1、2021 年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1cos30的值是（ ） A1 B C D 2下列四组图形中，一定相似的是（ ） A正方形与矩形 B正方形与菱形 C菱形与菱形 D正五边形与正五边形 3如图，在 RtABC 中，C90，BC4，AC3，则 sinB 的值为（ ） A B C D 4如图，已知 ABCDEF，那么下列结论中正确的是（ ） A B C D 5ABC 与DEF 的相似比为 1：3，则ABC 和DEF 的面积比为（ ） A1： B：1 C9：1 D1：
2、9 6如图，在ABC 中，AB3AD，DEBC，EFAB，若 AB9，DE2，则线段 FC 的长度是（ ） A6 B5 C4 D3 7ABC 中，若C90，BC2，sinA，则 AB 的值是（ ） A2 B4 C6 D8 8如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 BC6 米，ACB50，则拉线 AC 的长为（ ） A米 B6cos50米 C米 D米 9在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A B C D 10如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的横坐标为 3，sin，则 tan（ ） A B C D 11如图，在ABC 中，BC120，高 AD60，正
3、方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上， AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（ ） A15 B20 C25 D30 12如图所示，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE、CD 相交于点 O若 SDOE：S COA4：25，则 SBDE与 SCDE的比是（ ） A1：2 B1：3 C2：3 D2：5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13如图，在ABC 中，若 DEBC，DE4，则 BC 的长是 14如果两个相似三角形的周长的比等于 1：3，那么它们对应高的比为 15已知ABC 的三个
4、顶点坐标为 A（5，0） 、B（6，4） 、C（3，0） ，将ABC 以坐标原点 O 为位似中心， 以位似比 2：1 进行缩小，则缩小后的点 B 所对应的点的坐标为 16如图，RtABC 中，ACB90，CDAB，AD4，BD2，则 CD 的长为 17如图，身高 1.8 米的小石从一盏路灯下 B 处向前走了 8 米到达点 C 处时，发现自己在地面上的影子 CE 长是 2 米，则路灯的高 AB 为 米 18如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADE60，BD3，CE2， 则 AB 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66
5、分）分） 19 （8 分）计算下列各式的值： （1）sin45cos60cos45 （2）cos245+tan60cos30 20 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，B30，BC，解这个直角三角形 21 （8 分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点 A，再在河的这一边选定点 B 和点 C， 使得 ABBC，然后选定点 E，使 ECBC，确定 BC 与 AE 的交点为 D，若测得 BD180m，DC60m， EC50m，你能知道小河的宽是多少吗？ 22 （8 分）如图，RtABC 中，C90，AB10，AC6，D 是 BC 上一点，BD5，DEAB，垂足 为 E，求线段
6、DE 的长 23 （8 分）如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 （1）求证：ACDCBD； （2）求ACB 的大小 24 （8 分）如图，在ABC 中，B90，AB4，BC2，以 AC 为边作ACE，ACE90，AC CE，延长 BC 至点 D，使 CD5，连接 DE求证：ABCCED 25 （8 分）如图，一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5km 的地面 O 处发射，当火箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰角分别为 34，45，其中点 O，A，B 在同一条直线上求 AC 和 AB 的长（结 果保留小数点后一位） （参考数据：sin340.56；cos340.8
7、3；tan340.67） 26 （10 分）小明上学途中要经过 A，B 两地，由于 A，B 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 AC，CB， 如图，在ABC 中，AB63m，A45，B37，求 AC，CB 的长 （结果保留小数点后一位） 参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，取 1.414 2021 年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1cos30的值是（ ） A1 B C D 【分析】根据我们熟练记忆
8、的特殊角的三角函数值即可得出答案 【解答】解：cos30 故选：B 2下列四组图形中，一定相似的是（ ） A正方形与矩形 B正方形与菱形 C菱形与菱形 D正五边形与正五边形 【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形 【解答】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意 故选：D 3如图，在 RtABC
