1、 专题专题 07 平面直角坐标系平面直角坐标系 知识点知识点 1 1：认识平面直角坐标系：认识平面直角坐标系 1.有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对，记做（a,b） 2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为 x 轴或横轴；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面 直角坐标系的原点。 4.坐标：对于平面内任一点 P，过 P 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在 x 轴，y 轴上，对应的数 a,b 分 别叫点 P 的横坐标和纵坐标。 5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分
2、叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象 限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 知识点知识点 2 2：坐标方法的简单应用：坐标方法的简单应用 1.用坐标表示地理位置； 2.用坐标表示平移。 1.平面直角坐标系中各象限点的坐标特点 第一象限的点：横坐标0，纵坐标0； 第二象限的点：横坐标0； 第三象限的点：横坐标0，纵坐标0，纵坐标0，纵坐标=0； x轴负半轴上的点：横坐标0； y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标0； 坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。 3平面直角坐标系中对称点的坐标特点 关于x轴对称的两个点，横坐标 相等，纵坐标 互为相反数； 关于y轴对称的两个点，纵坐标相等
3、，横坐标互为相反数； 关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。 4平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同； 在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同； 在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。 如果点 P(a，b) 在一、三象限角平分线上，则 P 点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ； 如果点 P(a，b) 在二、四象限角平分线上，则 P 点的横坐标与纵坐标互为相反数，即 a = b 。 5.表示一个点(或物体)的位置的方法： 一是准确恰当地建立平面直角坐标系； 二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。 选择的坐标原点不同，建
4、立的平面直角坐标系也不同，得到的同一个点的坐标也不同。 6.图形的平移可以转化为点的平移。坐标平移规律： 左右平移时，横坐标进行加减，纵坐标不变； 上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减； 坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。 例如：例如：将点 P(2，3)向左平移 2 个单位后得到的点的坐标为(0， 3)； 将点 P(2，3)向右平移 2 个单位后得到的点的坐标为(4， 3)； 将点 P(2，3)向上平移 2 个单位后得到的点的坐标为(2， 4)； 将点 P(2，3)向下平移 2 个单位后得到的点的坐标为(2， 1)； 将点 P(2，3)先向左平移 3 个单位后再向上平移 5
5、 个单位后得到的点的坐标为(-1， 8)； 将点 P(2，3)先向左平移 3 个单位后再向下平移 5 个单位后得到的点的坐标为(-1， -2)； 将点 P(2，3)先向右平移 3 个单位后再向上平移 5 个单位后得到的点的坐标为(5， 8)； 将点 P(2，3)先向右平移 3 个单位后再向下平移 5 个单位后得到的点的坐标为(5， -2)。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020菏泽）菏泽）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移 3 个单位得到点P，则点P关 于x轴的对称点的坐标为（ ） A （0，2） B （0，2） C （6，2） D （6，2） 【答案】A 【解析】先根据
6、向右平移 3 个单位，横坐标加 3，纵坐标不变，求出点P的坐标，再根据关于x轴对称， 横坐标不变，纵坐标相反解答 将点P（3，2）向右平移 3 个单位得到点P， 点P的坐标是（0，2） ， 点P关于x轴的对称点的坐标是（0，2） 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020达州）达州）如图，点P（2，1）与点Q（a，b）关于直线 1（y1）对称，则a+b 【答案】5 【解析】利用轴对称的性质求出等Q的坐标即可 点P（2，1）与点Q（a，b）关于直线 1（y1）对称， a2，b3， a+b235。 【例题【例题 3 3】 （】 （20202020 年浙江台州）年浙江台州）如图，把ABC 先向
7、右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到DEF，则顶 点 C（0，-1）对应点的坐标为（ ） A. （0，0） B. （1，2） C. （1，3） D. （3，1） 【答案】D 【解析】先找到顶点 C 的对应点为 F，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标 顶点 C 的对应点为 F， 由图可得 F 的坐标为（3，1） 【点拨】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知直角坐标系的特点 平面直角坐标系单元精品检测试卷平面直角坐标系单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 30
