1、2020-2021 学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到 答题卡相应位置上）答题卡相应位置上） 1方程 x23x 的解是（ ） Ax3 Bx0 Cx13，x20 Dx13，x20 2下列各选项中，其主视图如图所示的是（ ） A B C D 32020 年 9 月 1 日， 深圳市生活垃圾分类管理条例正式实施滨海学校九（1）班成立了“环保卫士” 宣传小
2、组，其中男生 2 人，女生 3 人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类” ，恰好抽到女生的 概率为（ ） A B C D 4已知（1，4）是反比例函数 y上一点，下列各点不在 y上的是（ ） A （3，） B （2，2） C （4，1） D （，8） 5把二次函数 yx22x+3 配方化为 ya（xh）2+k 形式是（ ） Ay（x1）24 By（x+1）2+4 Cy（x1）2+3 Dy（x+1）23 6如图，在ABC 中，BDAC 于点 D，AEBC 于点 E，交 BD 于点 F，下列三角形中不一定与BCD 相似的是（ ） ABFE BAFD CACE DBAE 7下列说法中，正确的是
3、（ ） A对于函数 y，y 随 x 的增大而减小 B对角线相等的四边形是矩形 C若ABCDEF，且 AB2DE，则 SABC4SDEF D直线 x2 是函数 y2（x+2）2+1 图象的对称轴 8为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的 28.8 元降至 20 元， 求平均每次的降价率是多少？设平均每次的降价率为 x，可列方程为（ ） A28.8（1x）220 B20（1+2x）28.8 C20（1+x） 228.8 D28.8（12x）20 9抛物线 yax2+bx+c 的大致图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） Aabc0 B3a+c0 C当 xt 时，
4、y0，若 xt4，则 y0 Da（x21）+b（x1）0 10如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 在 BD 上，连接 CE，作 EFCE 交 AB 于点 F，连接 CF 交 BD 于点 H，则下列结论：EFEC；CF2CGCA；BEDH16；若 BF1，则 DE，正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分，请把答案填到答题卡相应位置上）分，请把答案填到答题卡相应位置上） 11若0，则 12已知 x2 是方程 x2kx+10 的根，则 k 的值为 13在某一时刻，一根长为 1.5m 的竹竿投影在地面上
5、的影长是 1m，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是 12m，则旗杆的高度为 m 14如图，将一副三角板ABC 和BCD 拼在一起，E 为 AC 的中点，将ABE 沿 BE 翻折得到ABE，连 接 DE，若 BC2，则 DE 15如图，直线 yx 与 y（x0）的图象交于点 A，点 B 为 y 轴负半轴上一点，SAOB+1，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OCOB，连接 BC，BABC，则 k 三、解答题（第三、解答题（第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 8 分，第分，第 18 题题 7 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 9 分，第分，
6、第 22 题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16 （5 分）计算： （3）0+（） 2|1 |+2sin60 17 （8 分）解方程： （1）x22x80； （2）2x24x+10 18 （7 分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有 3 个，蓝色小球有 1 个 （1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为 ； （2）从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为 ； （3）将摸出的小球全部放回后，又放入 n 个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量 反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，则 n 19 （8 分）如图，四边形 AB
7、CD 是平行四边形对角线 AC，BD 交于点 O，BD2AB，AEBD，OEAB （1）求证：四边形 ABOE 是菱形； （2）若 AO2，S四边形ABOE4，求 BD 的长 20 （8 分）2020 年 6 月 1 日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业 岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机王叔叔在翻身路做起了地摊生意， 他以每件 40 元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量 y（件）与每件的销售单 价 x（元）满足一次函数关系：y2x+140（x40） （1）若设利润为 w 元，请求出 w 与 x 的函数关系式；
