1、2020-2021 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）第分）第 18 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1在抛物线 yx24x5 上的一个点的坐标为（ ） A （0，4） B （2，0） C （1，0） D （1，0） 2在半径为 6cm 的圆中，60的圆心角所对弧的弧长是（ ） Acm B2cm C3cm D6cm 3将抛物线 yx2先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） Ay（x+
2、3）2+5 By（x3）2+5 Cy（x+5）2+3 Dy（x5）2+3 42020 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮 品图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票 和小型张的边饰，如果标记出图 1 中大门的门框并画出相关的几何图形（图 2） ，我们发现设计师巧妙地 使用了数学元素（忽略误差） ，图 2 中的四边形 ABCD 与四边形 ABCD是位似图形，点 O 是位似中心， 点 A是线段 OA 的中点，那么以下结论正确的是（ ） A四边形 ABCD 与四边形 ABCD的相似比为 1
3、：1 B四边形 ABCD 与四边形 ABCD的相似比为 1：2 C四边形 ABCD 与四边形 ABCD的周长比为 3：1 D四边形 ABCD 与四边形 ABCD的面积比为 4：1 5如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若CDB32，则ABC 等于（ ） A68 B64 C58 D32 6若抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） ，B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ） Ax1 Bx2 Cx3 Dx4 7近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有 统计数据显示， 从 2017 年底至 2019 年底， 全国拥有民航局颁发的民用无
4、人机驾驶执照的人数已由约 2.44 万人增加到约 6.72 万人若设 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长 率为 x，则可列出关于 x 的方程为（ ） A2.44（1+x）6.72 B2.44（1+2x）6.72 C2.44（1+x）26.72 D2.44（1x）26.72 8现有函数 y如果对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 xm 时，yn，那么实数 a 的取值范围是（ ） A5a4 B1a4 C4a1 D4a5 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9若正六边形的边长为 2，则它的半径是 10若抛物线
5、 yax2（a0）经过 A（1，3） ，则该抛物线的解析式为 11如图，在 RtABC 中，C90，AC6，AB9，则 sinB 12若抛物线 yax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则 a 0，b 0，c 0（填“” ， “”或“” ） 13如图，AB 为O 的直径，AB10，CD 是弦，ABCD 于点 E，若 CD6，则 EB 14如图，PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点，若 OA2，APB60，则 PB 15放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得直尺可以绕着这 些点转动，O 为固定点，
6、ODDACB，DCABBE，在点 A，E 处分别装上画笔 画图：现有一图形 M，画图时固定点 O，控制点 A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此时点 E 处的画 笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N 原理： 若连接 OA，OE，可证得以下结论： ODA 和OCE 为等腰三角形， 则DOA （180ODA） ， COE （180 ） ； 四边形 ABCD 为平行四边形（理由是 ） ； DOACOE，于是可得 O，A，E 三点在一条直线上； 当时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 倍得到的 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P（4，3） ，O 经过点 P点 A，
7、点 B 在 y 轴上，PAPB，延长 PA， PB 分别交O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹的锐角为 （1）O 的半径为 ； （2）tan 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 52 分，第分，第 17、18、2022 题每小题题每小题 5 分，第分，第 19 题题 6 分，第分，第 2325 题每小题题每小题 5 分）分） 17计算：2sin60tan45+cos230 18已知关于 x 的方程 x2+2x+k40 （1）如果方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； （2）若 k1，求该方程的根 19借助网格画图并说理： 如图所示的网格是正方形网格，ABC 的三个
