1、2020-2021 学年浙江省杭州市拱墅区、钱塘新区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区、钱塘新区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 3 分，共分，共 30 分分 1任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ） A朝上一面的点数大于 2 B朝上一面的点数为 3 C朝上一面的点数是 2 的倍数 D朝上一面的点数是 3 的倍数 2若二次函数 yax2（a0）的图象过点（2，3） ，则必在该图象上的点还有（ ） A （3，2） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 3如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，则（ ） A
2、 B C D 4若四边形 ABCD 是圆内接四边形，则它的内角A，B，C，D 的度数之比可能是（ ） A3：1：2：5 B1：2：2：3 C2：7：3：6 D1：2：4：3 5在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ） A没有发生变化 B放大了 10 倍 C放大了 30 倍 D放大了 100 倍 6如图，在O 中，弦 AC 与半径 OB 交于点 D，连接 OA，BC，若B60，ADB116，则AOB 的度数为（ ） A132 B120 C112 D110 7已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是二次函数 y2x28x+m 图象上的点，则（ ） Ay2y
3、1y3 By2y3y1 Cy1y2y3 Dy3y2y1 8如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，DEBC 交 AC 于点 E，连接 BE，DFBE 交 AC 于点 F若 AF 3，CF5，则DEF 与BDE 的面积之比为（ ） A B C D 9如图，AB 是O 的弦（非直径） ，点 C 是弦 AB 上的动点（不与点 A、B 重合） ，过点 C 作垂直于 OC 的 弦 DE设O 的半径为 r，弦 AB 的长为 a，则弦 DE 的长（ ） A与 r，a，m 的值均有关 B只与 r，a 的值有关 C只与 r，m 的值有关 D只与 a，m 的值有关 10已知二次函数 yax2+bx1（a，b
4、是常数，a0）的图象经过 A（2，1） ，B（4，3） ，C（4，1）三 个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 yx1 上，则平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的（ ） A最大值为1 B最小值为1 C最大值为 D最小值为 二、填空题：每题二、填空题：每题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）由 4a7b，可得比例式 12 （4 分）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数 n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数 m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2
5、850 发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95 估计该麦种的发芽概率约为 13 （4 分）如图，折扇的骨柄长为 30cm，扇面宽度为 18cm，折扇张开的角度为 120，则扇面外端的 长为 cm，折扇扇面的面积为 cm2 （结果保留 ） 14 （4 分）一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度 h（米）与经过的时间 t（秒）满足的函数关 系为 h15t5t2，则该球从弹起至回到地面的时间需 秒，它距离地面的最大高度为 米 15 （4 分）如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背 AO 与地面垂直，为了使座椅更舒适，现调整靠背， 把 OA绕点
6、 O旋转到OA处， 若 AOm， AOA， 则调整后点 A比调整前点 A的高度降低了 （用 含 m， 的代数式表示） 16 （4 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，B45，点 D 为边 AB 的中点，点 E 在边 AC 上， 将ADE 沿 DE 折叠得到FDE若 FEAC，则的值为 ；的值为 三、解答题：三、解答题：7 小题，共小题，共 66 分分 17现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个 0 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将 它们背面朝上洗均匀 （1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是 0 的概率为多少？ （2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机
