1、 陕西省汉中市 2021 届高三年级第一次模拟数学试题(理) 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 |20, 1,0,2Ax xxB ，则()C AB R （ ） A. 2 B. 1,0 C. 0,2 D. 1,0,2 2. 设复数 5i 43i z ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3
2、. 设x是函数( )3cossinf xxx的一个极值点，则tan（ ） A. 3 B. 3 1 C. 3 1 D. 3 4. 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国. 古埃及人的分数运算特别奇葩而且复 杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的. 古埃及人在进行分数运算时，只使用分子 是 1 的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老 而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确 的是（ ） A. 64 63 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 B. 51 50 150 1 16 1 14 1 12 1 2222 C. 12 11 6 1
3、 4 1 2 1 D. 51 49 50321 1 321 1 21 1 5. 已知直线 12 :(2)10,:20()laxaylxaya R，则“ 1 e e a ”是“ 21/l l”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 过三点)4 , 2(),1 , 7(),1 , 3(CBA的圆交y轴于NM,两点，则MN（ ） A. 8 B. 10 C. 4 6 D. 2 21 7. 五声音阶是中国古乐的基本音阶， 故有成语“五音不全”， 中国古乐中的五声音阶依次为： 宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这
4、 个音序中宫和羽至少有一个的概率为（ ） A 2 1 B 10 7 C 20 9 D 20 11 8. 设ml,是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若mml,，则l B. 若mll,，则/m C. 若mll/,，则m D. 若/,/ml，则ml/ 9. 设 1 F、 2 F分别为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在 点P，满足 212 FFPF且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心 率为（ ） A. 3 71 B. 3 71 C. 4 5 D. 3 5 10. 三棱柱 111 C
5、BAABC中，ABCAA平面 1 ，2,3, 1,90 1 AABCABABC，则 三棱柱 111 CBAABC的外接球的表面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 12 D. 8 11. 若) 1, 1( ln 1 ln 1 lnlnyx yx yx，则（ ） A. 1 xy e B. 1 xy e C. 1 1 xy e D. 1 1 xy e 12. 已知向量),( zyx aaaa ，),( zyx bbbb ，kji ,是空间中的一个单位正交基底. 规定向量积的行列式计算： , yx yx zx zx zy zy zyx zyxxyyxzxxzyzzy bb aa bb aa bb
6、 aa bbb aaa kji kbabajbabaibababa 其中行列式计算表示为bcad dc ba ， 若向量),2 , 1 , 3 (),4 , 1 , 2(ACAB则 ACAB（ ） A. ) 1, 8, 4( B. )8, 4 , 1( C. ) 1, 8 , 2( D. )8, 4, 1( 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知dxxm 1 0 ，向量),( 2 3 ma , , 6ba与b的夹角为 3 ，则 ba . 14. 设等比数列 n a的
7、第四项是 4 ) 1 2( x x 的展开式中的常数项，且首项3 1 a，则 n a 通项公式为 n a . 15. 为了弘扬张骞开拓进取精神， 传承中华优秀传统文化， 第四届中国古筝日“盛世国乐， 筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行。 其中有 百人齐奏 、 二重奏 、 独奏 、 小合唱 、 伴唱和茶艺六个表演节目，如果百人齐奏必 须排第一个，小合唱 和 伴唱 不能连续出场， 那么出场顺序的排法种数为 . （用数字作答） 16. 已知函数( )yf x是R上的偶函数，对任意的xR都有(8)( )(4)f xf xf， 当4 , 0, 21 xx且 21 xx 时，都有
8、. 0)()()( 2121 xfxfxx给出下列命题： (4)0f； 函数( )yf x在8,12上是递增的； 函数)(xfy 的图像关于直线8x 对称； 函数( )yf x在12,12上有四个零点. 其中所有真命题的序号是 . 三、三、解答题： 共解答题： 共 70 分分. 解答题写出文字说明、 证明过程和演算步骤解答题写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 第第 1721 题是必考题，题是必考题， 每个考生都必须作答每个考生都必须作答. 第第 22、23 题是选考题，考生根据要求作答题是选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（本小题满分 12 分
9、） ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，满足Abaccos22. （1）求角B； （2）若ABC的面积为3，13b，求ABC的周长. 18.（本小题满分 12 分） 为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前， 厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在 2060 岁的人群中随机抽取了 100 人，调 查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示： （1）由以上统计数据填22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下， 认为以 44 岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？ 44 岁以下 44