8、顶点是网格线的交点，点 A 在 BC 边的上方，ADBC 于 点 D，BD4，CD2，AD3以 BC 为直径作O，射线 DA 交O 于点 E，连接 BE，CE （1）补全图形； （2）填空：BEC ，理由是 ； （3）判断点 A 与O 的位置关系并说明理由； （4）BAC BEC（填“” ， “”或“” ） 20二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过（3，0）点，当 x1 时，函数的最小值为4 （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象； （2）直线 xm 与抛物线 yax2+bx+c（a0）和直线 yx3 的交点分别为点 C，点 D，点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出
9、m 的取值范围 21如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点 D 在O 外，BCDA，OD 交O 于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，AC2.7，cosBCD，求 DE 的长 22如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE1，F 为 BC 边的中点将正方形截去一个角 后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动（点 P 可与点 E，点 F 重合） ，作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上 设 CMx，矩形 PMDN 的面积为 S （1）DM （用含 x 的式子表示） ，x 的取值范围是 ； （2）求 S 与
10、x 的函数关系式； （3）要使矩形 PMDN 的面积最大，点 P 应在何处？并求最大面积 23已知抛物线 yx2+x （1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与 y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过 A（3n+4，y1） ，B（2n1，y2）两点 若 n5，判断 y1与 y2的大小关系并说明理由； 若 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1y2，直接写出 n 的取值范围 24在 RtABC 中，ACB90，ABC30，BC将ABC 绕点 B 顺时针旋转 （0 120）得到ABC，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 A，点 C （1）如图 1，当点 C恰好为线段 AA的中点时，
11、，AA ； （2）当线段 AA与线段 CC有交点时，记交点为点 D 在图 2 中补全图形，猜想线段 AD 与 AD 的数量关系并加以证明； 连接 BD，请直接写出 BD 的长的取值范围 25对于平面内的图形 G1和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1上各点的最短距离为 d，点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1d2，就称点 P 是图形 G1和图形 G2的一个“等距点” 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0） ，B（0，2） （1）在 R（3，0） ，S（2，0） ，T（1，）三点中，点 A 和点 B 的等距点是 ； （2）已知直线 y2 若点 A 和直线 y
12、2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 ； 若直线 ya 上存在点 A 和直线 y2 的等距点，求实数 a 的取值范围； （3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：yx，以原点 O 为圆心作半径为 r 的O若O 上有 m 个直 线 l1和直线 l2的等距点， 以及 n 个直线 l1和 y 轴的等距点 （m0， n0） ， 当 mn 时， 求 r 的取值范围 2020-2021 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1在抛物线 yx24x5 上的一个点的坐标为（
13、 ） A （0，4） B （2，0） C （1，0） D （1，0） 【分析】把各个点的坐标代入验证即可 【解答】解：当 x0 时，y5，因此（0，4）不在抛物线 yx24x5， 当 x2 时，y4859，因此（2，0）不在抛物线 yx24x5 上， 当 x1 时，y1458，因此（1，0）不在抛物线 yx24x5 上， 当 x1 时，y1+450，因此（1，0）在抛物线 yx24x5 上， 故选：D 2在半径为 6cm 的圆中，60的圆心角所对弧的弧长是（ ） Acm B2cm C3cm D6cm 【分析】弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长 【解答】解：弧长为：2（cm）