7、抽取一张记下数字，求前后两 次抽取的数字之积为 0 的概率 （用列表法或画树状图求解） 18如图，小锋将一架 4 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，使梯子与地面所成的锐角 为 60 （1）求梯子的顶端与地面的距离 AC（结果保留根号） ； （2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置，使其与地面所成的锐角 为 70，则需 将梯子底端点 B 向内移动多少米？（结果精确到 0.1 米） 参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75 19已知二次函数 y（x+m） （x1）的图象经过点（2，3） （1）求这个二次函数的表达式 （2）画出这个函数的图象，并利
8、用图象解决下列问题： 直接写出方程（x+m） （x1）3 的解 当 x 满足什么条件时，y0 20如图，AB 是O 的直径，四边形 ABCD 内接于O，OD 交 AC 于点 E，ADCD （1）求证：ODBC； （2）若 AC10，DE4，求 BC 的长 21如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 E，点 F 在 BD 上，且BAFDBC， （1）求证：ABCAFD； （2）若 AD2，BC5，ADE 的面积为 20，求BCE 的面积 22在平面直角坐标系中，设二次函数 yax2+bx3a（a，b 是实数，a0） （1）判断该函数图象与 x 轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函
9、数图象的对称轴为直线 x1，A（x1，y1） ，B（x2，y2）为函数 y 图象上的任意两点，其中 x1x2，求当 x1，x2为何值时，y1y25a； （3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，1） ，当 ab 时，求 2a+b 的取值范围 23如图，在锐角三角形 ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，连接 AO，BO，延长 BO 交 AC 于点 D （1）求证：AO 平分BAC； （2）若O 的半径为 5，AD6，设ABO 的面积为 S1，BCD 的面积为 S2，求的值 （3）若m，求 cosBAC 的值（用含 m 的代数式表示） 2020-2021 学年浙江省杭州市拱墅区、钱
10、塘新区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区、钱塘新区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 3 分，共分，共 30 分分 1任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ） A朝上一面的点数大于 2 B朝上一面的点数为 3 C朝上一面的点数是 2 的倍数 D朝上一面的点数是 3 的倍数 【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可 【解答】解：A、朝上一面的点数大于 2 的可能性的大小是， B、朝上一面的点数是 3 的可能性的大小是， C、朝上一面的点数是 2 的倍数的可能性为， D、朝上一面的点数是 3
11、 的倍数的可能性为 可能性最大的是 A， 故选：A 2若二次函数 yax2（a0）的图象过点（2，3） ，则必在该图象上的点还有（ ） A （3，2） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 【分析】根据二次函数的对称性即可判断 【解答】解：二次函数 yax2（a0）的图象的对称轴为 y 轴， 点（2，3）关于对称轴的对称点为（2，3） ， 点（2，3）必在该图象上， 故选：B 3如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，则（ ） A B C D 【分析】先利用勾股定理计算出 AB，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断 【解答】解：C90，AC4，BC3， AB5， si
12、nAcosB，cosA，tanB 故选：B 4若四边形 ABCD 是圆内接四边形，则它的内角A，B，C，D 的度数之比可能是（ ） A3：1：2：5 B1：2：2：3 C2：7：3：6 D1：2：4：3 【分析】根据圆内接四边形的性质得出A+CB+D180，再逐个判断即可 【解答】解：四边形 ABCD 是圆内接四边形， A+C180，B+D180， A+CB+D， AA：B：C：D3：1：2：5， A+CB+D，故本选项不符合题意； BA：B：C：D1：2：2：3， A+CB+D，故本选项不符合题意； CA：B：C：D2：7：3：6， A+CB+D，故本选项不符合题意； DA：B：C：D1：2
13、：4：3， A+CB+D，故本选项符合题意； 故选：D 5在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ） A没有发生变化 B放大了 10 倍 C放大了 30 倍 D放大了 100 倍 【分析】直接利用相似图形的性质得出答案 【解答】解：在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大 10 倍，故三角形的周长放 大了 10 倍 故选：B 6如图，在O 中，弦 AC 与半径 OB 交于点 D，连接 OA，BC，若B60，ADB116，则AOB 的度数为（ ） A132 B120 C112 D110 【分析】利用三角形的外角的性质求出C 即可解决问题 【解答】解：
