1、2021 年甘肃省高考数字诊断试卷（理科）（年甘肃省高考数字诊断试卷（理科）（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|0 x1，Nx|ylg（1x），则 MN（ ） A0，1） B0，1 C（，1） D（，1 2已知复数 z 满足（1i）（3+z）1+i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A3i B3+i C3i D3+i 3若双曲线1（a2）的一条渐近线经过点 P（2，1），则双曲线的焦距是（ ） A B C D 4 正方形 ABCD 边长为 4， 点 E 为 BC 边的中点， 点 F 为 CD 边的一点， 若， 则| （ ） A5
2、 B3 C2 D1 5某学校高一开展数学建模活动，有六位教师负责指导该活动，现有甲、乙两位同学分别从这六位教师中 选择一位作为自己的指导教师，所有可能的选择方法数共有（ ） A64 种 B36 种 C30 种 D15 种 6函数 f（x）xex的图象如图所示，则函数 f（1x）的图象为（ ） A B C D 7九章算术商功有如下叙述：“斜解立方，得两堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二， 鳖臑居一，不易之率也”（阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓）取一个长方体，按如图 所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四 棱锥和三棱锥各一个其中以
3、矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四 个直角三角形组成的四面体， 称为鳖臑 那么如图所示， a3， b4， c5的阳马外接球的表面积是 （ ） A20 B25 C50 D200 8 一 组 数 据x1， x2， x3， ， xn的 平 均 数 为， 现 定 义 这 组 数 据 的 平 均 差 为 D 如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图 根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差 D1，D2的大小关系是（ ） AD1D2 BD1D2 CD1D2 D无法确定 9 若椭圆1 （ab0） 的左、 右焦点分别为 F1 、 F2， 椭圆上存在一点 P， 使|PF1|PF2|2b，
4、 |PF 1| |PF2 |，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 10已知递增等比数列an满足，a34，则 a7（ ） A8 B8 C16 D16 11下列四个命题： 命题“xR，cosx1”的否定是“x0R，cosx01” ， 是两个不同的平面，l，ml，则 m 函数 f（x）为 R 上的增函数 sin2x+ 4（xk，kZ） 其中真命题的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 12若函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x（，0）时，f（x）exex，则不等式 f（2x1） f（x1）ex1（ex1）（1e23x）的解集为（ ） A（0，2） B（0，） C（，0）
5、（2，+） D（，0）（，+） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13019 年 1 月 1 日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习，统计学习积分得 到的频率分布直方图如图所示若学习积分在1，1.5）（单位：万分）的人数是 32 人，则该单位共有 名党员，若学习积分超过 2 万分的党员可获得“学习达人”称号，则该单位有 名党员能获得该称 号 14已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 15已知等差数列an的公差大于 0，其前 n 项和为 Sn，且 a2 a 510，a3+a47，则 tan 16如图，正方体 A1C 的棱长为 1，点 M
6、在棱 A1D1上，A1M2MD1，过 M 的平面 与平面 A1BC1平行， 且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 bcosasinB （）求 A； （）若ABC 的面积 S2，D 为 BC 的中点，求 BC 边上中线 AD 的最小值 18在三棱锥 PBCD 中，A 是 CD 的中点，ABAC，BC6，PBBD6，PC12 （）证明：BC平面 PBD； （）若 PD6，求二面角 DPBA 的余弦值 192020
7、 年 1 月 15 日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称 “强基计划”），意见宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划强基 计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划 的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节已知甲、乙两所大学的笔试环 节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立 若某考生报考甲大学， 每门科目通过的概率均为， 该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，m，其中 0m1 （）若 m，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概