14、故选：B 3将抛物线 yx2先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） Ay（x+3）2+5 By（x3）2+5 Cy（x+5）2+3 Dy（x5）2+3 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解 【解答】解：将抛物线 yx2先向右平移 3 个单位长度，得：y（x3）2； 再向上平移 5 个单位长度，得：y（x3）2+5， 故选：B 42020 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮 品图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票
15、和小型张的边饰，如果标记出图 1 中大门的门框并画出相关的几何图形（图 2） ，我们发现设计师巧妙地 使用了数学元素（忽略误差） ，图 2 中的四边形 ABCD 与四边形 ABCD是位似图形，点 O 是位似中心， 点 A是线段 OA 的中点，那么以下结论正确的是（ ） A四边形 ABCD 与四边形 ABCD的相似比为 1：1 B四边形 ABCD 与四边形 ABCD的相似比为 1：2 C四边形 ABCD 与四边形 ABCD的周长比为 3：1 D四边形 ABCD 与四边形 ABCD的面积比为 4：1 【分析】先利用位似的性质得到 AB：AB1：2，然后根据相似的性质进行判断 【解答】解：四边形 A
16、BCD 与四边形 ABCD是位似图形，点 O 是位似中心，点 A是线段 OA 的中点， OA：OA1：2， AB：AB1：2， 四边形 ABCD 与四边形 ABCD的相似比为 2：1，周长的比为 2：1，面积比为 4：1 故选：D 5如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若CDB32，则ABC 等于（ ） A68 B64 C58 D32 【分析】先由圆周角定理可知ACB90，再求出ADC58，然后由圆周角定理求解即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， ADC+CDB90， ADC90CDB903258， ABCADC， ABC58， 故选：C 6若抛物线 yax2+bx+c（a0
17、）经过 A（1，0） ，B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ） Ax1 Bx2 Cx3 Dx4 【分析】由 A、B 两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案 【解答】解：抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0）两点， 抛物线对称轴为直线 x2， 故选：B 7近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有 统计数据显示， 从 2017 年底至 2019 年底， 全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约 2.44 万人增加到约 6.72 万人若设 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增
18、长 率为 x，则可列出关于 x 的方程为（ ） A2.44（1+x）6.72 B2.44（1+2x）6.72 C2.44（1+x）26.72 D2.44（1x）26.72 【分析】设年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的 人数，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x， 则可列出关于 x 的方程为 2.44（1+x）26.72， 故选：C 8现有函数 y如果对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 xm 时，yn，那么实数 a 的取
19、值范围是（ ） A5a4 B1a4 C4a1 D4a5 【分析】求得直线 yx+4 与抛物线 yx22x 的交点坐标，然后观察图象即可求得 a 的取值范围 【解答】解：令 x+4x22x， 整理得，x23x40， 解得 x11，x24， 由图象可知，当1a4 时，对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 xm 时，函数 yn， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9若正六边形的边长为 2，则它的半径是 2 【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出BOC 的度数，判断出BOC 为等边三角形 即可求出答案 【解答】解：如图所示，连接 OB、OC； 此六边形是正六边形
20、， BOC60， OBOC， BOC 是等边三角形， OBOCBC2 故答案为：2 10若抛物线 yax2（a0）经过 A（1，3） ，则该抛物线的解析式为 y3x2 【分析】把把 A（1，3）代入 yax2（a0）中，可得 a3，即可得出答案 【解答】解：把 A（1，3）代入 yax2（a0）中， 得 3a12， 解得 a3， 所以该抛物线的解析式为 y3x2 故答案为：y3x2 11如图，在 RtABC 中，C90，AC6，AB9，则 sinB 【分析】根据正弦的定义解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC6，AB9， 则 sinB， 故答案为： 12若抛物线 yax2+bx
