1、2020-2021 学年学年北京市海淀区北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 30 分，每小题分，每小题 3 分）下面各均有四个选项，其中只有一个是符题意的分）下面各均有四个选项，其中只有一个是符题意的 1下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2在ABC 中，AB3，AC5，第三边 BC 的取值范围是（ ） A10BC13 B4BC12 C3BC8 D2BC8 3等腰三角形的顶角为 80，则它的底角是（ ） A20 B50 C60 D80 4若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 的度数为（ ）
2、 A40 B50 C60 D70 5如图，1+2+3+4+5 等于（ ） A360 B540 C720 D900 6如图，三角形纸片 ABC 中，A75，B60，将纸片的角折叠，使点 C 落在ABC 内，若 35，则 等于（ ） A48 B55 C65 D以上都不对 7如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 是ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个动点，则下列线段的长度 等于 BP+EP 最小值的是（ ） ABC BCE CAD DAC 8如图，AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BCCD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图 形的面积 S 是（ ） A50 B62 C65 D
3、68 9如图，一位同学拿了两块 45的三角尺MNE、ACB 做了一个探究活动：将MNK 的直角顶点 M 放 在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 ACBCa，猜想此时重叠部分四边形 CEMF 的面积为（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 10如图，ABC 中，ABC、EAC 的角平分线 PA、PB 交于点 P，下列结论： PC 平分ACF； ABC+APC180； 若点 M、N 分别为点 P 在 BE、BF 上的正投影，则 AM+CNAC； BAC2BPC 其中正确的是（ ） A只有 B只有 C只有 D只有 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每题分，每题 3 分）分） 11在平
4、面直角坐标系中点 P（2，3）关于 x 轴的对称点是 12如图，在ABC 中，CD 是它的角平分线，DEAC 于点 E若 BC6cm，DE2cm，则BCD 的面 积为 cm2 13如图，AD 是ABC 的中线，ADC45，把ADC 沿 AD 对折，使点 C 落在点 C的位置，则图中 的BDC的形状是 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD，若 AC9，BC6，则BDC 的 周长是 15如图，在 66 的正方形网格中，选取 13 个格点，以其中的三个格点 A，B，C 为顶点画ABC，请你 在图中以选取的格点为顶点再画出一个ABP， 使ABP 与ABC 成
5、轴对称 这样的 P 点有 个？ （填 P 点的个数） 16小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角 的平分线如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说： “射线 OP 就是BOA 的角平分线 ”小明的做法，其理论依据是 17如图 EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，EF90，BC，AEAF给出下列 结论： 12； BECF； ACNABM； CDDN 其中正确的结论有 （填序号） 18如图 1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2 所
6、示方法玩拼 图游戏，将其两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用 11 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度 是 （结果用含 a，b 代数式表示） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 46 分，分，19-22 每题每题 5 分，分，23、24 每题每题 6 分，分，25、26 每题每题 7 分）分） 19按要求作图： 在ABC 内确定一点 P， 使 P 到 AB、 BC 的距离相等， 并且到 D、 E 两点的距离也相等 （要求尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹） 20已知：线段 AB（如图） 求作：ABC，使CAB90，ABC60 （要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21如图，点 A
7、，B，C，D 在一条直线上，且 ABCD，若12，ECFB求证：EF 22如图，在ABC 中，ABAC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DEAD若BAD55， B50，求DEC 的度数 23如图，AD 是BAC 的平分线，DEAE，垂足为 E，DFAC，垂足为 F，且 BDCD求证：AB+CF AE 24等腰三角形的一条性质是：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上中线相互重合（简写 成“三线合一” ）这条性质可以转化为三种形式的命题即： （1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 或者（2）等腰三角形底边上的中线平分顶角，并且垂直于底边 或者（3）等腰三角形
