1、2020-2021 学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC4，则 sinA 的值是（ ） A B C D 2若，则的值是（ ） A B2 C D1 3如图，直线 l1l2l3，直线 l4，l5被直线 l1，l2，l3所截，截得的线段分别为 AB，BC，DE，EF若 AB 4，BC6，DE3，则 EF 的长是（ ） A4 B4.5 C
2、5 D5.5 4将抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是（ ） Ay2（x+1）2+3 By2（x1）23 Cy2（x+1）23 Dy2（x1）2+3 5如图，点 A 是函数 y（x0）图象上的一点，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足为 B，C，则四 边形 ABOC 的面积是（ ） A3 B6 C12 D24 6如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E若A30，AC2，则 CD 的长是（ ） A4 B C2 D 7抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，且对称轴为直线 x1，其部分图象如图所示下列说法正确的 是（ ） Aac0
3、 Bb24ac0 C9a3b+c0 Dam2+bmab（其中 m1） 8如图，AB 是O 的直径，点 P 是O 上一个动点（点 P 不与点 A，B 重合） ，在点 P 运动的过程中，有 如下四个结论： 至少存在一点 P，使得 PAAB； 若，则 PB2PA； PAB 不是直角； POB2OPA 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9已知反比例函数 y的图象分布在第二、第四象限，则 m 的取值范围是 10如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线的交点，则ABC 与BCD 的大小关系为：
4、 ABC BCD（填“” ， “”或“” ） 11抛物线 y3（x2）24 的顶点坐标是 12如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，BD 是 AC 边上的中线，则 tanADB 的值是 13若扇形的圆心角为 120，半径为 2，则该扇形的面积是 （结果保留 ） 14 请你写出一个函数， 使得当自变量x0时， 函数y随x的增大而增大， 这个函数的解析式可以是 15如图，在ABC 中，ABAC，将ABC 以点 A 为中心顺时针旋转，得到AED，点 D 在 BC 上，DE 交 AB 于点 F如下结论中， DA 平分EDC； AEFDBF； BDFCAD； EFBD 所有正确结论的序号是 16已
5、知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两点若 P（5，y1） ，Q（m，y2）是抛物 线上的两点，且 y1y2，则 m 的取值范围是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 52 分，第分，第 17-21 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 23-25 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写分）解答应写 出文字说明、演算步骤或证明过程出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算：2sin45+|1|tan60+（2）0 18 （5 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点（1，4） ， （0，3） （1）求抛物线的解析式；
6、 （2）求抛物线与 x 轴的交点坐标 19 （5 分）下面是小青设计的“作一个 30角”的尺规作图过程 已知：线段 AB 求作：APB，使得APB30 作法： 分别以点 A，B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； 以点 C 为圆心，CA 的长为半径作C； 在优弧 AB 上任意取一点 P（点 P 不与点 A，B 重合） ，连接 PA，PB 则APB 就是所求作的角 根据小青设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：连接 AC，BC ACBCAB， ABC 是等边三角形 ACB P 是优弧 AB 上一点， APBACB（
7、 ） （填写推理依据） APB30 20 （5 分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度如图，在树前的平地上选择一点 C， 测得树的顶端 A 的仰角为 30，在 C，B 间选择一点 D（C，D，B 三点在同一直线上） ，测得树的顶端 A 的仰角为 75，CD 间距离为 20m，求这棵树 AB 的高度 （结果保留根号） 21 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykx+1（k0）与函数 y（x0）的图象 G 交 于点 A（1，2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k，m 的值； （2）点 P 为图象 G 上一点，过点 P 作 x 轴的平行线 PQ 交直线 l
8、于点 Q，作直线 PA 交 x 轴于点 C，若 SAPQ：SACB1：4，求点 P 的坐标 22 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 O 为圆心，OC 的长为半径的O 与 AC，CD 分别交于点 E，F，且DAFBAC （1）求证：直线 AF 与O 相切； （2）若 tanDAF，AB4，求O 的半径 23 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+a+1（a0）的对称轴为直线 x1 （1）用含有 a 的代数式表示 b； （2）求抛物线顶点 M 的坐标； （3）横、纵坐标都是整数的点叫整点过点 P（0，a）作 x 轴的平行线交抛物线于 A