21、+c（a+0）的示意图如图所示，则 a 0，b 0，c 0（填“” ， “” 或“” ） 【分析】根据抛物线的开口方向得到 a0，利用对称轴位置得到 b0，由抛物线与 y 轴交于负半轴得到 c0 【解答】解：抛物线开口方向向上， a0， 对称轴在 y 轴的右侧， b0， 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0 故答案为， 13如图，AB 为O 的直径，AB10，CD 是弦，ABCD 于点 E，若 CD6，则 EB 1 【分析】连接 OC，根据垂径定理得出 CEEDCD3，然后在 RtOEC 中由勾股定理求出 OE 的长 度，即可得出结果 【解答】解：连接 OC，如图所示： 弦 CDAB 于点 E，
22、CD6， CEEDCD3， 在 RtOEC 中，OEC90，CE3，OCAB5， OE4， BEOBOEABOE541， 故答案为：1 14如图，PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点，若 OA2，APB60，则 PB 2 【分析】由题意可得：APOBPOAPB30，AOAP，PAPB，即可求 PB 的长度 【解答】解：PA、PB 是O 的两条切线，APB60，OAOB2， BPOAPB30，BOPB PO2AO4， PB2 故答案是：2 15放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得直尺可以绕着这 些点
23、转动，O 为固定点，ODDACB，DCABBE，在点 A，E 处分别装上画笔 画图：现有一图形 M，画图时固定点 O，控制点 A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此时点 E 处的画 笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N 原理： 若连接 OA，OE，可证得以下结论： ODA 和OCE 为等腰三角形， 则DOA （180ODA） ， COE （180 OCE ） ； 四边形 ABCD 为平行四边形（理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ） ； DOACOE，于是可得 O，A，E 三点在一条直线上； 当时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 倍得到的 【分析】由等
24、腰三角形的性质可求解； 由平行四边形的判定可求解； 由图形可直接得到， 通过证明AODEOC，可得，即可求解 【解答】解：ODA 和OCE 为等腰三角形， DOA（180ODA） ，COE（180OCE） ； ADBC，DCAB， 四边形 ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ； 连接 OA，AE， DOACOE， O，A，E 三点在一条直线上； ， 设 CDABBE3x，ODADBC5x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， AODEOC， ， 图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的， 故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四
25、边形； 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P（4，3） ，O 经过点 P点 A，点 B 在 y 轴上，PAPB，延长 PA， PB 分别交O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹的锐角为 （1）O 的半径为 5 ； （2）tan 【分析】 （1）结论 OP，利用勾股定理求解即可 （2） 设 CD 交 x 轴于 J， 过点 P 作 PTAB 交O 于 T， 交 OC 于 E， 连接 CT， DT， OT 求出 tanPOE， 再证明CJOPOE 即可 【解答】解： （1）连接 OP. P（4，3） ， OP5， 故答案为：5 （2）设 CD 交 x 轴于 J，过点 P 作
26、PTAB 交O 于 T，交 OC 于 E，连接 CT，DT，OT P（4，3） ， PE4，OE3， 在 RtOPE 中，tanPOE， OEPT，OPOT， POETOE， PDTPOTPOE， PAPBPEAB， APTDPT， ， TDCTCD， PTx 轴， CJOCKP， CKPTCK+CTK，CTPCDP，PDTTDC+CDP， TDPCJO， CJOPOE， tanCJOtanPOE 故答案为： 三解答题三解答题 17计算：2sin60tan45+cos230 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解：原式 18已知关于 x 的方程 x2+2x+k40 （1）如
27、果方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； （2）若 k1，求该方程的根 【分析】（1） 根据根的判别式0， 即可得出关于 k 的一元一次不等式组， 解之即可得出 k 的取值范围； （2）将 k1 代入方程 x23x+k10，解方程即可求出方程的解 【解答】解： （1）2241（k4）204k 方程有两个不相等的实数根， 0 204k0， 解得 k5； （2）当 k1 时，原方程化为 x2+2x30， （x1） （x+3）0， x10 或 x+30， 解得 x11，x23 19借助网格画图并说理： 如图所示的网格是正方形网格，ABC 的三个顶点是网格线的交点，点 A 在 BC 边的上方，
