1、2020-2021 学年山东省菏泽市定陶区九年级（上）期末数学试卷学年山东省菏泽市定陶区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 30 分）分） 1下列多边形一定相似的是（ ） A两个平行四边形 B两个菱形 C两个矩形 D两个正方形 2如图，在菱形 ABCD 中，DEAB，cosA，BE2，则 BD 的值（ ） A2 B C D5 3如图，在O 中，直径 CD弦 AB，则下列结论中正确的是（ ） AACAB BCBOD CCB DABOD 4a、b 是实数，点 A（2，a） 、B（3，b）在反比例函数 y的图象上，则（ ） Aab0 Bba0 Ca0b Db0a 5如图，在ABC
2、 中，D 是边 AC 上一点，连 BD，给出下列条件：ABDACB；AB2ADAC； ADBCABBD；ABBCACBD其中单独能够判定ABCADB 的个数是（ ） A B C D 6已知方程 x27x+100 的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（ ） A9 B12 C12 或 9 D不能确定 7如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC4，BD 为O 的直径，则 BD 等于（ ） A4 B6 C8 D12 8关于 x 的一元二次方程 x2+2（m1）x2m0 的根的情况是（ ） A无法确定 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D无实数根 9某超市 1 月份营
3、业额为 90 万元，1 月、2 月、3 月总营业额为 144 万元，设平均每月营业额增长率为 x， 则下面所列方程正确的是（ ） A90（1+x）2144 B90（1x）2144 C90（1+2x）144 D90（1+x）+90（1+x）214490 10关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+30 没有实数根，则整数 a 的最小值是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题（共二、填空题（共 24 分）分） 112sin60tan60+cos45 12已知 y 与 x 成反比例，且当 x3 时，y4，则当 x6 时，y 的值为 13关于 x 的方程 x2+5x+m0 的一个根为2，则另一个
4、根是 14抛物线 y（x1）21 的顶点在直线 ykx3 上，则 k 15如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，A80，点 P 为O 上任意一点（不与 E、 F 重合） ，则EPF 16如图，五一黄金周期间，某景区规定 A 和 B 为入口，C，D，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区， 游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 入口进入、从 D，E 出口离开的概率是 17如图，A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，点 P 在 y 轴上，ABP 的面积为 1，则 k 的值为 18如图，直线 x2 与反比例函数和的图象分别交于 A、B 两点，若点 P 是 y
5、 轴上任意一点， 则PAB 的面积是 三、解答题（三、解答题（66 分）分） 19 （8 分）解方程： （1）x22（3x4）0； （2）3（x5）22（5x） 20 （8 分）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所 高中提前录取，并将被编入 A、B、C 三个班，他俩希望能再次成为同班同学 （1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果； （2）求两人再次成为同班同学的概率 21 （8 分）已知：如图，ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F、求证：BP2PEP
6、F 22 （8 分）如图，小明在 M 处用高 1 米（DM1 米）的测角仪测得旗杆 AB 的顶端 B 的仰角为 30，再 向旗杆方向前进 10 米到 F 处， 又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60， 请求出旗杆 AB 的高度 （取1.73， 结果保留整数） 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P 在O 上，1C （1）求证：CBPD； （2）若 BC3，sinC，求 CD 的长 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数（m0） 的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 B 的坐标
7、为（6，n） 线段 OA5，E 为 x 轴上一点，且 cosAOE （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOC 的面积 25 （9 分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 20 元，市场调查发现该种健身球每 天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y2x+80（20 x40） ，设这种健身球每天的销 售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式； （2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 26 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，其中 B（
8、6， 0） ，与 y 轴交于点 C（0，8） ，点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点（不与点 C 重合） （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，点 E 关于直线 PC 的对称点为 E，若点 E落在 y 轴上（不与点 C 重合） ，请判断以 P，C，E，E为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下直接写出点 P 的坐标 2020-2021 学年山东省菏泽市定陶区九年级（上）期末数学试卷学年山东省菏泽市定陶区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 30 分）分） 1下列多边形
