1、 专题专题 16 16 二次根式二次根式 知识点知识点 1 1：二次根式的定义与性质：二次根式的定义与性质 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如)0(0aa的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数 a 的算数平 方根。 注意： 二次根式从形式上看， 应含有二次根号； 被开方数的取值范围有限制即被开方数 a 必须是非负数。 二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。 2.二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0aa的最小值是 0；也就是说a（）是一个非负数，即 )0(0aa。 注：因为二次根式)0(0aa表示 a 的算术平方根，这个性质在解答题目
2、时应用较多，如 若0ab，则 a=0,b=0；若0ab，则 a=0,b=0；若 2 0ab，则 a=0,b=0。 （2） 2 ()aa（） 文字语言叙述为： 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注： 二次根式的性质公式 2 ()aa （）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则 2 ()aa，如： 2 2( 2) （3） 知识点知识点 2 2：二次根式的乘除：二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：)0, 0(baabba 将上面的公式逆向运用可得：)0, 0(babaab 积的算术平方根， 等于积中各因式的算术平方 根的积。 2.二次根式的除法法则： b a
3、 b a ).0, 0(ba 要点诠释： （1） 当二次根式的前面有系数时， 可类比单项式与单项式相乘 （或相除） 的法则， 如a b c dac bd. （2）被开方数 a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如( 4) ( 9)49 . 3.分母有理化： （1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （2）关键：把分子、分母都乘以一个 适当的式子，化去分母中的根号。 4.最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。 知识点知识点 3 3：二次根式的加减：二次根式的加减 1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样
4、的二次根式叫做同类 二次根式。 2.二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式 进行合并。 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一、对于本章内容，学习中应达到以下几方面要求：一、对于本章内容，学习中应达到以下几方面要求： 1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2. 了解最简二次根式的概念； 3. 理解并掌握下列结论： 1）是非负数； （2）； （3）； 4. 掌握二次根式的加、减
5、、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算； 5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。 二、学习本章思维导图有利于对二次根式的重点把握二、学习本章思维导图有利于对二次根式的重点把握 三、三、与与的异同点的异同点 （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的 平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以 是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的 运算的结果是有差别的， ，而 （2） 相同点： 当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义， 而. 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020常德）常德
6、）计算：9 2 1 2 + 8 = 【答案】32 【解析】原式= 32 2 2 2 +22 32 【点拨】直接化简二次根式进而合并得出答案 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020常德）常德）若代数式 2 26在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 【答案】x3 【解析】由题意得：2x60， 解得：x3， 【点拨】根据二次根式有意义的条件可得 2x60，再解即可 【例题【例题 3 3】 （20202020济宁）济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ） A13 B12 C3 D5 3 【答案】A 【解析】A、13是最简二次根式，符合题意； B、12 =23，不是最简二次根式，不符合题意；
7、C、3=|a|，不是最简二次根式，不符合题意； D、5 3 = 15 3 ，不是最简二次根式，不符合题意 【点拨】利用最简二次根式定义判断即可 二次根式单元精品检测试卷二次根式单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3636 分）分） 1.若代数式+有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A x1 B x0 C x0 D x0 且 x1 【答案】D 【解析】根据分式及二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的取值范围即可 代数式+有意义， ， 解得 x0