8、（2）若每天的销售量不少于 44 件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 21 （9 分） （1）阅读下列材料，填空： 如图 1，已知点 C 为线段 AB 的中点，ADBE求证：DBEC 证明：作 BFAD 交 DC 延长线于点 F，则 F，ACBF C 为 AB 中点， ACBC ADCBFC（AAS） ADBF ADBE， BE BECFD （2）如图 2，AD 为ABC 的中线，E 为线段 AD 上一点，BEDBAC，F 为线段 AD 上一点，且 CF BE 求证：AEBCFA 若 AD4，CD2，当ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，求线段 AF 的长 22 （
9、10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 交轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C，CAB60， 点 E 是线段 AB 上一动点，作 EFAC 交线段 BC 于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，延长线段 EF 交抛物线第二象限的部分于点 G，点 D 是 AC 边中点，当四边形 ADGF 为平 行四边形时，求出 G 点坐标； （3）如图 2，M 为射线 EF 上一点，且 EMEB，将射线 EF 绕点 E 逆时针旋转 60，交直线 AC 于点 N，连接 MN，P 为 MN 的中点，连接 AP、BP，问：AP+BP 是否存在最小值，若存在，请求出这个最小 值，若
10、不存在，请说明理由 2020-2021 学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到 答题卡相应位置上）答题卡相应位置上） 1方程 x23x 的解是（ ） Ax3 Bx0 Cx13，x20 Dx13，x20 【分析】先移项得到 x23x0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：x23x0， x（x3）0， x0 或 x3
11、0， 所以 x10，x23 故选：C 2下列各选项中，其主视图如图所示的是（ ） A B C D 【分析】根据主视图的意义逐项进行判断即可 【解答】解：A正方体的主视图是正方形，因此 A 不符合题意； B四棱柱的主视图是长方形的，且看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项 B 符合题意； C四棱柱的主视图是长方形的，且能看见的轮廓线用实线表示，因此选项 C 不符合题意； D圆柱的主视图是长方形，因此 D 不符合题意； 故选：B 32020 年 9 月 1 日， 深圳市生活垃圾分类管理条例正式实施滨海学校九（1）班成立了“环保卫士” 宣传小组，其中男生 2 人，女生 3 人，从中随机抽取一名同学进社区
12、宣传“垃圾分类” ，恰好抽到女生的 概率为（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：共 5 人，女生 3 人， 从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类” ，恰好抽到女生的概率为， 故选：A 4已知（1，4）是反比例函数 y上一点，下列各点不在 y上的是（ ） A （3，） B （2，2） C （4，1） D （，8） 【分析】将点（1，4）代入 y，再利用反比例函数系数 kxy 判断即可 【解答】解：将点（1，4）代入 y， k4， 2244， 点（2，2）不在函数图象上， 故选：B 5把二次函数
13、yx22x+3 配方化为 ya（xh）2+k 形式是（ ） Ay（x1）24 By（x+1）2+4 Cy（x1）2+3 Dy（x+1）23 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般 式转化为顶点式 【解答】解：yx22x+3 （x2+2x+1）+3+1 （x+1）2+4， 即 y（x+1）2+4 故选：B 6如图，在ABC 中，BDAC 于点 D，AEBC 于点 E，交 BD 于点 F，下列三角形中不一定与BCD 相似的是（ ） ABFE BAFD CACE DBAE 【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案 【解答】解：BDAC，AEBC，
14、 BDCAEC90， DBC+CEAC+C90， DBCEAC， ACEBCD， 又ADFBDC90， AFDBCD， FBEDBC，BEFBDC90， BFEBCD， 一定与BCD 相似的是BFE，AFD，ACE， 故不一定与BCD 相似的是BAE 故选：D 7下列说法中，正确的是（ ） A对于函数 y，y 随 x 的增大而减小 B对角线相等的四边形是矩形 C若ABCDEF，且 AB2DE，则 SABC4SDEF D直线 x2 是函数 y2（x+2）2+1 图象的对称轴 【分析】利用相似三角形的性质、反比例函数的性质及二次函数的图象及性质分别判断后即可确定正确 的选项 【解答】解：A、对于函
15、数 y，当 x0 时 y 随 x 的增大而减小，故原命题错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、若ABCDEF，且 AB2DE，则 SABC4SDEF，正确，符合题意； D、直线 x2 是函数 y2（x+2）2+1 图象的对称轴，故原命题错误，不符合题意， 故选：C 8为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的 28.8 元降至 20 元， 求平均每次的降价率是多少？设平均每次的降价率为 x，可列方程为（ ） A28.8（1x）220 B20（1+2x）28.8 C20（1+x） 228.8 D28.8（12x）20
