1、2020-2021 学年江西省上饶市余干县八校联考九年级（上）期末数学试卷学年江西省上饶市余干县八校联考九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 2点（1，4）在反比例函数 y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A （4，1） B （，1） C （4，1） D （，2） 3如图，P 是正ABC 内的一点，若将PBC 绕点 B 旋转到PBA，则PBP的度数是（ ） A45 B60 C90 D120 4关于 x 的一元二次方程 x22
2、x+m0 无实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 5如图，在O 中，BAC15，ADC20，则ABO 的度数为（ ） A70 B55 C45 D35 6小飞研究二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）性质时得到如下结论： 这个函数图象的顶点始终在直线 yx+1 上； 存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； 点 A（x1，y1）与点 B（x2，y2）在函数图象上，若 x1x2，x1+x22m，则 y1y2； 当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m2 其中错误结论的序号是（ ） A B C D 二
3、、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白 球的概率为 8在ABC 中，若，则C 的度数是 9如图，已知 A 为反比例函数（x0）的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，若OAB 的 面积为 2，则 k 的值为 10如图，O 与正六边形 OABCDE 的边 OA、OE 分别交于点 F、G，则所对的圆周角FPG 的大小为 度 11在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离如图，在一个路口， 一辆长为 10m
4、 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处， 小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行 驶 设小张距大巴车尾xm， 若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m， 红灯下沿高于小张的水平视线3.2m， 若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 12如图，矩形 ABCD 中，AB6，AD4，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 AB 上，FB2，P 是矩形上一 动点若点 P 从点 F 出发，沿 FADC 的路线运动，当FPE30时，FP 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13计算：tan60sin245+tan452cos30 14
5、如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的直角顶点 C 的坐标为（1，0） ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC 2将ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90，再向左平移 3 个单位，求变换后点 A 的对应点的坐标 15 （6 分）关于 x 的方程 x22x+2m10 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根 16 （6 分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设某校计划从前来应 聘的思政专业（一名研究生，一名本科生） 、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘 教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用
6、一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生 的概率 17 （6 分）已知点 A，B，C 在O 上，C30，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹） （1）在图中画一个含 30的直角三角形； （2）点 D 在弦 AB 上，在图中画一个含 30的直角三角形 18 （6 分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋” ，某市加快了廉租房的建设力度2017 年市 政府共投资 3 亿元人民币建设了廉租房 12 万平方米，2019 年投资 6.75 亿元人民币建设廉租房，若在这 两年内每年投资的增长率相同 （1）求每年
7、市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问 2019 年建设了多少万平方米廉租房？ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）如图，直线 yx 与反比例函数 y（x0）的图象相交于点 D，点 A 为直线 yx 上一点，过 点 A 作 ACx 轴于点 C，交反比例函数 y（x0）的图象于点 B，连接 BD （1）若点 B 的坐标为（8，2） ，则 k ，点 D 的坐标为 ； （2）若 AB2BC，且OAC 的面积为 18，求 k 的值及ABD 的面积 20 （8 分）如图 1 是一辆在平地上滑行的滑板车
8、，如图 2 是其示意图车杆 BC 固定，车杆 AB 可伸缩，车 杆 BC 长 92cm，车杆与脚踏板所成的角BCD70，前后轮子的半径均为 6cm （1）求固定车杆 BC 的上端 B 离地面的高度 （结果保留小数点后一位） （2）小明站在滑板车上，双手放在把手 A 处最舒适，此时把手 A 离地面的高度为 120cm，求伸缩杆 AB 的长度 （结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75） 21 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 DE，分别 交 BC，AC 交于点 F，G （1）求
