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湖南省新高考2021届高三下学期3月联考数学试题(一)含答案解析

1、2021 年湖南省新高考高考数学联考试卷(一)(年湖南省新高考高考数学联考试卷(一)(3 月份)月份) 一、单项选择题(共一、单项选择题(共 8 小题)小题). 1已知 a,bR,若,则 a2021+b2021的值为( ) A1 B0 C1 D1 或 0 2已知向量 与 的夹角是,且| |1,| |4,若(3 + ) ,则实数 ( ) A B C2 D2 3已知的展开式中各项的二项式系数的和为 512,则这个展开式中第( )项是常数项 A3 B4 C5 D6 4 下 列 图 象 可 以 作 为 函 数f ( x ) 的 图 象 的 有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5为加强学

2、生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有 7 名评委给选手评 分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评分,场内数百名学生均参与网络 评分某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示: 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为,网络评分的平均分为,所有评委与场内学生评分的平均数为 ,那么 下列选项正确的是( ) A B C D 与关系不确定 6已知双曲线 C:的左焦点为 F1,过 F1的直线与双曲线的渐近线交于 A、B 两 点,以 AB 为直径的圆过坐标原点,则双曲线的离心率为( ) A B C

3、2 D3 7向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征,在电子信息传导方面有重要应用平面向量旋转公 式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势, 已知对任意平面向量, 把绕 其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点 P已知平面内点 A(1,2),点,把点 B 绕点 A 沿 顺时针方向旋转后得到点 P,则点 P 的坐标为( ) A(2,1) B(4,1) C(2,1) D(0,1) 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是侧面 ADD1A1内的动点,且 B1E平面 BDC1,则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是(

4、) A B C D 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9已知复数 z(1+2i)(2i), 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( ) Az 的虚部为 3i B Cz4 为纯虚数 D 在复平面上对应的点在第四象限 10在ABC 中,则下列条件是 AB 的充要条件的有( ) AsinAsinB BcosAcosB Ccos2Acos

5、2B Dsin2Asin2B 11已知函数 f(x)Asin(x+)(A0,0,0)在一个周期内的图象如图所示,其中图象 最高点、最低点的横坐标分别为、,图象在 y 轴上的截距为则下列结论正确的是( ) Af(x)的最小正周期为 2 Bf(x)的最大值为 2 Cf(x)在区间上单调递增 D为偶函数 12已知数列an,bn均为等差数列,且 a1b1135,a2b2304,a3b3529,则下列各数是数列anbn中 项的有( ) A810 B922 C1147 D1540 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13已知直线 l 的一个方

6、向向量,且经过点(1,1),则直线 l 的方程为 14当前新冠肺炎疫情形势依然严峻,防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度,提高防控能力,某 县疾控中心拟安排某 4 名医务人员到流动人口较多的某 3 个乡镇进行疫情防控督查,每个医务人员只去 一个乡镇,每个乡镇至少安排一名医务人员,则不同的安排方法共有 种 15若过点 A(a,0)的任意一条直线都不与曲线 C:y(x1)ex相切,则 a 的取值范围是 16已知点 M 为棱长是 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 的球面上的动点,点 N 为 B1C1的中点, 若满足 CMBN,则动点 M 的轨迹的长度为 四、解答题:本题共四、解答

7、题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,2b2(b2+c2a2)(1tanA) (1)求角 C; (2)若,D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度 条件:ABC 的面积 S4 且 BA; 条件: 18已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足 Sn,nN* (1)求证:数列an是等差数列; (2)若数列an的公差不为 0,数列an中的部分项组成数列 ,恰为等比 数列,其中 k11,k25,k317,求数列kn的通项公式 19

8、如图,已知直三棱柱 ABCA2B2C2的底面为正三角形,侧棱长都为 4,A1、B1、C1分别在棱 AA2、BB2、 CC2上,且 A1A21,B1B22,C1C23,过 AB,AC 的中点 M,N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面 (1)证明:中截面 DEFG 是梯形; (2)若直线 A1C1与平面 A2B2C2所成的角为 45,求平面 A1B1C1与平面 A2B2C2所成锐二面角的大小 20已知动圆 Q 过定点 T(2,0),且与 y 轴截得的弦 MN 长为 4,设动圆圆心 Q 的轨迹为 C (1)求轨迹 C 的方程 (

