1、2019-2020 学年广东省广州市学年广东省广州市番禺区番禺区九年级（下）第一次月考数学试卷九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 目要求的目要求的.） 15 的倒数是（ ） A B5 C5 D 2如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ） A B C D 32016 年某市用于资助贫困学生的助学金总额是 9680000 元，将 9680000 用科学记数法表示为（ ） A96.8105
2、 B9.68106 C9.68107 D0.968108 4有一组数据：2，5，5，6，7，这组数据的平均数为（ ） A3 B4 C5 D6 5已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（ABC30） ，其中 A，B 两点 分别落在直线 m，n 上，若115，则2 度数为（ ） A15 B30 C45 D55 6下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a3 Ba C （a+1）2a2+1 D （a3）2a6 7如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB、OD，若BODBCD，则劣弧的长 为（ ） A B C2 D3 8我国古代数学著作增删算法统宗记载“
3、绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一托折 回索子却量竿，却比竿子短一托 “其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是 （ ） A B C D 9“赶陀螺” 是一项深受人们喜爱的运动， 如图所示是一个陀螺的立体结构图 已知底面圆的直径 AB8cm， 圆柱体部分的高 BC6cm，圆锥体部分的高 CD3cm，则这个陀螺的表面积是（ ） A68cm2 B74cm2 C84cm2 D100cm2 10如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 P 是 BC 边上的一个动点
4、（点 P 与点 B、C 都不重合） ，现将 PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作BPF 的角平分线交 AB 于点 E设 BPx，BE y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 11分解因式：ab34a 12定义：a*b，则方程 2*（x+3）1*（2x）的解为 13如图，O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D，则劣弧所对的圆心角BOD 的 大小为 度 14 若实数m、 n满足|m2|+0
5、， 且m， n恰好是等腰ABC的两条边的边长， 则ABC的周长是 15观察以下等式 第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： 第 4 个等式： 第 5 个等式： 按照以上规律，写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示） 16如图，正方形 ABCD 的边长是 3，P，Q 分别在 AB，BC 的延长线上，BPCQ，连接 AQ，DP 交于点 O，并分别与 CD，BC 交于点 F，E，连接 AE下列结论： AQDP OA2OEOP SAODS四边形OECF 当 BP1 时，tanOAE 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 1
6、02 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 18如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DFBE求证：AFCE 19已知 P（ab，ab0） （1）化简 P； （2）若 a、b 是方程 x2+（1+）x+0 的两实根，求 P 的值 20为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检 结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 尺寸 （cm） 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.
7、97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸（单位：cm） 产品等次 8.97x9.03 特等品 8.95x9.05 优等品 8.90 x9.10 合格品 x8.90 或 x9.10 非合格品 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内 （1）已知此次抽检的合格率为 80%，请判断编号为的产品是否为合格品，并说明理由 （2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 9cm （i）求 a 的值； （ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 9cm，另一组尺寸不大于 9cm，从这两组中各
8、随机抽取 1 件 进行复检，求抽到的 2 件产品都是特等品的概率 21一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取 了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每 天可多售出 2 件 （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 22 如图， A 为反比例函数 y （其中 x0） 图象上的一点， 在 x 轴正半轴上有一点 B， OB4 连接 OA， AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2） 过点 B 作 BC