8、30 分）分） 1 （20202020淮安）淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （2，3） B （3，2） C （3，2） D （2，3） 【答案】C 【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 点（3，2）关于原点对称的点的坐标是： （3，2） 2.2.（20202020 成都）成都）在平面直角坐标系中，将点(3,2)P向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. (3,0) B. (1,2) C. (5,2) D. (3,4) 【答案】A 【解析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加” ，即可解答 将点 P3,2向下平移 2 个单位长度所
9、得到的点坐标为3,22，即3,0， 【点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减； 纵坐标，上移加，下移减 3.3.（20202020 山东菏泽）山东菏泽）在平面直角坐标系中，将点3,2P 向右平移3个单位得到点 P ，则点 P 关于x轴 的对称点的坐标为（ ） A. 0, 2 B. 0,2 C. 6,2 D. 6, 2 【答案】A 【解析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加 3，纵坐标不变，得到点 P 的坐标，再根据 关于x轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可 将点3,2P 向右平移3个单位， 点
10、 P 的坐标为：(0，2)， 点 P 关于x轴的对称点的坐标为：(0，-2) 【点拨】 本题考查平移时点的坐标特征及关于x轴的对称点的坐标特征， 熟练掌握对应的坐标特征是解题的 关键 4.在平面直角坐标系中，点（1，m 2+1）一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】B 【解析】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第 一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+，） 应先判断出点的横纵坐标 的符号，进而判断点所在的象限 因为点（1，m 2+1） ，横坐标0，纵坐标 m2+1 一定大于 0， 所
11、以满足点在第二象限的条件 5.如果点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上，P 点坐标为（ ） A （0，2） B （2，0） C （4，0） D （0，4） 【答案】B 【解析】因为点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上，那么其纵坐标是 0，即 m+1=0，m=1，进而可求得 点 P 的横纵坐标 点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上， m+1=0， m=1， 把 m=1 代入横坐标得：m+3=2 则 P 点坐标为（2，0） 6. 点P（4，3）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A. 【解析】考点是平面直角
12、坐标系中各象限点的特征.根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象 限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（，） ；第二象限（，） ；第三象限（，） ；第四象 限（，）.故点P（4，3）位于第一象限. 故选A. 7. 已知点A(a，1)与点A(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ） Aa5，b1 Ba5，b1 Ca5，b1 Da5，b1 【答案】D 【解析】考点是考点是关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数点A(a，1) 与点A(5，b)关于坐标原点对称，a5，b1，故选 D 8. 在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第一象限内，则点B（a，b）所
13、在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【解析】考点是点的坐标根据各象限内点的坐标特征解答即可 点A（a，b）在第一象限内， a0，b0，b0， 点B（a，b）所在的象限是第四象限 9.如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】A 【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可 由B点平移前后的纵坐标分别为 1、2，可得B点向上平移了 1 个单位， 由A点平移前后的横坐标分别是为 2、3，可得A点向右平移了 1 个单位， 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移 1 个单位，再向
14、右平移 1 个单位， 所以点A、B均按此规律平移， 由此可得a=0+1=1，b=0+1=1， 故a+b=2 10.如图，将PQR向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，3） D （1，3） 【答案】A 【解析】本题考查了图形的平移变换，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加， 下移减直接利用平移中点的变化规律求解即可由题意可知此题规律是（x+2，y3） ，照此规律计算可 知顶点P（4，1）平移后的坐标是（2，4） 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3333 分）分） 1
15、1.11.（20202020 年浙江省丽水）年浙江省丽水）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案 点P（m，2）在第二象限内 ， m0， 则m的值可以是1（答案不唯一） 12.12.（20202020 新疆兵团）新疆兵团）如图，在平面直角坐标系中，在 x 轴、y 轴的正半轴上分别截取 OA、OB，使 OA=OB； 再分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 2 AB长为半径作弧，两弧交于点 P若点 C 的坐标为(,23aa)，则a 的值为_ 【答案】3 【解析】由题意根据角平分线的性
