，0，则 1a2， 解得 a1 或 a1（舍去） 则 a2021+b20211 故选：A 2已知向量 与 的夹角是，且| |1，| |4，若（3 + ） ，则实数 （ ） A B C2
13、 D2 解：已知向量 与 的夹角是，且| |1，| |4， 则：2， 已知：（3 + ） ， 则：， 即：， 解得：， 故选：A 3已知的展开式中各项的二项式系数的和为 512，则这个展开式中第（ ）项是常数项 A3 B4 C5 D6 解：由题设可得：2n512，解得：n9， 的展开式的通项公式为 Tr+1 x （2）rx r （2）r x ，r0，1， 9， 令0，解得：r3， T4为常数项， 故选：B 4 下 列 图 象 可 以 作 为 函 数f （ x ） 的 图 象 的 有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：当 a0 时，如取 a4，则 f（x），其定义域为：x|x2
14、，它是奇函数，图象是， 所以选项是正确的； 当 a0 时，如取 a1，其定义域为 R，它是奇函数，图象是所以选项是正确的； 当 a0 时，则 f（x），其定义域为：x|x0，它是奇函数，图象是，所以选项是正确的 故选：C 5为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有 7 名评委给选手评 分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络 评分某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示： 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评
15、分的平均数为 ，那么 下列选项正确的是（ ） A B C D 与关系不确定 解：9， 0.17+0.18+0.29+0.6109.3， 则9.15， 设场内人数为 a（a100），则 因为 a100，所以， 故选：C 6已知双曲线 C：的左焦点为 F1，过 F1的直线与双曲线的渐近线交于 A、B 两 点，以 AB 为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D3 解：双曲线 C：的左焦点为 F1，过 F1的直线与双曲线的渐近线交于 A、B 两 点，以 AB 为直径的圆过坐标原点， 所以渐近线的夹角为 90，渐近线方程为 xy0， 此时 ab，所以 e 故选：A 7向量旋转具有
16、反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用平面向量旋转公 式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势， 已知对任意平面向量， 把绕 其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点 P已知平面内点 A（1，2），点，把点 B 绕点 A 沿 顺时针方向旋转后得到点 P，则点 P 的坐标为（ ） A（2，1） B（4，1） C（2，1） D（0，1） 解：由题意可知（，2）， 把点 B 绕点 A 顺时针方向旋转，即点 B 绕点 A 逆时针方向旋转，得到点 P， 设 P（x，y），则（cos+2sin，2cos）（1，3）， 所以，
17、解得 x0，y1， 所以点 P 的坐标为（0，1）， 故选：D 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是侧面 ADD1A1内的动点，且 B1E平面 BDC1，则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是（ ） A B C D 解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 1， 设 E（a，0，c），0a1，0c1， B1（1，1，1），B（1，1，0）， D（0，0，0），C1（0，1，1）， （a1，1，c1），（1，1，0），（0，1，1）， 设平面 DBC1的法向量 （x，y，z
18、）， 则，取 x1， 得 （1，1，1）， B1E平面 BDC1， a1+1+c10，解得 a+c1， a2+c2（a+c）22ac12ac，ac（ ）2， 设直线 B1E 与直线 AB 所成角为 ， （0，1，0），cos， ac（）2，22ac， sin 直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，
19、有选错的得 0 分分. 9已知复数 z（1+2i）（2i）， 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为 3i B Cz4 为纯虚数 D 在复平面上对应的点在第四象限 解：因为 z（1+2i）（2i）4+3i， 所以 z 的虚部为 3，选项 A 错误； 由| |z|5，所以选项 B 正确； 由 z43i 为纯虚数，所以选项 C 正确； 由 43i 对应的点（4，3）在第四象限，所以选项 D 正确 故选：BCD 10在ABC 中，则下列条件是 AB 的充要条件的有（ ） AsinAsinB BcosAcosB Ccos2Acos2B Dsin2Asin2B 解：选项 A：利用正
20、弦定理可得， 故 sinAsinB，等价于 ab，而在ABC 中，ab 等价于 AB，故选项 A 正确； 选项 B：cosAcosB，利用同角三角函数关系可得 sinAsinB，等价于 ab， 而在ABC 中，ab 等价于 AB，故选项 B 正确； 选项 C：cos2Acos2B，利用二倍角公式可得 12sin2A12sin2B， 所以 sin2Asin2B，即 sinAsinB，等价于 ab， 而在ABC 中，ab 等价于 AB，故选项 C 正确； 选项 D：sin2Asin2B 不能推出 ab，如 A45，B60时满足 sin2Asin2B， 但由大角对大边可得 ab，故选项 D 不正确
21、故选：ABC 11已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，0）在一个周期内的图象如图所示，其中图象 最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在 y 轴上的截距为则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）的最大值为 2 Cf（x）在区间上单调递增 D为偶函数 解：由图知，f（x）的最小正周期，则 2 由，得 由，得，则 A2， 所以 由于函数的最小正周期为，故 A 不正确； 显然，f（x）的最大值为 2，故 B 正确； 当时，2x+，则 f（x）单调递增，故 C 正确； 因为，则不是偶函数，故 D 不正确， 故选：BC 12已知数列an，bn均为等差数列，且 a1b11