9、OB， 交反比例函数 y （其中 x0） 的图象于点 C， 连接 OC 交 AB 于点 D，求 的值 23如图，半圆的直径 AB10，有一条定长为 6 的动弦 CD 在弧 AB 上滑动（点 C、点 D 分别不与点 A、 点 B 重合） ，过点 C、D 分别作 CECD，DFCD，交 AB 于点 E、F （1）尺规作图：找出半圆的圆心 O（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）连接 OC，若EOC45，求线段 EF 的长 24在 ABC 中，CACB，ACB90点 P 是平面内不与点 A、C 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 DP，连接 AD，BD，CP
10、 （1）如图 1，求的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数； （2）如图 2，若点 E、F 分别是 CA、CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，当点 C，P，D 在同一直线上时， 求的值 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数（m 为常数）的图象与 x 轴交于点 A（3，0） ， 与 y 轴交于点 C以直线 x1 为对称轴的抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）经过 A，C 两 点，并与 x 轴的正半轴交于点 B （1）求 m 的值及抛物线的函数表达式； （2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F
11、是否存在这样的点 E， 使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面 积；若不存在，请说明理由； （3）若 P 是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线 交抛物线于 M1（x1，y1） ，M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 15 的倒数是（ ） A B5 C5 D 【分析】根据倒数的定义，即可求出5 的倒数 【解答】解：5（）1， 5 的倒数是 故选：D 2如图是由 4 个相同的小正方
12、体组成的一个立体图形，其主视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示： 故选：A 32016 年某市用于资助贫困学生的助学金总额是 9680000 元，将 9680000 用科学记数法表示为（ ） A96.8105 B9.68106 C9.68107 D0.968108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝
13、对值1 时，n 是 非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 9680000 用科学记数法表示为：9.68106 故选：B 4有一组数据：2，5，5，6，7，这组数据的平均数为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】把给出的这 5 个数据加起来，再除以数据个数 5，就是此组数据的平均数 【解答】解： （2+5+5+6+7）5 255 5 答：这组数据的平均数是 5 故选：C 5已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（ABC30） ，其中 A，B 两点 分别落在直线 m，n 上，若115，则2 度数为（ ） A15 B30 C45 D55 【分析】根
14、据平行线的性质即可得到结论 【解答】解：直线 mn， 2ABC+130+1545， 故选：C 6下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a3 Ba C （a+1）2a2+1 D （a3）2a6 【分析】 根据合并同类项的法则： 把同类项的系数相加， 所得结果作为系数， 字母和字母的指数不变； a （a0） ；完全平方公式： （ab）2a22ab+b2；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即 可 【解答】解：A、a2和 a 不是同类项，不能合并，故原题计算错误； B、|a|，故原题计算错误； C、 （a+1）2a2+2a+1，故原题计算错误； D、 （a3）2a6，故原题计算正确； 故选：D 7
15、如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB、OD，若BODBCD，则劣弧的长 为（ ） A B C2 D3 【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出A60，得出BOD120，再由弧长公式即可 得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， BCD+A180， BOD2A，BODBCD， 2A+A180， 解得：A60， BOD120， 的长2； 故选：C 8我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一托折 回索子却量竿，却比竿子短一托 “其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿
16、，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是 （ ） A B C D 【分析】设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托” ， 即可得出关于 x、y 的二元一次方程组 【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺， 根据题意得： 故选：A 9“赶陀螺” 是一项深受人们喜爱的运动， 如图所示是一个陀螺的立体结构图 已知底面圆的直径 AB8cm， 圆柱体部分的高 BC6cm，圆锥体部分的高 CD3cm，则这个陀螺的表面积是（ ） A68cm2 B74cm2 C84cm2 D100cm2 【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即
