1、1 函数的相关概念与映射 _ _ 1、 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型； 2、 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 3、 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 一、一、映射的概念映射的概念： 设A、B是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素， 在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B，以及对应关系f） 叫做集合A到集合B的映射，记作：:fAB。 二、像与原像的概念像与原像的概念： 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且,aA bB，如果元素a和元
2、素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素a的像，元素a叫做元素 b 的原像。 特别提醒：特别提醒：1、对于映射:fAB来说，则应注意理解以下四点： （1）集合A中每一个元素，在集合B中必有唯一的象； （2）集合A中不同元素，在集合B中可 以有相同的象； （3） 集合A中的元素与集合B中的元素的对应关系， 可以是： “一对一” 、 “多对一” ， 但不能是“一对多” 。 （4）允许集合B中的元素没有象； 2、集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统； 3、对应法则f有“方向性” 。即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般 是不同的； 三、三、映射映射： 一般地
3、，设A，B是两个非空的集合，:fAB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这 个映射叫做A到B的一一映射。 2 特别提醒：特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点： （1）集合 B 中的每一个元素都有原象，也 就是说，集合B中不允许有剩余的元素。 （2）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 也就是说，不允许“多对一” ； 四四、函数的概念函数的概念 ： 设A、B是两个非空的数集， 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数 f x和它对应，那么就称:
4、fAB为从集合A到集合B的一个函 数，记作 ,yf xxA。其中x叫自变量，x的取值范围 A 叫做函数)(xfy 的定义域；与x的 值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf| )(叫做函数)(xfy 的值域。 特别提醒：特别提醒：1、函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合A, B为非空的数集；其中定义域A，就是指原象的集合，值域Axxf| )(，就是象的集合。2、函 数符号)(xfy 表示“y是x的函数” ，应理解为： （1）x是自变量，它是关系所施加的对象；f是 对应关系， 它可以是一个或几个解析式， 可以是图像、 表格， 也可以是文字描述； （2） 符号
5、 yf x 仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积” ，)(xf也不一定是解析式，再研究函数时，除 用符号)(xf外， 还常用( ),( ),( )g x F x G x等符号来表示。 3、 判断两个变量之间是否具有函数关系， 只要检验： （1）x的取值集合是否为空集； （2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每 一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。 五五：函数的值函数的值： f a表示当xa时， 函数 f x的值， 这个值就由 “f” 这一对应关系来确定；)(xf与)(af 是不同的，前者表示以x为自变量的函数，后者为常数 六：函数的三要素六：函数的三要素 ： 我们通常把
6、对应法则f、定义域A、值域Axxf| )(称为函数的三要素。由函数的定义可 知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域 和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。 七：区间的概念和记号七：区间的概念和记号： 名称 定义 符号 数轴表示 闭区间 x axb , a b 开区间 xaxb , a b 左闭右开区间 x axb , a b 左开右闭区间 x axb , a b 无穷区间 x xa ,a 无穷区间 x xa ,a 无穷区间 x xa , a 3 无穷区间 x xa , a 特别提醒：特别提醒：书写区间记