9、一定相似的是（ ） A两个平行四边形 B两个菱形 C两个矩形 D两个正方形 【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析 【解答】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等 矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定 相似，A、B、C 错误； 而两个正方形，对应角都是 90，对应边的比也都相当，故一定相似，D 正确 故选：D 2如图，在菱形 ABCD 中，DEAB，cosA，BE2，则 BD 的值（ ） A2 B C D5 【分析】直接利用菱形的性质结合锐角三角函数关系得出 AD，AE 的长，进而利用勾股定理
10、得出 BD 的 长 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ADAB， DEAB，cosA， 设 AE3x，则 AD5x，故 BE2x， BE2， x1，故 ABAD5， 则 DE4， 故 BD2 故选：C 3如图，在O 中，直径 CD弦 AB，则下列结论中正确的是（ ） AACAB BCBOD CCB DABOD 【分析】根据垂径定理得出，根据以上结论判断即可 【解答】解：A、根据垂径定理不能推出 ACAB，故 A 选项错误； B、直径 CD弦 AB， ， 对的圆周角是C，对的圆心角是BOD， BOD2C，故 B 选项正确； C、不能推出CB，故 C 选项错误； D、不能推出ABOD，故 D
11、 选项错误； 故选：B 4a、b 是实数，点 A（2，a） 、B（3，b）在反比例函数 y的图象上，则（ ） Aab0 Bba0 Ca0b Db0a 【分析】根据反比例函数的性质可以判断 a、b 的大小，从而可以解答本题 【解答】解：y， 反比例函数 y的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 点 A（2，a） 、B（3，b）在反比例函数 y的图象上， ab0， 故选：A 5如图，在ABC 中，D 是边 AC 上一点，连 BD，给出下列条件：ABDACB；AB2ADAC； ADBCABBD；ABBCACBD其中单独能够判定ABCADB 的个数是（ ） A B C D 【
12、分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似，可判断断 【解答】解：ABDACB，AA，ABCADB； AB2ADAC，AA，ABCADB； ADBCABBD，AA，ABC 与ADB 不相似； ABBCACBD，AA，ABC 与ADB 不相似； 故选：A 6已知方程 x27x+100 的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（ ） A9 B12 C12 或 9 D不能确定 【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，再求得三角 形的周长即可 【解答】解： 解方程 x27x+100 可得 x2 或
13、 x5， 等腰三角形的两边长为 2 或 5， 当底为 2 时，则等腰三角形的三边长为 2、5、5，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为 12； 当底为 5 时，则等腰三角形的三边长为 5、2、2，2+25，不满足三角形三边关系； 等腰三角形的周长为 12， 故选：B 7如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC4，BD 为O 的直径，则 BD 等于（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】 根据三角形内角和定理可求得CABC30， 再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可 求得 BD 的长 【解答】解：BAC120，ABAC4 CABC30 D30 BD 是直径 BAD90 BD2AB
14、8 故选：C 8关于 x 的一元二次方程 x2+2（m1）x2m0 的根的情况是（ ） A无法确定 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D无实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出：2（m1）24（2m）4m2+20，即 可判定方程有两个不相等的实数根 【解答】解：2（m1）24（2m）4m2+20， 关于 x 的一元二次方程 x2+2（m1）x2m0 有两个不相等的实数根 故选：B 9某超市 1 月份营业额为 90 万元，1 月、2 月、3 月总营业额为 144 万元，设平均每月营业额增长率为 x， 则下面所列方程正确的是（ ） A90（1+x）2144 B90（1x）
15、2144 C90（1+2x）144 D90（1+x）+90（1+x）214490 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，由此可以求出第二个月和第三个 月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程 【解答】解：设平均每月营业额的增长率为 x， 则第二个月的营业额为：90（1+x） ， 第三个月的营业额为：90（1+x）2， 则由题意列方程为：90（1+x）+90（1+x）214490 故选：D 10关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+30 没有实数根，则整数 a 的最小值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】要使方程没有实根，只需二次项系数不