8、（补全命题文字） 针对于等腰三角形的这条性质小明同学做了进一步的猜想和证明，他认为如果一个三角形中，一个角的 平分线平分了这个角的对边，那么这个三角形是等腰三角形小明画出了图形，并根据图形将这个命题 写成了已知、求证的形式请你帮助他写出证明过程 已知：在ABC 中，AD 平分CAB，交 BC 边于点 D，且 CDBD，求证：ABAC 25如图，已知等腰三角形 ABC 中，BAC30，ABAC，PAB，作点 B 关于直线 AP 的对称点为 点 D，连接 AD，连接 BD 交 AP 于点 G，连接 CD 交 AP 于点 E，交 AB 于点 F （1）如图（1）当 15时， 按要求画出图形， 求出A
9、CD 的度数， 探究 DE 与 BF 的倍数关系并加以证明； （2）在直线 AP 绕点 A 顺时针旋转的过程中（0a75） ，当AEF 为等腰三角形时，利用下页备 用图直接求出 的值为 26已知等边三角形 ABC，点 D 为 AC 边上的一个动点，连接 BD，在边 BC 上一定能找到一点 E，使得 AE 与 BD 的夹角为 60， 作点 E 关于直线 AC 的对称点 F， 那么点 F 叫做点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋 对称点，若在等边三角形 ABC 的 AC 边上存在一点 H，使得HEF 为等边三角形，那么HEF 叫做点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋对称等边三角形 （1）在平面
10、直角坐标系 xOy 中，已知等边ABC，点 B 与原点重合，点 C 坐标为（4，0） ，如图 当 AD1 时，画出图形，求点 D 关于等边三角形 AOC 的内旋对称点 F 的横坐标 探究点 D 关于等边三角形 AOC 的内旋对称点 F 的横坐标 x 的取值范围 （直接写出结果） （2）已知点 B（a，0） ，C（3，0） ，且 a3若等边三角形 ABC 的 AC 边上总能找到点 D，使得点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋等边三角形的一个顶点横坐标为 5，求 a 的取值范围（直接写出结果） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列防疫的图标中
11、是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意 故选：C 2在ABC 中，AB3，AC5，第三边 BC 的取值范围是（ ） A10BC13 B4BC12 C3BC8 D2BC8 【分析】 已知两边， 则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和， 这样就可求出第三边长的范围 【解答】解：第三边 BC 的取值范围是 53BC5+3，即 2BC8 故选：D 3等腰三角形的顶角为 80，则它的底角是（ ） A20 B50 C
12、60 D80 【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数 【解答】解：等腰三角形的一个顶角为 80 底角（18080）250 故选：B 4若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边 a 所对的角为 50，然后根据全等三角形的性质得到 1 的度数 【解答】解：在左图中，边 a 所对的角为 180607050， 因为图中的两个三角形全等， 所以1 的度数为 50 故选：B 5如图，1+2+3+4+5 等于（ ） A360 B540 C720 D900 【分析】多边
13、形内角和定理： （n2） 180（n3）且 n 为整数） ，依此即可求解 【解答】解： （n2） 180 （52）180 3180 540 故1+2+3+4+5 等于 540 故选：B 6如图，三角形纸片 ABC 中，A75，B60，将纸片的角折叠，使点 C 落在ABC 内，若 35，则 等于（ ） A48 B55 C65 D以上都不对 【分析】根据折叠前后角相等可知 【解答】解：+（180C）+A+B360， 整理可得55 故选：B 7如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 是ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个动点，则下列线段的长度 等于 BP+EP 最小值的是（ ） ABC BCE
14、 CAD DAC 【分析】如图连接 PC，只要证明 PBPC，即可推出 PB+PEPC+PE，由 PE+PCCE，推出 P、C、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 CE 的长度 【解答】解：如图连接 PC， ABAC，BDCD， ADBC， PBPC， PB+PEPC+PE， PE+PCCE， P、C、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 CE 的长度， 故选：B 8如图，AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BCCD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图 形的面积 S 是（ ） A50 B62 C65 D68 【分析】由 AEAB，EFFH，BGAG，可以得到EAFA
15、BG，而 AEAB，EFAAGB，由 此可以证明EFAABG，所以 AFBG，AGEF； 同理证得BGCDHC，GCDH，CHBG 故 FHFA+AG+GC+CH3+6+4+316，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积 【解答】解：AEAB 且 AEAB，EFFH，BGFH， EABEFABGA90， EAF+BAG90，ABG+BAG90， EAFABG， AEAB，EFAAGB，EAFABG， EFAAGB， AFBG，AGEF 同理证得BGCCHD 得 GCDH，CHBG 故 FHFA+AG+GC+CH3+6+4+316 故 S（6+4）16346350 故选：A 9如图，一