16、【分析】设每次降价率为 x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次 方程，此题得解 【解答】解：设每次降价率为 x， 依题意，得：28.8（1x）220 故选：A 9抛物线 yax2+bx+c 的大致图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） Aabc0 B3a+c0 C当 xt 时，y0，若 xt4，则 y0 Da（x21）+b（x1）0 【分析】利用抛物线开口向上得到 a0，利用抛物线的对称轴方程得 b2a0，利用抛物线与 y 轴的 交点位置得到 c0， 则可对进行判断； 利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 （ 1， 0） ， 代入解析式可
17、判断， 求出 t4 的范围可判断， 由题意可得当 x1 时， y 有最大值为 a+b+c， 可判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴， c0， abc0，故选项 A 不合题意； x3 时，y0，对称轴为 x1， x1 时，y0， ab+c0， a+2a+c0， 3a+c0，故选项 B 不合题意； 当 xt 时，y0， |t1|2， 1t3， 5t41， 当 xt4 时，y0，故选项 C 不合题意； 当 x1 时，y 有最大值为 a+b+c， ax2+bx+c（a+b+c）0， a（x21）+b（x1）0，故
18、选项符合题意； 故选：D 10如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 在 BD 上，连接 CE，作 EFCE 交 AB 于点 F，连接 CF 交 BD 于点 H，则下列结论：EFEC；CF2CGCA；BEDH16；若 BF1，则 DE，正确的是（ ） A B C D 【分析】由“SAS”可证ADECDE，可得 AEEC，DAEDCE，由四边形的内角和定理可 证AFEBCEEAF，可得 AEEFEC； 通过证明FCGACF，可得 CF2CGCA； 通过证明ECHCDH，可得，通过证明ECHEBC，可得，可得结论； 通过证明AFCDEC，可得，即可求解 【解答
19、】解：如图，连接 AE， 四边形 ABCD 是正方形， ADCD，ADBCDBBACDAC45， 又DEDE， ADECDE（SAS） ， AEEC，DAEDCE， EAFBCE， ABC+FEC+EFB+BCE360， BCE+EFB180， 又AFE+BFE180， AFEBCEEAF， AEEF， EFEC，故正确； EFEC，FEC90， EFCECF45， FACEFC45， 又ACFFCG， FCGACF， ， CF2CGCA，故正确； ECHCDB，EHCDHC， ECHCDH， ， ， ECHDBC，BECCEH， ECHEBC， ， ， ， BCCDDHBE16，故正确； B
20、F1，AB4， AF3，AC4， ECFACD45， ACFDCE， 又FACCDE45， AFCDEC， ， ， DE，故正确， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分，请把答案填到答题卡相应位置上）分，请把答案填到答题卡相应位置上） 11若0，则 【分析】设k，利用比例性质得到 a2k，b3k，c4k，然后把它们代入原式进行分式的运 算即可 【解答】解：设k，则 a2k，b3k，c4k， 所以 故答案为 12已知 x2 是方程 x2kx+10 的根，则 k 的值为 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x2 代入方程 x2kx+10，然后解关于 k 的
21、一元二次方 程 【解答】解：x2 是方程 x2kx+10 的根， 4+2k+10 解得 k 故答案是： 13在某一时刻，一根长为 1.5m 的竹竿投影在地面上的影长是 1m，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是 12m，则旗杆的高度为 18 m 【分析】利用在同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式，即可得出结果 【解答】解：设旗杆的高度为 xm 根据在同一时刻身高与影长成比例可得：， 解得：x18 故答案为：18 14如图，将一副三角板ABC 和BCD 拼在一起，E 为 AC 的中点，将ABE 沿 BE 翻折得到ABE，连 接 DE，若 BC2，则 DE 【分析】由直角三角形的性质及折叠的性质得出 D
22、，E，F 三点在一条直线上，求出 DF 和 EF 的长，则 可得出答案 【解答】解：设 AE 与 BC 相交于点 F， 由题意知ACB30，ABC90， AA60， E 为 AC 的中点， AEBECE， ABE 和ABE 为等边三角形， AEBAEB60， CEF60， EFBC， 又BDC 为等腰直角三角形， DFBC， D，E，F 三点共线， BC2， CF， EF1，DF， DEDFEF 故答案为： 15如图，直线 yx 与 y（x0）的图象交于点 A，点 B 为 y 轴负半轴上一点，SAOB+1，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OCOB，连接 BC，BABC，则 k 2 【分析】 由