9、证：BFCF； （2）若 BC6，DG4，求 FG 的长 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 22 （9 分）如图，A，B，C 三点在O 上，直径 BD 平分ABC，过点 D 作 DEAB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EFDE （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD4，DE5，求 DM 的长 23 （9 分）观察猜想 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，点 D 与点 C 重合，点 E 在斜边 AB 上，连 接 DE，且 DEAE，将线段
10、 DE 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DF，连接 EF，则 ，sin ADE ， 探究证明 （2）在（1）中，如果将点 D 沿 CA 方向移动，使 CDAC，其余条件不变，如图 2，上述结论是否保 持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由 拓展延伸 （3）如图 3， 在ABC 中，ACB90，CABa，点 D 在边 AC 的延长线上，E 是 AB 上任意一点， 连接 DEEDnAE，将线段 DE 绕着点 D 顺时针旋转 90至点 F，连接 EF求和 sinADE 的值分 别是多少？（请用含有 n，a 的式子表示） 六、 （本大题共六、 （本大题共 12 分）分） 24 （12
11、分）已知抛物线 yx2+2x+3 和抛物线 ynx2xn（n 为正整数） （1）抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴的交点 ，顶点坐标 （2）当 n1 时，请解答下列问题 直接写出 yn与 x 轴的交点 ，顶点坐标 ，请写出抛物线 y，yn的一条相同的图象性 质 当直线 yx+m 与 y，yn相交共有 4 个交点时，求 m 的取值范围 （3）若直线 yk（k0）与抛物线 yx2+2x+3，抛物线 ynx2xn（n 为正整数）共有 4 个 交点， 从左至右依次标记为点 A，点 B， 点 C，点 D，当 ABBCCD 时， 求出 k，n 之间满足的关系式 2020-2021 学年江西省上饶市余干县
12、八校联考九年级（上）期末数学试卷学年江西省上饶市余干县八校联考九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可 【解答】解：几何体的主视图为： 故选：C 2点（1，4）在反比例函数 y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A （4，1） B （，1） C （4，1） D （，2） 【分析】将点（1，4）代入 y，求出函数解析式即可解题； 【解答】解：将点（1，4
13、）代入 y， k4， y， 点（4，1）在函数图象上， 故选：A 3如图，P 是正ABC 内的一点，若将PBC 绕点 B 旋转到PBA，则PBP的度数是（ ） A45 B60 C90 D120 【分析】根据旋转的性质可得：PBCPBA，故PBCPBA，即可求解 【解答】解：PBPPBA+PBA， PBC+PBA， ABC， 60 故选：B 4关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 无实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】利用判别式的意义得到（2）24m0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得（2）24m0， 解得 m1 故选：D 5如图，在O 中
14、，BAC15，ADC20，则ABO 的度数为（ ） A70 B55 C45 D35 【分析】根据圆周角定理可得出AOB 的度数，再由 OAOB，可求出ABO 的度数 【解答】解：连接 OA、OC， BAC15，ADC20， AOB2（ADC+BAC）70， OAOB（都是半径） ， ABOOAB（180AOB）55 故选：B 6小飞研究二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）性质时得到如下结论： 这个函数图象的顶点始终在直线 yx+1 上； 存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； 点 A（x1，y1）与点 B（x2，y2）在函数图象上，若 x1x2，x
15、1+x22m，则 y1y2； 当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m2 其中错误结论的序号是（ ） A B C D 【分析】 根据函数解析式， 结合函数图象的顶点坐标、 对称轴以及增减性依次对 4 个结论作出判断即可 【解答】解：二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数） 顶点坐标为（m，m+1）且当 xm 时，ym+1 这个函数图象的顶点始终在直线 yx+1 上 故结论正确； 假设存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形 令 y0，得（xm）2m+10，其中 m1 解得：x1m，x2m+ 顶点坐标为（m，m+1） ，且顶点与 x
16、轴的两个交点构成等腰直角三角形 |m+1|m（m）| 解得：m0 或 1， 当 m1 时，二次函数 y（x1）2，此时顶点为（1，0） ，与 x 轴的交点也为（1，0） ，不构成三角 形，舍去； 存在 m0，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论正确； x1+x22m 二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）的对称轴为直线 xm 点 A 离对称轴的距离小于点 B 离对称轴的距离 x1x2，且 a10 y1y2 故结论错误； 当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，且 a10 m 的取值范围为 m2 故结论正确 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题
