1、 山东省（新高考）山东省（新高考）2021 届高三届高三第第二二次模拟考数学试卷（次模拟考数学试卷（四四） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，
2、每小题，每小题 5 5 分，分，共共 4040 分在分在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合， ，则中元素的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 2（ ） A B C D 3已知直线，平面， ，那么“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4设约束条件，则的最大值为（ ） A B C D 5从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只 游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A
3、300 种 B240 种 C144 种 D96 种 ( , )1Bx y yxAB 3 1 i 22i 22i 22i22i mnn mmn m 1 5 1 2 2 yx yx yx 1y x 1 2 124 6已知函数的定义域为，且 ，当时， 若，则实数的取值范围为（ ） A B C D 7在中，点 是的中点，线段与交于点，动点在内部 活动（不含边界） ，且，其中、，则的取值范围是（ ） A B C D 8我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二， 七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3 除余 2 的正整数从小到大组成数列，所有被
4、 5 除余 2 的正整数从小到大组成数列， 把数与的公共项从小到大得到数列， 则下列说法 正确的是（ ） A B C D 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9以下四个命题表述正确的是（ ） A直线 恒过定点 B圆上有且仅有 3 个点到直线 的距离都等于 1 C曲线与曲线 恰有三条公切线，则 D已知圆，点为直线 上一动点，
5、过点向圆引两条切线、，、 f xR 6f xfx0 x 2 23f xxx 350fm m ,22,33, ABCMAB 2 3 ANACCMBNOPBOC APABAN R 3 4 11 , 8 3 3 , 4 2 11 1, 8 3 1, 2 n a n b n a n b n c 122 abc 824 bac 228 bc 6 29 a bc 343 30m xymm R3, 3 22 4xy:20l xy 22 1: 20Cxyx 22 2: 480Cxyxym4m 22 :4C xyP1 42 xy PCPAPBA 为切点，则直线经过定点 10在中，下列说法正确的是（ ） A若，则
6、 B存在满足 C若，则 为钝角三角形 D若，则 11在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连 续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”过去 10 日，A、B、C、D 四地新增疑似病例数据信息如下，一 定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ） AA 地：中位数为 2，极差为 5 BB 地：总体平均数为 2，众数为 2 CC 地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 DD 地：总体平均数为 2，总体方差为 3 12已知函数，若 ，且，则 下列结论正确的是（ ） A B C D 第第卷卷 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 4 小题，
7、每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知双曲线的左、右焦点分别为，点 ，则的角平分线所在直 线的斜率为_ 14 对于三次函数， 给出定义： 设是函数的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学 经过探究发现： 任何一个三次函数都有“拐点”； 任何一个三次函数都有对称中心， 且“拐点”就是对称中心 若 ，则函数的对称中心为_， BAB1,2 ABC ABsinsinAB ABCcoscos0AB sincosABABC 2 C 22 sinsinsinCAB 2 2 2 ,0 ( ) log,0 xx x f x xx 1234 xxxx 1234 f xf xf xf x
8、 12 1xx 34 1x x 4 12x 1234 01x x x x 22 :1 43 xy C 1 F 2 F4,3M 12 FMF 32 0f xaxbxcxd a fx yf x fx fx 0fx 0 x 00 ,xf x yf x 32 115 3 3212 f xxxx f x _ 15函数， ，有下列命题： 的表达式可改写为； 直线是函数图象的一条对称轴； 函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到； 满足的的取值范围是 其中正确的命题序号是_ （注：把你认为正确的命题序号都填上） 16在棱长为的正四面体中，点分别为直线 上的动点，点为中点， 为正四面体中心（满足） ，