9、 中，C90，BC4，AC3，则 sinB 的值为（ ） A B C D 【分析】先利用勾股定理计算出 AB，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：C90，BC4，AC3， AB5， sinB 故选：B 4如图，已知 ABCDEF，那么下列结论中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可 【解答】解：ABCDEF， ，A 错误； ，B 错误； ， ，C 正确； ，D 错误， 故选：C 5ABC 与DEF 的相似比为 1：3，则ABC 和DEF 的面积比为（ ） A1： B：1 C9：1 D1：9 【分析】由相似ABC 与DEF 的相似比为 1：3，根据
10、相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求 得ABC 与DEF 的面积比 【解答】解：相似ABC 与DEF 的相似比为 1：3， ABC 与DEF 的面积比为 1：9 故选：D 6如图，在ABC 中，AB3AD，DEBC，EFAB，若 AB9，DE2，则线段 FC 的长度是（ ） A6 B5 C4 D3 【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似 三角形的对应边成比例及平行四边形的判定和性质解则可 【解答】解：DEBC ADEABC AD：ABDE：BC 1：32：BC BC6 DEBC，EFAB 四边形 BDEF 为平行四边形 BFDE2 FC
11、BCBF624 故选：C 7ABC 中，若C90，BC2，sinA，则 AB 的值是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可 【解答】解：BC2，sinA， ， AB6， 故选：C 8如图，AC 是旗杆 AB 的一根拉线，测得 BC6 米，ACB50，则拉线 AC 的长为（ ） A米 B6cos50米 C米 D米 【分析】在 RtABC 中，利用ACB50的余弦函数解答 【解答】解：在 RtABC 中， cos50， BC6 米， AC， 故选：D 9在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A B C D 【分析】先设小正方形的边长
12、为 1，然后找个与B 有关的 RtABD，算出 AB 的长，再求出 BD 的长， 即可求出余弦值 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 AB4，BD4， cosB 故选：B 10如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的横坐标为 3，sin，则 tan（ ） A B C D 【分析】先由 sin求得 PQ4，OP5，再根据正切函数的定义求解可得 【解答】解：如图， 由 sin可设 PQ4a，OP5a， OQ3， 由 OQ2+PQ2OP2可得 32+（4a）2（5a）2， 解得：a1（负值舍去） ， PQ4，OP5， 则 tan， 故选：C 11如图，在ABC 中，BC120，高 AD60
13、，正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上， AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（ ） A15 B20 C25 D30 【分析】设正方形 EFGH 的边长 EFEHx，易证四边形 EHDN 是矩形，则 DNx，根据正方形的性 质得出 EFBC，推出AEFABC，根据相似三角形的性质计算即可得解 【解答】解：设正方形 EFGH 的边长 EFEHx， 四边形 EFGH 是正方形， HEFEHG90，EFBC， AEFABC， AD 是ABC 的高， HDN90， 四边形 EHDN 是矩形， DNEHx， AEFABC， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）
14、 ， BC120，AD60， AN60 x， ， 解得：x40， AN60 x604020 故选：B 12如图所示，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE、CD 相交于点 O若 SDOE：S COA4：25，则 SBDE与 SCDE的比是（ ） A1：2 B1：3 C2：3 D2：5 【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可 【解答】解：DEAC， DEOCAO， SDOE：SCOA4：25， （）2， ， DEAC， ， ， SBDE与 SCDE的比2：3， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13如图，在AB
15、C 中，若 DEBC，DE4，则 BC 的长是 10 【分析】因为 DEBC，可利用平行线分线段成比例定理求出 BC 的长 【解答】解：DEBC， ， 又， ， ， BC10cm 故答案为：10cm 14如果两个相似三角形的周长的比等于 1：3，那么它们对应高的比为 1：3 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到 答案 【解答】解：两个相似三角形的周长比为 1：3， 两个相似三角形的相似比为 1：3， 对应高线的比为：1：3， 故答案为：1：3 15已知ABC 的三个顶点坐标为 A（5，0） 、B（6，4） 、C（3，0） ，将ABC 以坐标
16、原点 O 为位似中心， 以位似比 2：1 进行缩小，则缩小后的点 B 所对应的点的坐标为 （3，2）或（3，2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对 应点的坐标的比等于 k 或k 解答 【解答】解：点 B 的坐标为（6，4） ，以原点为位似中心将ABC 缩小，位似比为 2：1， 点 B 的对应点的坐标为（3，2）或（3，2） ， 故答案为： （3，2）或（3，2） 16如图，RtABC 中，ACB90，CDAB，AD4，BD2，则 CD 的长为 2 【分析】根据射影定理列式计算即可 【解答】解：ACB90，CDAB，AD4，BD2， C