17、可求得其表面积 【解答】解：底面圆的直径为 8cm，高为 3cm， 母线长为 5cm， 其表面积45+42+8684cm2， 故选：C 10如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 与点 B、C 都不重合） ，现将 PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作BPF 的角平分线交 AB 于点 E设 BPx，BE y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】证明BPECDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得 y 与 x 的函数关系式，根据函数 的性质即可作出判断 【解答】解：CPDF
18、PD，BPEFPE， 又CPD+FPD+BPE+FPE180， CPD+BPE90， 又直角BPE 中，BPE+BEP90， BEPCPD， 又BC， BPECDP， ，即，则 yx2+x，y 是 x 的二次函数，且开口向下 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11分解因式：ab34a a（b34） 【分析】直接找出公因式 a，进而提取公因式得出答案 【解答】解：ab34aa（b34） 故答案为：a（b34） 12定义：a*b，则方程 2*（x+3）1*（2x）的解为 x1 【分析】根据新定义列分式方程可得结论 【解答】解：2*（x+3）1*（2x） ， ， 4xx+3， x
19、1， 经检验：x1 是原方程的解， 故答案为：x1 13如图，O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D，则劣弧所对的圆心角BOD 的 大小为 144 度 【分析】根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求 出AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， EA108 AB、DE 与O 相切， OBAODE90， BOD（52）1809010810890144， 故答案为：144 14若实数 m、n 满足|m2|+0，且 m，n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长是 10 【分析
20、】由已知等式，结合非负数的性质求 m、n 的值，再根据 m、n 分别作为等腰三角形的腰，分类求 解 【解答】解：|m2|+0， m20，n40， 解得 m2，n4， 当 m2 作腰时，三边为 2，2，4，不符合三边关系定理； 当 n4 作腰时，三边为 2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+410 故答案为：10 15观察以下等式 第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： 第 4 个等式： 第 5 个等式： 按照以上规律，写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示） 【分析】根据已知等式得出规律即可 【解答】解：第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式：
21、第 4 个等式： 第 5 个等式： 第 n 个等式为：， 故答案为： 16如图，正方形 ABCD 的边长是 3，P，Q 分别在 AB，BC 的延长线上，BPCQ，连接 AQ，DP 交于点 O，并分别与 CD，BC 交于点 F，E，连接 AE下列结论： AQDP OA2OEOP SAODS四边形OECF 当 BP1 时，tanOAE 其中正确结论的序号是 【分析】由四边形 ABCD 是正方形，得到 ADBC，DABABC90，根据全等三角形的性质得 到PQ，根据余角的性质得到 AQDP；故正确；根据相似三角形的性质得到 AO2ODOP， 由 ODOE，得到 OA2OEOP；故错误；根据全等三角形
22、的性质得到 CFBE，DFCE，于是得 到 SADFSDFOSDCESDOF，即 SAODS四边形OECF；故正确；根据相似三角形的性质得到 BE ，求得 QE，QO，OE，由三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADBC，DABABC90， BPCQ， APBQ， 在DAP 与ABQ 中， ， DAPABQ（SAS） ， PQ， Q+QAB90， P+QAB90， AOP90， AQDP； 故正确； DOAAOP90，ADO+PADO+DAO90， DAOP， DAOAPO， ， AO2ODOP， AEAB， AEAD， ODOE， OA2OEOP；故错误；
23、在CQF 与BPE 中 ， CQFBPE（AAS） ， CFBE， DFCE， 在ADF 与DCE 中， ， ADFDCE（SAS） ， SADFSDFOSDCESDOF， 即 SAODS四边形OECF；故正确； BP1，AB3， AP4， PBEPAD， ， BE， QE， QOEPAD， ， QO，OE， AO5QO， tanOAE，故正确， 故答案为 三解答题三解答题 17解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案 【解答】解：， 解不等式得 x2， 解不等式得 x1， 把不等式的解集在数轴上表示如图 ， 原不等式组的解集为2x1
24、 18如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DFBE求证：AFCE 【分析】由 SAS 证明ADFCBE，即可得出 AFCE 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， DB90，ADBC， 在ADF 和CBE 中， ADFCBE（SAS） ， AFCE 19已知 P（ab，ab0） （1）化简 P； （2）若 a、b 是方程 x2+（1+）x+0 的两实根，求 P 的值 【分析】 （1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可； （2）根据根与系数的关系得出 ab，代入求出即可 【解答】解： （1）P（） ab（a+b） ab（a+b） ab 3ab；