9、，B 两点记抛物 线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 围成的区域（不含边界）为 W 当 a1 时，直接写出区域 W 内整点的个数； 若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围 24 （7 分）在 RtABC 中，C90，BAC30，D 是射线 CA 上一点，连接 BD，以点 B 为中心， 将线段 BD 顺时针旋转 60，得到线段 BE，连接 AE （1）如图 1，当点 D 在线段 CA 上时，连接 DE，若 DEAB，则线段 AE，BE 的数量关系是 ； （2）当点 D 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图形 2 探究线段 AE，BE 的数量关系，并证明； 直接写
10、出线段 CD，AB，AE 之间的数量关系 25 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知线段 AB 和点 P，给出如下定义：若 PAPB 且点 P 不在线段 AB 上，则称点 P 是线段 AB 的等腰顶点特别地，当APB90时，称点 P 是线段 AB 的非锐角等腰 顶点 （1）已知 A（2，0） ，B（4，2） 在点 C（4，0） ，D（3，1） ，E（1，5） ，F（0，5）中，是线段 AB 的等腰顶点的是 ； 若点 P 在直线 ykx+3（k0）上，且点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点，求 k 的取值范围； （2）直线 yx+与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 NP 的圆心为
11、P（0，t） ，半径为，若P 上存在线段 MN 的等腰顶点，请直接写出 t 的取值范围 2020-2021 学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC4，则 sinA 的值是（ ） A B C D 【分析】根据正弦的定义解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC4， 则 si
12、nA， 故选：A 2若，则的值是（ ） A B2 C D1 【分析】直接利用已知得出 xy，进而代入化简得出答案 【解答】解：， xy， 则 故选：A 3如图，直线 l1l2l3，直线 l4，l5被直线 l1，l2，l3所截，截得的线段分别为 AB，BC，DE，EF若 AB 4，BC6，DE3，则 EF 的长是（ ） A4 B4.5 C5 D5.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可 【解答】解：直线 l1l2l3， ， AB4，BC6，DE3， ， EF4.5， 故选：B 4将抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是（ ） Ay2（x+1）2+3
13、 By2（x1）23 Cy2（x+1）23 Dy2（x1）2+3 【分析】由抛物线平移不改变二次项系数 a 的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动 后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后，那么新抛物线的 顶点为： （1，3） 可设新抛物线的解析式为 y2（xh）2+k，代入得 y2（x1）2+3 故选：D 5如图，点 A 是函数 y（x0）图象上的一点，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足为 B，C，则四 边形 ABOC 的面积是（ ） A3 B6 C12 D24 【分析】直
14、接根据反比例函数比例系数 k 的几何意义求解 【解答】解：矩形 OABC 的面积|k|6 故选：B 6如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E若A30，AC2，则 CD 的长是（ ） A4 B C2 D 【分析】利用垂径定理得到 CEDE，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求出 CE，从而得到 CD 的长 【解答】解：ABCD， CEDE， 在 RtACE 中，A30， CEAC21， CD2CE2 故选：C 7抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，且对称轴为直线 x1，其部分图象如图所示下列说法正确的 是（ ） Aac0 Bb24ac0 C9a3b+c0 Dam2
15、+bmab（其中 m1） 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，则可对 A 选项进行判 断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ，则根据判别式的意义可对 B 选项进行判断；由于 x3 时，y0，则可对 C 选项错误；根据二次函数的最值问题可对 D 选项进行 判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c0， ac0，所以 A 选项错误； 抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ， b24ac0，