9、若，则长度为_ 四四、解答题：、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）的内角的对边分别为 已知 （1）求； （2）若，当的周长最大时，求它的面积 18（12 分） 如图， 三棱柱 中，侧面， 已知， 点 E 是棱的中点 12342018 20192019201920192019 fffff ( )cos23sin2f xxxxR ( )yf x2cos 2 3 yx 12 x ( )f x ( )f x2sin2yx 6 ( )3f x x 3 , 124 xkxk
10、k Z 4 2 ABCD ,E F,AB CD PEF Q QAQBQCQD 2PQ EF ABC , ,A B C, ,a b c 222 sinsinsinsinsinBACAC B 3bABC 111 ABCABCAB 11 BBCC 1 3 BCC1BC 1 2ABCC 1 CC （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值 19 （12 分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺 鲁比克教授于 1974 年发明 的魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的 程度更是智力游戏界的奇迹通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方
11、体结构，由个色块 组成常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原截至 2020 年，三阶魔方还原官方世界纪录 是由中国的杜宇生在 2018 年 11 月 24 日于芜湖赛打破的纪录，单次秒 （1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度(秒)与训练天数(天)有关， 经统计得到如下数据： （天） （秒） 现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练 后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒(精确到 ) ? 参考数据（其中） BC 1 ABC 11 AB EA 3 3 3 26 3.475 yx x 1234567 y 999945
12、32302421 b ya x y 1 1 i i z x 7 1 ii i z y z 7 22 1 7 i i zz 184.50.370.55 参考公式： 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为：， （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面某人按规定将魔方随机扭动 两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望 20 （12 分）已知椭圆的上、下顶点分别为，为直线 上的动点，当 点位于点时，的面积，椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为 （1）求椭圆的方程； （2）连接，直线分别交椭圆于（异于点）两点，证明：直线
13、过定点 21 （12 分）已知正三角形，某同学从点开始， 用擦骰子的方法移动棋子，规定： 每掷一次骰子， 把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数 大于 3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动设掷骰子次时，棋子 移动到，处的概率分别为：， 例如： 掷骰子一次时， 棋子移动到， 11 ,u v 22 ,u v, nn u v vau 1 22 1 n ii i n i i u vnuv unu a vu 90XXE X 22 22 :1(0) xy Cab ab ,A B P 2y P1,2ABP1 ABP S C
14、 1 F 2 1 C ,PA PB,PA PB,M N,A B MN ABCA n ABC n P A n P B n P CAB 处的概率分别为， （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，处的概率，； （2）记，其中，求 22 （12 分）已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）设函数，若在内有且仅有一个零点， 求实数的取值范围 数学数学答案答案 第第卷卷 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题，每小题 5 5 分，分，共共 4040 分在分在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 【答案】B
15、【解析】依题意， 其中满足的有， 所以，有个元素，故选 B C 1 0P A 1 1 2 P B 1 1 2 P C ABC 3 P A 3 P B 3 P C nn P Aa nn P Bb nn P Cc1 nnn abc nn bc 8 a 2 1 1ln 2 f xxaxax 0a f x 22 ln1 2 x g xeaxaxf x g x1,2 a 1,7 , 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2 , 7,1A 1yx1,72,63,5 1,7 , 2,6 , 3,5AB 3 2 【答案】B 【解析】，故选 B 3 【答案】C 【解析】若，过直线作平面，交平面于直