28、ADBC 于 点 D，BD4，CD2，AD3以 BC 为直径作O，射线 DA 交O 于点 E，连接 BE，CE （1）补全图形； （2）填空：BEC 90 ，理由是 直径所对的圆周角是直角 ； （3）判断点 A 与O 的位置关系并说明理由； （4）BAC BEC（填“” ， “”或“” ） 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）根据直径所对的圆周角是直角 （3）求出 OA 的长与半径半径可得结论 （4）利用图像法解决问题即可 【解答】解： （1）补全图形见图 1 （2）BC 是直径， BEC90（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角 （3）点 A 在O 外 理
29、由如下：连接 OA BD4，CD2， BCBD+CD6，r3 ADBC， ODA90， 在 RtAOD 中，AD3，ODBDOB1， ， OAr， 点 A 在O 外 （4）观察图像可知：BACBEC 故答案为： 20二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过（3，0）点，当 x1 时，函数的最小值为4 （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象； （2）直线 xm 与抛物线 yax2+bx+c（a0）和直线 yx3 的交点分别为点 C，点 D，点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出 m 的取值范围 【分析】 （1）设顶点式 ya（x1）24（a0） ，再把（3，0）代入求出 a
30、得到抛物线解析式，然后利 用描点法画出二次函数图象； （2）先画出直线 yx3，则可得到直线 yx3 与抛物线的交点坐标为（0，3） ， （3，0） ，然后写出 抛物线在直线 yx3 上方所对应的自变量的范围即可 【解答】解： （1）当 x1 时，二次函数 yax2+bx+c（a0）的最小值为4， 二次函数的图象的顶点为（1，4） ， 二次函数的解析式可设为 ya（x1）24（a0） ， 二次函数的图象经过（3，0）点， a（31）240 解得 a1 该二次函数的解析式为 y（x1）24； 如图， （2）由图象可得 m0 或 m3 21如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点 D 在O 外，B
31、CDA，OD 交O 于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，AC2.7，cosBCD，求 DE 的长 【分析】 （1）连接 OC由圆周角定理及等腰三角形的性质证得OCD90则可得出结论； （2）由锐角三角函数求出 AB 的长，得出 OC3，由勾股定理求出 OD5，则可得出答案 【解答】 （1）证明：如图，连接 OC AB 为O 的直径，AC 为弦， ACB90，OCB+ACO90 OAOC， ACOA BCDA， ACOBCD OCB+BCD90 OCD90 CDOC OC 为O 的半径， CD 是O 的切线； （2）解：BCDA，cosBCD， cosAcosBCD 在
32、 RtABC 中，ACB90，AC2.7，cosA AB6 OCOE3 在 RtOCD 中，OCD90，OC3，CD4， DEODOE532 22如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE1，F 为 BC 边的中点将正方形截去一个角 后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动（点 P 可与点 E，点 F 重合） ，作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上 设 CMx，矩形 PMDN 的面积为 S （1）DM 4x （用含 x 的式子表示） ，x 的取值范围是 0 x1 ； （2）求 S 与 x 的函数关系式； （3）要使矩形 PMDN
33、 的面积最大，点 P 应在何处？并求最大面积 【分析】 （1） DMDCCM， 正方形 ABCD 的边长为 4， CMx， 结合题意可知点 M 可与点 C、 D 重合， 从而求得 x 的取值范围； （2）如图，延长 MP 交 AB 于 G，证明EGPEBF，求解 PG22x，从而可得 DNPM2+2x， 再根据矩形的面积公式列出函数关系式； （3）由 S2x2+6x+8 可得该抛物线开口向下，对称轴是直线 x，从而得到当 x时，y 随 x 的增 大而增大；再结合 x 的取值范围为 0 x1 求得答案 【解答】解： （1）正方形 ABCD 的边长为 4，CMx，BE1， DMDCCM4x，其中
34、0 x1 故答案是：4x，0 x1； （2）如图，延长 MP 交 AB 于 G， 正方形 ABCD 的边长为 4，F 为 BC 边的中点，四边形 PMDN 是矩形，CMx，BE1， PMBC，BFFCBC2，BGMCx，GMBC4， EGPEBF，EG1x， ，即 PG22x， DNPMGMPG4（22x）2+2x， SDMDN（4x） （2x+2）2x2+6x+8，其中 0 x1 （3）由（2）知，S2x2+6x+8， a20， 此抛物线开口向下，对称轴为 x，即， 当 x时，y 随 x 的增大而增大 x 的取值范围为 0 x1， 当 x1 时，矩形 PMDN 的面积最大，此时点 P 与点
35、E 重合，此时最大面积为 12 23已知抛物线 yx2+x （1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与 y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过 A（3n+4，y1） ，B（2n1，y2）两点 若 n5，判断 y1与 y2的大小关系并说明理由； 若 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1y2，直接写出 n 的取值范围 【分析】 （1）由对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令 x0，求得函数值，即可求得抛物线与 y 轴的 交点坐标； （2）由 n5，可得点 A，点 B 在对称轴直线 x1 的左侧，由二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解 【解答】解： （1）yx2