16、质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答案 由题意可知，点 C 在AOB 的平分线上， 23aa，解得3a 【点拨】本题主要考查角平分线的性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作法得出 C 点坐标 性质是解题的关键 13.13.（20202020 甘肃武威）甘肃武威）如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点A，B的坐标分别为(3, 3)，(4,0)， 把OAB沿x轴向右平移得到CDE，如果点D的坐标为(6, 3)，则点E的坐标为_ 【答案】(7,0) 【解析】根据 B 点横坐标与 A 点横坐标之差和 E 点横坐标与 D 点横坐标之差相等即可求解 由题意知：A、B 两点之间的横坐标
17、差为：4 3 1 ， 由平移性质可知：E、D 两点横坐标之差与 B、A 两点横坐标之差相等， 设 E 点横坐标为 a， 则 a-6=1，a=7， E 点坐标为(7,0) 故答案为：(7,0) 【点拨】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解 决此题的关键. 14在平面直角坐标系中，点(3,2)关于 y 轴的对称点的坐标是 。 【答案】(3,2) 【解析】坐标的对称问题。可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于 原点对称都变。 15在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，3） ，作点 A 关于 x 轴的对称点，得到点 A，
18、再作点 A 关于 y 轴的对称点，得到点 A，则点 A的坐标是（_ ，_） 【答案】2；3 【解析】点 A 的坐标是（2，3） ，作点 A 关于 x 轴的对称点，得到点 A，A的坐标为： （2，3） ， 点 A关于 y 轴的对称点，得到点 A，点 A的坐标是： （2，3） 16. 如果点 M（3，x）在第一象限，则 x 的取值范围是 【答案】x0 【解析】根据第一象限内点的横坐标大于零，点的纵坐标大于零，可得答案 由点 M（3，x）在第一象限，得 x0 17.若点A（x，2）在第二象限，则x的取值范围是 【答案】x0 【解析】考点是点的坐标根据第二象限内点的横坐标小于零，可得答案 由点A（x，
19、2）在第二象限，得x0， 18已知点 A（m 2+1，n22）与点 B（2m，4n+6）关于原点对称，则 A 关于 x轴的对称点 的坐标为_，B 关于 y 轴的对称点的坐标为_ 【答案】 （2，2） ， （2，2） 解析：由 m 2+1+2m=0，且 2m1，m0，得 m=1，n22+4n+6=0 得 n=2 即 A（2，2） ，B（2，2） ，A 关于 x 轴对称点为（2，2） ，B 关于 y 轴对称点为（2，2） 19已知 m 为整数，且点（124m，193m）在第二象限，则 m 2+2005 的值为_ 【答案】见解析。 【解析】由已知得 124m0，3m6且 m 为整数，m=4，5，6；
20、m 2+2005 的值相应为 2021，2030，2041 20如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那 么点 A 的对应点 A的坐标是 1 3 【答案】（2，3） 【解析】先写出点 A 的坐标为（6，3） ，横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案 点 A 变化前的坐标为（6，3） ， 将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点 A 的对应点的坐标是（2，3） ， 三、解答题三、解答题（7 7 个小题，共个小题，共 5757 分）分） 21.（5 分）如图所示，在方格纸（每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正
21、方 形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形如图中的ABC 称为格点ABC （1）如果 A，D 两点的坐标分别是（1，1）和（0，1） ，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写 出点 B，点 C 的坐标； （2）请根据你所学过的平移，旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点 ABC 图案”变换得到的 【答案】见解析。 【解析】 （1）如图所示B（1，1） ，C（3，1） （2）把“格点ABC 图案”向右平移 10 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度后，再以点 P（11，4）为 旋转中心，按顺时针方向旋转 180，即得到“格点四边形图案” 22 （6 分）如图
22、，直角坐标系中，ABC 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为（1，2） （1）写出点 A、B 的坐标： A（ ， ） 、B（ ， ） （2）将ABC 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到ABC，则 ABC的三 个顶点坐标分别是 A（ ， ） 、B（ ， ） 、C（ ， ） （3）ABC 的面积为 【答案】（1）A（2，1） 、B（4，3） （2）A（0，0） 、B（2，4） 、C（1，3） （3）5 【解析】A 在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B 的第一象限，横纵坐标均为正； 让三个点的横坐标减 2，纵坐标加 1 即为平移后的坐标；ABC 的面积等于边长为 3，4
23、 的长方形的面积减 去 2 个边长为 1，3 和一个边长为 2，4 的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解 （1）写出点 A、B 的坐标：A（2，1） 、B（4，3） （2）将ABC 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到ABC，则 ABC的三 个顶点坐标分别是 A（0，0） 、B（2，4） 、C（1，3） （3）ABC 的面积=3421324=5 23 （6 分）如图所示的直角坐标系中，四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A（0，0） 、B（9，0） 、C（7，5） 、 D（2，7） 求四边形 ABCD 的面积 【答案】四边形 ABCD 的面积为 42 平方单位