16、线， ， 又， 又，； 若，过直线作平面，交平面于直线， ， ， 又， ， 故“”是“ ”的充要条件，故选 C 4 【答案】D 【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 32 1 i1 i1 i2i 1 i22i mm m mm m mm m m m mm m mnmn n= m m m 1 5 1 2 2 yx yx yx 设目标函数，则表示平面区域内一动点到定点连线的斜率， 结合图象可得，取点时，能使得取得最大值， 又由，解得， 所以的最大值为，故选 D 5 【答案】B 【解析】分两步：首先从 4 人中选 1 人去巴黎游览，共有种， 其次从剩余 5 人中选 3 人到其它三个城市游览
17、，共有种， 共有种，故选 B 6 【答案】B 【解析】令，则， 因为，所以， 即当时， 取，则， 当时，此时无解； 当时，此时无解； 当时， 11 0 yy z xx 1 0 y x (0, 1)M A z 1 1 2 2 yx yx 2 5 (, ) 3 3 A 1y x 5 1 3 4 2 0 3 1 4 C4 3 5 A60 13 45 C A240 0 x0 x 2 23fxxx 6f xfx 2 236f xxx 2 23xxxf 0 x 2 23xxxf 0 x 006ff 03f 0 x 2 2 2312fxxxx 0f x 0 x 03f 0f x 0 x 2 2 2314f
18、xxxx 若，则，解得， 故，即，解得， 实数的取值范围为，故选 B 7 【答案】D 【解析】如下图所示，连接并延长交于点， 设，则， ， ， 又， ， ，则， 即，即， 因此，的取值范围是，故选 D 8 【答案】C 【解析】根据题意数列是首项为 2，公差为 3 的等差数列，； 数列是首项为 2，公差为 5 的等差数列，； 0f x 2 140 x1x 350fm351m-?2m m2, BPACG NGmANPGnBG 1 0 2 m01n 1AGmAN 11APAGGPmANnGBmANn ABAG 111mANnABnAGmANnABn mAN 1mmnn ANnAB APABANn 1
19、mmnn 111mmnmn 1 0 2 m0 11n 1 01 2 mn 3 111 2 mn 3 1 2 3 1, 2 n a23(1)31 n ann n b25(1)53 n bnn 数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为 2，公差为 15 的等差数列， 对于 A，错误； 对于 B，错误； 对于 C，正确； 对于 D，错误， 故选 C 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对
20、的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】BCD 【解析】对于选项 A：由 可得， 由，可得，所以直线恒过定点，故选项 A 不正确； 对于选项 B：圆心到直线的距离等于 ，圆的半径， 平行于且距离为 1 的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有 3 个点到直线的距离等于 ，故选项 B 正确； 对于选项 C：由，可得，圆心， 由，可得， 圆心， 由题意可得两圆相外切，所以， 即，解得，故选项 C 正确； 对于选项 D：设点坐标为，所以，即， n a n b n c n c 215(1)1513 n cnn 12 22 5 39ab 2 15 2 1317
21、c 122 abc 82 5 8 3 3 2 132ba 4 15 4 1347c 824 bac 22 5 223107b 8 15 8 13107c 228 bc 6 2 3 6 15 2 3119a b 9 15 9 13122c 629 a bc 343 30m xymm R 33430m xxy 30 3430 x xy 3 3 x y 3,3 0,0:20l xy12r = :20l xy 1 22 1 20C : xyx 2 2 11xy 1 1,0C 1 1r 22 2 480C : xyxym 22 24200 xym 2 2,4C 2 20rm 1212 CCrr 2 2
22、1 24120m 4m P,m n1 42 mn 24mn 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得，与已知圆相减可得， 消去，可得，即， 由，可得， 所以直线经过定点，故选项 D 正确， 故选 BCD 10 【答案】ACD 【解析】对于 A 选项，若，则，则，即， 故 A 选项正确； 对于 B 选项，由，则，且，在上递减， 于是，即，故 B 选项错误； 对于 C 选项，由，得，在上递减， 此时：若，则，则，于是； 若，则，则， 于是，故 C 选项正确； 对于 D 选项，由，则，则，在递增， 于是，即，同理， 此时， ， PAPBPC
23、APACBPB ,A B OPOP 2 22 22 222 mnmn xy 22 0 xymxny 22 :4C xy 4mxny+= m424n xny2440n yxx 20 440 yx x 1 2 x y AB1,2 ABab2 sin2 sinRARBsinsinAB ABAB,0,AB cosyx 0, coscosABcoscos0AB sincosAB coscos 2 AB cosyx 0, 0 2 A 2 AB 2 AB 2 C 2 A coscos 2 AB 2 AB 2 AB 2 C 2 AB 0 22 ABsinyx0, 2 sinsin 2 AB 0sincosAB