25、（2）a、b 是方程 x2+（1+）x+0 的两实根， ab， P3ab3 20为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检 结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 尺寸 （cm） 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸（单位：cm） 产品等次 8.97x9.03 特等品 8.95x9.05 优等品 8.90 x9.10 合格品 x8.90 或 x9.10 非合格品 注：在统计优等品个数
26、时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内 （1）已知此次抽检的合格率为 80%，请判断编号为的产品是否为合格品，并说明理由 （2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 9cm （i）求 a 的值； （ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 9cm，另一组尺寸不大于 9cm，从这两组中各随机抽取 1 件 进行复检，求抽到的 2 件产品都是特等品的概率 【分析】 （1）由 1580%12，不合格的有 15123 个，给出的数据只有两个不合格可得答案； （2） （i）由可得答案； （ii）由特等品为，画树状图列出所有等可能结果，再根据 概率公式求解可得 【解答】解：
27、（1）不合格 因为 1580%12，不合格的有 15123 个，给出的数据只有两个不合格； （2） （i）优等品有，中位数在8.98，a 之间， ， 解得 a9.02 （ii）大于 9cm 的优品有，小于 9cm 的优品有，其中特等品为 画树状图为： 共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有 4 种 抽到两种产品都是特等品的概率 P 21一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取 了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每 天可多售出 2 件 （1）若降价 3 元，则
28、平均每天销售数量为 26 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 【分析】 （1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售 出 236 件，即平均每天销售数量为 20+626 件； （2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可 【解答】解： （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2326 件 故答案为：26； （2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元 根据题意，得 （40 x） （20+2x）1200， 整理，得 x230 x+2000，
29、解得：x110，x220 要求每件盈利不少于 25 元， x220 应舍去， x10 答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元 22 如图， A 为反比例函数 y （其中 x0） 图象上的一点， 在 x 轴正半轴上有一点 B， OB4 连接 OA， AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2） 过点 B 作 BCOB， 交反比例函数 y （其中 x0） 的图象于点 C， 连接 OC 交 AB 于点 D，求 的值 【分析】 （1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，利用等腰三角形的性质可得出 DH 的长，利用勾股定理可得出 AH 的长
30、，进而可得出点 A 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征 即可求出 k 值； （2）由 OB 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出 BC 的长，利用三角形中位线定理可求出 MH 的长，进而可得出 AM 的长，由 AMBC 可得出ADMBDC，利用相似三角形的性质即可求出 的值 【解答】解： （1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，如图所示 OAAB，AHOB， OHBHOB2， AH6， 点 A 的坐标为（2，6） A 为反比例函数 y图象上的一点， k2612 （2）BCx 轴，OB4，点 C 在反比例函数 y上， BC3 AHBC，OHBH，
31、MHBC， AMAHMH AMBC， ADMBDC， 23如图，半圆的直径 AB10，有一条定长为 6 的动弦 CD 在弧 AB 上滑动（点 C、点 D 分别不与点 A、 点 B 重合） ，过点 C、D 分别作 CECD，DFCD，交 AB 于点 E、F （1）尺规作图：找出半圆的圆心 O（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）连接 OC，若EOC45，求线段 EF 的长 【分析】 （1）作线段 CD 的垂直平分线 MN，MN 交 AB 于点 O，点 O 即为所求 （2）如图，设 MN 交 CD 于 K，连接 OC，过点 E 作 EHOC 于 H证明 OHEH，设 EH 3m，CH4m，则 OH
32、EH3m，构建方程求解即可 【解答】解： （1）如图，点 O 即为所求 （2）如图，设 MN 交 CD 于 K，连接 OC，过点 E 作 EHOC 于 H ECCD，FDCD，OKCD， CEOKDF， CKDK， OEOF， EOH45，EHO90， EOHOEH45， OHOE， 在 RtOCK 中，OKC90，OC5，CK3， OK4， tanCOK， ECOK， ECOCOK， tanECOtanCOK， ，设 EH3m，CH4m，则 OHEH3m， 3m+4m5， m， OEOH， OEOH， EF2OE 24在 ABC 中，CACB，ACB90点 P 是平面内不与点 A、C 重合的