7、号时： （1）有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点； （2）两个端点之间用“， ” 隔开； （3）无穷大是一个符号，不是一个数；以“”或“”为区间一端时，这一端必是小括 号。 八：八：分段函数分段函数 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称 为分段函数。如函数 0 0 0 0 xx yxx xx 特别提醒：特别提醒：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、它是一类较特殊的函数。在求分段 函数的值 0 ()f x时，一定首先要判断 0 x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；3、分段函 数的值域应是其定义域内不同子集上
8、各关系式的取值范围的并集。 九：复合函数九：复合函数 如果 ,yf uug x， 那么 yfg x 叫做f和g的复合函数， 其中 g x为内函数， f u为外函数。 类型一类型一 映射的概念映射的概念 例例 1 1：已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，在下列A到B的四个对应关系中，能否构成A到 B的映射？说明理由 解析解析：(1)、(3)是A到B的映射，都符合映射的定义，即A中的每一个元素在B中都有惟一元 素与之对应；(2)不是A到B的映射，因为A中的元素 4 在B中没有元素与之对应；(4)不是A到B 的映射，因为A中的元素 3 在B中有两个元素与之对应 答案：答案：(1)、(3)是A到B
9、的映射；(2)、 （4）不是A到B的映射 练习练习 1 1：设集合Ax|0 x4，By|0y2，则下列对应f中不能构成A到B的映射的 是( ) Af：xy1 2x Bf：xyx2 Cf：xyx Df：xy|x2| 答案：答案：B 练习练习 2 2： (20142015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列对应是集合A到集合B的映射 的是( ) AAN N *，BN N*，f：x|x3| 4 BA平面内的圆；B平面内的矩形，f：每一个圆对应它的内接矩形 CAx|0 x2，By|0y6，f：xy1 2x DA0,1，B1,0,1，f：A中的数开平方 答案：答案：C 类型二类型二 映射中的象与原象
10、映射中的象与原象 例例 2 2：已知集合AR R，B(x，y)|x，yR R，f：AB是从A到B的映射，f：x(x1，x 2 1)，求A中元素 2的象和B中元素(3 2， 5 4)的原象. 解析解析：把x 2代入对应法则，得其象为( 21,3)， 又由 x13 2 x 215 4 ，解得x1 2. 2的象为( 21,3)，(3 2， 5 4)的原象为 1 2. 答案：答案： 2的象为( 21,3)，(3 2， 5 4)的原象为 1 2. 练习练习 1：已知映射f：(x，y)(3x2y1,4x3y1) (1)求(1,2)的象； (2)求(1,2)的原象 答案：答案：(1,2)的象为(6,1)(1
11、,2)的原象为(0,1) 练习练习 2 2：(20142015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)在映射f：AB中，集合 AB(x，y)|x、yR R，且f：(x，y)(xy，xy)，则B中的元素(1,2)在集合A中的原象 为_ 答案：答案： 1 2， 3 2 类型三类型三 函数的概念函数的概念 例例 3 3：设Mx|0 x2，Ny|0y2给出下列 4 个图形，其中能表示集合M到集合N的 函数关系的有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解析：解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合M中 10，f：xy|x|； (2)AZ Z，BZ Z，f：xyx 2x； 答案：答案：(1
12、)否 (2)是 练习练习 2 2：下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了 C数集都能用区间表示 D函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 答案：答案：D 类型四类型四 同一函数的判定同一函数的判定 例例 4 4：下列各组函数是同一函数的是( ) f(x) 2x 3与 g(x)x2x； f(x)x与g(x)x； f(x)x 0与 g(x)1 x 0； f(x)x 22x1 与 g(x)t 22t1. A B C D 解析：解析：对于、，两函数的对应法则都不同，对于、，两函数的定义域和对应法则都相 同，故
13、选 C 答案：答案：C 练习练习 1 1：(20142015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)下列四组函数，表示同一函数的 是( ) Af(x)x 2，g(x)x Bf(x)x，g(x)x 2 x Cf(x)x 24，g(x) x2x2 Df(x)x，g(x)3x 3 答案答案：D 练习练习 2 2：下列函数中哪个与函数xy 是同一个函数，把序号填在横线上 。 2 xy ； 33 xy ； 2 xy 答案：答案： 类型五类型五 函数的定义域函数的定义域 例例 5 5：求下列函数的定义域： (1)y31 2x； (2)y 2x3 1 2x 1 x； 解析：解析：(1)函数y31 2x 的定义