9、2)设 P(1,2),过 F(1,0)作不与 x 轴垂直的直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,直线 PA,PB 分别 与直线 x1 相交于 D,E 两点,以线段 DE 为直径的圆为 G判断点 F 与圆 G 的位罝关系,并说明理 由 21近年来,我国肥胖人群的规模急速增长,肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前,国际上常用身体 质量指数(BodyMassIndex,缩写 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是 BMI 中国成人的 BMI 数值标准为: BMI18.4 为偏瘦; 18.5BMI23.9 为正常; 24BMI27.9 为偏胖; BMI 28 为肥胖 为了解某公司员工的身

10、体质量指数,研究人员从公司员工体检数据中,抽取了 8 名员工(编号 18)的 身高 x(cm)和体重 y(kg)数据,并计算得到他们的 BMI 值(精确到 0.1)如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI(近似值) 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 ()现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检,记抽取到 BMI 值为“正常”员工的人数为 X,求 X 的分布 列及数学期望 ()某调查机构分析发现公司员工的身高 x(cm)和体重 y(kg)之间有较强的线性相关关系,调查员 甲对这 8 人的体检数据进行分析,计算得出该组数据的线性回归方程为,

11、且根据回归方程预 报一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg,计算得到的其他数据如下: 170,89920 (1)求 的值及抽取 8 人体重数据的平均值 ; (2) 调查员乙代替甲继续数据处理时, 发现编号为 8 的员工体重数据有误, 应增加 8kg, 其身高数据 182cm 无误,请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程,并据此预报一名身高为 180cm 的员工的体 重 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为:, 22已知函数 (1)若 f(x)在(0,+)内是减函数,求 a 的取值范围; (2)若 a2,

12、证明:当 x0 时,f(x)1ex1 参考答案参考答案 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,毎小题小题,毎小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1已知 a,bR,若,则 a2021+b2021的值为( ) A1 B0 C1 D1 或 0 解:a,1a2,a+b,0,b0, a,0,1a2,a,0,则 1a2, 解得 a1 或 a1(舍去) 则 a2021+b20211 故选:A 2已知向量 与 的夹角是,且| |1,| |4,若(3 + ) ,则实数 ( ) A B C2

13、 D2 解:已知向量 与 的夹角是,且| |1,| |4, 则:2, 已知:(3 + ) , 则:, 即:, 解得:, 故选:A 3已知的展开式中各项的二项式系数的和为 512,则这个展开式中第( )项是常数项 A3 B4 C5 D6 解:由题设可得:2n512,解得:n9, 的展开式的通项公式为 Tr+1 x (2)rx r (2)r x ,r0,1, 9, 令0,解得:r3, T4为常数项, 故选:B 4 下 列 图 象 可 以 作 为 函 数f ( x ) 的 图 象 的 有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解:当 a0 时,如取 a4,则 f(x),其定义域为:x|x2

14、,它是奇函数,图象是, 所以选项是正确的; 当 a0 时,如取 a1,其定义域为 R,它是奇函数,图象是所以选项是正确的; 当 a0 时,则 f(x),其定义域为:x|x0,它是奇函数,图象是,所以选项是正确的 故选:C 5为加强学生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有 7 名评委给选手评 分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评分,场内数百名学生均参与网络 评分某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示: 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为,网络评分的平均分为,所有评委与场内学生评

15、分的平均数为 ,那么 下列选项正确的是( ) A B C D 与关系不确定 解:9, 0.17+0.18+0.29+0.6109.3, 则9.15, 设场内人数为 a(a100),则 因为 a100,所以, 故选:C 6已知双曲线 C:的左焦点为 F1,过 F1的直线与双曲线的渐近线交于 A、B 两 点,以 AB 为直径的圆过坐标原点,则双曲线的离心率为( ) A B C2 D3 解:双曲线 C:的左焦点为 F1,过 F1的直线与双曲线的渐近线交于 A、B 两 点,以 AB 为直径的圆过坐标原点, 所以渐近线的夹角为 90,渐近线方程为 xy0, 此时 ab,所以 e 故选:A 7向量旋转具有

16、反映点与点之间特殊对应关系的特征,在电子信息传导方面有重要应用平面向量旋转公 式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势, 已知对任意平面向量, 把绕 其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点 P已知平面内点 A(1,2),点,把点 B 绕点 A 沿 顺时针方向旋转后得到点 P,则点 P 的坐标为( ) A(2,1) B(4,1) C(2,1) D(0,1) 解:由题意可知(,2), 把点 B 绕点 A 顺时针方向旋转,即点 B 绕点 A 逆时针方向旋转,得到点 P, 设 P(x,y),则(cos+2sin,2cos)(1,3), 所以,