24、【解析】本题应利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积 过 D，C 分别作 DE，CF 垂直于 AB，E、F 分别为垂足，则有： S=SOED+SEFCD+SCFB =AEDE+（CF+DE）EF+FCFB =27+（7+5）5+25=42 故四边形 ABCD 的面积为 42 平方单位 24 （9 分）已知点 A（1，2） ，点 B（1，4） （1）试建立相应的平面直角坐标系； （2）描出线段 AB 的中点 C，并写出其坐标； （3）将线段 AB 沿水平方向向右平移 3 个单位长度得到线段 A1B1， 写出线段 A1B1两个端点及线段中点 C1的坐 标 【答案】（1）坐标系如
25、图： （2）C（0，1） ； （3）平移规律是（x+3，y） ，所以 A1（2，2） ，B1（4，4） ，C1（3，1） 【解析】此题主要考查图形的平移及平移特征在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相 同平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 画出平面直角坐标系后描出线段 AB 的中点 C，根据平移的规律求出线段 A1B1两个端点及线段中点 C1的坐标 为 A1（2，2） ，B1（4，4） ，C1（3，1） 25 （6 分）已知：A（0，1） ，B（2，0） ，C（4，3） （1）求ABC 的面积； （2）设点 P 在坐标轴上，且ABP 与ABC 的面积相
26、等，求点 P 的坐标 【答案】（1）4； （2）P1（6，0） 、P2（10，0） 、P3（0，5） 、P4（0，3） 【解析】本题考查了坐标与图形性质以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和 或差 （1）过 C 点作 CFx 轴于点 F，则 OA=1，OF=4，OB=2，OA=1，CF=3，AE=2根据 SABC=S四边形 EOFCSOABS ACESBCF代值计算即可 SABC=34232412=4； （2）分点 P 在 x 轴上和点 P 在 y 轴上两种情况讨论可得符合条件的点 P 的坐标如图所示：P1（6，0） 、 P2（10，0） 、P3（0，5） 、P4（0，3
27、） 26 （9 分）如图，在下面直角坐标系中，已知 A（0，a） ，B（b，0） ，C（b，c）三点，其中 a、b、c 满足 关系式|a2|+（b3） 2=0， （c4）20 （1）求 a、b、c 的值； （2）如果在第二象限内有一点 P（m，） ，请用含 m 的式子表示四边形 ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使四边形 ABOP 的面积与ABC 的面积相等？若存在，求出点 P 的 坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）a=2，b=3，c=4； （2）3m（3）存在点 P（3，） 【解析】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解答 （1）由
28、已知|a2|+（b3） 2=0， （c4）20 及（c4）20 可得：a=2，b=3，c=4； （2）23=3，2（m）=m， S四边形 ABOP=SABO+SAPO=3+（m）=3m （3）因为43=6， S四边形 ABOP=SABC 3m=6，则 m=3， 所以存在点 P（3，）使 S四边形 ABOP=SABC 27 （9 分）如图，已知 A（2，3） 、B（4，3） 、C（1，3） （1）求点 C 到 x 轴的距离； （2）求ABC 的面积； （3）点 P 在 y 轴上，当ABP 的面积为 6 时，请直接写出点 P 的坐标 【答案】（1）3（2）18（3） （0，1）或（0，5） 【解析
29、】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想 （1）点 C 的纵坐标的绝对值就是点 C 到 x 轴的距离解答； C（1，3） ， |3|=3， 点 C 到 x 轴的距离为 3； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； A（2，3） 、B（4，3） 、C（1，3） AB=4（2）=6，点 C 到边 AB 的距离为：3（3）=6， ABC 的面积为：662=18 （3）设点 P 的坐标为（0，y） ，根据ABP 的面积为 6，A（2，3） 、B（4，3） ，所以， 即|x3|=2，所以 x=5 或 x=1，即可解答 设点 P 的坐标为（0，y） ， ABP 的面积为 6，A
30、（2，3） 、B（4，3） ， 6|y3|=6， |y3|=2， y=1 或 y=5， P 点的坐标为（0，1）或（0，5） 28 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ，现同时将点 A，B 分别 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点 A，B 的对应点 C，D，连接 AC，BD （1）求点 C，D 的坐标及四边形 ABDC 的面积 S四边形 ABDC； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，连接 PA，PB，使 SPAB=S四边形 ABDC？若存在这样一点，求出点 P 的坐标；若不 存在，试说明理由 【答案】（1）8； （2） （0，4）或（0，4） 【解析】（1）根据平移规律，得出点 C，D 的坐标，根据：四边形 ABDC 的面积=ABOC 求解。 依题意，得 C（0，2） ，D（4，2） ， S四边形 ABDC=ABOC=42=8； （2）存在设点 P 到 AB 的距离为 h，则 SPAB=ABh，根据 SPAB=S四边形 ABDC，列方程求 h 的值，确定 P 点坐标 在 y 轴上是否存在一点 P，使 SPAB=S四边形 ABDC理由如下： 设点 P 到 AB 的距离为 h， SPAB=ABh=2h， 由 SPAB=S四边形 ABDC，得 2h=8，解得 h=4， P（0，4）或（0，4）