10、岁及 44 岁以 上 总 计 接 受 不接受 （2）若以 44 岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取 8 人调 查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这 8 人中随机抽取 2 人.记抽到 44 岁以下的人数为X， 求随机变量X的分布列及数学期望. 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K 19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥ABCDP 的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上. 年龄 28,20 36,28 44,36 52,44 60,52 接受的人 数 14 6 15 28 17 0.100 0.050 0.010 0.00
11、1 2.706 3.841 6.635 10.828 2 0 P Kk 0 k （1）求证：平面AEC平面PDB； （2）当ABPD2，E为PB的中点时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆01 2 2 2 2 :ba b y a x C的离心率为 2 3 ，椭圆的中心O到直线02 byx 的距离为25. （1）求椭圆C的方程； （2）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为 45的直线l和椭圆交于BA,两点，对于椭圆C上 任意一点M，若OBOAOM，求的最大值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )e2 x f xxaxa()aR. （1）当0a时
12、，求( )f x在2,2上的最值； （2）设 2 ( )2exg xax，若( )( )( )h xf xg x有两个零点，求a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 考生从考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 ty tx 2 2 2 2 2 1 (t为参数)，
13、 以原点O为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为)0(cos2sin 2 aa， 直线l交曲线 C于BA,两点. （1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设点M的直角坐标为)2, 1(，若点M到BA,两点的距离之积是 16，求a的值. 23.（本小题满分 10 分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数142)(xxxf. （1）求不等式( )6f x 的解集； （2）若不等式 2 ( )2f xaa对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
14、 60 分分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B A D B C D D A C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 3 14. 1 23 n 15. 72 16. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.第第 1721 题是必考题，第题是必考题，第 22、23 题是选考题，考生根据情况作答题是选考题，考生根据情况作答. （一）必考题：每小题（一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17. 解： （1）由正弦定理可得ABACcossin2sinsin2，
15、1 分 ABABAcossin2sin)sin(2 ABAsincossin2， 3 分 在ABC中，0sinA， 2 1 cosB. 又(0, )B, 3 B . 6 分 （2）3sin 2 1 BacS ABC . 4ac. 8 分 由余弦定理Baccabcos2 222 可得accaaccab3 2 222 . 4,13acb，5ca. 11 分 ABC的周长为135. 12 分 18. 解： （1）由题可得22联表如下： 841. 325. 6 4 25 20805050 )1545535(100 2 2 K. 能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为以 44 岁为分界点的不同
16、人群对“纯电动汽 车”的接受程度有差异. 6 分 44 岁以下 44 岁及 44 岁以上 总 计 接 受 35 45 80 不接受 15 5 20 总 计 50 50 100 （2）由题意可知，抽取的 8 人中 44 岁以下的有 6 人，44 岁及 44 岁以上的有 2 人，所以X 的可能取值有 0，1，2. 7 分 02 62 2 8 C C1 (0), C28 P X 11 26 2 8 C C3 (1), C7 P X 2 6 2 8 C1 5 (2 ), C2 8 P X 所以随机变量X的分布列为： 2 3 28 15 2 7 3 1 28 1 0)(XE. 12 分 19.（1）证明
17、：四边形ABCD是正方形， .BDAC PD底面ACABCD,平面ABCD, ACPD PDBD,平面DPDBDPDB,， .PDBAC平面 AC又平面AEC, 平面AEC平面PDB. 5 分 （2）解：以D为坐标原点，以DPDCDA,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系xyzO . 设1AB，则2PD.)2, 0 , 0(,)0 , 1 , 1 (PB, BP的中点) 2 2 , 2 1 , 2 1 (E. 7 分 )0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1 (CA )0 , 0 , 1(,)2, 1 , 0(,) 2 2 , 2 1 , 2 1 (BCPCAE. 设平面
18、PBC的法向量为),(zyxn ， X 0 1 2 P 28 1 7 3 28 15 0 0 BC PC n n ， 0 02 x zy , 令0,2y, 1xz则 解得) 1 , 2, 0(n 设直线AE与平面PBC所成角为， 10 分 3 6 ,cossin n n n AE AE AE. 直线AE与平面PBC所成角的正弦值为 3 6 . 12 分 20. 解： （1） 2 3 a c e， 22 4 3 ac ， 2222 4 1 acab. 2 分 椭圆的中心O到直线02 byx的距离为25， 25 2 |2| b ，5b.1004,25 222 bab. 4 分 椭圆C的方程为1 2
19、5100 22 yx . 5 分 （2）由（1）可知)0 , 35(F ，由题可知直线AB的方程为 35 xy，与椭圆C 的方程联立 1 25100 35 22 yx xy ， 04038 2 xx. 设),(,),( 2211 yxyxBA，则有40,38 2121 xxxx. 7 分 设),(yxM，由OBOAOM得),(),(),(),( 21212211 yyxxyxyxyx， 21 21 yyy xxx 又点M在椭圆上，1004 22 yx，100)(4)( 2 21 2 21 yyxx， 100)4(2)4()4( 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 yyxxyxyx.
