1、讲解人： 时间：2020.6.1 P E O P L E S E D U C A T I O N P R E S S H I G H S C H O O L M A T H E M A T I C S E L E C T I V E 2 - 2 1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2 中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算，而计算平面曲线 围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功等问题. 我们已学过了如何计算曲边图形面积. 如何计算变速 直线物体位移呢？ 课前导入 利用导数
2、我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题.反之，如果已 知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程？ 提出问题 课前导入 汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s=vt. 新知探究 如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 (t的单位：h，v的单位：km/h)， 那么它在 这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？ 2 v(t)=-t +2 0t1 新知探究 与求曲边梯形面积相似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归 为求匀速直线运动的路程问题. 新知探究 将区间0,1等分成n个小区间，在每个小区间上.由于v(t
3、)的变化很小. 可以认为汽车近似做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求 和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值. 1 T 2 Txo i 1 t i t 1i t 在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间： 112n-1 0,1 nn nn 记第i个区间为 ，其长度为： i-1 i ,i =1,2,n nn ii-11 t =-= nnn 新知探究 把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作： 112n-1 0,1 nn nn n i i=1 S =S 12n S ,S ,S 显然有 新知探究 当n很大，即 很小时，在区间 上，函数 的
4、变化值很小，近似地等于 一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似 地以时刻 处的速度作匀速行驶. i-1 i , nn t 2 v(t) = -t +2 i-1 n i-1 i ,i =1,2,n nn 新知探究 2 ii 2 i-1i-11 s = s = vt = -+2 nnn i-112 = -+i =1,2,n nnn 在区间 上，近似地认为 即在局部小范围内认为“以匀速代变速”. i-1 i , nn 2 i-1i-1 v= -+2 nn 新知探究 由近似代替求得： nn ni i=1i=1 2 n i=1 22 2 22 3 3 i -1 s
5、s=s =vt n i -112 =-+ nnn 111n-11 = -0-+ 2 nnnnn 1 = -1 + 2 + n-1+ 2 n 1 (n-1)n(2n -1) = -+ 2 n6 111 = -1-1-+ 2 3n2n 新知探究 n n nn i=1 n 1i-1 s = lims = limv nn 1115 = lim -1-1-+2 = 3n2n3 当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于s，从而有 n 111 s = -1-1-+2 3n2n t 新知探究 结合求曲线梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关
6、系？ 2 v(t)=-t +2 新知探究 由于 在数值上等于下图所有小矩形的面积之和.其极限就是由直线t=0，t=1,v=0和曲 线 所围成的曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上等于由直 线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积. n s 2 v(t)=-t +2 2 v(t)=-t +2 2 2 v = -t +2v = -t +2 x o y a . . . 新知探究 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 ，那么我们也可以采用分割、近 似代替、求和、取极限的方法，求出它在 内的位移s. v = v(t) atb 新知探究 单位时间通过 的路程 小王驱车到80km外
7、的一个小镇，共用了2个小时， (km/h)为汽车行驶的平均 速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何 计算汽车行驶的瞬时速度呢? s80 v = 40 t2 例题讲解 一般地： 设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的路程，则S是t 的一个函数 下面讨论物体在任一时刻t0 的瞬时速度. S = S(t) 00 t ,t +t 00 S =S t +t -S t s O 0 tstts 0 00 S t +t -S tS v = tt 瞬时速度 内的平均速度为 tt t 很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替. 例题讲解 0 v t t0 = li
8、m v t0 S = lim t 00 t0 S t +t -S t = lim t 越小，平均速度 就越接近于时刻 的瞬时速度令 取极限， 得到瞬时速度 tv 0 0 t t t0 0 v t 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通 过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 例题讲解 设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由 变至 ，求气体压力所做的功（如下图）. O S 1 S 2 S 1 1 V V 2 2 V V 课堂练习 气体膨胀为等温过程，所以气体压强为 ( 气体体积， 常数），而活塞上的总压力 为 ： CQC F
9、 = PQ = VS ， C P = V V C 课堂练习 （ 活塞的截面积， 为活塞移动的距离 ）以 与 表示活塞的初始与终止位置，于是得功 为 Q S VSQ 1 S 2 S 22 11 2 1 2 1 SS SS V V V 2 V 1 1 W =FdS = CdS S 1 = CdV V V = ClnV= Cln. V 课堂练习 （1）分割 1012 n-1n2 T = t t t t t = T 1 iii ttt iii tvs )( （3）求和 ii n i tvs )( 1 （4）取极限 ,max 21n ttt i n i i tvs )(lim 1 0 （2）取近似 课堂小结 讲解人： 时间：2020.6.1 P E O P L E S E D U C A T I O N P R E S S H I G H S C H O O L M A T H E M A T I C S E L E C T I V E 2 - 2 感 谢 你 的 聆 听感 谢 你 的 聆 听 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2