16、等于 0 且根的判别式小于 0，由此可求出 a 的范围，就 可解决问题 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+30 没有实数根， a10 且0， a1 且443（a1）0， a且 a1， 整数 a 的最小值是 2 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 24 分）分） 112sin60tan60+cos45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解：原式2+ + 故答案为： 12已知 y 与 x 成反比例，且当 x3 时，y4，则当 x6 时，y 的值为 2 【分析】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案 【解答】解：设反比例函
17、数为 y， 当 x3，y4 时，4，解得 k12 反比例函数为 y 当 x6 时，y2， 故答案为：2 13关于 x 的方程 x2+5x+m0 的一个根为2，则另一个根是 3 【分析】设另一根为 x，利用根与系数的关系可求得 x 的值 【解答】解： 设方程的另一根为 x， 方程 x2+5x+m0 的一个根为2， x+（2）5，解得 x3， 即方程的另一根是3， 故答案为：3 14抛物线 y（x1）21 的顶点在直线 ykx3 上，则 k 2 【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，然后把顶点坐标代入 ykx3，进而求出 k 的值 【解答】解：抛物线解析式为 y（x1）21， 抛物线的顶点坐标为（1，
18、1） ， 顶点在直线 ykx3， 1k3， k2 故答案为 2 15如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，A80，点 P 为O 上任意一点（不与 E、 F 重合） ，则EPF 50或 130 【分析】有两种情况：当 P 在弧 EDF 上时，连接 OE、OF，求出EOF，根据圆周角定理求出即可； 当 P 在弧 EMF 上时，EPFEMF，根据圆内接四边形的性质得到EMF+ENF180，代入 求出即可 【解答】解：有两种情况： 当 P 在弧 EDF 上时，EPFENF， 连接 OE、OF， 圆 O 是ABC 的内切圆， OEAB，OFAC， AEOAFO90， A80， EOF36
19、0AEOAFOA100， ENFEPFEOF50， 当 P 在弧 EMF 上时，EPFEMF， FPEFME18050130， 故答案为：50或 130 16如图，五一黄金周期间，某景区规定 A 和 B 为入口，C，D，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区， 游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 入口进入、从 D，E 出口离开的概率是 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解：画树状图如图： 由树形图可知所有可能的结果有 6 种，小红从入口 A 进入景区并从 D，E 出口离开的结果数为 2， 所以她选择从 A 入口进入、从 D，E 出
20、口离开的概率是， 故答案为： 17如图，A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，点 P 在 y 轴上，ABP 的面积为 1，则 k 的值为 2 【分析】连接 OA，作 ACy 轴于 C 点，由于 ABx 轴，则 ABOP，根据同底等高的三角形面积相等 得到 SOABSPAB1，则有 S矩形ABOC2SOAB2，根据 k 的几何意义得到|k|2，即 k2 或 k2， 然后根据反比例函数性质即可得到 k2 【解答】解：连接 OA，作 ACy 轴于 C 点，如图 ABx 轴， ABOP， SOABSPAB1， S矩形ABOC2SOAB2， |k|2，即 k2 或 k2， 反比例
21、函数图象过第二象限， k2 故答案为2 18如图，直线 x2 与反比例函数和的图象分别交于 A、B 两点，若点 P 是 y 轴上任意一点， 则PAB 的面积是 【分析】先分别求出 A、B 两点的坐标，得到 AB 的长度，再根据三角形的面积公式即可得出PAB 的面 积 【解答】解：把 x2 分别代入、，得 y1、y A（2，1） ，B（2，） ， AB1（） P 为 y 轴上的任意一点， 点 P 到直线 x2 的距离为 2， PAB 的面积AB2AB 故答案是： 三、解答题（三、解答题（66 分）分） 19 （8 分）解方程： （1）x22（3x4）0； （2）3（x5）22（5x） 【分析】
22、（1）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）整理，得：x26x+80， （x2） （x4）0， 则 x20 或 x40， 解得 x14，x22； （2）3（x5）22（5x） ， 3（x5）2+2（x5）0， （x5） （3x13）0， x50 或 3x130， 解得 x15， 20 （8 分）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所 高中提前录取，并将被编入 A、B、C 三个班，他俩希望能再次成为同班同学 （1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果； （2）求两人再次成为同班同学的概率 【
23、分析】 （1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果； （2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率 【解答】解： （1）画树状图如下： 由树形图可知所以可能的结果为 AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC； （2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率 21 （8 分）已知：如图，ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F、求证：BP2PEPF 【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似， 须根据已知与图形找条件就可 【解答】证明：连接 PC，