17、解得 x0,y1, 所以点 P 的坐标为(0,1), 故选:D 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是侧面 ADD1A1内的动点,且 B1E平面 BDC1,则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是( ) A B C D 解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 1, 设 E(a,0,c),0a1,0c1, B1(1,1,1),B(1,1,0), D(0,0,0),C1(0,1,1), (a1,1,c1),(1,1,0),(0,1,1), 设平面 DBC1的法向量 (x,y,z

18、), 则,取 x1, 得 (1,1,1), B1E平面 BDC1, a1+1+c10,解得 a+c1, a2+c2(a+c)22ac12ac,ac( )2, 设直线 B1E 与直线 AB 所成角为 , (0,1,0),cos, ac()2,22ac, sin 直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是 故选:B 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,

19、有选错的得 0 分分. 9已知复数 z(1+2i)(2i), 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( ) Az 的虚部为 3i B Cz4 为纯虚数 D 在复平面上对应的点在第四象限 解:因为 z(1+2i)(2i)4+3i, 所以 z 的虚部为 3,选项 A 错误; 由| |z|5,所以选项 B 正确; 由 z43i 为纯虚数,所以选项 C 正确; 由 43i 对应的点(4,3)在第四象限,所以选项 D 正确 故选:BCD 10在ABC 中,则下列条件是 AB 的充要条件的有( ) AsinAsinB BcosAcosB Ccos2Acos2B Dsin2Asin2B 解:选项 A:利用正

20、弦定理可得, 故 sinAsinB,等价于 ab,而在ABC 中,ab 等价于 AB,故选项 A 正确; 选项 B:cosAcosB,利用同角三角函数关系可得 sinAsinB,等价于 ab, 而在ABC 中,ab 等价于 AB,故选项 B 正确; 选项 C:cos2Acos2B,利用二倍角公式可得 12sin2A12sin2B, 所以 sin2Asin2B,即 sinAsinB,等价于 ab, 而在ABC 中,ab 等价于 AB,故选项 C 正确; 选项 D:sin2Asin2B 不能推出 ab,如 A45,B60时满足 sin2Asin2B, 但由大角对大边可得 ab,故选项 D 不正确

21、故选:ABC 11已知函数 f(x)Asin(x+)(A0,0,0)在一个周期内的图象如图所示,其中图象 最高点、最低点的横坐标分别为、,图象在 y 轴上的截距为则下列结论正确的是( ) Af(x)的最小正周期为 2 Bf(x)的最大值为 2 Cf(x)在区间上单调递增 D为偶函数 解:由图知,f(x)的最小正周期,则 2 由,得 由,得,则 A2, 所以 由于函数的最小正周期为,故 A 不正确; 显然,f(x)的最大值为 2,故 B 正确; 当时,2x+,则 f(x)单调递增,故 C 正确; 因为,则不是偶函数,故 D 不正确, 故选:BC 12已知数列an,bn均为等差数列,且 a1b11

22、35,a2b2304,a3b3529,则下列各数是数列anbn中 项的有( ) A810 B922 C1147 D1540 解:由数列an,bn均为等差数列, 可设 anbna(n2)2+b(n2)+c a1b1135,a2b2304,a3b3529, ab+c135,c304,a+b+c529, 解得 a28,b197,c304, anbn28(n2)2+197(n2)+304 n4 时,a4b42822+1972+304810,因此 A 符合; n5 时,a5b52832+1973+3041147,因此 C 符合; n6 时,a4b42842+1974+3041540,因此 D 符合; 则

23、下列各数是数列anbn中项的有 ACD 故选:ACD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13已知直线 l 的一个方向向量,且经过点(1,1),则直线 l 的方程为 3xy20 解:经过点(1,1)的直线 l 的一个方向向量,则直线 l 的斜率为3, 故直线 l 的方程为 y13(x1),即 3xy20 故答案为:3xy20 14当前新冠肺炎疫情形势依然严峻,防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度,提高防控能力,某 县疾控中心拟安排某 4 名医务人员到流动人口较多的某 3 个乡镇进行疫情防控督查,每个医务人员只去 一个乡镇,每个乡

24、镇至少安排一名医务人员,则不同的安排方法共有 36 种 解:先将 4 名医务人员分成无记号 3 组,其中有一组 2 人,另两组各 1 人,有种方法;再将三组 人员安排到 3 个乡镇,有种方法 据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有 6636 种 故答案为:36 15 若过点 A (a, 0) 的任意一条直线都不与曲线 C: y (x1) ex相切, 则 a 的取值范围是 (3, 1) 解:设点为曲线 C 上任意一点, yex+(x1)exxex, , 则曲线 C 在点 B 处的切线 l 的方程为 据题意,切线 l 不经过点 A,则关于 x0的方程,即无 实根, (a+1)240,解得3a1,