17、小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白 球的概率为 【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率 【解答】解：袋子里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球共 10 个球，从中摸出一个球是白球的概率是 ， 故答案为 8在ABC 中，若，则C 的度数是 120 【分析】根据非负数的性质可得 sinA，cosB，再根据特殊角三角函数值即可求出结果 【解答】解：根据题意可知： sinA0，cosB0， sinA，cosB， A30，B30， C180AB120 故答案为：120 9
18、如图，已知 A 为反比例函数（x0）的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，若OAB 的 面积为 2，则 k 的值为 4 【分析】利用反比例函数比例系数 k 的几何意义得到|k|2，然后根据反比例函数的性质确定 k 的值 【解答】解：ABy 轴， SOAB|k|2， 而 k0， k4 故答案为4 10如图，O 与正六边形 OABCDE 的边 OA、OE 分别交于点 F、G，则所对的圆周角FPG 的大小为 60 度 【分析】首先求得正六边形 OABCDE 的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案 【解答】解：六边形 OAB
19、CDE 是正六边形， AOE120， 即FOG120， FPGFOG60 故答案为：60 11在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离如图，在一个路口， 一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处， 小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行 驶 设小张距大巴车尾xm， 若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m， 红灯下沿高于小张的水平视线3.2m， 若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 10 【分析】如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，求出 x 的值即可； 【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时， CDA
20、B， ECDEAB， ， ， 解得 x10， 故答案为 10 12如图，矩形 ABCD 中，AB6，AD4，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 AB 上，FB2，P 是矩形上一 动点 若点 P从点 F出发， 沿 FADC 的路线运动， 当FPE30时， FP的长为 4 或 8 或4 【分析】如图，连接 DF，AE，DE，取 DF 的中点 O，连接 OA、OE以 O 为圆心画O 交 CD 于 P3只 要证明EP1FFP2FFP3E30，即可推出 FP14，FP28，FP34解决问题 【解答】解：如图，连接 DF，AE，DE，取 DF 的中点 O，连接 OA、OE以 O 为圆心 OE 的长度为半
21、 径，画O 交 CD 于 P3 四边形 ABCD 是矩形， BADB90， BF2，BE2，AF4，AD4， tanFEBtanADF， ADFFEB30， 易知 EFOFOD4， OEF 是等边三角形， EP1FFP2FFP3E30， FP14，FP28，FP34， 故答案为 4 或 8 或 4 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13计算：tan60sin245+tan452cos30 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案 【解答】解：原式（）2+12 +1 14如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的直角顶点 C 的坐标
22、为（1，0） ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC 2将ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90，再向左平移 3 个单位，求变换后点 A 的对应点的坐标 【分析】求出两次变换后点 A 的对应点的坐标即可 【解答】解：点 C 的坐标为（1，0） ，AC2， 点 A 的坐标为（3，0） ， 将 RtABC 先绕点 C 逆时针旋转 90， 则点 A 的对应点坐标为（1，2） ， 再向左平移 3 个单位长度， 则变换后点 A 的对应点坐标为（2，2） 15 （6 分）关于 x 的方程 x22x+2m10 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根 【分析】直接利用根的判别式得出 m 的取值范
23、围进而解方程得出答案 【解答】解：关于 x 的方程 x22x+2m10 有实数根， b24ac44（2m1）0， 解得：m1， m 为正整数， m1， 原方程可化为 x22x+10， 则（x1）20， 解得：x1x21 16 （6 分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设某校计划从前来应 聘的思政专业（一名研究生，一名本科生） 、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘 教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的
24、是一名思政研究生和一名历史本科生 的概率 【分析】 （1）由概率公式即可得出结果； （2）设思政专业的一名研究生为 A、一名本科生为 B，历史专业的一名研究生为 C、一名本科生为 D， 画树状图可知：共有 12 个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有 2 个，即可得出结果 【解答】解： （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是； 故答案为：； （2）设思政专业的一名研究生为 A、一名本科生为 B，历史专业的一名研究生为 C、一名本科生为 D， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有 2 个， 恰好