24、0sincosBA sinsin()sincoscossinsinsinsinsinCABABABAABB 22 sinsinAB 所以 D 选项正确， 故选 ACD 11 【答案】AD 【解析】对 A，因为 A 地中位数为 2，极差为 5，故最大值不会大于故 A 正确； 对 B，若 B 地过去 10 日分别为，则满足总体平均数为 2，众数为 2， 但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人，故 B 错误； 对 C，若 C 地过去 10 日分别为，则满足总体平均数为 1，总体方差大于 0， 但不满足每天新增疑似病例不超过 7 人，故 C 错误； 对 D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过 7 人
25、，则方差大于， 与题设矛盾，故连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人，故 D 正确， 故选 AD 12 【答案】BCD 【解析】由函数解析式可得图象如下： 由图知：，而当时，有，即或 2， ， 而，知：， ， 故选 BCD 2 57 0,0,0,2,2,2,2,2,2,8 0,0,0,0,0,0,0,0,1,9 21 823.63 10 ( )f x 12 2xx 1 21x 1y 2 |log| 1x 1 2 x 34 1 12 2 xx 34 ()()f xf x 2324 |log| |log|xx 2324 loglog0 xx 34 1x x 2 1234121 (1)1(0
26、,1)x x x xx xx 第第卷卷 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】1 【解析】由题意知，的半焦距， 故， 设的角平分线与轴交于， 由角平分线定理可知，故，解得， 即， 故的角平分线所在直线的斜率，故答案为 1 14 【答案】，2018 【解析】因为，所以， 由，即，解得， ， 由题中给出的结论，所以函数的对称中心为 C 7c 1 7,0F 2 7,0F 2 2 1 47322 7MF 2 2 2 4732 72MF 12 FMFx,0N x 11 22 NFMF NFMF 722 7 72 72 x x 1x 1,0
27、N 12 FMF 30 1 4 1 MN k 1 ,1 2 32 115 3 3212 f xxxx 2 3fxxx 21fxx 0fx210 x 1 2 x 32 1111115 31 23222212 f f x 1 ,1 2 所以，即 故， ， ， 所以 123420181 20192019201920 2 2018 192019 8 2 201fffff ， 故答案为，2018 15 【答案】 【解析】，故正确； 当时，故错误； 因为函数的图象向右平移个单位长度得到， 而，故错误； 由可得，解得， 所以，解得， 故正确， 故答案为 16 【答案】 【解析】将正四面体放在棱长为 4 的正
28、方体中，则，为正方体的中心， 设分别是的中点，则是的中点， 11 2 22 fxfx 12f xx 12018 2 20192019 ff 22017 2 20192019 ff 32016 2 20192019 ff 20181 2 20192019 ff 1 ,1 2 ( )cos23sin22cos(2) 3 f xxxx 12 x ()2cos0 122 yf 2sin2yx 6 )2sin2(2sin(2) 63 yxx 2sin(2)2cos(2) 33 xx ( )3f x 2cos(2)3 3 x 3 cos(2) 32 x 11 2 22 , 636 kxkkZ 3 , 12
29、4 kxkkZ 2 6 ABCD Q ,M N,AB CDQMNMNABMNCD 连接，设的中点为，连接， 因为是的中位线，所以， 同理， 因为，所以，所以，即， 则，所以， 因为，所以， 因为， 所以平面，所以， 在中， 故答案为 四四、解答题：、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由正弦定理得， ， （2）由余弦定理得， ENENS ,QS SP PQ QS NME /QS ME 1 2 QSME /SP NF 1 2 SPNF
30、 ABCDMENF QSSP90QSP 22222 1 2 4 QSSPMENFPQ 22 8MENF MNME 2222 16NEMNMEME NFMENFMNMNMEM NF MNENFNE NEFRt 2222 162 6EFNFNENFME 2 6 2 3 B 9 3 4 ABC S 222 bacac 222 1 cos 22 acb B ac 0,B 2 3 B 22 222 2cos29bacacBacacacacac （当且仅当时取等号） ， 当时，取得最大值，此时 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）证明：， 由余弦定理可知， ， 侧面，且面， 又，平
31、面，平面 （2）由（1）知，以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴，为 y 轴，BA 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 则， ， 设平面的法向量为，由，得； 同理，设平面的法向量为， 2 2 9 2 ac acac ac 6ac 3acABC 1939 3 sin 2224 ABC SacB 2 5 5 1 3 BCC1BC 1 2CC 22 111 23BCBCCCCBCC 222 11 BCBCCC 1 BCBC AB Q 11 BBCCBC 11 BBCCABBC 1 ABBCBQI 1 ,AB BC 1 ABCBC 1 ABC 1 BC 0,0,2A1,0,0C 1 0, 3