8、且 x1 2.当 1a2 时，代数式+|1a|的值是（ ） A 1 B 1 C 2a3 D 32a 【答案】B 【解析】首先判断出 a20，1a0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可 当 1a2 时，a20，1a0， +|1a|=2a+a1=1 3 （20202020绥化）绥化）化简|2 3|的结果正确的是（ ） A2 3 B2 3 C2 +3 D32 【答案】D 【解析】2 30， |2 3|= (2 3) = 3 2 【点拨】根据绝对值的定义解答即可 4 （20202020泰州）泰州）下列等式成立的是（ ） A3+42 =72 B3 2 = 5 C3 1 6 =23 D(3)2=
9、3 【答案】D 【解析】A3 与 42不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B3 2 = 6，此选项计算错误； C3 1 6 = 3 6 =32，此选项计算错误； D(3)2=3，此选项计算正确。 【点拨】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得 5 （20202020聊城）聊城）计算45 33 3 5的结果正确的是（ ） A1 B5 3 C5 D9 【答案】A 【解析】原式= 35 33 15 5 = 35 3 9 15 5 = 5315 15 = 15 15 1 【点拨】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可 6 （20202020
10、无锡）无锡）下列选项错误的是（ ） Acos60= 1 2 Ba 2a3a5 C 1 2 = 2 2 D2（x2y）2x2y 【答案】D 【解析】Acos60= 1 2，故本选项不合题意； Ba 2a3a5，故本选项不合题意； C. 1 2 = 2 22 = 2 2 ，故本选项不合题意； D.2（x2y）2x4y，故本选项符合题意 【点拨】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一 判断即可 7 （20202020杭州）杭州）2 3 =（ ） A5 B6 C23 D32 【答案】B 【解析】2 3 = 6， 【点拨】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即
11、可 8.下列等式不一定成立的是（ ） A =（b0） B a 3a5= （a0） C a 24b2=（a+2b） （a2b） D （2a3）2=4a6 【答案】A 【解析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出 即可 A=（a0，b0） ，故此选项错误，符合题意； Ba 3a5= （a0） ，正确，不合题意； Ca 24b2=（a+2b） （a2b） ，正确，不合题意； D （2a 3）2=4a6，正确，不合题意 9 （20202020上海）上海）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A6 B9 C12 D18 【答案】C 【解析】A.6与
12、3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B.9 = 3，与3不是同类二次根式； C.12 = 23，与3被开方数相同，故是同类二次根式； D.18 = 32，与3被开方数不同，故不是同类二次根式 【点拨】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断 10 （20202020绥化）绥化）下列等式成立的是（ ） A16 =4 B8 3 =2 Ca1 = D64 = 8 【答案】D 【解析】A.16 = 4，故本选项不合题意； B.8 3 = 2，故本选项不合题意； C.1 = ，故本选项不合题意； D.64 = 8，故本选项符合题意 【点拨】分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式的性质逐一化
13、简即可判断 11 （20202020济宁）济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ） A13 B12 C3 D5 3 【答案】A 【解析】A、13是最简二次根式，符合题意； B、12 =23，不是最简二次根式，不符合题意； C、3=|a|，不是最简二次根式，不符合题意； D、5 3 = 15 3 ，不是最简二次根式，不符合题意 【点拨】利用最简二次根式定义判断即可 12 （20202020重庆）重庆）下列计算中，正确的是（ ） A2 + 3 = 5 B2+2 =22 C2 3 = 6 D23 2= 3 【答案】C 【解析】A2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B2 与2不是同类二次
14、根式，不能合并，此选项计算错误； C2 3 = 2 3 = 6，此选项计算正确； D23与2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； 【点拨】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 13 （20192019衡阳）衡阳）27 3 = 【答案】23 【解析】原式33 3 =23 【点拨】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案 14 （20202020苏州）苏州）使1 3 在实数范围内有意义的x的取值范围是 【答案】x1 【解析】由题意得，x10， 解得，x1， 【分析】根据二次根式中的被开
15、方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案 15.若=3x，则 x 的取值范围是 【答案】x3 【解析】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当 a0 时，=a， 当 a0 时，=a 根据二次根式的性质得出 3x0，求出即可 =3x， 3x0， 解得：x3， 16若 y=+2，则 x y= 【答案】9 【解析】根据二次根式有意义的条件得出 x30，3x0，求出 x，代入求出 y 即可 y=有意义， 必须 x30，3x0， 解得：x=3， 代入得：y=0+0+2=2， x y=32=9 17若 y=2，则（x+y） y= 【答案】1/4 【解析】根据被开方数大于等于 0，列式求出 x，再求出