25、a 的取值范围是(3,1) 故答案为:(3,1) 16已知点 M 为棱长是 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 的球面上的动点,点 N 为 B1C1的中点, 若满足 CMBN,则动点 M 的轨迹的长度为 解:如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 的半径 R1, 由题意,取 BB1的中点 H,连接 CH,则 CHNB,DCNB, 所以 NB平面 DCH, 所以动点 M 的轨迹是平面 DCH 截内切球 O 的交线, 也即平面 DCHG 截内切球 O 的交线, 因为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长是 2, 所以 O 到平面 DCH 的距离为 d, 截面圆的半径 r

26、, 所以动点 M 的轨迹的长度为截面圆的周长为 2r 故答案为: 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,2b2(b2+c2a2)(1tanA) (1)求角 C; (2)若,D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度 条件:ABC 的面积 S4 且 BA; 条件: 解:(1)2b2(b2+c2a2)(1tanA)2b22bccosA(1tanA)bc(cosAsinA), 由正弦定理可得:sinBsi

27、nC(cosAsinA),sin(A+C)sinCcosAsinCsinA, sinAcosCsinCsinA0,tanC1,解得 C (2)选择条件,cosB,sinB sinAsin(B+C)sinBcosC+cosBsinC,由正弦定理可得:a2 在ABD 中,由余弦定理可得:AD2AB2+BD22ABBDcosB, 解得 AD 18已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足 Sn,nN* (1)求证:数列an是等差数列; (2)若数列an的公差不为 0,数列an中的部分项组成数列 ,恰为等比 数列,其中 k11,k25,k317,求数列kn的通项公式 解:(1)证明:由 Sn,得 2Sn

28、n(a1+an), 所以 2an+12Sn+12Sn(n+1)(a1+an+1)n(a1+an),即(n1)an+1nana1, 所以 nan+2(n+1)an+1a1, 两式相减得 nan+2+nan2nan+1, 所以 an+2+an2an+1 所以数列an成等差数列 (2)等差数列an的公差 d0,其子数列a恰为等比数列, 其中 k11,k25,k317,可得 a a1,a a5,a a17, 且有 a52a1a17,即(a1+4d)2a1(a1+16d), 化为 a12d,则 ana1+(n1)d(n+1)d, 子数列a为首项为 2d,公比为 3 的等比数列, 则 a2d3n1(kn+

29、1)d,可得 kn23n11 19如图,已知直三棱柱 ABCA2B2C2的底面为正三角形,侧棱长都为 4,A1、B1、C1分别在棱 AA2、BB2、 CC2上,且 A1A21,B1B22,C1C23,过 AB,AC 的中点 M,N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面 (1)证明:中截面 DEFG 是梯形; (2)若直线 A1C1与平面 A2B2C2所成的角为 45,求平面 A1B1C1与平面 A2B2C2所成锐二面角的大小 【解答】(1)证明:由题意可知,AA2截面 DEFG,AA2平面 ACC2A2,且平面 ACC2A2截

30、面 DEFG NF,所以 AA2NF, 同理可证 AA2ME,所以 MENF,即 DEGF, 因为 A1A21,B1B22,C1C23, 所以四边形 A1A2B2B1和四边形 A1A2C2C1均是梯形, 又 M,N,分别为 AB,AC 的中点,所以 D,E,F,G 分别为 A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点, 故 DE,GF 分别为梯形 A1A2B2B1和梯形 A1A2C2C1的中位线, 故 DE,GF,所以 DEGF, 故中截面 DEFG 是梯形; (2)解:因为直三棱柱 ABCA2B2C2的底面为正三角形, 所以 B2FA2C2,FN平面 A2B2C2, 以 F 为坐标原点建立空

31、间直角坐标系如图所示,设 ABa, 则, , ,平面 A2B2C2的一个法向量为 , 因为直线 A1C1与平面 A2B2C2所成的角为 45, 所以,解得 a2, 所以, 故, 设平面 A1B1C1的法向量为 ,则有, 令 y1,则 x0,z1,故, 所以, 故平面 A1B1C1与平面 A2B2C2所成锐二面角的大小为 45 20已知动圆 Q 过定点 T(2,0),且与 y 轴截得的弦 MN 长为 4,设动圆圆心 Q 的轨迹为 C (1)求轨迹 C 的方程 (2)设 P(1,2),过 F(1,0)作不与 x 轴垂直的直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,直线 PA,PB 分别 与直线 x1