22、35，a2b2304，a3b3529，则下列各数是数列anbn中 项的有（ ） A810 B922 C1147 D1540 解：由数列an，bn均为等差数列， 可设 anbna（n2）2+b（n2）+c a1b1135，a2b2304，a3b3529， ab+c135，c304，a+b+c529， 解得 a28，b197，c304， anbn28（n2）2+197（n2）+304 n4 时，a4b42822+1972+304810，因此 A 符合； n5 时，a5b52832+1973+3041147，因此 C 符合； n6 时，a4b42842+1974+3041540，因此 D 符合； 则
23、下列各数是数列anbn中项的有 ACD 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知直线 l 的一个方向向量，且经过点（1，1），则直线 l 的方程为 3xy20 解：经过点（1，1）的直线 l 的一个方向向量，则直线 l 的斜率为3， 故直线 l 的方程为 y13（x1），即 3xy20 故答案为：3xy20 14当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度，提高防控能力，某 县疾控中心拟安排某 4 名医务人员到流动人口较多的某 3 个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去 一个乡镇，每个乡
24、镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 36 种 解：先将 4 名医务人员分成无记号 3 组，其中有一组 2 人，另两组各 1 人，有种方法；再将三组 人员安排到 3 个乡镇，有种方法 据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 6636 种 故答案为：36 15 若过点 A （a， 0） 的任意一条直线都不与曲线 C： y （x1） ex相切， 则 a 的取值范围是 （3， 1） 解：设点为曲线 C 上任意一点， yex+（x1）exxex， ， 则曲线 C 在点 B 处的切线 l 的方程为 据题意，切线 l 不经过点 A，则关于 x0的方程，即无 实根， （a+1）240，解得3a1，
25、a 的取值范围是（3，1） 故答案为：（3，1） 16已知点 M 为棱长是 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 的球面上的动点，点 N 为 B1C1的中点， 若满足 CMBN，则动点 M 的轨迹的长度为 解：如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 的半径 R1， 由题意，取 BB1的中点 H，连接 CH，则 CHNB，DCNB， 所以 NB平面 DCH， 所以动点 M 的轨迹是平面 DCH 截内切球 O 的交线， 也即平面 DCHG 截内切球 O 的交线， 因为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长是 2， 所以 O 到平面 DCH 的距离为 d， 截面圆的半径 r
26、， 所以动点 M 的轨迹的长度为截面圆的周长为 2r 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2b2（b2+c2a2）（1tanA） （1）求角 C； （2）若，D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度 条件：ABC 的面积 S4 且 BA； 条件： 解：（1）2b2（b2+c2a2）（1tanA）2b22bccosA（1tanA）bc（cosAsinA）， 由正弦定理可得：sinBsi
27、nC（cosAsinA），sin（A+C）sinCcosAsinCsinA， sinAcosCsinCsinA0，tanC1，解得 C （2）选择条件，cosB，sinB sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理可得：a2 在ABD 中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB， 解得 AD 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn，nN* （1）求证：数列an是等差数列； （2）若数列an的公差不为 0，数列an中的部分项组成数列 ，恰为等比 数列，其中 k11，k25，k317，求数列kn的通项公式 解：（1）证明：由 Sn，得 2Sn
28、n（a1+an）， 所以 2an+12Sn+12Sn（n+1）（a1+an+1）n（a1+an），即（n1）an+1nana1， 所以 nan+2（n+1）an+1a1， 两式相减得 nan+2+nan2nan+1， 所以 an+2+an2an+1 所以数列an成等差数列 （2）等差数列an的公差 d0，其子数列a恰为等比数列， 其中 k11，k25，k317，可得 a a1，a a5，a a17， 且有 a52a1a17，即（a1+4d）2a1（a1+16d）， 化为 a12d，则 ana1+（n1）d（n+1）d， 子数列a为首项为 2d，公比为 3 的等比数列， 则 a2d3n1（kn+
29、1）d，可得 kn23n11 19如图，已知直三棱柱 ABCA2B2C2的底面为正三角形，侧棱长都为 4，A1、B1、C1分别在棱 AA2、BB2、 CC2上，且 A1A21，B1B22，C1C23，过 AB，AC 的中点 M，N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面 （1）证明：中截面 DEFG 是梯形； （2）若直线 A1C1与平面 A2B2C2所成的角为 45，求平面 A1B1C1与平面 A2B2C2所成锐二面角的大小 【解答】（1）证明：由题意可知，AA2截面 DEFG，AA2平面 ACC2A2，且平面 ACC2A2截
30、面 DEFG NF，所以 AA2NF， 同理可证 AA2ME，所以 MENF，即 DEGF， 因为 A1A21，B1B22，C1C23， 所以四边形 A1A2B2B1和四边形 A1A2C2C1均是梯形， 又 M，N，分别为 AB，AC 的中点，所以 D，E，F，G 分别为 A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点， 故 DE，GF 分别为梯形 A1A2B2B1和梯形 A1A2C2C1的中位线， 故 DE，GF，所以 DEGF， 故中截面 DEFG 是梯形； （2）解：因为直三棱柱 ABCA2B2C2的底面为正三角形， 所以 B2FA2C2，FN平面 A2B2C2， 以 F 为坐标原点建立空