14、ADBB+C, C1166056, AOB2C112, 故选：C 7已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是二次函数 y2x28x+m 图象上的点，则（ ） Ay2y1y3 By2y3y1 Cy1y2y3 Dy3y2y1 【分析】把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断 y1，y2，y3的 大小 【解答】解：y2x28x+m2（x+2）2+8+m， 抛物线开口向下，对称轴为 x2， （3，y1） ， （2，y2）与（1，y3）三点中，点（3，y1）离对称轴较近，点（2，y2）在对称轴 上，点（1，y3）离对称轴较远， y3y1y2 故选：A 8如图，
15、在ABC 中，点 D 在边 AB 上，DEBC 交 AC 于点 E，连接 BE，DFBE 交 AC 于点 F若 AF 3，CF5，则DEF 与BDE 的面积之比为（ ） A B C D 【分析】设 EFx，先判定ADEABC，DFEBEC，然后根据相似三角形性质列比例式求解即 可 【解答】解：设 EFx， DEBC，DFBE， ADEABC，DFEBEC， ， ， 解得：x1，x23（舍去） ， AE3+32， DEBC， ， 故选：B 9如图，AB 是O 的弦（非直径） ，点 C 是弦 AB 上的动点（不与点 A、B 重合） ，过点 C 作垂直于 OC 的 弦 DE设O 的半径为 r，弦 A
16、B 的长为 a，则弦 DE 的长（ ） A与 r，a，m 的值均有关 B只与 r，a 的值有关 C只与 r，m 的值有关 D只与 a，m 的值有关 【分析】连接 AD、BE，如图，根据垂径定理得到 CECD，利用得到 AC，BC，再 证明ADCEBC，利用相似比得 CD2ACBC，所以DE2，从而可判断弦 DE 的长只 与 a、m 有关 【解答】解：连接 AD、BE，如图， OCDE， CECD， ， AC，BC， DB，AE， ADCEBC， CD：BCEC：AC， CD2ACBC， DE2， DE2， 弦 DE 的长只与 a、m 有关 故选：D 10已知二次函数 yax2+bx1（a，b
17、是常数，a0）的图象经过 A（2，1） ，B（4，3） ，C（4，1）三 个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 yx1 上，则平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的（ ） A最大值为1 B最小值为1 C最大值为 D最小值为 【分析】先判断抛物线经过点 A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的 解析式，令 x0，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论 【解答】解：A（2，1） ，B（4，3）在直线 yx1 上， A 或 B 是抛物线的顶点， B（4，3） ，C（4，1）的横坐标相同， 抛物线不会同时经过 B、C 点， 抛
18、物线过点 A 和 C 两点， 把 A（2，1） ，C（4，1）代入 yax2+bx1 得， 解得， 二次函数为 yx2+2x1（x2）2+1， 顶点始终在直线 yx1 上， 抛物线向左、向下平移的距离相同， 设平移后的抛物线为 y（x2+m）2+1m， 令 x0，则 y（2+m）2+1m， 抛物线与 y 轴交点纵坐标最大值为， 故选：C 二、填空题：每题二、填空题：每题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）由 4a7b，可得比例式 a：b7：4 【分析】直接由等积式化为比例式即可解决问题 【解答】解：4a7b， a：b7：4 故答案为：a：b7：4 12 （4 分）在同样条件下对某种
19、小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数 n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数 m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850 发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95 估计该麦种的发芽概率约为 0.95 【分析】根据 4 批次种子粒数从 500 粒增加到 3000 粒时，种子发芽的频率趋近于 0.95，所以估计种子发 芽的概率为 0.95 【解答】解：种子粒数 3000 粒时，种子发芽的频率趋近于 0.95， 估计种子发芽的概率为 0.95 故答
20、案为：0.95 13 （4 分）如图，折扇的骨柄长为 30cm，扇面宽度为 18cm，折扇张开的角度为 120，则扇面外端的 长为 20 cm，折扇扇面的面积为 252 cm2 （结果保留 ） 【分析】求出 OC 的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积 即可 【解答】解： OAOB30cm，ACBD18cm， OCOD301812（cm） ， 折扇张开的角度为 120， 扇面外端的长为20（cm） ， 折扇扇面的面积为252（cm2） ， 故答案为：20，252 14 （4 分）一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度 h（米）与经过的时间 t（秒）满足的
