1、2021 年山东省德州市庆云县八校中考数学联考试卷（年山东省德州市庆云县八校中考数学联考试卷（4 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请把正确的选项选出来，每小题选对得的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1下列计算正确的是（ ） A（3）29 B3 C（2）01 D|3|3 2下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形
2、的是（ ） A B C D 3图甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ） A B C D 4 第六次全国人口普查数据显示， 德州市常驻人口约为 556.82 万人， 此数用科学记数法表示正确的是 （ ） A556.82104 B5.5682102 C5.5682106 D5.5682105 5如图，AD 是EAC 的平分线，ADBC，B30，则C 为（ ） A30 B60 C80 D120 6不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A B C D 7如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1：2，则斜坡 AB 的长为（ ） A4米 B6米 C12米 D24 米 8图
3、象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步 走回家 其中 x 表示时间， y 表示张强离家的距离 根据图象提供的信息， 以下四个说法错误的是 （ ） A体育场离张强家 2.5 千米 B张强在体育场锻炼了 15 分钟 C体育场离早餐店 4 千米 D张强从早餐店回家的平均速度是 3 千米/小时 9雷霆队的杜兰特当选为 20132014 赛季 NBA 常规赛 MVP，下表是他 8 场比赛的得分，则这 8 场比赛得 分的众数与中位数分别为（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 30 28 28 38 23 26 39 42 A29 28 B28
4、 29 C28 28 D28 27 10下列命题中，真命题是（ ） A若 ab，则 cacb B某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票一定会中奖 C点 M（x1，y1） ，点 N（x2，y2）都在反比例函数 y的图象上，若 x1x2，则 y1y2 D甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S4，S9，这过程中乙 发挥比甲更稳定 11分式方程1的解是（ ） Ax1 Bx1+ Cx2 D无解 12如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC8，点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点
5、D 落在点 G 处，有以下四个结论： 四边形 CFHE 是菱形； EC 平分DCH； 线段 BF 的取值范围为 3BF4； 当点 H 与点 A 重合时，EF2 以上结论中，你认为正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13化简： 14若，则（x+y）y 15方程 3x（x1）2（x1）的根为 16如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D、E、F 分别为 BC、CA、AB 的中点，以 A、B、C 三点为圆心， 半径为 1
6、 作圆，则圆中阴影部分的面积是 17方程 x2+2kx+k22k+10 的两个实数根 x1，x2满足 x12+x224，则 k 的值为 18如图，抛物线 yx2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为 A1，A2，A3 An，将抛物线 yx2沿直线 L：yx 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： 抛物线的顶点 M1，M2，M3，Mn，都在直线 L：yx 上； 抛物线依次经过点 A1，A2，A3An， 则顶点 M2014的坐标为（ ， ） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答要写
7、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）先化简，再求值：1其中 a2sin60tan45，b1 20 （8 分）2011 年 5 月，我市某中学举行了“中国梦校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分 为 A，B，C，D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加演讲比赛的学生共有 人，并把条形图补充完整； （2）扇形统计图中，m ，n ；C 等级对应扇形的圆心角为 度； （3）学校欲从获 A 等级的学生中随机选取 2 人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法， 求获 A 等级的小明参加市比赛的概率 21 （10 分）目前节能