16、所以 B 选项错误； x3 时，y0， 9a3b+c0，所以 C 选项错误； x1 时，y 有最大值， am2+bm+cab+c， 即 am2+bmab，所以 D 选项正确 故选：D 8如图，AB 是O 的直径，点 P 是O 上一个动点（点 P 不与点 A，B 重合） ，在点 P 运动的过程中，有 如下四个结论： 至少存在一点 P，使得 PAAB； 若，则 PB2PA； PAB 不是直角； POB2OPA 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可 【解答】解：至少存在一点 P，使得 PAAB，错误不存在 若，则 PB2
17、PA，错误，应该是 PB2PA PAB 不是直角，正确 POB2OPA正确 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9已知反比例函数 y的图象分布在第二、第四象限，则 m 的取值范围是 m0 【分析】根据反比例函数的性质，结合图像所在的象限，求出 m 的取值范围 【解答】反比例函数图像在第二、四象限， m0 10如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线的交点，则ABC 与BCD 的大小关系为： ABC BCD（填“” ， “”或“” ） 【分析】连接 AC，BD，根据勾股定理得到 AC2BC2BD222+125，AB2CD232+1
18、210，求得 AC2+BC2AB2，BD2+BC2CD2，于是得到ABCBCD45，进而得到结论 【解答】解：连接 AC，BD， 根据勾股定理得到 AC2BC2BD222+125，AB2CD232+1210， AC2+BC2AB2，BD2+BC2CD2， ABC 和BCD 都是等腰直角三角形， ABCBCD45 故答案为： 11抛物线 y3（x2）24 的顶点坐标是 （2，4） 【分析】直接由抛物线解析式可求得答案 【解答】解：y3（x2）24， 抛物线顶点坐标为（2，4） ， 故答案为： （2，4） 12如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，BD 是 AC 边上的中线，则 tanADB
19、 的值是 2 【分析】根据中线的性质和 ABAC，可得到 AD 与 AB 间关系，利用直角三角形的边角间关系可直接得 结论 【解答】解：BD 是 AC 边上的中线， ADAC ABAC， ADAB 在 RtABD 中， tanADB2 故答案为：2 13若扇形的圆心角为 120，半径为 2，则该扇形的面积是 （结果保留 ） 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可 【解答】解：n120，R2， S 故答案为 14 请你写出一个函数， 使得当自变量 x0 时， 函数 y 随 x 的增大而增大， 这个函数的解析式可以是 （答案不唯一） 【分析】直接利用反比例函数的性质得出答案 【解答】解：当自变量
20、x0 时，函数 y 随 x 的增大而增大， 只要反比例函数比例系数 k0 就符合题意， （答案不唯一） 故答案为： 15如图，在ABC 中，ABAC，将ABC 以点 A 为中心顺时针旋转，得到AED，点 D 在 BC 上，DE 交 AB 于点 F如下结论中， DA 平分EDC； AEFDBF； BDFCAD； EFBD 所有正确结论的序号是 【分析】根据旋转的性质对进行判断；利用“两角法”对中的相似三角形进行判断；利用三角形的 外角性质对进行判断；利用全等三角形判定的条件对进行判断 【解答】解：由旋转的性质知：ADAC，ADEC ADAC， ADCC ADCADE，即 DA 平分EDC 故符合
21、题意； EB，AFEBFD， AEFDBF 故符合题意； ADBADE+BDFC+CAD，ADEC， BDFCAD 故符合题意； FAD 不一定等于CAD，ADAD，ADCADE， 不能证明ADF 全等于ADC， 故 CD 不一定等于 DF DEDFBCCD 不一定成立，即无法证明 EFBD 故不符合题意 故答案是： 16已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两点若 P（5，y1） ，Q（m，y2）是抛物 线上的两点，且 y1y2，则 m 的取值范围是 1m5 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线 x1，即可求得点 P（5，y1）关 于
22、直线 x1 的对称点为（1，y1） ，根据点的坐标特征即可得出答案 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两点， 该抛物线的对称轴为直线 x1，函数图象开口向上， 点 P（5，y1）关于直线 x1 的对称点为（1，y1） ， y1y2， 1m5， 故答案为 1m5 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 52 分，第分，第 17-21 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 23-25 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写分）解答应写 出文字说明、演算步骤或证明过程出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算：2s
23、in45+|1|tan60+（2）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2+1+1 18 （5 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点（1，4） ， （0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与 x 轴的交点坐标 【分析】 （1）把两已知点的坐标代入 yx2+bx+c 中得到关于 b、c 的方程组，然后解方程组； （2）通过解方程 x22x30 可得到抛物线与 x 轴的交点坐标 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点（1，4） ， （0，3） ， ，解得， 抛物线解析式为 yx22x3； （2）当 y0