36、+x， 对称轴为直线 x1， 令 x0，则 y0， 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，0） ， （2）xAxB（3n+4）（2n1）n+5，xA1（3n+4）13n+33（n+1） ，xB1（2n1） 12n22（n1） 当 n5 时，xA10，xB10，xAxB0 A，B 两点都在抛物线的对称轴 x1 的左侧，且 xAxB， 抛物线 yx2+x 开口向下， 在抛物线的对称轴 x1 的左侧，y 随 x 的增大而增大 y1y2； 若点 A 在对称轴直线 x1 的左侧，点 B 在对称轴直线 x1 的右侧时， 由题意可得， 不等式组无解， 若点 B 在对称轴直线 x1 的左侧，点 A 在对称轴直线
37、x1 的右侧时， 由题意可得：， n1， 综上所述：n1 24在 RtABC 中，ACB90，ABC30，BC将ABC 绕点 B 顺时针旋转 （0 120）得到ABC，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 A，点 C （1）如图 1，当点 C恰好为线段 AA的中点时， 60 ，AA 2 ； （2）当线段 AA与线段 CC有交点时，记交点为点 D 在图 2 中补全图形，猜想线段 AD 与 AD 的数量关系并加以证明； 连接 BD，请直接写出 BD 的长的取值范围 【分析】 （1）证明ABA是等边三角形即可解决问题 （2）根据要求画出图形结论：ADAD如图 2，过点 A 作 AC的平行线，交 C
38、C于点 E，记1 证明ADEADC（AAS） ，可得结论 如图 1 中，当 60时，BD 的值最大，当 120时，BD 的值最小，分别求出最大值，最小值即 可 【解答】解： （1）C90，BC，ABC30， ACBCtan301， AB2AC2， BABA，ACAC， ABCABC30， ABA是等边三角形， 60，AAAB2 故答案为：60，2 （2）补全图形如图所示：结论：ADAD 理由：如图 2，过点 A 作 AC的平行线，交 CC于点 E，记1 将 RtABC 绕点 B 顺时针旋转 得到 RtABC， ACBACB90，ACAC，BCBC 21 3ACB190，ACDACB+290+
39、AEAC AEDACD90+ 4180AED180（90+）90 34 AEAC AEAC 在ADE 和ADC中， ， ADEADC（AAS） ， ADAD 如图 1 中，当 60时，BD 的值最大，最大值为 当 120时，BD 的值最小，最小值 BDABsin3021， 1BD 25对于平面内的图形 G1和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1上各点的最短距离为 d，点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1d2，就称点 P 是图形 G1和图形 G2的一个“等距点” 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0） ，B（0，2） （1）在 R（3，0） ，S（2，0）
40、，T（1，）三点中，点 A 和点 B 的等距点是 S（2，0） ； （2）已知直线 y2 若点 A 和直线 y2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 （4，0）或（8，0） ； 若直线 ya 上存在点 A 和直线 y2 的等距点，求实数 a 的取值范围； （3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：yx，以原点 O 为圆心作半径为 r 的O若O 上有 m 个直 线 l1和直线 l2的等距点， 以及 n 个直线 l1和 y 轴的等距点 （m0， n0） ， 当 mn 时， 求 r 的取值范围 【分析】 （1）由两点距离公式分别求出，AR，BR，AS，BS，AT，BT 的长，即可求解； （
41、2）设等距点的坐标为（x，0） ，由题意可得 2|x6|，即可求解； 列出方程，由根的判别式可求解； （3）利用数形结合，可求解 【解答】解： （1）点 A（6，0） ，B（0，2） ，R（3，0） ，S（2，0） ，T（1，） ， AR3，BR，AS4，BS4，AT2，BT2， ASBS， 点 A 和点 B 的等距点是 S（2，0） ， 故答案为：S（2，0） ； （2）设等距点的坐标为（x，0） ， 2|x6|， x4 或 8， 等距点的坐标为（4，0）或（8，0） ， 故答案为： （4，0）或（8，0） ； 如图 1，设直线 ya 上的点 Q 为点 A 相直线 y2 的等距点，连接 QA，过点 Q 作直线 y2 的垂 线，垂足为点 C， 点 Q 为点 A 和直线 y2 的等距点， QAQC， QA2QC2 点 Q 在直线 ya 上， 可设点 Q 的坐标为 Q（x，a） （x6）2+a2a（2）2 整理得 x212x+324a0， 由题意得关于 x 的方程 x212x+324a0 有实数根 （12）241（324a）16（a+1）0 解得 a1； （3）如图 2， 直线 l1和直线 l2的等距点在直线 l3：上 直线 l1和 y 轴的等距点在直线 l4：或 l5：上 由题意得或 r3