14、域为 R R. 6 (2)要使函数有意义，则有 2x30 2x0 x0 ， 解得3 2x2，且 x0. 所求函数的定义域为 x|3 2x2，且x0 . 答案：答案： （1）R（2） x|3 2x2，且x0 . 练习练习 1 1：求下列函数的定义域： (1)y x1 x 23x2； (2)yx 21 1x2； (3)y 1 1|x| x 21. 答案答案：(1) xR R|x1，且x2(2)1,1(3) (，1)(1，) 练习练习 2 2： (20142015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)函数y x1 x 的定义域是 ( ) A1，) B(0，) C(1，) D1,0)(0，) 答
15、案：答案： D 类型六类型六 求函数值求函数值 例例 6 6：若f(x)1x 1x(x1)，求 f(0)，f(1)，f(1a)(a2)，ff(2) 解析：解析：f(0)10 101；f(1) 11 110； f(1a)1 a 1a a 2a(a2)； ff(2)1f 1f 112 12 112 12 2. 答案：答案： 2 练习练习 1 1：已知函数f(x)3x 25x2，求 f(3)，f( 2)，f(a1) 答案答案：f(3)14；f( 2)85 2；f(a1)3a 2a. 练习练习 2 2：已知函数f(x)x 2x1.求 f(2)，f(1 x)； 答案：答案： f(2)5，f 1 x 1x
16、x 2 x 2. 7 1. 给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_。 B中任何一个元素在A中必有原象；A中不同元素在B中的象也不同；A中任何一个 元素在B中的象是唯一的；A中任何一个元素在B中可以有不同的象；B中某一元素在A中 的原象可能不止一个； 集合A与B一定是数集； 记号BAf:与ABf:的含义是一样的 答案： 2. 下列集合A到集合B的对应中，判断哪些是A到B的映射? 判断哪些是A到B的一一映 射? (1)ZBNA,，对应法则:fByAxxyx,； (2) RA， RB， x yxf 1 :，Ax，By； 答案： (1)是映射，不是一一映射， (2)是映射，是一一映射
17、 3. 下列各式能否确定y是x的函数？ （1） 22 1xy； （2） 2 30 xy； （3）32yxx 答案： （1）不能（2）能； （3）不能。 4. 已知 2 31f xxx，则 1f ；5f ； 2f ； f a ；21fa 。 答案：-1；41；33 2； 2 31aa； 2 4105aa。 5下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。 2 ,yx yx； 2 2 ,yxyx； 2 1 1, 1 x yxy x ； 0, 1yxy 2 ,yx yx 答案： _ _ 基础巩固基础巩固 1下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的是（ ） A、,0,:AR Bx xxRxA
18、fxx且 B、,:1,AN BNxfxA C、 2 0,:Ax xxRBR xA fxx且 D、 1 ,:AQ BQ xA fx x 答案：C 2. 已知04 ,02PxxQyy， 下列对应不表示从P到Q的函数的是 （ ） A、 1 : 2 fxyx B、 1 : 3 fxyx C、 3 : 2 fxyx D、:fxyx 答案：C 8 3.(20142015 学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)函数f(x) 2xx2的定义域为 _ 答案：2 4. BAf:是从A到B的映射， 其中RA ，RyxyxB,),(，) 1, 1(: 2 xxxf， 则A中元素2的象是 ；B中元素)2 , 2(的原象
19、。 答案：)3 , 12( 1 5. 己 知 集 合 42 1,2,3,4,7,3AkBaaa， 且,aNxA yB 使B元 素 31yx和A中的元素x对应，则a= ， k = 。 答案：2 5 6. 已知函数 2 f xxpxq满足 120ff，则1f 。 答案：6 7. 下列函数中哪个与函数xy 是同一个函数，把序号填在横线上 。 2 xy ； 33 xy ； 2 xy 答案： 能力提升能力提升 8. 已知 2 1 1f xxg xx 求 ,fg xgf x 答案： 2 112fg xxxx ； 2 11gf xx 9. 已知 1 0 )( x xf )0( )0( )0( x x x ，分别求 1 ,1 ,0 ,1ffffff 的值。 答案： (1)2 ( 1)0 (0) ( 1)1 fffff f； 10. 将下列集合用区间表示： （1） 2 0 1 x x x ； （2）123x xx或； （3）1,x xxR 。 答案： （1）,12,； （2） 12,3； （3）, 11,11, 。 课程顾问签字课程顾问签字： ： 教学主管签字教学主管签字：