21、函数关 系为 h15t5t2，则该球从弹起至回到地面的时间需 3 秒，它距离地面的最大高度为 米 【分析】在 h15t5t2中，令 h0 得关于 t 的一元二次方程，求得方程的解则可得球从弹起至回到地 面的时间；将 h15t5t2写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解：在 h15t5t2中，令 h0 得： 15t5t20， 5t（3t）0， t10，t23， 该球从弹起至回到地面的时间需 303(秒)； h15t5t2 5（t）2+， 当 t时，h 有最大值，即它距离地面的最大高度为米 故答案为：3， 15 （4 分）如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背 AO 与地面垂直，为了使座
22、椅更舒适，现调整靠背， 把 OA 绕点 O 旋转到 OA处，若 AOm，AOA，则调整后点 A比调整前点 A 的高度降低了 m mcos （用含 m， 的代数式表示） 【分析】作 ABAO 于 B，通过解余弦函数求得 OB，然后根据 ABOAOB 求得即可 【解答】解：如图，ABAO 于 B， 根据题意 OAOAm，AOA， 作 ABAO 于 B， OBOAcosmcos， ABOAOBmmcos 故答案为：mmcos 16 （4 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，B45，点 D 为边 AB 的中点，点 E 在边 AC 上， 将ADE 沿 DE 折叠得到FDE若 FEAC，则的值为 ；的值为
23、 【分析】证明AEDABC，得出比例线段，设 AB6x，AC5x，求出 AEx，EC ，则可求出的值，过点 A 作 AMBC 于点 M，则 AMBM3x，由相似三角形的性质及勾 股定理求出 AF，DE，则可得出答案 【解答】解：FEAC，将ADE 沿 DE 折叠得到FDE， AEDFED45， B45， BAED， 又DAEBAC 同， AEDABC， ， 设 AB6x，AC5x， D 为 AB 的中点， AD3x， ， AEx， ECACAE5xxx， 过点 A 作 AMBC 于点 M，则 AMBM3x， AEDABC， ， ANx， AF2ANx， 在 RtACM 中，CMx， BC（3+
24、）x， DEBCx， 故答案为：， 三、解答题：三、解答题：7 小题，共小题，共 66 分分 17现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个 0 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将 它们背面朝上洗均匀 （1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是 0 的概率为多少？ （2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两 次抽取的数字之积为 0 的概率 （用列表法或画树状图求解） 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 9 个等可能的结果，前后两次抽取的数字之积为 0 的结果有 5 个，再由概率公式求 解即可 【解答】解： （
25、1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是 0 的概率为； （2）画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，前后两次抽取的数字之积为 0 的结果有 5 个， 前后两次抽取的数字之积为 0 的概率为 18如图，小锋将一架 4 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，使梯子与地面所成的锐角 为 60 （1）求梯子的顶端与地面的距离 AC（结果保留根号） ； （2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置，使其与地面所成的锐角 为 70，则需 将梯子底端点 B 向内移动多少米？（结果精确到 0.1 米） 参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75 【分析】 （1）根
26、据正弦三角函数即可得到结论； （2）在 RtABC 中，根据余弦三角函数求得 BC，在 RtCDE 中，由余弦三角函数求得 CE，则 BE BCEC 即为题目要求的距离 【解答】解： （1）在 RtABC 中， AB4 米，ABC60，sin， ACABsin4sin6042（米） ， 答：这个梯子的顶端距地面 AC 是 2米； （2）在 RtABC 中， cos， BCABcos4cos6042（米） ， 小锋调整了梯子的位置后，梯子顶端在 D 位置，底端在 E 位置， 在 RtDEC 中， DEAB4 米，AEC70，cosAEC， ECDEcos7040.341.36（米） ， BEBC