16、位同学拿了两块 45的三角尺MNE、ACB 做了一个探究活动：将MNK 的直角顶点 M 放 在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 ACBCa，猜想此时重叠部分四边形 CEMF 的面积为（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】连 CM，由点 M 为等腰直角ABC 的斜边 AB 的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边 的中线的性质得到 CMMBMA，AACMMCB45，CMA90，利用等角的余角相等 得到AMFEMC， 根据 “SAS” 可得AFMCEM， 则 SAFMSCEM， 于是重叠部分四边形 CEMF 的面积SACMSACB，然后利用三角形的面积公式计算即可 【解答】解：重叠部
17、分四边形 CEMF 的面积为a2证明如下： 连 CM，如图， ACBCa， SABCa2， 点 M 为等腰直角ABC 的斜边 AB 的中点， CMMBMA， AACMMCB45，CMA90， 又MNK 为直角三角形， EMF90， AMFEMC90CMF， 在AFM 和CEM 中， AFMCEM（ASA） ， SAFMSCEM， 重叠部分四边形 CEMF 的面积SACMSACBa2 故选：C 10如图，ABC 中，ABC、EAC 的角平分线 PA、PB 交于点 P，下列结论： PC 平分ACF； ABC+APC180； 若点 M、N 分别为点 P 在 BE、BF 上的正投影，则 AM+CNAC
18、； BAC2BPC 其中正确的是（ ） A只有 B只有 C只有 D只有 【分析】过点 P 分别作 AB、BC、AC 的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点 P 到 AC、BC 的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明正确； 根据四边形的内角和等于 360可以证明错误； 根据的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明正确； 利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用ABC 与PBC 写出关系式整理即可得到 正确 【解答】解：如图，过点 P 作 PMAB，PNBC，PDAC，垂足分别为 M、N、D， PB 平分ABC，PA 平分
19、EAC， PMPN，PMPD， PMPNPD， 点 P 在ACF 的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上） ， 故本小题正确； PMAB，PNBC， ABC+90+MPN+90360， ABC+MPN180， 很明显MPNAPC， ABC+APC180错误， 故本小题错误； 在 RtAPM 与 RtAPD 中， RtAPMRtAPD（HL） ， ADAM， 同理可得 RtCPDRtCPN， CDCN， AM+CNAD+CDAC， 故本小题正确； PB 平分ABC，PC 平分ACF， ACFABC+BAC，PCNACFBPC+ABC， BAC2BPC， 故本小题正确 综上所述，正确
20、故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11在平面直角坐标系中点 P（2，3）关于 x 轴的对称点是 （2，3） 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案 【解答】解：关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数， 点 P（2，3）关于 x 轴的对称点坐标是（2，3） ， 故答案为： （2，3） 12如图，在ABC 中，CD 是它的角平分线，DEAC 于点 E若 BC6cm，DE2cm，则BCD 的面 积为 6 cm2 【分析】作 DFBC 于 F，根据角平分线的性质求出 DF，根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解：作 DF
21、BC 于 F， CD 是它的角平分线，DEAC，DFBC， DFDE2， BCD 的面积BCDF6（cm2） ， 故答案为：6 13如图，AD 是ABC 的中线，ADC45，把ADC 沿 AD 对折，使点 C 落在点 C的位置，则图中 的BDC的形状是 等腰直角三角形 【分析】由折叠可得，CDCD，ADCADC45，进而得出CDC为直角，得出BDC 是直角，是直角三角形，再根据中线的意义可得，进而得出 BDCD，说明是等腰三角形，综合可得 是等腰直角三角形 【解答】解：由折叠可得，CDCD，ADCADC45， CDC45+4590， BDC1809090， AD 是ABC 的中线， BDCDC
22、D， BDC的形状是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD，若 AC9，BC6，则BDC 的 周长是 15 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DADB，根据三角形的周长公式计算即可求得结果 【解答】解：NM 是 AB 的垂直平分线， DADB， BDC 的周长BD+CD+BCAD+CD+BCAC+BC9+615， 故答案为：15 15如图，在 66 的正方形网格中，选取 13 个格点，以其中的三个格点 A，B，C 为顶点画ABC，请你 在图中以选取的格点为顶点再画出一个ABP，使ABP 与ABC 成轴对