24、，则 x22x30解得 x11，x23， 抛物线与 x 轴的交点坐标是（1，0） ， （3，0） 19 （5 分）下面是小青设计的“作一个 30角”的尺规作图过程 已知：线段 AB 求作：APB，使得APB30 作法： 分别以点 A，B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； 以点 C 为圆心，CA 的长为半径作C； 在优弧 AB 上任意取一点 P（点 P 不与点 A，B 重合） ，连接 PA，PB 则APB 就是所求作的角 根据小青设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：连接 AC，BC ACBCAB， ABC 是等
25、边三角形 ACB 60 P 是优弧 AB 上一点， APBACB（ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ） （填写推理依据） APB30 【分析】 （1）根据小青设计的尺规作图过程，即可补全图形； （2） 根据作图过程可得ABC 是等边三角形， 再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 即 可完成证明 【解答】解： （1）补全的图形如图所示： （2）证明：如图，连接 AC，BC ACBCAB， ABC 是等边三角形 ACB60 P 是优弧 AB 上一点， APBACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） APB30 故答案为：60；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
26、的一半 20 （5 分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度如图，在树前的平地上选择一点 C， 测得树的顶端 A 的仰角为 30，在 C，B 间选择一点 D（C，D，B 三点在同一直线上） ，测得树的顶端 A 的仰角为 75，CD 间距离为 20m，求这棵树 AB 的高度 （结果保留根号） 【分析】作 DEAC，垂足为 E，根据特殊角三角函数即可求出结果 【解答】解：如图，作 DEAC，垂足为 E， 在 RtCED 中， sinC，C30，CD20m， DE10m cosC， CE10（m） ADB 是ACD 的外角， ADB75，C30， CAD45 在 RtADE 中， ta
27、nEAD， AE10m ACAE+CE（10+10）m 在 RtABC 中，sinC， AB（5+5）m 答：这棵树 AB 的高度是（5+5）m 21 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykx+1（k0）与函数 y（x0）的图象 G 交 于点 A（1，2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k，m 的值； （2）点 P 为图象 G 上一点，过点 P 作 x 轴的平行线 PQ 交直线 l 于点 Q，作直线 PA 交 x 轴于点 C，若 SAPQ：SACB1：4，求点 P 的坐标 【分析】 （1）根据待定系数法求得即可； （2）分两种情况讨论，通过证得APQACB，从而得到，
28、即可求得 P 点的坐标 【解答】解： （1）将点 A（1，2）代入 ykx+1（k0）中，得 k+12， k1， 将点 A（1，2）代入 y（x0）中得 m2； （2）当点 P 在点 A 下方时， 过点 A 作 AGx 轴，交直线 PQ 于点 H， PQ 平行于 x 轴， APQACB， ， ， 点 A（1，2） ， 点 P 纵坐标为 1 m2， P 点坐标为（2，1） 当点 P 在点 A 上方时， 过点 A 作 AGx 轴，交直线 PQ 于点 H PQ 平行于 x 轴， APQACB （）2， ， 点 A（1，2） ， P 点纵坐标为 3 代入得， P 点坐标为， P 点坐标为（2，1）或（
29、，3） 22 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 O 为圆心，OC 的长为半径的O 与 AC，CD 分别交于点 E，F，且DAFBAC （1）求证：直线 AF 与O 相切； （2）若 tanDAF，AB4，求O 的半径 【分析】 （1） 连接 OF 由等腰三角形的性质得出OCFOFC 由矩形的性质得出BDDCB 90证得AFO90则可得出结论； （2） 由勾股定理求出 AC2， 求出 AF 的长， 设O 的半径为 r， 由勾股定理得出 （2r） 2r2+12， 解方程可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OF OCOF， OCFOFC 四边形 ABCD 是矩
30、形， BDDCB90 又DAFBAC， AFDACB， ACB+ACD90， AFD+OFC90 AFO90 OFAF 于 F 直线 AF 与O 相切； （2）解：tanDAF，DAFBAC， tanBAC B90， tanBAC AB4， BC2， 又四边形 ABCD 是矩形， BCAD2 又D90，tanDAF， DFADtanDAF22 AF2 设O 的半径为 r，在 RtAFO 中，AFO90 OA2OF2+AF2 即（2r）2r2+12 解得 r O 的半径为 23 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+a+1（a0）的对称轴为直线 x1 （1）用含有 a