32、,0C 13 ,0 22 E 1 1, 3,0B 1 1, 3,2A 13 ,2 22 EA 1 33 ,0 22 EB 1 AEB, ,x y zn 1 0 0 EA EB n n 1, 3,1n 11 AEB 111 ,x y zm 1 3 ,2 22 3 EA 由，得， 故， 由题意二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为 19 【答案】 （1），每天魔方还原的平均速度约为 秒； （2）分布列见解析， 【解析】 （1）由题意，根据表格中的数据，可得， 可得， 所以， 因此关于的回归方程为， 所以最终每天魔方还原的平均速度约为秒 （2）由题意，可得随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为
33、： 所以 1 1 0 0 EA EB m m 1, 3,0m 1 32 5 cos, 55 2 m n m n mn 11 AB EA 11 AB EA 2 5 5 100 13y x y 13 50 9 99994532302421 50 7 y 7 1 7 2 2 1 7 184.57 0.37 5055 100 0.550.55 7 ii i i i z yz y b zz 50 100 0.3713aybz yx 100 13y x y 13 X3,4,6,9 1 4 1 (3) 6 69 A P X 1 4 2 A2 (4) 6 69 P X 1111 4224 1AA A 205
34、(6) 63 A 669 P X 11 22 AA1 (9) 6 69 P X X X3469 P 1 9 2 9 5 9 1 9 125150 ()3469 99999 E X 20 【答案】 （1）； （2）证明见解析 【解析】 （1）因为椭圆的上、下顶点分别为，点， 的面积， 所以，基底， 又因为椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为， 设是椭圆上任意一点， 则，对称轴， 所以在区间上递增， 则时，即， 又，解得， 所以椭圆方程为 （2）设，由题意得，直线 PA，PB 的斜率存在， 设， 由，得； 由，得， 2 2 1 2 x y ,A B1,2P ABP1 ABP S 1 21 2
35、ABP Sb 1b C 1 F 2 1 , M x y (,0)Fc 2 22222 2 ()2 c MFxcyxcxa a 2 a xa c , xa a xa min MFac 2 1ac 222 abc2a 2 2 1 2 x y ( ,2)P t 1 :1 PA lyx t 3 :1 PB lyx t 2 2 1 1 1 2 yx t x y 2 22 42 , 22 tt M tt 2 2 3 1 1 2 yx t x y 2 22 1218 , 1818 tt N tt 所以，化简得， 所以直线过定点 21 【答案】 （1），； （2） 【解析】 （1）；， 所以； ；， 所以；
36、；， 所以 （2），即， 又， 时， 又，可得， 由， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 22 2 22 22 22 182 24 182 : 124 22 182 MN tt tt tt lyx tt tt tt 2 61 82 t yx t MN 1 0, 2 3 1 4 PA 3 3 8 P B 3 3 8 P C 8 43 128 a ABCAACBA 3 1111111 2222224 P A ABABACABABCB 3 1111111113 + 2222222228 P B ABACACACACBC 3 1111111113 + 2222222228 P C nn b
37、c 11nn bc 2n 11 1 2 nnn bac 2n 1111 11 22 nnnnn bacab 111 1 nnn abc 1 21 nn bb 11 111111 322323 nnn bbb 1 3 n b 1 6 1 2 1 111 362 n n b 1 111 362 n n b 又， 故 22 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 （1）函数的定义域为， 所以 （）当时，由，得，则的减区间为； 由，得或，则的增区间为和 （）当时，则的增区间为 （）当时，由，得，则的减区间为； 由，得或，则的增区间为和 （2）， 在内有且仅有一个零点， 即关于方程在上有且仅有一个实
38、数根 令，则， 令，则， 故在上单调递减，所以， 即当时，所以在上单调递减 又，则， 11 11111 1 21 21 36232 nn nn ab 8 43 128 a 2 5 ,2 2 e e f x0, 2 11 1 aaxxax fa x a x x x x x 01a 0fx 1ax f x,1a 0fx xa 1x f x0,a1, 1a 0fx f x0, 1a 0fx 1xa f x1,a 0fx 1x xa f x0,1, a 2 22 ln1 21 xx g xeaxaxf xexax g x1,2 x 2 1 x xe a x 1,2 2 1 x xe h x x 1,2x 2 11 x xxe h x x 1 x p xxe 1,2x 10 x p xe p x1,2 120p xpe 1,2x 0h x h x1,2 12he 2 5 2 2 e h 2 5 2 2 e h xe 所以的取值范围是 a 2 5 ,2 2 e e