23、称这样的 P 点有 2 个？ （填 P 点的个数） 【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可 【解答】解：如图，满足条件的ABP 有 2 个， 故答案为 2 16小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角 的平分线如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说： “射线 OP 就是BOA 的角平分线 ”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点 在角的平分线上 【分析】过两把直尺的交点 P 作 PEAO，PFBO，根据题意可得 PEPF，再根据角的内部到角的两 边的距离相等的点在这个角的平
24、分线上，可得 OP 平分AOB 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点 P 作 PEAO，PFBO， 两把完全相同的长方形直尺， PEPF， OP 平分AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上） ， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 17如图 EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，EF90，BC，AEAF给出下列 结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中正确的结论有 （填 序号） 【分析】由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定 正确的结论 【解答】解：B+BAE90，C+C
25、AF90，BC 12（正确） EF90，BC，AEAF ABEACF（ASA） ABAC，BECF（正确） CANBAM，BC，ABAC ACNABM（正确） CNBM（不正确） 所以正确结论有 故填 18如图 1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2 所示方法玩拼 图游戏，将其两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用 11 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度 是 a+10b （结果用含 a，b 代数式表示） 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可 【解答】解：图形的总长度11a（ab）+aba+10b， 故答案为：a+10b 三解答题三解答题 19按要
26、求作图： 在ABC 内确定一点 P， 使 P 到 AB、 BC 的距离相等， 并且到 D、 E 两点的距离也相等 （要求尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作ABCA 的角平分线 BT，连接 DE，作线段 DE 的垂直平分线 MN，直线 MN 交 BT 于点 P， 点 P 即为所求 【解答】解：如图，点 P 即为所求 20已知：线段 AB（如图） 求作：ABC，使CAB90，ABC60 （要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】在 BA 的延长线上截取 AE，使得 AEAB，分别以 E，B 为圆心，BE 长为半径画弧，两弧交于 点 C，连接 AC，BC，ABC 即为所求 【解
27、答】解：如图，ABC 即为所求 21如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，且 ABCD，若12，ECFB求证：EF 【分析】求出DBFACE，ACDB，根据 SAS 推出ACEDBF，根据全等三角形的性质得出即 可 【解答】证明：1+DBF180，2+ACE180 又12， DBFACE， ABCD， AB+BCCD+BC， 即 ACDB， 在ACE 和DBF 中， ACEDBF（SAS） ， EF 22如图，在ABC 中，ABAC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DEAD若BAD55， B50，求DEC 的度数 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到C50，进而得
28、到BAC80，由BAD 55，得到DAE25，由 DEAD，进而求出结论 【解答】解：ABAC， BC， B50， C50， BAC180505080， BAD55， DAE25， DEAD， ADE90， DECDAE+ADE115 23如图，AD 是BAC 的平分线，DEAE，垂足为 E，DFAC，垂足为 F，且 BDCD求证：AB+CF AE 【分析】先证ADEADF（AAS） ，推出 AEAF，DEDF，再证明 RtDEBRtDFC（HL） ，得 BECF，即可解决问题 【解答】证明：AD 是BAC 的平分线，DEAB，垂足为 E，DFAC 垂足为 F， DAEDAF，EAFD90，
29、在ADE 和ADF 中， ADEADF（AAS） ， AEAF，DEDF， 在 RtDEB 和 RtDFC 中， RtDEBRtDFC（HL） ， BECF， AB+BEAE， AB+CFAE 24等腰三角形的一条性质是：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上中线相互重合（简写 成“三线合一” ）这条性质可以转化为三种形式的命题即： （1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 或者（2）等腰三角形底边上的中线平分顶角，并且垂直于底边 或者（3）等腰三角形 底边上的高平分底边，并且平分顶角 （补全命题文字） 针对于等腰三角形的这条性质小明同学做了进一步的猜想和证明，他认为如果一个