8、灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计 划购进甲，乙两种节能灯共 1200 只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如何进货，进货款恰好为 46000 元？ （2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%，此时利润为多少元？ 22 （12 分）如图，双曲线 y（x0）经过OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C，ABx 轴，点 A 的坐标为 （2，3） （1）确定 k 的值； （2）若点 D（3，m）在双曲线上，求直线 AD 的解析式； （3）计算OAB 的面积 23
9、 （12 分）如图，O 的直径 AB 为 10cm，弦 BC 为 5cm，D、E 分别是ACB 的平分线与O，AB 的交 点，P 为 AB 延长线上一点，且 PCPE （1）求 AC、AD 的长； （2）试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由 24 （14 分）问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E，F 分别是 BC，CD 上 的点，且EAF60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DGBE连接 AG，先证明ABEADG，再证 明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索
10、延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时 的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、 乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 25 （14 分）如图，在平面直角坐
11、标系中，已知点 B 的坐标是（1，0） ，并且 OAOC4OB，动点 P 在 过 A，B，C 三点的抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，说明理由； （3） 过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E， 交直线 AC 于点 D， 过点 D 作 x 轴的垂线 垂足为 F， 连接 EF， 当线段 EF 的长度最短时，写出点 P 的坐标（不要求写解题过程） 2021 年山东省德州市庆云县八校中考数学联考试卷（年山东省德州市庆云县八校中考数学联考试卷（4 月份）月份） 参考答案与试
12、题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请把正确的选项选出来，每小题选对得的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1下列计算正确的是（ ） A（3）29 B3 C（2）01 D|3|3 【分析】A平方是正数，相反数应为负数， B，开立方符号不变 C.0 指数的幂为 1，1 的相反数是1 D任何数的绝对值都0 【解答】解：A
13、、（3）29，故 A 选项错误， B、3，故 B 选项正确， C、（2）01，故 C 选项错误， D、|3|3，故 D 选项错误 故选：B 2下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别，逐一判断即可 【解答】解：A 中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 选项 A 不正确； B 中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形， 选项 B 正确； C 中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 选项 C 不正确； D 中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 选项 D 不正确 故选：B 3图甲是某零件的直观图，则它的主
14、视图为（ ） A B C D 【分析】根据主视图是从正面看得到的视图判定则可 【解答】解：从正面看，主视图为 故选：A 4 第六次全国人口普查数据显示， 德州市常驻人口约为 556.82 万人， 此数用科学记数法表示正确的是 （ ） A556.82104 B5.5682102 C5.5682106 D5.5682105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 556.82 万人
15、用科学记数法表示为 5.5682106人 故选：C 5如图，AD 是EAC 的平分线，ADBC，B30，则C 为（ ） A30 B60 C80 D120 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得EADB，再根据角平分线的定义求出EAC，然后根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：ADBC，B30， EADB30， AD 是EAC 的平分线， EAC2EAD23060， CEACB603030 故选：A 6不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A B C D 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在 数轴上即
16、可 【解答】解：， 解得， 故选：D 7如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1：2，则斜坡 AB 的长为（ ） A4米 B6米 C12米 D24 米 【分析】先根据坡度的定义得出 BC 的长，进而利用勾股定理得出 AB 的长 【解答】解：在 RtABC 中， i，AC12 米， BC6 米， 根据勾股定理得： AB6米， 故选：B 8图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步 走回家 其中 x 表示时间， y 表示张强离家的距离 根据图象提供的信息， 以下四个说法错误的是 （ ） A体育场离张强家 2.5 千米