8、率； （）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作 出决策，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 m 的范围 20已知函数 f（x）x+cosx （）当 a2 时，证明：f（x）x 对 x（0，）恒成立； （）若函数 g（x）xf（x）在 x（0，）存在极大值点 x0，求 acos2x0sinx0的最小值 21已知抛物线 y24x 及点 P（4，0） （）以抛物线焦点 F 为圆心，|FP|为半径作圆，求圆 F 与抛物线交点的横坐标； （） A、 B是抛物线上不同的两点， 且直线 AB与x 轴不垂直， 弦 AB的垂直平分线恰好经过点P， 求 的范围
9、选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数）以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）已知点 P 是曲线 C2上一点，求线段 OP 的中点 M 到曲线 C1距离的最小值 选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 23已知 f（x）|x+a|x3| （）当 a1 时，画出函数 yf（x）的图象； （）若关于 x 的不等式 f（x）a21 有解，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 1
10、2 小题）小题）. 1已知集合 Mx|0 x1，Nx|ylg（1x），则 MN（ ） A0，1） B0，1 C（，1） D（，1 解：Mx|0 x1，Nx|1x0 x|x1， MN（，1 故选：D 2已知复数 z 满足（1i）（3+z）1+i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A3i B3+i C3i D3+i 解：因为（1i）（3+z）1+i， 所以， 故 z3+i， 所以 z 的共轭复数为3i 故选：C 3若双曲线1（a2）的一条渐近线经过点 P（2，1），则双曲线的焦距是（ ） A B C D 解：双曲线1（a2）的一条渐近线 2xay0， 双曲线1（a2）的一条渐近线经过点
11、 P（2，1）， 可得 22a10，解得 a4，因为 b2，所以 c2 所以双曲线的焦距为：4 故选：D 4 正方形 ABCD 边长为 4， 点 E 为 BC 边的中点， 点 F 为 CD 边的一点， 若， 则| （ ） A5 B3 C2 D1 【解答】解；如图所示： ， 0， 即 （ ）0， 0， AEEF， 连接 EF，令 DFx，在直角三角形 AEF 中有： AE2+EF2AF2， AE2AB2+BE242+2220， EF2EC2+CF222+（4x）2， AF2AD2+DF242+x2， 20+22+（4x）242+x2， 解得：x3， CF431， 故选：D 5某学校高一开展数学建
12、模活动，有六位教师负责指导该活动，现有甲、乙两位同学分别从这六位教师中 选择一位作为自己的指导教师，所有可能的选择方法数共有（ ） A64 种 B36 种 C30 种 D15 种 解：根据题意，甲在六位教师中选择一位作为自己的指导教师，有 6 种选法， 同理：乙在六位教师中选择一位作为自己的指导教师，有 6 种选法， 则甲乙两人共有 6636 种选法， 故选：B 6函数 f（x）xex的图象如图所示，则函数 f（1x）的图象为（ ） A B C D 解：把函数 f（x）的图象先关于 y 轴对称，得到 f（x）的图象，再向右平移 1 个单位，得到 f（x 1）f（1x）的图象，所以只有选项 B
13、符合题意 故选：B 7九章算术商功有如下叙述：“斜解立方，得两堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二， 鳖臑居一，不易之率也”（阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓）取一个长方体，按如图 所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四 棱锥和三棱锥各一个其中以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四 个直角三角形组成的四面体， 称为鳖臑 那么如图所示， a3， b4， c5的阳马外接球的表面积是 （ ） A20 B25 C50 D200 解：因为长方体、堑堵、阳马、鳖臑，各个几何体的顶点都在同一个外接球的表面上， 所以它们
14、的外接球是相同的，外接球的直径就是长方体的体对角线的长度， 所以外接球的半径为：R， 阳马外接球的表面积是 4R250 故选：C 8 一 组 数 据x1， x2， x3， ， xn的 平 均 数 为， 现 定 义 这 组 数 据 的 平 均 差 为 D 如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图 根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差 D1，D2的大小关系是（ ） AD1D2 BD1D2 CD1D2 D无法确定 解：根据题意知，平均差也表示一组数据的离散程度，平均差越小，说明该组数据越集中， 由频率分布折线图知，甲组数据较为分散，平均差大些，乙组数据较为集中，平均差小些， 所以 D1D2 故选：A
15、 9 若椭圆1 （ab0） 的左、 右焦点分别为 F1 、 F2， 椭圆上存在一点 P， 使|PF1|PF2|2b， |PF 1| |PF2 |，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 解： |PF1|PF2|2b， 两边平方可得： |PF1|2|+|PF2|22|PF1|PF2|4b2 （|PF1|+|PF2 |） 24|PF 1|PF2|4b 2， 由椭圆的定义可得：4a244b2，可得 b2a2， 所以椭圆的离心率 e 故选：A 10已知递增等比数列an满足，a34，则 a7（ ） A8 B8 C16 D16 解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 又由数列an为递增等比数列，且 ，