31、间直角坐标系如图所示，设 ABa， 则， ， ，平面 A2B2C2的一个法向量为 ， 因为直线 A1C1与平面 A2B2C2所成的角为 45， 所以，解得 a2， 所以， 故， 设平面 A1B1C1的法向量为 ，则有， 令 y1，则 x0，z1，故， 所以， 故平面 A1B1C1与平面 A2B2C2所成锐二面角的大小为 45 20已知动圆 Q 过定点 T（2，0），且与 y 轴截得的弦 MN 长为 4，设动圆圆心 Q 的轨迹为 C （1）求轨迹 C 的方程 （2）设 P（1，2），过 F（1，0）作不与 x 轴垂直的直线 l 交轨迹 C 于 A，B 两点，直线 PA，PB 分别 与直线 x1
32、相交于 D，E 两点，以线段 DE 为直径的圆为 G判断点 F 与圆 G 的位罝关系，并说明理 由 解：（1）设 Q（x，y），因为动圆 Q 过定点（2，0）且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4， 所以，所以|x|2+22（x2）2+y2，整理可得 y24x， 所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y24x； （2）设直线 l 的方程为 xty+1（t0），代入 y24x，可得 y24ty40， 设点，则有 y1+y24t，y1y24， 已知点 P（1，2），则， 直线 PA 的方程为， 令 x1，可得， 所以点，同理可得，点， 则， 则有 0， 故，即DFE90， 所以点 F 在圆 G
33、上 21近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体 质量指数（BodyMassIndex，缩写 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 BMI 中国成人的 BMI 数值标准为： BMI18.4 为偏瘦； 18.5BMI23.9 为正常； 24BMI27.9 为偏胖； BMI 28 为肥胖 为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8 名员工（编号 18）的 身高 x（cm）和体重 y（kg）数据，并计算得到他们的 BMI 值（精确到 0.1）如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI（近似值） 22
34、.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （）现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检，记抽取到 BMI 值为“正常”员工的人数为 X，求 X 的分布 列及数学期望 （）某调查机构分析发现公司员工的身高 x（cm）和体重 y（kg）之间有较强的线性相关关系，调查员 甲对这 8 人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预 报一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg，计算得到的其他数据如下： 170，89920 （1）求 的值及抽取 8 人体重数据的平均值 ； （2） 调查员乙代替甲继续数据处理时， 发现编号为 8 的员工体重数
35、据有误， 应增加 8kg， 其身高数据 182cm 无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为 180cm 的员工的体 重 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为：， 解：（I）由表中的 BMI 数值可知，8 名员工中 BMI 数值为“正常”的员工有 5 人，所以 X 的可能取值 为 0，1，2， P（X0），P（X1） ，P（X2）， X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 E（X）0+1+2 （II）（1）根据回归方程预估一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg， 710.
36、5180+ ，解得 19，故线性回归方程为 0.5x19 样本中心点（ ， ）一定在回归直线方程上， 0.51701966 （2）（2）由（1）知更正前的数据 170， 66， 0.5， 8 22（ xiyi8）2（89920817066）320， 更正后的数据 170，67， xiyixiyi+x88xiyi+1828，88 （ +1）8+8170， 0.5+， 670.817069， 故更正后的线性回归方程为 0.8x69 当 x180 时， 0.81806975， 重新预估一名身高为 180cm 的员工的体重约为 75kg 22已知函数 （1）若 f（x）在（0，+）内是减函数，求 a
37、的取值范围； （2）若 a2，证明：当 x0 时，f（x）1ex1 【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+）， f（x）lnx+1ax，因为 f（x）在（0，+）内是减函数， 所以 f（x）0 恒成立，即 a在（0，+）恒成立， 令 g（x），则 g（x）， 令 g（x）0，可得 0 x1，令 g（x）0，可得 x1， 所以 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 所以 g（x）maxg（1）1， 所以 a1，即 a 的取值范围是1，+） （2）证明：当 a2 时，f（x）xlnxx2+1， 令 g（x）f（x）1+ex1xlnxx2+ex1，x0， g（x）lnx+12x+ex1，g（x）ex1， g（x）+ex 1，在（0，+）上，g（x）单调递增，且 g（1）0， 所以在（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递减，在（1，+）上，g（x）0，g（x） 单调递增， 所以 g（x）g（1）0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（1）0， 所以在（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递减，在（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）g（1）0， 所以 f（x）1+ex10， 即 f（x）1ex1，得证