23、 SAOB+1BOxAam， 得到 am2 （+1） ， 由 BCAB 得： 2a2 （m+a） 2+m2，联立即可求解 【解答】解：设 OBOCa，则点 B（0，a） ， 则 BCa， 设点 A 的坐标为（m，m） ，则 km2， 则 SAOB+1BOxAam，即 am2（+1）， 由 BCAB 得：2a2（m+a）2+m2， 由得：ma（负值已舍去） ， 将 m 值代入式得：a（a）2（+1） ， 解得 a22（+1）2， 则 m22k， 故答案为 2 三、解答题（第三、解答题（第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 8 分，第分，第 18 题题 7 分，第分，第 19 题题 8 分
24、，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 9 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16 （5 分）计算： （3）0+（） 2|1 |+2sin60 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左 向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （3）0+（） 2|1 |+2sin60 1+4+1+2 6+ 6 17 （8 分）解方程： （1）x22x80； （2）2x24x+10 【分析】 （1）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成 1，平分，开方，即可得出两
25、个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： （1）x22x80， （x4） （x+2）0， x40 或 x+20， 解得：x14，x22； （2）2x24x+10， 2x24x1， x22x， 配方得：x22x+1+1， （x1）2， 开方得：x1， 解得：x1，x2 18 （7 分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有 3 个，蓝色小球有 1 个 （1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为 ； （2）从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为 ； （3）将摸出的小球全部放回后，又放入 n 个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量
26、 反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，则 n 8 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可； （3）根据概率公式列出关于 n 的方程，解之即可 【解答】解： （1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 由表知，共有 12 种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有 6 种结果， 所以两个小球颜色
27、恰好不同的概率为， 故答案为： （3）根据题意，得：， 解得 n5， 经检验 n5 是分式方程的解， n5， 故答案为：5 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形对角线 AC，BD 交于点 O，BD2AB，AEBD，OEAB （1）求证：四边形 ABOE 是菱形； （2）若 AO2，S四边形ABOE4，求 BD 的长 【分析】 （1）由平行四边形的性质与已知得出 ABOB，易证四边形 ABOE 是平行四边形，即可得出结 论； （2）连接 BE，交 OA 于 F，由菱形的性质得 OABE，AFOFOA1，BFEFBE，由菱形的 面积求出 BE4，则 BF2，由勾股定理得出 OB，即
28、可得出结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OBODBD， BD2AB， ABOB， AEBD，OEAB， 四边形 ABOE 是平行四边形， ABOB， 四边形 ABOE 是菱形； （2）解：连接 BE，交 OA 于 F，如图所示： 四边形 ABOE 是菱形， OABE，AFOFOA1，BFEFBE， S四边形ABOE4， S四边形ABOEOABE2BEBE， BE4， BF2， OB， BD2OB2 20 （8 分）2020 年 6 月 1 日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业 岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的
29、生机王叔叔在翻身路做起了地摊生意， 他以每件 40 元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量 y（件）与每件的销售单 价 x（元）满足一次函数关系：y2x+140（x40） （1）若设利润为 w 元，请求出 w 与 x 的函数关系式； （2）若每天的销售量不少于 44 件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【分析】 （1）每件进价是 40 元，销售单价为 x 元，则每件利润为（x40）元，从而根据利润等于每件 的利润乘以销售量可得 w 关于 x 的函数关系式； （2）每天的销售量不少于 44 件，可得不等式，解得 x 的取值范围；将（1）中所得的二次函数
30、写成顶点 式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案 【解答】解： （1）由题意得： wy （x40） （2x+140） （x40） 2x2+220 x5600， w 与 x 的函数关系式为 w2x2+220 x5600（x40） ； （2）y44， 2x+14044， 解得：x48 w2x2+220 x5600 2（x55）2+450， 对称轴为 x55，抛物线开口向下， 当 x55 时，w 随 x 的增大而增大， x48， 当 x48 时，w 有最大值，最大值为：2482+220485600352 销售单价定为 48 元时，利润最大，最大利润是 352 元 21 （9 分） （1）阅