16、a34，则 q1， 则有+， 解可得 q22 或（舍）， 则 a7a3q416， 故选：C 11下列四个命题： 命题“xR，cosx1”的否定是“x0R，cosx01” ， 是两个不同的平面，l，ml，则 m 函数 f（x）为 R 上的增函数 sin2x+ 4（xk，kZ） 其中真命题的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解：命题“xR，cosx1”的否定是“x0R，cosx01”，则命题为真命题，故正确， 根据面面垂直的性质知垂直于交线的直线一定垂直平面，故正确， 当 x1 时，函数 y2x3 为增函数，当 x1 时，函数 yex1为增函数， 当 x1 时，yex11，y2
17、x31，则 11，即 f（x）在 R 上不是增函数，故错误， 当 xk 时，sinx0， 设 tsin2x，则 0t1，则 sin2x+ t+在（0，1上为减函数，则当 t1 时，函数最小为 1+4 5，故错误， 故正确的是， 故选：C 12若函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x（，0）时，f（x）exex，则不等式 f（2x1） f（x1）ex1（ex1）（1e23x）的解集为（ ） A（0，2） B（0，） C（，0）（2，+） D（，0）（，+） 解：令 g（x）f（x）exex， 则 g（x）f（x）ex+ex， 当 x（，0）时，f（x）exex， 故 g（x）0 即 g（
18、x）在（，0）上单调递增， f（x）是偶函数，f（x）f（x）， g（x）f（x）exexg（x）， g（x）是偶函数， f（2x1）f（x1） ex1（ex1）（1e23x） （e2x1ex1）（1e23x）， e2x1ex1e x+1+e12x 等价于 f（2x1）e2x1e12xf（x1）ex+1ex1 即 g（2x1）g（x1）， g（x）为偶函数，在（，0）递增，在（0，+）递减， |2x1|x1|，解得：0 x， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13019 年 1 月 1 日，“学习强国”学习平台在
19、全国上线，某单位组织全体党员登录学习，统计学习积分得 到的频率分布直方图如图所示 若学习积分在1， 1.5） （单位： 万分） 的人数是 32 人， 则该单位共有 80 名党员， 若学习积分超过 2 万分的党员可获得 “学习达人” 称号， 则该单位有 8 名党员能获得该称号 解：由频率分布直方图得： 学习积分在1，1.5）（单位：万分）的频率为： 0.80.50.4， 学习积分在1，1.5）（单位：万分）的人数是 32 人， 该单位共有：80， 学习积分超过 2 万分的党员所占频率为： 0.20.50.1， 学习积分超过 2 万分的党员可获得“学习达人”称号， 该单位有 0.1808 名党员能
20、获得该称号 故答案为：80，0.1 14已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 5 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（2，1）， 由 z2x+y，得 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 22+15 故答案为：5 15已知等差数列an的公差大于 0，其前 n 项和为 Sn，且 a2 a 510，a3+a47，则 tan 1 解：因为等差数列an的公差大于 0，且 a2a510，a3+a4a2+a57， 所以 a22，a55，d1， 故 a99， 则 tantan tan1 故答案为：1 16如图，正方体
21、 A1C 的棱长为 1，点 M 在棱 A1D1上，A1M2MD1，过 M 的平面 与平面 A1BC1平行， 且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 解：在平面 A1D1DA 中寻找与平面 A1BC1平行的直线时，只需要 MEBC1，如图所示， 因为 A1M2MD1， 故该截面与正方体的交点位于靠近 D1， A， C 的三等分点处， 故可得截面为 MIHGFE， 设正方体的棱长为 3a，则， 所以截面 MIHGFE 的周长为， 又因为正方体 A1C 的棱长为 1，即 3a1， 故截面多边形的周长为 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答
22、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 bcosasinB （）求 A； （）若ABC 的面积 S2，D 为 BC 的中点，求 BC 边上中线 AD 的最小值 解：（I）bcosasinB， 由正弦定理可得：sinBcossinAsinB， sinB0，可得：cossinA2sincos， cos0，sin ， A（0，），即 A （）ABC 的面积 S2，bcsin2， 化为：bc8 D 为 BC 的中点， 由中线长定理可得：b2+c2+2AD2， 由余弦定理可得：a2b2+c22bccos， 代入上式可得：4AD2b2+c2+bc
23、3bc24， 解得 AD，当且仅当 bc2时，BC 边上中线 AD 取得最小值 18在三棱锥 PBCD 中，A 是 CD 的中点，ABAC，BC6，PBBD6，PC12 （）证明：BC平面 PBD； （）若 PD6，求二面角 DPBA 的余弦值 【解答】（）证明：由题意可知，A 是 CD 的中点，又 ABAC， 在BCD 中，ABACAD，所以CBD 为直角三角形，则CBD90，即 BCBD， 由题意可知，则有 PC2PB2+BC2，所以 BCPB， 因为 BD，PB平面 PBD，BDPBB，所以 BC平面 PBD； （）解：由（）可知，BC平面 PBD，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为
24、PD6，则 B（0，0，0）， ， 则， 设平面 PBA 的法向量为，则有，即， 令 y1，则， 平面 PBD 的一个法向量为， 则有， 故二面角 DPBA 的余弦值为 192020 年 1 月 15 日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称 “强基计划”），意见宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划强基 计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划 的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节已知甲、乙两所大学的笔试环 节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立 若