17、B张强在体育场锻炼了 15 分钟 C体育场离早餐店 4 千米 D张强从早餐店回家的平均速度是 3 千米/小时 【分析】结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的 y 轴的最高点即为体育场离 张强家的距离； 进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间 由图中可以看出， 体育场离张强家 2.5 千米； 平均速度总路程总时间 【解答】解：A、由函数图象可知，体育场离张强家 2.5 千米，故 A 选项正确； B、由图象可得出张强在体育场锻炼 301515（分钟） ，故 B 选项正确； C、体育场离张强家 2.5 千米，体育场离早餐店距离无法确定，因为题目没说体育馆，早餐店和家三者在 同一直线
18、上，故 C 选项错误； D、张强从早餐店回家所用时间为 956530（分钟） ，距离为 1.5km， 张强从早餐店回家的平均速度 1.50.53（千米/时） ，故 D 选项正确 故选：C 9雷霆队的杜兰特当选为 20132014 赛季 NBA 常规赛 MVP，下表是他 8 场比赛的得分，则这 8 场比赛得 分的众数与中位数分别为（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 30 28 28 38 23 26 39 42 A29 28 B28 29 C28 28 D28 27 【分析】根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：23，26，28，28，30，3
19、8，39，42， 则众数为：28， 中位数为：29 故选：B 10下列命题中，真命题是（ ） A若 ab，则 cacb B某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票一定会中奖 C点 M（x1，y1） ，点 N（x2，y2）都在反比例函数 y的图象上，若 x1x2，则 y1y2 D甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S4，S9，这过程中乙 发挥比甲更稳定 【分析】根据不等式的性质对 A 进行判断； 根据概率的意义对 B 进行判断； 根据反比例函数的性质对 C 进行判断； 根据方差的意义对 D 进行判断 【解答】解：A、当 ab，则ab，所以 cacb，故 A
20、选项正确； B、某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票不一定会中奖，故 B 选项错误； C、点 M（x1，y1） ，点 N（x2，y2）都在反比例函数 y的图象上，若 0 x1x2，则 y1y2，故 C 选项 错误； D、甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S4，S9，这过程中甲 发挥比乙更稳定，故 D 选项错误 故选：A 11分式方程1的解是（ ） Ax1 Bx1+ Cx2 D无解 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：x（x+2）（x1） （x+2）3， 去括号得：x
21、2+2xx2x+230， 解得：x1， 经检验 x1 是增根，分式方程无解 故选：D 12如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC8，点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论： 四边形 CFHE 是菱形； EC 平分DCH； 线段 BF 的取值范围为 3BF4； 当点 H 与点 A 重合时，EF2 以上结论中，你认为正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】先判断出四边形 CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 CFFH，然后根据邻边相等的 平行四边形是菱形证明，
22、判断出正确； 根据菱形的对角线平分一组对角线可得BCHECH， 然后求出只有DCE30时 EC 平分DCH， 判断出错误； 点 H 与点 A 重合时，设 BFx，表示出 AFFC8x，利用勾股定理列出方程求解得到 BF 的最小值， 点 G 与点 D 重合时，CFCD，求出 BF4，然后写出 BF 的取值范围，判断出正确； 过点 F 作 FMAD 于 M，求出 ME，再利用勾股定理列式求解得到 EF，判断出正确 【解答】解：FH 与 CG，EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的一部分， FHCG，EHCF， 四边形 CFHE 是平行四边形， 由翻折的性质得，CFFH， 四边形
23、 CFHE 是菱形， （故正确） ； BCHECH， 只有DCE30时 EC 平分DCH， （故错误） ； 点 H 与点 A 重合时，设 BFx，则 AFFC8x， 在 RtABF 中，AB2+BF2AF2， 即 42+x2（8x）2， 解得 x3， 点 G 与点 D 重合时，CFCD4， BF4， 线段 BF 的取值范围为 3BF4， （故正确） ； 过点 F 作 FMAD 于 M， 则 ME（83）32， 由勾股定理得， EF2， （故正确） ； 综上所述，结论正确的有共 3 个 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分，只要求填