32、相交于 D,E 两点,以线段 DE 为直径的圆为 G判断点 F 与圆 G 的位罝关系,并说明理 由 解:(1)设 Q(x,y),因为动圆 Q 过定点(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4, 所以,所以|x|2+22(x2)2+y2,整理可得 y24x, 所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y24x; (2)设直线 l 的方程为 xty+1(t0),代入 y24x,可得 y24ty40, 设点,则有 y1+y24t,y1y24, 已知点 P(1,2),则, 直线 PA 的方程为, 令 x1,可得, 所以点,同理可得,点, 则, 则有 0, 故,即DFE90, 所以点 F 在圆 G

33、上 21近年来,我国肥胖人群的规模急速增长,肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前,国际上常用身体 质量指数(BodyMassIndex,缩写 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是 BMI 中国成人的 BMI 数值标准为: BMI18.4 为偏瘦; 18.5BMI23.9 为正常; 24BMI27.9 为偏胖; BMI 28 为肥胖 为了解某公司员工的身体质量指数,研究人员从公司员工体检数据中,抽取了 8 名员工(编号 18)的 身高 x(cm)和体重 y(kg)数据,并计算得到他们的 BMI 值(精确到 0.1)如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI(近似值) 22

34、.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 ()现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检,记抽取到 BMI 值为“正常”员工的人数为 X,求 X 的分布 列及数学期望 ()某调查机构分析发现公司员工的身高 x(cm)和体重 y(kg)之间有较强的线性相关关系,调查员 甲对这 8 人的体检数据进行分析,计算得出该组数据的线性回归方程为,且根据回归方程预 报一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg,计算得到的其他数据如下: 170,89920 (1)求 的值及抽取 8 人体重数据的平均值 ; (2) 调查员乙代替甲继续数据处理时, 发现编号为 8 的员工体重数

35、据有误, 应增加 8kg, 其身高数据 182cm 无误,请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程,并据此预报一名身高为 180cm 的员工的体 重 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线 的斜率和截距的最小 二乘法估计分别为:, 解:(I)由表中的 BMI 数值可知,8 名员工中 BMI 数值为“正常”的员工有 5 人,所以 X 的可能取值 为 0,1,2, P(X0),P(X1) ,P(X2), X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 E(X)0+1+2 (II)(1)根据回归方程预估一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg, 710.

36、5180+ ,解得 19,故线性回归方程为 0.5x19 样本中心点( , )一定在回归直线方程上, 0.51701966 (2)(2)由(1)知更正前的数据 170, 66, 0.5, 8 22( xiyi8)2(89920817066)320, 更正后的数据 170,67, xiyixiyi+x88xiyi+1828,88 ( +1)8+8170, 0.5+, 670.817069, 故更正后的线性回归方程为 0.8x69 当 x180 时, 0.81806975, 重新预估一名身高为 180cm 的员工的体重约为 75kg 22已知函数 (1)若 f(x)在(0,+)内是减函数,求 a

37、的取值范围; (2)若 a2,证明:当 x0 时,f(x)1ex1 【解答】(1)解:函数的定义域为(0,+), f(x)lnx+1ax,因为 f(x)在(0,+)内是减函数, 所以 f(x)0 恒成立,即 a在(0,+)恒成立, 令 g(x),则 g(x), 令 g(x)0,可得 0 x1,令 g(x)0,可得 x1, 所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减, 所以 g(x)maxg(1)1, 所以 a1,即 a 的取值范围是1,+) (2)证明:当 a2 时,f(x)xlnxx2+1, 令 g(x)f(x)1+ex1xlnxx2+ex1,x0, g(x)lnx+12x+ex1,g(x)ex1, g(x)+ex 1,在(0,+)上,g(x)单调递增,且 g(1)0, 所以在(0,1)上,g(x)0,g(x)单调递减,在(1,+)上,g(x)0,g(x) 单调递增, 所以 g(x)g(1)0, 所以 g(x)在(0,+)上单调递增,且 g(1)0, 所以在(0,1)上,g(x)0,g(x)单调递减,在(1,+)上,g(x)0,g(x)单调递增, 所以 g(x)g(1)0, 所以 f(x)1+ex10, 即 f(x)1ex1,得证