1、1.3.3函数的最大函数的最大（小小）值与导数值与导数 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2 函数极值的定义 函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)f(x0)则f(x0)是函数f(x)的一个极小值. 课前导入 解方程 .当 时： 0fx 0 0fx （1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值； 0 x 0 f x 0fx 0fx （2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值； 0 x 0 f x 0fx 0fx 课前导入 观察下图，点a与点b处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？ a b )(bf )(af 课前导
2、入 观察下图中的曲线 a点的函数值f(a)比其他点的函数值都大b点的函数值f(b)比其他点的函数值都小 课前导入 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们 通常所说的最值问题. 课前导入 观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象. 发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_， 最小值是_. f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) x X 2 o a X3 b x1 y 新知探究 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际 问题或在研究函数性质时，往往更关心函数
3、在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？ 新知探究 a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x 6 x b x y xfy 133.1图图 如下图，观察区间a，b上函数y=f(x)的图像，你能找出它的极大值极小值吗？ 新知探究 a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x 6 x b x y xfy 133.1图图 观察图像，可以发现 是函数y=f(x)的极小值， 是极大值. 135 f x,f x,f x 246 f x,f x,f x 新知探究 探究 你能找出函数y=f(x) 在区间a，b上的最大值最小值吗？ 从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最
4、小值是 . 3 f x 新知探究 xfy a b x y o a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x b x y xfy 143.1图图 153.1图图 在上图中，观察a,b上的函数y=f(x)的图像，它们在a,b上是否有最大值最小值？如果有，分 别是多少？ 新知探究 一般地，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 新知探究 如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出最小值，最大值呢？ 把把函函数数 y =f xy =f x 的的所所有有极极值值连连同同端端 点点的的函函数数值值进进行行比比较较, ,就就可可以以求求出出函函数数的的
5、 最最大大 值值与与最最小小值值 . . 新知探究 求函数 在0,3上的最大值与最小值. 3 1 f x =x -4x+4 3 例题讲解 4 2. 3 3 :4,0,3,x = 2,f x = 1 x -4x+4 3 f 解 由例 可知 在上 当时 f 0 =4,f 3 =1,又由于 因此，函数f(x)在0,3上的最大值是4，最小值是 . 4 3 有极小值，并且极小值为 ox y 2 3 4x4x 3 1 xf 3 163.1图图 上述结论可从函数f(x)在0,3上的图像得到直观的验证. 例题讲解 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值 . 解: f (x)=2x-4 令f
6、(x)=0，即2x-4=0， 得x=2. 例题讲解 x 1 （1，2） 2 （2，5） 5 0 y - + 3 11 2 y 故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为. 例题讲解 求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值. 例题讲解 解: 3 44 .yxx 令 ,解得x=-1，0，1. 0y 当x变化时, 的变化情况如下表: ,y y x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y - 0 + 0 - 0 + y 13 4 5 4 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4. （1）极值是仅对某一点的附近而言，
7、是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言， 是在整体范围内讨论问题 . 极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？ 例题讲解 （2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可 能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）. 例题讲解 一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数y=f(x)在a,b内的极值； （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值. 知识要点 求函数的最值时,应注意: 闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(
8、a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值, 则此极值必是函数的最值. + 0 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 1、已知a 0 ，函数f(x) = （ -2ax ） 2 x x e ，当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论. 解:对函数 求导数得 , f(x) 2x f (x)=(x +2x-2ax-2a)e 令 解得 f (x) = 0, 22 12 x = a-1-a +1,x = a-1+a +1 当x变化时,f(x),f(x) 的变化如下表: 课堂练习 x ),( 1 x 1 x ),( 21 xx 2 x),( 2 x )(x f )(xf 所以当 时，f(
9、x)取得最小值. 11 2 aax 1 ( )21(0),fxxx x ( )fx 2、设函数 则 A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 B 课堂练习 （ ） 1. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在-2 , 2上有最大值3，函数在-2 , 2上的最小值_. -37 2. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_. -3 课堂练习 3. 函数f(x)=x -3x+1在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是（ ） A.1，1 B. 1，-17 C. 3，-17 D. 9，-19 C 课堂练习 4. 函数f(x)的定义域为R，
10、导函数f (x)的图象如图，则函数f(x) （ ） A.无极大值点，有两个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点 C x o y 课堂练习 5. 求函数 在区间-1，3上的最大值与最小值. 2 2 x -5x+6 f(x)= x +1 令 ,得 解: 2 22 5(x -2x-1) f (x)=. (x +1) ( )0fx 1212 x =1- 2,x =1+ 2,x ,x-1,3.且 课堂练习 相应的函数值为: 7+5 27-5 2 f(1- 2)=,f(1+ 2)=. 22 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 比较得, f(x)在点 处取得最大值 在点 处取得最小值 1 x =1- 2 7+5 2 ; 2 2 x =1+ 2 7-5 2 . 2 一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数y=f(x)在a,b内的极值； （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值. 课堂小结 函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是 在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.