24、写最后结果，每小题填对得分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13化简： 【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可 【解答】解：原式2 故答案为： 14若，则（x+y）y 【分析】根据被开方数是非负数，可得 x、y 的值，根据负数的乘方，可得答案 【解答】解：由，得 x4，y2， （x+y）y（42） 222 ， 故答案为： 15方程 3x（x1）2（x1）的根为 x1 或 x 【分析】移项后分解因式得到（x1） （3x2）0，推出方程 x10，3x20，求出方程的解即可 【解答】解：3x（x1）2（x1） ， 移项得：3x（x1）2（x1）0， 即（
25、x1） （3x2）0， x10，3x20， 解方程得：x11，x2 故答案为：x1 或 x 16如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D、E、F 分别为 BC、CA、AB 的中点，以 A、B、C 三点为圆心， 半径为 1 作圆，则圆中阴影部分的面积是 【分析】观察发现，阴影部分的面积等于正三角形 ABC 的面积减去三个圆心角是 60，半径是 2 的扇 形的面积 【解答】解：连接 AD ABC 是正三角形，BDCD1， BACBC60，ADBC AD 阴影部分的面积23 故答案为： 17方程 x2+2kx+k22k+10 的两个实数根 x1，x2满足 x12+x224，则 k 的值为 1 【分析
26、】由 x12+x22x12+2x1x2+x222x1x2（x1+x2）22x1x24，然后根据根与系数的关系即可得 到一个关于 k 的方程，从而求得 k 的值 【解答】解：方程 x2+2kx+k22k+10 的两个实数根， 4k24（k22k+1）0， 解得 k x12+x224， x12+x22x12+2x1x2+x222x1x2（x1+x2）22x1x24， 又x1+x22k，x1x2k22k+1， 代入上式有 4k22（k22k+1）4， 解得 k1 或 k3（不合题意，舍去） 故答案为：1 18如图，抛物线 yx2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为 A1，A2
27、，A3 An，将抛物线 yx2沿直线 L：yx 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： 抛物线的顶点 M1，M2，M3，Mn，都在直线 L：yx 上； 抛物线依次经过点 A1，A2，A3An， 则顶点 M2014的坐标为（ 4027 ， 4027 ） 【分析】根据抛物线 yx2与抛物线 yn（xan）2+an相交于 An，可发现规律，根据规律，可得答案 【解答】解：M1（a1，a1）是抛物线 y1（xa1）2+a1的顶点， 抛物线 yx2与抛物线 y1（xa1）2+a1相交于 A1， 得 x2（xa1）2+a1， 即 2a1xa12+a1， x（a1+1） x 为整数点 a11， M1（1
28、，1） ； M2（a2，a2）是抛物线 y2（xa2）2+a2x22a2x+a22+a2顶点， 抛物线 yx2与 y2相交于 A2， x2x22a2x+a22+a2， 2a2xa22+a2， x（a2+1） x 为整数点， a23， M2（3，3） ， M3（a3，a3）是抛物线 y2（xa3）2+a3x22a3x+a32+a3顶点， 抛物线 yx2与 y3相交于 A3， x2x22a3x+a32+a3， 2a3xa32+a3， x（a3+1） x 为整数点 a35， M3（5，5） ， 点 M2014，两坐标为：2014214027， M2014（4027，4027） ， 故答案为： （40
29、27，4027） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）先化简，再求值：1其中 a2sin60tan45，b1 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 a 的值，把 a、b 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式1 1 1 ， 当 a2sin60tan45211，b1 时， 原式 20 （8 分）2011 年 5 月，我市某中学举行了“中国梦校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分 为 A，B，C，D 四个等级，并绘制了不完整
30、的两种统计图 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加演讲比赛的学生共有 40 人，并把条形图补充完整； （2）扇形统计图中，m 10 ，n 40 ；C 等级对应扇形的圆心角为 144 度； （3）学校欲从获 A 等级的学生中随机选取 2 人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法， 求获 A 等级的小明参加市比赛的概率 【分析】 （1）根据 D 等级的有 12 人，占总数的 30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人 数求得 B 等级的人数，从而作出直方图； （2）根据百分比的定义求得 m、n 的值，利用 360乘以 C 等级所占的百分比即可求得对应的圆心角； （3）利用