17、D2ADBD248， CD2， 故答案为：2 17如图，身高 1.8 米的小石从一盏路灯下 B 处向前走了 8 米到达点 C 处时，发现自己在地面上的影子 CE 长是 2 米，则路灯的高 AB 为 9 米 【分析】根据 CDAB，得出ECDEBA，进而得出比例式求出即可 【解答】解：由题意知，CE2 米，CD1.8 米，BC8 米，CDAB， 则 BEBC+CE10 米， CDAB， ECDEBA ，即， 解得 AB9（米） ， 即路灯的高 AB 为 9 米； 故答案为：9 18如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADE60，BD3，CE2， 则 AB 的
18、长为 9 【分析】由ADE60，可证得ABDDCE；可用等边三角形的边长表示出 DC 的长，进而根据 相似三角形的对应边成比例，求得ABC 的边长 【解答】解：ABC 是等边三角形， BC60，ABBC； CDBCBDAB3； BAD+ADB120， ADE60， ADB+EDC120， DABEDC， 又BC60， ABDDCE； ， 即 ， 解得 AB9 故答案为：9 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （8 分）计算下列各式的值： （1）sin45cos60cos45 （2）cos245+tan60cos30 【分析】根据特殊锐角三角函数
19、值代入计算即可 【解答】解： （1）sin45cos60cos45； （2）cos245+tan60cos30（）2+2 20 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，B30，BC，解这个直角三角形 【分析】先求A，利用直角三角形的边角间关系再求另一直角边和斜边 【解答】解：C90，B30， A60 sinA，tanA， 即， AB，AC 21 （8 分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点 A，再在河的这一边选定点 B 和点 C， 使得 ABBC，然后选定点 E，使 ECBC，确定 BC 与 AE 的交点为 D，若测得 BD180m，DC60m， EC50m，你能知道小河的宽
20、是多少吗？ 【分析】先证明ABDECD，利用对应边成比例可求出 AB 的长度 【解答】解：由已知得，ABDDCE90，ADBCDE， ABDECD， ， 将 BD180m，DC60m，EC50m，代入可得：， 解得：AB150 答：小河的宽是 150m 22 （8 分）如图，RtABC 中，C90，AB10，AC6，D 是 BC 上一点，BD5，DEAB，垂足 为 E，求线段 DE 的长 【分析】 由垂直的定义得到DEB90， 证明BEDBCA， 根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：DEAB， DEB90， CDEB， BB， BEDBCA， ， 即， DE3 23 （8 分）如图，
21、ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 （1）求证：ACDCBD； （2）求ACB 的大小 【分析】 （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明ACDCBD； （2）由（1）知ACDCBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：ABCD，然后由A+ ACD90，可得：BCD+ACD90，即ACB90 【解答】 （1）证明：CD 是边 AB 上的高， ADCCDB90， ACDCBD； （2）解：ACDCBD， ABCD， 在ACD 中，ADC90， A+ACD90， BCD+ACD90， 即ACB90 24 （8 分）如图，在ABC 中，B90，AB4，BC2，以 AC 为边作
22、ACE，ACE90，AC CE，延长 BC 至点 D，使 CD5，连接 DE求证：ABCCED 【分析】先利用勾股定理计算出 AC2，则 CE2，所以，再证明BACDCE然 后根据相似三角形的判定方法可判断ABCCED 【解答】证明：B90，AB4，BC2， AC2， CEAC， CE2， CD5， ， ， B90，ACE90， BAC+BCA90，BCA+DCE90 BACDCE ABCCED 25 （8 分）如图，一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5km 的地面 O 处发射，当火箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰角分别为 34，45，其中点 O，A，B 在同一条直线上
23、求 AC 和 AB 的长（结 果保留小数点后一位） （参考数据：sin340.56；cos340.83；tan340.67） 【分析】在 RtAOC 中，求出 AC、OA、OC，在 RtBOC 中求出 OB，即可解决问题 【解答】解：由题意可得：AOC90，OC5km 在 RtAOC 中， AC， AC6.0km， tan34， OAOCtan3450.673.35km， 在 RtBOC 中，BCO45， OBOC5km， AB53.351.651.7km 答：AC 的长为 6.0km，AB 的长为 1.7km 26 （10 分）小明上学途中要经过 A，B 两地，由于 A，B 两地之间有一片草
24、坪，所以需要走路线 AC，CB， 如图，在ABC 中，AB63m，A45，B37，求 AC，CB 的长 （结果保留小数点后一位） 参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，取 1.414 【分析】根据锐角三角函数，可用 CD 表示 AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于 CD 的方程， 根据解方程，可得 CD 的长，根据 ACCD，CB，可得答案 【解答】解：过点 C 作 CDAB 垂足为 D， 在 RtACD 中，tanAtan451，CDAD， sinAsin45，ACCD 在 RtBCD 中，tanBtan370.75，BD； sinBsin370.60，CB AD+BDAB63， CD+63， 解得 CD27， ACCD1.4142738.17838.2， CB45.0， 答：AC 的长约为 38.2m，CB 的长约等于 45.0m
