1、题组层级快练题组层级快练(十九十九) 1.函数 f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(3)f(3)f(2)f(2) C0f(3)f(2)f(3)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 答案 B 解析 f(2)，f(3)是 x 分别为 2,3 时对应图像上点的切线斜率，f(3)f(2)f3f2 32 ，f(3)f(2) 是图像上 x 为 2 和 3 对应两点连线的斜率，故选 B. 2(2015 赣州模拟)函数 yx2ex的图像大致为( ) 答案 A 解析 因为 y2xexx2exx(x2)ex，所以当 x0 时，y0，函数 yx
2、2ex为增函数；当 2x0 时，y0，所以排除 D，故选 A. 3设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D23V 答案 C 4.如图，某农场要修建 3 个养鱼塘，每个面积为 10 000 米 2，鱼塘前面要留 4 米的运料通道，其余各 边为 2 米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( ) A长 102 米，宽5 000 51 米 B长 150 米，宽 66 米 C长、宽均为 100 米 D长 150 米，宽200 3 米 答案 D 解析 设鱼塘长、宽分别为 y 米，x 米，依题意 xy10 000. 设
3、占地面积为 S，则 S(3x8)(y6)18x80 000 x 30 048， 令 S1880 000 x2 0，得 x200 3 ，此时 y150. 5(2015 南昌一模)已知函数 yf(x)对任意的 x( 2， 2)满足 f(x)cosxf(x)sinx0(其中 f(x)是函 数 f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( ) A. 2f( 3)f( 4) B. 2f( 3)2f( 3) Df(0) 2f( 4) 答案 A 解析 由 f(x)cosxf(x)sinx0 知( fx cosx)0， 所以 g(x) fx cosx在( 2， 2)上是增函数， 所以 g( 3)g( 4)，即
4、f 3 cos 3 f 4 cos 4 ，即 2f( 3)g( 4)，即 f 3 cos 3 f 4 cos 4 ，得 2f( 3)f( 4)， 所以 B 不正确；由 g( 3)g(0)，即 f 3 cos 3 f0 cos0，得 f(0)g(0)，即 f 4 cos 4 f0 cos0，得 f(0) 2f( 4)，所以 D 不正确故选 A. 6(2015 绵阳市高三诊断性考试)已知 f(x)|x| ex(xR)，若关于 x 的方程 f 2(x)mf(x)m10 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( ) A(1 e，2)(2，e) B(1 e，1) C(1，1 e1) D(
5、1 e，e) 答案 C 解析 依题意，由 f2(x)mf(x)m10，得 f(x)1 或 f(x)m1.当 x0 时，f(x)xe x，f(x) (x1)e x0 时，f(x)xex，f(x)(x1)ex，若 0x0，f(x) 是增函数；若 x1，则 f(x)0，f(x)是减函数因此，要使关于 x 的方程 f2(x)mf(x)m10 恰好有 4 个不相等的实数根，只要求直线 y1，直线 ym1 与函数 yf(x)的图像共有四个不同的交点注意到 直线 y1 与函数 yf(x)的图像有唯一公共点，因此要求直线 ym1 与函数 yf(x)的图像共有三个不同 的交点，结合图像可知，0m11 e，即 1
6、m0，则当 2a4 时，有( ) Af(2a)f(2)f(log2a) Bf(2)f(2a)f(log2a) Cf(log2a)f(2a)f(2) Df(2)f(log2a)0，当 x2 时， f(x)0，f(x)是增函数；当 x2 时，f(x)0，f(x)是减函数又2a4，1log2a2.42a16；由 f(2 x)f(2x)，得 f(x)f(4x)f(log2a)f(4log2a)由 1log2a2，得2log2a1.24log2a3. 24log2a2a.f(2)f(4log2a)f(2a)，即 f(2)f(log2a)f(2a)，故选 D. 8已知函数 f(x) 2 x，x2， x13
7、，x2. 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围 是_ 答案 (0,1) 解析 当 x0，说明函数在(，2上单调递增，函数的值域是(，1)，函 数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1因此要使方程 f(x)k 有两个不同的实根，则 0k0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求所有的实数 a，使 e1f(x)e2对 x1，e恒成立(其中，e 为自然对数的底数) 答案 (1)单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，) (2)ae 解析 (1)因为 f(x)a2lnxx2ax，其中 x0， 所以 f(x)a 2 x 2xaxa2xa x . 由于 a0