25、某考生报考甲大学， 每门科目通过的概率均为， 该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，m，其中 0m1 （）若 m，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作 出决策，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 m 的范围 解：（）某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为， 甲通过的考试科目的门数 XB（3，）， 该考生报考甲大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为： P 当 m时，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为， 该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为： P
26、 +（1） +（1）（1） （）甲通过的考试科目的门数 XB（3，）， E（X）3 设乙通过的考试科目的门数为 Y， 则 P（Y0）（1）（1）（1m）， P （Y1） （1） （1） m+ （1） （1m） + （1 ） （1m） ， P（Y2）+ +， P（Y3）， E（Y）+3m+， 该考生更希望通过乙大学的笔试， E（Y）E（X），m+， 再由 0m1，解得 当该考生更希望通过乙大学的笔试时，m 的范围是（，1） 20已知函数 f（x）x+cosx （）当 a2 时，证明：f（x）x 对 x（0，）恒成立； （）若函数 g（x）xf（x）在 x（0，）存在极大值点 x0，求 acos2
27、x0sinx0的最小值 解：（）证明：a2 时，f（x）x+cosx， 要证 f（x）x 对 x（0，）恒成立， 即证cosx0 对 x（0，）恒成立， 即证 sinxxcosx0 对 x（0，）恒成立， 令 h（x）sinxxcosx，x（0，）， 则 h（x）cosxcosx+xsinxxsinx0， 故 h（x）在（0，）单调递增，且 h（0）0， 故 h（x）0，即 sinxxcosx0， 故 f（x）x 在 x（0，）上恒成立； （）g（x）xf（x）x2+sinxxcosx， 故 g（x）ax+cosxcosx+xsinxax+xsinx， g（x）在 x（0，）上存在极大值点 x
28、0， g（x）ax+xsinxx（a+sinx）0 有 xx0这个解， x（0，），只有asinx0，cos2x01sin2x01a2， 故 acos2x0sinx0a（1a2）+a2aa3，a1，0）， 设 f（a）2aa3，a1，0）， 则 f（a）23a2，令 f（a）0，解得：a， 故 a（1，）时，f（a）0，a（，0）时，f（a）0， 故 f（a）minf（）， 故 acos2x0sinx0的最小值是 21已知抛物线 y24x 及点 P（4，0） （）以抛物线焦点 F 为圆心，|FP|为半径作圆，求圆 F 与抛物线交点的横坐标； （） A、 B是抛物线上不同的两点， 且直线 AB与
29、x 轴不垂直， 弦 AB的垂直平分线恰好经过点P， 求 的范围 解：（）由抛物线的方程可得焦点 F（1，0），|PF|3， 所以抛物线焦点 F 为圆心，|FP|为半径作圆的方程为：（x1）2+y29， 联立，整理可得：x2+2x80，解得 x4 或 2， 由抛物线的方程可得 x0， 所以圆 F 与抛物线交点的横坐标为 2； （）设直线 AB 的方程为：ykx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），k0， 整理可得：ky24y+4b0， 1616kb0bk1，且 y1+y2，y1y2，y1+y2k（x1+x2）+2b，所以 x1+x2 ， 所以 AB 的中点坐标（，），即 AB 的中点（，）
30、所以线段 AB 的中垂线的方程为：y（x+）， 过（4，0）0（4+）2k2+bk20， （x11，y1）， （x21，y2）， 所以 （x11）（x21） +y1y2 （1）（1） +y1y2y12y22 （y1+y2） 22y 1y2+1+y1y2 +1， 因为 2k2+bk20， 所以k1 时，b0，则+13， k1 时，b2k+， 所以+17+， bk1，所以2k2+21，k2， 所以 k4，（0，4），所以 （0，16）， 所以（7，9）， 综上所述：的取值范围为：（7，9） 选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为
31、（t 为参数）以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）已知点 P 是曲线 C2上一点，求线段 OP 的中点 M 到曲线 C1距离的最小值 解：（）曲线 C1的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为 曲线 C2的极坐标方程为 2 ，根据，转换为直角坐标方程为 （）把转换为参数方程为（ 为参数）， 线段 OP 的中点 M（）到直线的距离 d， 当时， 选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 23已知 f（x）|x+a|x3| （）当 a1 时，画出函数 yf（x）的图象； （）若关于 x 的不等式 f（x）a21 有解，求实数 a 的取值范围 解：（）当 a1 时，f（x）|x1|x3|， 其图象如图所示 （）f（x）|x+a|x3|（x+a）（x3）|a+3|， 因为关于 x 的不等式 f（x）a21 有解， 则|a+3|a21， 当 a3 时，不等式即为a3a21，即 a2a20， 解得3a1 或 a2； 当 a3 时，不等式即为 a+3a21，即 a2+a+40， 116150，所以 a2+a+40 恒成立， 所以 a3， 综上可得，实数 a 的取值范围是（，12，+）