33、任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）如图 1，求的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数； （2）如图 2，若点 E、F 分别是 CA、CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，当点 C，P，D 在同一直线上时， 求的值 【分析】 （1）设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E证明DABPAC，即可解决问题 （2）分两种情形：当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H证明 ADDC 即可解决问 题 当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC 解决问题 【解答】解： （
34、1）如图 1 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E PADCAB45， PACDAB， ， DABPAC， PCADBA， EOCAOB， CEOOAB45， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45 （2）如图 2 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB， EFAB， EFCABC45， PAO45， PAOOFH， POAFOH， HAPO， APC90，EAEC， PEEAEC， EPAEAPBAH， HBAH， BHBA， ADPBDC45， ADB90， BDAH， DBADBC22.5， AD
35、BACB90， A，D，C，B 四点共圆， DACDBC22.5，DCAABD22.5， DACDCA22.5， DADC，设 ADa，则 DCADa，PDa， 如图 3 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则 CDADa，PDa， PCaa， 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数（m 为常数）的图象与 x 轴交于点 A（3，0） ， 与 y 轴交于点 C以直线 x1 为对称轴的抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）经过 A，C 两 点，并与 x 轴的正半轴交于点 B （1）求 m 的值及抛物线的函数表达式； （2）设 E 是 y
36、轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E， 使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面 积；若不存在，请说明理由； （3）若 P 是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线 交抛物线于 M1（x1，y1） ，M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程 【分析】 （1）首先求得 m 的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到 B 点坐标，根据 A、B 点坐标利 用交点式求得抛物线的解析式； （2）存在点 E 使得以 A、C、E、F
37、 为顶点的四边形是平行四边形如答图 1 所示，过点 E 作 EGx 轴 于点 G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得 E 点坐标和平行四边形的面积注 意：符合要求的 E 点有两个，如答图 1 所示，不要漏解； （3）本问较为复杂，如答图 2 所示，分几个步骤解决： 第 1 步：确定何时ACP 的周长最小利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决； 第 2 步：确定 P 点坐标 P（1，3） ，从而直线 M1M2的解析式可以表示为 ykx+3k； 第 3 步：利用根与系数关系求得 M1、M2两点坐标间的关系，得到 x1+x224k，x1x24k3这一 步是为了后续的复杂计算做
38、准备； 第 4 步：利用两点间的距离公式，分别求得线段 M1M2、M1P 和 M2P 的长度，相互比较即可得到结论： 1 为定值这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论 【解答】解： （1）经过点（3，0） ， 0+m，解得 m， 直线解析式为，C（0，） 抛物线 yax2+bx+c 对称轴为 x1，且与 x 轴交于 A（3，0） ， 另一交点为 B（5，0） ， 设抛物线解析式为 ya（x+3） （x5） ， 抛物线经过 C（0，） ， a3（5） ，解得 a， 抛物线解析式为 yx2+x+； （2）假设存在点 E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形， 则
39、ACEF 且 ACEF如答图 1， （i）当点 E 在点 E 位置时，过点 E 作 EGx 轴于点 G， ACEF，CAOEFG， 又， CAOEFG， EGCO，即 yE， xE2+xE+，解得 xE2（xE0 与 C 点重合，舍去） ， E（2，） ，SACEF； （ii）当点 E 在点 E位置时，过点 E作 EGx 轴于点 G， 同理可求得 E（+1，） ，SACFE （3）要使ACP 的周长最小，只需 AP+CP 最小即可 如答图 2，连接 BC 交 x1 于 P 点，因为点 A、B 关于 x1 对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最 短，可知此时 AP+CP 最小（AP+CP 最小值为线段 BC 的长度） B（5，0） ，C（0，） ， 直线 BC 解析式为 yx+， xP1，yP3，即 P（1，3） 令经过点 P（1，3）的直线为 ykx+b，则 k+b3，即 b3k， 则直线的解析式是：ykx+3k， ykx+3k，yx2+x+， 联立化简得：x2+（4k2）x4k30， x1+x224k，x1x24k3 y1kx1+3k，y2kx2+3k， y1y2k（x1x2） 根据两点间距离公式得到： M1M2 M1M24（1+k2） 又 M1P； 同理 M2P M1P M2P（ 1+k2） （ 1+k2） （ 1+k2） 4（1+k2） M1PM2PM1M2， 1 为定值