31、列举法即可求解 【解答】解： （1）参加演讲比赛的学生共有：1230%40（人） ， 则 B 等级的人数是：40416128（人） （2）A 所占的比例是：100%10%， C 所占的百分比：100%40% C 等级对应扇形的圆心角是：36040%144； （3）设 A 等级的小明用 a 表示，其他的几个学生用 b、c、d 表示 共有 12 种情况，其中小明参加的情况有 6 种，则 P（小明参加比赛） 21 （10 分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计 划购进甲，乙两种节能灯共 1200 只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售
32、价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如何进货，进货款恰好为 46000 元？ （2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%，此时利润为多少元？ 【分析】 （1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1200 x）只，根据两种节能灯的总价为 46000 元建立方程求出其解即可； （2）设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型节能灯（1200a）只，商场的获利为 y 元，由销售问题 的数量关系建立 y 与 a 的解析式就可以求出结论 【解答】解： （1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1200 x）只，由题意，得 25x+45（1
33、200 x）46000， 解得：x400 购进乙型节能灯 1200400800（只） 答：购进甲型节能灯 400 只，购进乙型节能灯 800 只进货款恰好为 46000 元； （2）设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型节能灯（1200a）只，商场的获利为 y 元，由题意，得 y（3025）a+（6045） （1200a） ， y10a+18000 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%， 10a+1800025a+45（1200a）30%， a450 y10a+18000， k100， y 随 a 的增大而减小， a450 时，y 最大13500 元 商场购进甲型节能灯 450
34、 只，购进乙型节能灯 750 只时的最大利润为 13500 元 22 （12 分）如图，双曲线 y（x0）经过OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C，ABx 轴，点 A 的坐标为 （2，3） （1）确定 k 的值； （2）若点 D（3，m）在双曲线上，求直线 AD 的解析式； （3）计算OAB 的面积 【分析】 （1）将 A 坐标代入反比例解析式求出 k 的值即可； （2）将 D 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，确定出 D 坐标，设直线 AD 解析式为 ykx+b，将 A 与 D 坐标代入求出 k 与 b 的值，即可确定出直线 AD 解析式； （3）过点 C 作 CNy 轴，垂足为 N，
35、延长 BA，交 y 轴于点 M，得到 CN 与 BM 平行，进而确定出三角 形 OCN 与三角形 OBM 相似，根据 C 为 OB 的中点，得到相似比为 1：2，确定出三角形 OCN 与三角形 OBM 面积比为 1：4，利用反比例函数 k 的意义确定出三角形 OCN 与三角形 AOM 面积，根据相似三角 形面积之比为 1：4，求出三角形 AOB 面积即可 【解答】解： （1）将点 A（2，3）代入解析式 y， 得：k6； （2）将 D（3，m）代入反比例解析式 y， 得：m2， 点 D 坐标为（3，2） ， 设直线 AD 解析式为 ykx+b， 将 A（2，3）与 D（3，2）代入 得：， 解
36、得： 则直线 AD 解析式为 yx+5； （3）过点 C 作 CNy 轴，垂足为 N，延长 BA，交 y 轴于点 M， ABx 轴， BMy 轴， MBCN， OCNOBM， C 为 OB 的中点，即， （）2， A，C 都在双曲线 y上， SOCNSAOM3， 由， 得：SAOB9， 则AOB 面积为 9 23 （12 分）如图，O 的直径 AB 为 10cm，弦 BC 为 5cm，D、E 分别是ACB 的平分线与O，AB 的交 点，P 为 AB 延长线上一点，且 PCPE （1）求 AC、AD 的长； （2）试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）连接 BD，利用直
37、径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：ACD DCB45， 由同弧所对的圆周角相等可知：ADB 是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边 AD5， AC 的长也是利用勾股定理列式求得； （2）连接半径 OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐 角为 30，依次求得COB、CEP、PCE 的度数，最后求得OCP90，结论得出 【解答】解： （1）连接 BD， AB 是O 的直径， ACBADB90， CD 平分ACB， ACDDCB45， ABDACD45，DABDCB45， ADB 是等腰直角三角形， AB10， ADBD5， 在 Rt
38、ACB 中，AB10，BC5， AC5， 答：AC5，AD5； （2）直线 PC 与O 相切，理由是： 连接 OC， 在 RtACB 中，AB10，BC5， BAC30， OAOC， OCAOAC30， COB60， ACD45， OCD453015， CEPCOB+OCD15+6075， PCPE， PCECEP75， OCPOCD+ECP15+7590， 直线 PC 与O 相切 24 （14 分）问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E，F 分别是 BC，CD 上 的点，且EAF60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此