24、 ABAC，AD 是中线， AD 是ABC 的对称轴 PCPB，PCEABP CFAB，PFCABP（两直线平行，内错角相等） ， PCEPFC 又CPEEPC， EPCCPF （相似三角形的对应边成比例） PC2PEPF PCBP BP2PEPF 22 （8 分）如图，小明在 M 处用高 1 米（DM1 米）的测角仪测得旗杆 AB 的顶端 B 的仰角为 30，再 向旗杆方向前进 10 米到 F 处， 又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60， 请求出旗杆 AB 的高度 （取1.73， 结果保留整数） 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边 角关系，
25、进而可求出答案 【解答】解：BDE30，BCE60， CBD60BDE30BDE， BCCD10 米， 在 RtBCE 中，sin60，即， 解得 BE5米， ABBE+AE5+110 米 答：旗杆 AB 的高度大约是 10 米 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P 在O 上，1C （1）求证：CBPD； （2）若 BC3，sinC，求 CD 的长 【分析】 （1）欲证明 CBPD，只要证明1P 即可 （2）根据三角函数的定义求出 BE，再利用勾股定理求出 EC 可得结论 【解答】 （1）证明：CP， 又1C， 1P， CBPD （2）解：连接 AC AB
26、为O 的直径， ACB90， 又CDAB， ， PCAB， ， 又BC3， BE2， CE， CD2EC2 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数（m0） 的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 B 的坐标为（6，n） 线段 OA5，E 为 x 轴上一点，且 cosAOE （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOC 的面积 【分析】 （1）过 A 点作 ADOE，垂足为 D，已知 OA5，cosAOE，解直角三角形求 OD、AD， 确定 A 点坐标，根据 A 点坐标求反比例函数和 B 点坐标，
27、根据 A、B 两点坐标，求一次函数的解析式； （2）根据直线 AB 的解析式求 C 点坐标，再求AOC 的面积 【解答】解： （1）过 A 点作 ADOE，垂足为 D， 在 RtAOD 中，OA5，cosAOE， ODOAcosAOE3， 由勾股定理，得 AD4， 则 A（3，4） ， A、B 两点在反比例函数（m0）的图象上， m346n， 解得 m12，n2， 将 A（3，4） ，B（6，2）代入 ykx+b 中，得， 解得， 故反比例函数解析式为 y，一次函数解析式为 yx+2； （2）在一次函数 yx+2 中，令 y0，得 x3，故 C（3，0） ， OC3，SAOCOCAD346 2
28、5 （9 分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 20 元，市场调查发现该种健身球每 天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y2x+80（20 x40） ，设这种健身球每天的销 售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式； （2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）根据总利润每个利润销售量可得函数解析式； （2）将所得函数解析式配方成顶点式即可 【解答】解： （1）根据题意可得：w（x20）y （x20） （2x+80） 2x2+120 x1600， w 与 x 的函数关系式为：w2x2+120 x
29、1600； （2）根据题意可得：w2x2+120 x16002（x30）2+200， 20， 当 x30 时，w 有最大值w 最大值为 200 答：销售单价定为 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元 26 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，其中 B（6， 0） ，与 y 轴交于点 C（0，8） ，点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点（不与点 C 重合） （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，点 E 关于直线 PC 的对称点为 E，若点 E落在 y 轴上（不
30、与点 C 重合） ，请判断以 P，C，E，E为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2） 利用对称的性质得ECPECP， ECCE， EPEP， 由 PEEC 得EPCECP， 则EPCECP，于是可判断 EPEC，所以 ECEPPEEC，则根据菱形的判定方法得到四 边形 EPEC 为菱形； （3）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 yx+8，根据二次函数和一次函数图象上点的坐标 特征，设 P（x，x2+x+8） ，则 E（x，x+8） ，则可计算出 PEx2+x+8（x+8） x2+4x，过
31、点 E 作 EFy 轴于点 F，如图，证明CFECOB，利用相似比可计算出 CEx，则可 利用 ECEP 得到方程x2+4xx，然后解方程求出 x 即可得到 P 点坐标 【解答】解： （1）把点 C（0，8） ，B（6，0）代入在抛物线 yx2+bx+c 得，解 得， 所以抛物线的表达式为 yx2+x+8； （2）以 P，C，E，E为顶点的四边形为菱形理由如下： E 点和 E点关于直线 PC 对称， ECPECP，ECCE，EPEP， 又PDx 轴， PEEC， EPCECP， EPCECP， EPEC， ECEPPEEC， 四边形 EPEC 为菱形， （3）设直线 BC 的解析式为 ykx+m， 把 B（6，0） ，C（0，8）代入得，解得， 直线 BC 的解析式为 yx+8； 设 P（x，x2+x+8） ，则 E（x，x+8） ， PEx2+x+8（x+8）x2+4x， 过点 E 作 EFy 轴于点 F，如图， 在 RtOBC 中，BC10， EFOB， CFECOB， ，即， CEx， ECEP， x2+4xx， 整理得 2x27x0，解得 x10（舍去） ，x2， 点 P 的坐标为（，）