31、读下列材料，填空： 如图 1，已知点 C 为线段 AB 的中点，ADBE求证：DBEC 证明：作 BFAD 交 DC 延长线于点 F，则 D F，ACBF C 为 AB 中点， ACBC ADCBFC（AAS） ADBF ADBE， BE BF BECFD （2）如图 2，AD 为ABC 的中线，E 为线段 AD 上一点，BEDBAC，F 为线段 AD 上一点，且 CF BE 求证：AEBCFA 若 AD4，CD2，当ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，求线段 AF 的长 【分析】 （1）构造出ADCBFC，进而判断出 BEBF，即可得出结论； （2）利用等式的性质判断出BAEACF，同（
32、1）的方法得，BEDCFD，即可得出结论； 、当 ABBC 时，利用勾股定理求出 AH，AC2，再判断出CDFADC，求出 DF， 即可得出结论； 、当 ABAC 时，先判断出点 E，F 重合，再判断出 AEBE，再用勾股定理求解，即可得出结论 【解答】 （1）证明：作 BFAD 交 DC 延长线于点 F， 则DF，ACBF C 为 AB 中点， ACBC ADCBFC（AAS） ADBF ADBE， BEBF BECFD； （2）BEDBAC，BACBAE+CAF， BEDBAE+CAF， BEDBAE+ABE， ABECAF， 同（1）的方法得，BEDCFD， 180BED180CFD，
33、AEBCFA， AEBCFA； AD 为ABC 的中线， BDCD2，BC2CD4， ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形， 、当 ABBC 时，如图 21， AB4， AD4， ABAD， 过点 A 作 AHBD 于 H， BHDHBD1， 在 RtABH 中，根据勾股定理得，AH， 在 RtACH 中， CHCD+DH3， 根据勾股定理得， AC2， ABCB， BACBCA， 由知，AEBCFA， BAEACF， BACBAEACBACF， CAFDCF， ADCCDF， CDFADC， ， ， DF1， AFADDF413； 、当 ABAC 时，如图 22， AD 是ABC 的中线，
34、BADCAD，ADBC，BDCD， AD 是 BC 的垂直平分线， BECF， 点 E，F 重合， 由知，ABECAD， ABEBAE， AEBE， 设 DEx，则 AEADDE4x， BE4x， 在 RtBDE 中，根据勾股定理得，BE2DE2BD2， （4x）2x24， x， AFAE4， 即满足条件的 AF 的长为 3 或 22 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 交轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C，CAB60， 点 E 是线段 AB 上一动点，作 EFAC 交线段 BC 于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，延长线段 EF 交抛物线第二
35、象限的部分于点 G，点 D 是 AC 边中点，当四边形 ADGF 为平 行四边形时，求出 G 点坐标； （3）如图 2，M 为射线 EF 上一点，且 EMEB，将射线 EF 绕点 E 逆时针旋转 60，交直线 AC 于点 N，连接 MN，P 为 MN 的中点，连接 AP、BP，问：AP+BP 是否存在最小值，若存在，请求出这个最小 值，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法进行解答即可； （2）根据已知 P 点的横坐标为 m，可得点 P 和 D 的坐标，用 m 的代数式表示 PD 和 DE，根据相似三角 形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出 m 的方程即可； （3）证明点 P
36、在直线 y上运动，再利用轴对称的性质解决最短问题即可 【解答】解： （1）点 A（1，0） ， OA1， 在 RtAOC 中，CAB60， ACO30， AC2AO2，OC， C（0，） ， 把点 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，）代入抛物线 yax2+bx+c 中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+x+ （2）如图 1 中，连接 DG，AF A（1，0） ，C（0，） ，B（3，0） ，ADDC， D（，） ， 直线 CB 的解析式为 yx+， 设 F（m，m+） ， 四边形 ADGF 是平行四边形， ADFG，ADFG， G（m+，m+） ， 把点 G 的坐标代入 yx2+x+， 得到， m+（m+） 2+ （m+） +， 解得 m或， G（1，）或（2，） （3）如图，过点 M 作 MTAB 于 T，过点 N 作 NJAB 于 J，过点 P 作 PHAB 于 H，连接 BM设 AEt，则 EB4t EMEB，MEB60， MEB 是等边三角形， MTEB， MT（4t） ， AENEAN60， ANE 是等边三角形， NJAE， NJt， NJPHMT，NPPM， JHHT， PH（NJ+MT）， 点 P 的运动轨迹是直线 y， 作点 A 关于直线 y是对称点 A，连接 AB 交直线 y于 P，连接 PA，此时 PA+PB 的值最小， 最小值AB2