16、y，然后代入代数式进行计算即可得解 由题意得，x40 且 4x0， 解得 x4 且 x4， x=4， y=2， x+y） y=（42）2= 18计算的结果是 【答案】5 【解析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键 直接利用二次根式的性质化简求出即可 =5 19.计算：2等于 【答案】2 【解析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式， 再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键先把各根 式化为最简二次根式，再合并同类项即可 原式=3=2 20.（）= 【答案】8 【解析】此题考查
17、了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果 原式=91=8 21.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 2 |()aab的结果是 . 【答案】2a+b 【解析】直接利用数轴上 a，b 的位置，进而得出 a0，ab0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简 得出答案 由图可知：a0，ab0，则 |a|+=a（ab）=2a+b 22 （20202020湖州）湖州）计算：8 +|2 1|=_ 【答案】32 1 【解析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可 原式22 + 2 132 1 三、
18、解答题三、解答题（8 8 个小题，共个小题，共 5454 分）分） 23.（5 分）化简： baba ba ba 44 2 4 1 ）（ 【答案】见解析。 【解析】00ba ，所以 22 bbaa ，ba4可看作 22 4ba可利用乘法公式来进行化 简，使运算变得简单。 原式 2 2 2 22 1ba ba baba ba ba ba baba 4 2 2 1 22 2 24 （5 分）计算： （+1） （1）+（ ） 0 【答案】见解析。 【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算， 然后合并同类二次根式 也考查了零指数幂 先根据平方差公式和零
19、指数幂的意义得到原式=31+21， 然后进行加减运算 原式=31+21=1+2 25 （5 分） （20202020铜仁市）铜仁市）计算：2 1 2 （1） 20204 （5 3）0 【答案】见解析。 【分析】原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值； 【解析】 （1）原式22121 4121 0； 26.（5 分）把下列式子的分母有理化：；）；（）（ 232 5 2 2 3 2 1 1 【答案】见解析。 【解析】把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有 二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与2，35
20、35 与3535 均为有理化因式。 10 10152 232232 2325 232 5 2 6 4 1 22 23 2 1 2 3 2 1 1 27.（8 分）实数, ,a b c在数轴上对应的点如图： 化简 22 ()1()accbabc . 【答案】1 c 【解析】由数轴可知0,0,0,acbacb并且ba ,0 0,10 0,0, 0 0,0 0 acac cc abba ba bc bc 22 ()1()accbabc =1accbabc =1a cc b a b c =1 c 28.（8 分）已知 a、b、c 为ABC 的三边长，化简 【答案】2a+4b 【解析】利用三角形任意两边
21、之和大于第三边和进行化简. a、b、c 为ABC 的三边长， 原式 29 （6 分）探究过程：观察下列各式及其验证过程 3 3 8 33 8. 验证：3 3 8 3 2 3 8 3 3 8 3 333 3 21 33 21 3 3 21 33 21 3 21 3 3 21 33 8. 同理可得：4 4 15 4 4 15 5 5 24 5 5 24， 通过上述探究你能猜测出：a a a 21_(a0)，并验证你的结论 【答案】见解析。 【解析】a a a 21a a a 21 验证：a a a 21a 2 a a 21 a 3 a 21 a 3aa a 21 a 3a a 21 a a 21
22、aa 21 a 21 a a 21a a a 21. 30 （12 分）阅读材料： 小明在学习二次根式后， 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如 3+= （1+） 2 善 于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b=（m+n） 2（其中 a、b、m、n 均为整数） ，则有 a+b =m 2+2n2+2mn a=m 2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1） 当 a、 b、 m、 n 均为正整数时， 若 a+b=， 用含 m、 n 的式子分别表示 a、 b， 得： a= ， b= ； （2）利用所探
23、索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： +2=（ +） 2； （3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？ 【答案】 （1）m 2+3n2，2mn （2）4、1 （3）13 【解析】根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b 的表达式；首先确定好 m、n 的正整数值，然后根据 （1）的结论即可求出 a、b 的值；根据题意，4=2mn，首先确定 m、n 的值，通过分析 m=2，n=1 或者 m=1， n=2，然后即可确定好 a 的值 （1）a+b=， a+b=m 2+3n2+2mn ， a=m 2+3n2，b=2mn （2）设 m=1，n=1， a=m 2+3n2=4，b=2mn=2 故答案为 4、2、1、1 （3）由题意，得： a=m 2+3n2，b=2mn 4=2mn，且 m、n 为正整数， m=2，n=1 或者 m=1，n=2， a=2 2+312=7，或 a=12+322=13