27、EC21.360.64（米） ， 答：需将梯子底端点 B 向内移动 0.64 米 19已知二次函数 y（x+m） （x1）的图象经过点（2，3） （1）求这个二次函数的表达式 （2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题： 直接写出方程（x+m） （x1）3 的解 当 x 满足什么条件时，y0 【分析】 （1）将点（2，3）的坐标代入 y（x+m） （x1）并解得 m5，即可求解； （2）观察函数和 y3 的交点，即可求解；观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）将点（2，3）的坐标代入 y（x+m） （x1）并解得 m5， 故抛物线的表达式为 y（x5） （x1）x26x+5； （2）
28、从函数的表达式看，函数的对称轴为 x3，则点（2，3）的对称点为（4，3） ，抛物线和 y 轴 的交点为（0，5） ，抛物线的 x 轴的交点为（1，0） 、 （5，0） ， 根据上述 5 个点描点、连线绘制函数图象如下： 从图象看，y3 和抛物线的交点的横坐标为 x2 或 4， 即方程（x+m） （x1）3 的解为 x2 或 4； 从图象看，当 x1 或 x5 时，y0 20如图，AB 是O 的直径，四边形 ABCD 内接于O，OD 交 AC 于点 E，ADCD （1）求证：ODBC； （2）若 AC10，DE4，求 BC 的长 【分析】 （1）这部分证明AEOACB90，可得结论 （2）利用
29、勾股定理求出半径 r，再求出 OE，利用三角形的中位线定理可得结论 【解答】 （1）证明：ADDC， ， ODAC， AEO90， AB 是直径， ACB90， AEOACB， ODBC （2）解：ODAC， AEEC5， 设 OAODr， 在 RtAOE 中，OA2AE2+OE2， r252+（r4）2， r， OErDE4， AEEC，AOOB， BC2OE 21如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 E，点 F 在 BD 上，且BAFDBC， （1）求证：ABCAFD； （2）若 AD2，BC5，ADE 的面积为 20，求BCE 的面积 【分析】 （1）由AFDABC，即可得
30、出ABCAFD； （2）证明AEDBEC，得，从而可得结论 【解答】解： （1）证明：BAFDBC， BAF+ABFDBC+ABF， 即AFDABC， ， ABCAFD， （2）由（1）得：ABCAFD， ADEACB， AEDBEC， AEDBEC， AD2，BC5， ， SADE20， SBCE125 22在平面直角坐标系中，设二次函数 yax2+bx3a（a，b 是实数，a0） （1）判断该函数图象与 x 轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线 x1，A（x1，y1） ，B（x2，y2）为函数 y 图象上的任意两点，其中 x1x2，求当 x1，x2为何值时，y1y2
31、5a； （3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，1） ，当 ab 时，求 2a+b 的取值范围 【分析】 （1）b24a（3a）b2+12a20，即可求解； （2）yax2+bx3aax22ax3a，当 y1y25a 时，即 yax22ax3a5a，即可求解； （3）由（1）知，函数图象与 x 轴的交点个数为 2 且图象的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即 a 0，进而求解 【解答】解： （1）b24a（3a）b2+12a20， 故函数图象与 x 轴的交点个数为 2； （2）x1，则 b2a， 则抛物线表达式为 yax2+bx3aax22ax3a， 当 y1y25a 时，即 yax2
32、2ax3a5a， 解得 x4 或2， 则 x12，x24； （3）将（1，1）代入抛物线表达式得：1a+b3a，则 b2a+1， ab，故 a2a+1，解得 a1， 则抛物线的表达式为 yyax2+（2a+1）x3a， 由（1）知，函数图象与 x 轴的交点个数为 2 且图象的顶点在第二象限， 则抛物线开口向下，即 a0， 则函数的对称轴 x0， 解得 a， 故1a， 故34a+11， ，即 2a+b 的取值范围：32a+b1 23如图，在锐角三角形 ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，连接 AO，BO，延长 BO 交 AC 于点 D （1）求证：AO 平分BAC； （2）若O 的半径
33、为 5，AD6，设ABO 的面积为 S1，BCD 的面积为 S2，求的值 （3）若m，求 cosBAC 的值（用含 m 的代数式表示） 【分析】 （1）过点 O 作 OMAB 于点 M，作 ONAC 于点 N，然后根据角平分线的性质可得结论； （2）延长 AO 交 BC 于点 Q，延长 AQ 至 P，使 PQOQ，连接 CP、CO，根据全等三角形的判定与性 质可得OBQPCQ，CPBO5，SBOQSOPQ，再由相似三角形的判定与性质可得答案； （3）由（2）同理，设 CPBOAOr，然后利用三角函数即可得到答案 【解答】 （1）证明：过点 O 作 OMAB 于点 M，作 ONAC 于点 N， ABAC， OMON， OA 平分BAC （2）解：延长 AO 交 BC 于点 Q，延长 AQ 至 P，使 PQOQ，连接 CP、CO， ABAC 且 OA 平分BAC， APBC， BQOCQP90，BQCQ， BQOCQP（SAS） ， OBQPCQ，CPBO5，SBOQSOPQ， BOCP， OAOB， OBABAODAO， ADOBDA， ， 解得 OD4， BOCP， AODAPC， ， S1，S2S四边形CDOPSACFSAOD， （3）由（2）同理，设 CPBOAOr， m， PQPO， BAC2BAOBAO+ABOAODP，