31、的代数式表示 b； （2）求抛物线顶点 M 的坐标； （3）横、纵坐标都是整数的点叫整点过点 P（0，a）作 x 轴的平行线交抛物线于 A，B 两点记抛物 线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 围成的区域（不含边界）为 W 当 a1 时，直接写出区域 W 内整点的个数； 若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据对称轴公式即可求得； （2）把 b2a 代入 yax2+bx+a+1 得：yax22ax+a+1把解析式化成顶点式即可求得； （3）当 a1 时，抛物线经过原点，此点关于对称轴的对称点为（2，0） ，画出图象，根据图象， 即可求得； 分两种
32、情况，当抛物线过（1，0）时和当抛物线过（0，2）时，画出函数的图象，结合图象确定 有 3 个整数点时 a 的值，进而确定 a 的范围 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+a+1（a0）的对称轴为直线 x1 ， b2a； （2）把 b2a 代入 yax2+bx+a+1 得：yax22ax+a+1， 配方得：ya（x1）2+1 顶点 M（1，1） ； （3）当 a1 时，a+10， 抛物线与 y 轴的交点为（0，0） ，此点关于对称轴的对称点为（2，0） ，如图 1， 由图象可知，区域 W 内整点有（1，0）1 个； 由得，a1 时，区域 W 内有 1 个整点 （）当抛物线过（1，0）时
33、，区域 W 内恰有 3 个整点如图 2， 将（1，0）代入 yax22ax+a+1， 得， 结合图象可得，； （）当抛物线过（0，2）时，区域 W 内恰有 3 个整点如图 3， 将（0，2）代入 yax22ax+a+1， 得 a3 综上所述，a 的值范围是或 a3 24 （7 分）在 RtABC 中，C90，BAC30，D 是射线 CA 上一点，连接 BD，以点 B 为中心， 将线段 BD 顺时针旋转 60，得到线段 BE，连接 AE （1） 如图 1， 当点 D 在线段 CA 上时， 连接 DE， 若 DEAB， 则线段 AE， BE 的数量关系是 AEBE ； （2）当点 D 在线段 CA
34、 的延长线上时，依题意补全图形 2 探究线段 AE，BE 的数量关系，并证明； 直接写出线段 CD，AB，AE 之间的数量关系 【分析】 （1）由旋转的性质得出 BDBE，DBE60，由等腰三角形的性质得出DBADAB， 得出 DE 是 AB 的垂直平分线，则可得出结论； （2）由题意补全图形， 过点 E 作 EMAB 于 M证明DBCEBM（AAS） 由全等三角形的性质得出 BCBM，由直角 三角形的性质得出 BMAB，可得出 ME 是 AB 的垂直平分线，则可得出结论； 由得出 AEBD，根据勾股定理可得出答案 【解答】解： （1）AEBE 将线段 BD 顺时针旋转 60，得到线段 BE，
35、 BDBE，DBE60， DBE 为等边三角形， DEAB， DBADBE30， BAC30， DBADAB， DADB， DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE； 故答案为：AEBE （2）依题意补全图形： AEBE 如图 3，过点 E 作 EMAB 于 M 将线段 BD 顺时针旋转 60，得到线段 BE， EBD60，BDBE， DBCABC+ABD60+ABD， EBMEBD+ABD60+ABD， DBCEBM 在DBC 与EBM 中， ， DBCEBM（AAS） BCBM 在ABC 中，C90，BAC30， BCAB BMAB EM 垂直平分 AB AEBE CD2+ DBCEBM，
36、 BDBE， AEBE， AEBD， DCB90， CD2+BC2BD2， BCAB， CD2+AE2 25 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知线段 AB 和点 P，给出如下定义：若 PAPB 且点 P 不在线段 AB 上，则称点 P 是线段 AB 的等腰顶点特别地，当APB90时，称点 P 是线段 AB 的非锐角等腰 顶点 （1）已知 A（2，0） ，B（4，2） 在点 C（4，0） ，D（3，1） ，E（1，5） ，F（0，5）中，是线段 AB 的等腰顶点的是 C，E ； 若点 P 在直线 ykx+3（k0）上，且点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点，求 k 的取值范围； （2
37、）直线 yx+与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 NP 的圆心为 P（0，t） ，半径为，若P 上存在线段 MN 的等腰顶点，请直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）根据点 P 是线段 AB 的等腰顶点的定义判断即可 根据点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点的定义，求出三种特殊情形的 k 的值，利用图象法判断即可 （2）如图 3 中，作线段 MN 的垂直平分线，当P 与线段 MN 的垂直平分线有交点（线段 MN 的中点除 外）时，满足条件求出相切时，点 P 是的坐标，即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， 根据图象结合点 P 是线段 AB 的等腰顶点的定义可知，点 C，E 是线段 AB 的等腰顶点 故答案为：C，E （）当点（4，0）在直线 ykx+3 上时，4k+30，k （）当点（3，1）在直线 ykx+3 上时，3k+31，k （）当点（2，2）在直线 ykx+3 上时，2k+32，k 结合图象可知满足条件的 k 的值为：且 （2）如图 3 中，作线段 MN 的垂直平分线，当P 与线段 MN 的垂直平分线有交点（线段 MN 的中点除 外）时，满足条件 当P 与线段 MN 的垂直平分线相切时，P（0，）和 P（0，3） ， 观察图像可知，满足条件的 t 的值为：3t