39、问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DGBE连接 AG，先证明ABEADG，再证 明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 EFBE+FD ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时 的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进，1.5
40、 小时后，指挥中心观测到甲、 乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 【分析】问题背景中，根据小亮的设计可以得到所要的结论； 探索延伸中，先判断结论是否成立，然后根据图形和题目中条件，作出合适的辅助线，进行说明即可； 在实际应用中，根据题目中的条件进行合理的推导，只要能说明符合探索延伸的条件，即可解答本题 【解答】解：问题背景： 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DGBE连接 AG，先证明ABEADG，再 证明AEFAGF， EFFG，FGFD+DGFD+BE， EFBE+FD， 故答案为：EFBE+FD； 探索延伸： 上述结论 E
41、FBE+FD 成立， 理由：如图 2，延长 FD 到点 G，使得 DGBE，连接 AG， B+ADC180，ADG+ADC180， BADG， ABAD， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， EAFBAD， GAFDAG+DAFDAF+BAEBADEAFBAD， GAFEAF， 又AGAE，AFAF， AFGAFE（SAS） ， EFGF， GFDF+DGDF+BE， EFBE+FD； 实际应用： 如图 3，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C， 在四边形 AOBC 中， AOB30+90+（9070）140，FOE70， 又OAOB，OAC+OBC（9030）+（70
42、+50）60+120180， 图 3 符合探索延伸的条件， EFAE+FB1.5（60+80）210（海里） ， 即此时两舰艇之间的距离 210 海里 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标是（1，0） ，并且 OAOC4OB，动点 P 在 过 A，B，C 三点的抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，说明理由； （3） 过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E， 交直线 AC 于点 D， 过点 D 作 x 轴的垂线 垂足为 F， 连接 EF， 当线
43、段 EF 的长度最短时，写出点 P 的坐标（不要求写解题过程） 【分析】 （1）只需求出 A、B、C 三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式； （2）可分两种情况（以 C 为直角顶点，以 A 为直角顶点）讨论，然后根据点 P 的纵、横坐标之间 的关系建立等量关系，就可求出点 P 的坐标； （3）连接 OD，易得四边形 OFDE 是矩形，则 ODEF，根据垂线段最短可得当 ODAC 时，OD（即 EF）最短，然后只需求出点 D 的纵坐标，就可得到点 P 的纵坐标，就可求出点 P 的坐标 【解答】解： （1）由 B（1，0）可知 OB1， OAOC4OB， OAOC4，OB1， C（
44、0，4） ，A（4，0） 设抛物线的解析式是 yax2+bx+c， 则， 解得：， 则抛物线的解析式是 yx2+3x+4； （2）存在 当以 C 为直角顶点时， 过点 C 作 CP1AC，交抛物线于点 P1， 过点 P1作 y 轴的垂线，垂足是 M，M，如图 1 ACP190，MCP1+ACO90 ACO+OAC90， MCP1OAC OAOC， MCP1OAC45， MCP1MP1C， MCMP1， 设 P（m，m2+3m+4） ， 则 mm2+3m+44， 解得：m10（舍去） ，m22 m2， 此时m2+3m+46， P1P 的坐标是（2，6） 当点 A 为直角顶点时， 过 A 作 AP
45、2AC 交抛物线于点 P2， 过点 P2作 y 轴的垂线，垂足是 N，AP 交 y 轴于点 F，如图 2 P2Nx 轴， 由CAO45得OAP2 45， FP2N45，AOOF P2NNF， 设 P2（n，n2+3n+4） ， 则n+4（n2+3n+4） ， 解得：n12，n24（舍去） ， n2， 此时n2+3n+46， P2的坐标是（2，6） 综上所述：P 的坐标是（2，6）或（2，6） ； （3）当 EF 最短时，点 P 的坐标是（，2）或（，2） 解题过程如下： 连接 OD，由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 ODEF 根据垂线段最短可得：当 ODAC 时，OD（即 EF）最短 由（1）可知，在直角AOC 中，OCOA4 根据等腰三角形的性质可得：D 是 AC 的中点 又DFOC， AFDAOC， DFOC2， 点 D 的纵坐标是 2， 点 P 的纵坐标也是 2， 解x2+3x+42 得， x1，x2， 点 P 的坐标为（，2）或（，2）