30、三角形中，一个角的 平分线平分了这个角的对边，那么这个三角形是等腰三角形小明画出了图形，并根据图形将这个命题 写成了已知、求证的形式请你帮助他写出证明过程 已知：在ABC 中，AD 平分CAB，交 BC 边于点 D，且 CDBD，求证：ABAC 【分析】由等腰三角形的性质可求解； 延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，由“SAS”可证ACDEBD，可得CADEBAD，AC BE，可得 ACBEAB 【解答】解：由等腰三角形的性质可得：等腰三角形底边上的高平分底边，并且平分顶角， 故答案为底边上的高平分底边，并且平分顶角； 如图，延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE， 在ACD
31、和EBD 中， ， ACDEBD（SAS） ， CADE，ACBE， AD 平分CAB， CADBAD， BADE， ABBE， ACAB 25如图，已知等腰三角形 ABC 中，BAC30，ABAC，PAB，作点 B 关于直线 AP 的对称点为 点 D，连接 AD，连接 BD 交 AP 于点 G，连接 CD 交 AP 于点 E，交 AB 于点 F （1）如图（1）当 15时， 按要求画出图形， 求出ACD 的度数， 探究 DE 与 BF 的倍数关系并加以证明； （2）在直线 AP 绕点 A 顺时针旋转的过程中（0a75） ，当AEF 为等腰三角形时，利用下页备 用图直接求出 的值为 30或 5
32、2.5 【分析】 （1）按要求画出即可； 根据点 B 关于直线 AP 的对称点为点 D，得到 AP 垂直平分 BD，利用垂直平分线的性质，证明ACD 为等边三角形，即可得到ACD60； DE2BF，连接 EB，根据 AP 垂直平分 BD，得到 EDEB，利用等边对等角得到34，利用等 腰三角形的性质求出3415，530，又因为 ADAC，AB 平分DAC，所以 ABDC， 即可得到 EB2BF，所以 ED2BF； （2）画出图形，分三种情况讨论：当 AEAF 时；当 AEEF 时；当 EFAF 时 【解答】解： （1）如图 1： B、D 关于 AP 对称， AP 垂直平分 BD，a15， AD
33、AB，1215， BAC30， DAC1+2+BAC60， ACAB， ACAD， ACD 为等边三角形 ACD60 DE2BF， 证明：连接 EB， AP 垂直平分 BD， EDEB， 34， ABAD，DAB30， ADB75， 又ADC60， 3415， 530， 又 ADAC，AB 平分DAC， ABDC， EB2BF， ED2BF （2）如图 2， ADAC， DAC 是等腰三角形 ADC（1802a30）275a， AEFADC+DAE75a+a75， 当 AEAF 时，EAFa18075218015030； 当 AEEF 时，EAFa（18075）252.5； 当 EFAF 时，
34、AEFEAFa75（舍去） 故答案为：30或 52.5 26已知等边三角形 ABC，点 D 为 AC 边上的一个动点，连接 BD，在边 BC 上一定能找到一点 E，使得 AE 与 BD 的夹角为 60， 作点 E 关于直线 AC 的对称点 F， 那么点 F 叫做点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋 对称点，若在等边三角形 ABC 的 AC 边上存在一点 H，使得HEF 为等边三角形，那么HEF 叫做点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋对称等边三角形 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知等边ABC，点 B 与原点重合，点 C 坐标为（4，0） ，如图 当 AD1 时，画出图形，求点 D
35、关于等边三角形 AOC 的内旋对称点 F 的横坐标 探究点 D 关于等边三角形 AOC 的内旋对称点 F 的横坐标 x 的取值范围 （直接写出结果） （2）已知点 B（a，0） ，C（3，0） ，且 a3若等边三角形 ABC 的 AC 边上总能找到点 D，使得点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋等边三角形的一个顶点横坐标为 5，求 a 的取值范围（直接写出结果） 【分析】 （1）设 AE 与 OD 的交点为 P，过点 F 作 FHx 轴于 H，连接 CF，由“SAS”可证OAD ACE，可得 ADEC1，由轴对称的性质可得 AC 垂直平分 EF，进而可得 ECCF1，ECA FCA60，由直
36、角三角形的性质可求 CHCF，FHCH，可求解； 设 ADm，由可知 ADECmCF，可得 CH，FHm，可求点 F 坐标，由 AD4，可 求解； （2）过点 F 作 FHx 轴于 H，连接 CF，由（1）可知 ADECmCF，点 F（3+，m） ，可求 m 4，由点 D 在 AC 上，可列不等式，可求 a 的取值范围 【解答】解： （1）如图，设 AE 与 OD 的交点为 P，过点 F 作 FHx 轴于 H，连接 CF， AOC 是等边三角形， AOOCAC，AOCOACACO60， OAP+EAC60， OPE60， OAP+AOD60， AODEAC， 又AOAC，OADACO， OAD
37、ACE（SAS） ， ADEC1， 点 E，点 F 关于直线 AC 的对称， AC 垂直平分 EF， ECCF1，ECAFCA60， FCH60， FHx 轴， CFH30， CHCF，FHCH， OH， 点 F（，） ； 设 ADm， 由可知 ADECmCF， CH，FHCHm， 点 F（4+，m） ， AD4， m4， 44+6， 点 F 的横坐标 x， 4x6； （2）如图 2，过点 F 作 FHx 轴于 H，连接 CF， 点 B（a，0） ，C（3，0） ， BC3a， 设 ADm， 由（1）可知 ADECmCF，点 F（3+，m） ， 点 D 关于等边三角形 ABC 的内旋等边三角形的一个顶点横坐标为 5，且 E 和 H 的横坐标不等于 5， 3+5， m4， 点 D 在 AC 上， 3a4， a1