25、选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为 17 （6 分）已知点 A，B，C 在O 上，C30，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹） （1）在图中画一个含 30的直角三角形； （2）点 D 在弦 AB 上，在图中画一个含 30的直角三角形 【分析】 （1）过点 A 作直径 AD，连接 BD，根据圆周角定理得到DC30，ABD90，从 而可判断ABD 满足条件； （2）延长 CD 交圆于点 E，过点 E 作直径 EF，连接 AF，根据圆周角定理得到FC30，EAF 90，从而可判断AEF 满足条件 【解答】解： （1）如图 1，ABD 为所作； （2）如图 2，AEF 为所作 18 （6 分
26、）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋” ，某市加快了廉租房的建设力度2017 年市 政府共投资 3 亿元人民币建设了廉租房 12 万平方米，2019 年投资 6.75 亿元人民币建设廉租房，若在这 两年内每年投资的增长率相同 （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问 2019 年建设了多少万平方米廉租房？ 【分析】 （1）设每年市政府投资的增长率为 x，由 3（1+x）22019 年的投资，列出方程，解方程即可； （2）2019 年的廉租房12（1+50%）2，即可得出结果 【解答】解： （1）设每年市政府投资的增长率为 x， 根据题意，得 3（1+x）26
27、.75， 解得 x0.5 或 x2.5（不合题意，舍去） ， x0.550%，即每年市政府投资的增长率为 50%； （2）12（1+50%）227， 2019 年建设了 27 万平方米廉租房 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）如图，直线 yx 与反比例函数 y（x0）的图象相交于点 D，点 A 为直线 yx 上一点，过 点 A 作 ACx 轴于点 C，交反比例函数 y（x0）的图象于点 B，连接 BD （1）若点 B 的坐标为（8，2） ，则 k 16 ，点 D 的坐标为 （4，4） ； （2）若 AB2B
28、C，且OAC 的面积为 18，求 k 的值及ABD 的面积 【分析】 （1）由点 B（8，2）在反比例函数 y的图象上，代入可求 k 的值，将反比例函数的关系式与 yx 联立方程组，可以求出交点坐标，进而确定点 D 的坐标； （2）点 A 在直线 yx 上，可知 OCAC，由OAC 的面积为 18 可求出 AC 的长，确定点 A 的坐标，由 AB2BC，可求 AB、BC 的长，确定点 B 的坐标，进而求 k 得值，用（1）的方法可求点 D 的坐标，利 用三角形的面积公式就可以求出三角形的面积 【解答】解： （1）把 B（8，2）代入 y得：k2816， 反比例函数的关系式为 y， 由题意得：
29、解得：，（舍去） 点 D 的坐标为（4，4） 故答案为：16， （4，4） （2）过点 D 作 DEOC，DFAC，垂足为 E、F，如图所示： 点 A 在第一象限 yx 上， ACOC， 又OAC 的面积为 18， ACOC6， AB2BC， AB4，BC2， 点 B（6，2） ，代入 y得，k12； 设点 D（a，a）代入 y得，a （a0） D（，） ，即 OEDE， DFECOCOE6， ABD 的面积ABDF4（6）12； 因此 k 的值为 12，ABD 的面积为 12 20 （8 分）如图 1 是一辆在平地上滑行的滑板车，如图 2 是其示意图车杆 BC 固定，车杆 AB 可伸缩，车
30、杆 BC 长 92cm，车杆与脚踏板所成的角BCD70，前后轮子的半径均为 6cm （1）求固定车杆 BC 的上端 B 离地面的高度 （结果保留小数点后一位） （2）小明站在滑板车上，双手放在把手 A 处最舒适，此时把手 A 离地面的高度为 120cm，求伸缩杆 AB 的长度 （结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75） 【分析】 （1） 过点 B 作 BECD 于点 E， 延长 BE 交地面于点 F， 根据三角函数射线 BE， 进而解答即可； （2）过点 A 作 AGCD 于点 G，延长 AG 交地面于点 H，根据三角函数得出 AC，进而解答
31、即可 【解答】解： （1）过点 B 作 BECD 于点 E，延长 BE 交地面于点 F， ， BE920.9486.48， EF6， BFBE+EF92.5， 固定车杆 BC 的上端 B 离地面的高度为 92.5cm （2）过点 A 作 AGCD 于点 G，延长 AG 交地面于点 H AH120，GH6， AG114， ， ， ABACBC121.39229.3， 伸缩杆 AB 的长度为 29.3cm 21 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 DE，分别 交 BC，AC 交于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若 BC6
32、，DG4，求 FG 的长 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到 ADCD，ADBC，得到EBFEAD，根据相似三角形的 性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质列式计算即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， EBFEAD， ， BFADBC， BFCF； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCF， FGCDGA， ，即， 解得，FG2 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 22 （9 分）如图，A，B，C 三点在O 上，直径 BD 平分ABC，过点 D 作 DEAB 交弦
33、BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EFDE （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD4，DE5，求 DM 的长 【分析】 （1）先得出ABDCBD，进而得出 ODDF，即可得出结论； （2）连接 DC，利用全等三角形的判定得出ABDCBD，进而解答即可 【解答】 （1）证明：BD 平分ABC， ABDCBD DEAB， ABDBDE CBDBDE EDEF， EDFEFD EDF+EFD+EDB+EBD180， BDFBDE+EDF90 ODDF OD 是半径， DF 是O 的切线 （2）解：连接 DC， BD 是O 的直径， BAD