8、，所以 f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，) (2)由题意得，f(1)a1e1，即 ae. 由(1)知 f(x)在1，e上单调递增， 要使 e1f(x)e2对 x1，e恒成立 只要 f1a1e1， fea2e2aee2， 由得 ae；由得 ae.因此 ae. 故当 e1f(x)e2对 x1，e恒成立时，实数 a 的值为 e. 10(2013 北京理)设 l 为曲线 C：ylnx x 在点(1,0)处的切线 (1)求 l 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 答案 (1)yx1 (2)略 解析 (1)设 f(x)lnx x ，则 f(x)
9、1lnx x2 . 所以 f(1)1.所以 l 的方程为 yx1. (2)令 g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g(x)0(x0，x1) g(x)满足 g(1)0，且 g(x)1f(x)x 21lnx x2 . 当 0x1 时，x210，lnx0，所以 g(x)1 时，x210，lnx0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递增 所以 g(x)g(1)0(x0，x1) 所以除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方 11已知函数 f(x)xln(xa)在 x1 处取得极值 (1)求实数 a 的值； (2)若关于 x 的方程 f(x)2xx2b 在1 2，2上恰
10、有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围 答案 (1)0 (2)5 4ln2b0)，则 g(x)2x31 x 2x23x1 x 2x1x1 x . 令 g(x)0，得 x11 2，x21. 当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表： x (0，1 2) 1 2 (1 2，1) 1 (1,2) 2 g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 b2ln2 当 x1 时，g(x)的极小值为 g(1)b2. 又 g(1 2)b 5 4ln2，g(2)b2ln2， 方程 f(x)2xx2b 在1 2，2上恰有两个不相等的实数根， g1 20， g10， g20， 即 b5 4ln20， b
11、20， b2ln20， 解得5 4ln2b0)，若 f(x)在1,1上的最小值记为 g(a) (1)求 g(a)； (2)证明：当 x1,1时，恒有 f(x)g(a)4. 答案 (1)g(a) a3，0a0，1x1，所以 当 0a1 时， 若 x1，a，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(a,1)上是增函数 所以 g(a)f(a)a3. 当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1,1)上是减函数，所以 g(a) f(1)23a. 综上，g(a) a3，0a1， 23a，a1. (2)证明：令 h(x)f(x)g(a) 当
12、0a1 时，g(a)a3. 若 xa,1，则 h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以 h(x)在(a,1)上是增函数，所以 h(x)在a,1 上的最大值是 h(1)43aa3，且 0a0， 知 t(a)在(0,1)上是增函数所以 t(a)t(1)4， 即 h(1)4.故 f(x)g(a)4. 当 a1 时，g(a)23a， 故 h(x)x33x2，h(x)3x23. 此时 h(x)在(1,1)上是减函数，因此 h(x)在1,1上的最大值是 h(1)4. 故 f(x)g(a)4. 综上，当 x1,1时，恒有 f(x)g(a)4. 13(2014 北京理)已知函数 f(x)xcosxsi
13、nx，x 0， 2 . (1)求证：f(x)0； (2)若 asinx x b 对 x 0， 2 恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值 答案 (1)略 (2)a 的最大值为2 ，b 的最小值为 1 解析 (1)证明：由 f(x)xcosxsinx，得 f(x)cosxxsinxcosxxsinx. 因为在区间 0， 2 上 f(x)xsinx0 时，“sinx x a”等价于“sinxax0”；“sinx x b”等价于“sinxbx0 对任意 x 0， 2 恒成立 当 c1 时，因为对任意 x 0， 2 ，g(x)cosxc0， 所以 g(x)在区间 0， 2 上单调递减，从而 g(x)g(0)0 对任意 x 0， 2 恒成立 当 0cg(0)0.进一步，“g(x)0 对任意 x 0， 2 恒成立” 当且仅当 g 2 1 2c0，即 00对任意x 0， 2 恒成立； 当且仅当c1时， g(x)0对任意x 0， 2 恒成立 所以，若 asinx x b 对任意 x 0， 2 恒成立，则 a 的最大值为2 ，b 的最小值为 1.