34、BCD90 ABDCBD，BDBD， ABDCBD CDAD4，ABBC DE5， ，EFDE5 CBDBDE， BEDE5 BFBE+EF10，BCBE+EC8 AB8 DEAB， ABFMEF ME4 DMDEEM1 23 （9 分）观察猜想 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，点 D 与点 C 重合，点 E 在斜边 AB 上，连 接 DE，且 DEAE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DF，连接 EF，则 ，sin ADE ， 探究证明 （2）在（1）中，如果将点 D 沿 CA 方向移动，使 CDAC，其余条件不变，如图 2，上述结论是否保 持不
35、变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由 拓展延伸 （3）如图 3， 在ABC 中，ACB90，CABa，点 D 在边 AC 的延长线上，E 是 AB 上任意一点， 连接 DEEDnAE，将线段 DE 绕着点 D 顺时针旋转 90至点 F，连接 EF求和 sinADE 的值分 别是多少？（请用含有 n，a 的式子表示） 【分析】 （1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到AACE30，BEC 是等边三角形， 据此求得 CE 的长度，根据等腰直角三角形的性质来求 EF 的长度，易得答案； （2）不变理由：如图 2，过点 D 作 DGBC 交 AB 于点 G，构造直角三角形：ADG，结合
36、含 30 度 角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案； （3）如图 3，过点 E 作 EGAD 于点 G，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答 【解答】解： （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，BAC30， B60 又 CEAE， ACEA30， BCE60， BEC 是等边三角形， BECE AECEBE ADABCE 又由旋转的性质知：FCEC，FCE90， EFCE， ADE30， sinADE 故答案是：； （2）不变，理由： 如图 2，过点 D 作 DGBC 交 AB 于点 G，则ADG 是直角三角形 DAG30，DEAE，设 DGx，
37、 AED120，ADx，DEGDGE60 DEDFx，sinADE EDF90， EFx ADE30， sinADE （3）过点 E 作 EGAD 于点 G，设 AEx，则 DEnx CABa， AGcosx，EGsinx DGx ADcosx+x EDF90，DEDF， EFDEnx ，sinADE 六、 （本大题共六、 （本大题共 12 分）分） 24 （12 分）已知抛物线 yx2+2x+3 和抛物线 ynx2xn（n 为正整数） （1）抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴的交点 （3，0） ， （1，0） ，顶点坐标 （1，4） （2）当 n1 时，请解答下列问题 直接写出 yn与 x
38、 轴的交点 （1，0） ， （3，0） ，顶点坐标 （1，） ，请写出抛物线 y，yn 的一条相同的图象性质 对称轴都是 x1（或与 x 轴的交点都是（1，0） ， （3，0） ） ， 当直线 yx+m 与 y，yn相交共有 4 个交点时，求 m 的取值范围 （3）若直线 yk（k0）与抛物线 yx2+2x+3，抛物线 ynx2xn（n 为正整数）共有 4 个 交点， 从左至右依次标记为点 A，点 B， 点 C，点 D，当 ABBCCD 时， 求出 k，n 之间满足的关系式 【分析】 （1）根据抛物线 yx2+2x+3，可以求得该抛物线与 x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，本题 得以解决； （
39、2）根据 n1，代入 yn，可以求得 yn与 x 轴的交点及此抛物线的顶点坐标，然后根据（1）中的结 果，写出抛物线 y，yn的一条相同的图象性质即可，注意最后写出的性质答案不唯一，主要符合实际即 可； 根据题意，可以画出相应的图象，从而可以得到当直线 yx+m 与 y，yn相交共有 4 个交点时，m 的 取值范围； （3）根据题意和一元二次方程根与系数的关系，可以求得 k，n 之间满足的关系式 【解答】解： （1）抛物线 yx2+2x+3（x3） （x+1）（x1）2+4， 当 y0 时，x13，x21，该抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 即抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴的交点为（3，
40、0） ， （1，0） ， 故答案为： （3，0） ， （1，0） ； （1，4） ； （2）当 n1 时， 抛物线 y1x2x1（x1）2（x3） （x+1） ， 当 y10 时，x33，x41，该抛物线的顶点坐标为（1，） ， 即该抛物线与 x 轴的交点为（3，0） ， （1，0） ， 抛物线 y，yn的一条相同的图象性质是对称轴都是 x1（或与 x 轴的交点都是（1，0） ， （3，0） ） ， 故答案为： （1，0） ， （3，0） ； （1，） ；对称轴都是 x1（或与 x 轴的交点都是（1，0） ， （3，0） ） ； 当直线 yx+m 与 y 相交共有 1 个交点时，如图 1 所示
41、， ， 化简得，x2x+m30， 则（）241（m3）0， 解得，m； 当直线 yx+m 与 yn相交共有 1 个交点时， ， 化简，得 2x27x（6+6m）0， 则（7）242（66m）0，得 m， m， 把（1，0）代入 yx+m，得 m2， 把（3，0）代入 yx+m，得 m， 由上可得，m 的取值范围是m且 m，m2； （3）由， 化简得，x22x+k30， AD2|x1x2|2（x1+x2）24x1x2164k， 由， 化简，得 nx22nx（3n+3k）0， BC2|x3x4|2（x3+x4）24x3x416+， ABBCCD， AD29BC2， 164k9（16+） ， 化简，得 32n+27k+nk0， 即 k，n 之间满足的关系式是 32n+27k+nk0