20、 点BA,在椭圆上， 1 0 04,1 0 04 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx. 2030032053535)()( 212121212121 44xxxxxxxxyyxx. 10 分 将代入可得1 5 2 22 ， 5 12 5 2 2 5 2 22 ， 12 5 ，当且仅当时取“”. 的最大值为 12 5 . 12 分 21.解： （1）当0a时， x xexf)(. ( )e (1) x fxx. 1 分 当1x时，0)( x f；当1x时，0)( x f. )(xf在) 1,(上递减，在), 1(上递增. 3 分 2 2 21 ( 2),(2)2,( 1)e ee fff
21、， 2 minmax 1 2( ),( )e e f xf x. 5 分 （2） 2 ( )( )( )(2)(1)exh xf xg xxa x， ( )(1)(2 )exh xxa. 当0a时，( )(2)exh xx，此时)(xh只有一个零点. 6 分 当0a时，)(xh在) 1 ,(上单调递减，在), 1 ( 上单调递增. (1)0(2)0.ehha ， 当2a时，02)0(ah； 当20 a时0 2 ln3) 2 (ln2 2 ) 1 2 (ln)2 2 (ln 2 ) 2 (ln, 0 2 ln 22 aaaa a aaa h a . )(xh有两个不同的零点. 8 分 当0a时，
22、令0)( x h，得)2ln(1axx 或. 当 2 e a时，( )(1)(ee) x h xx，0)( x h恒成立， )(xh在R上单调递增. 当 2 e a时，即1)2ln( a. 若1)2ln(xax或，则0)( x h；若1)2ln(xa，则0)( x h. )(xh在), 1 ()2ln(,(和a上单调递增，在) 1),2(ln(a上单调递减. 当 2 e a时，即1)2ln( a.若)2ln(1axx 或，则0)( x h. 若)2ln(1ax时，则0)( x h. )(xh在),2(ln() 1 ,(a和上单调递增，在)2ln(, 1 (a上单调递减. 当0a时，(1)e0h
23、 ， 01)2)2(ln(1)2ln(2)2ln()2()2(ln( 2 2 aaaaaaah. )(xh仅有一个零点，不合题意. 11 分 综上，)()()(xgxfxh有两个零点，a的取值范围是), 0( . 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.考生从考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 22. 解： （1）直线l的直角坐标方程为1 yx， 直线l的极坐标方程为1sincos. 2 分 由cos2sin 2 a，得cos2sin 22 a. 曲线C的直角坐标方程为)0(2 2 aaxy.
24、 5 分 （2）将直线l的参数坐标方程)( 2 2 2 2 2 1 为参数t ty tx 代入)0(2 2 aaxy中，得 084)2224( 2 atat. 设BA,对应的参数分别为 21,t t，则84 21 att. 8 分 1684 21 att，62aa或 0a又，2a 10 分 23. 解： （1） 2, 33 21, 5 1, 33 )( xx xx xx xf， 不等式6)(xf等价于 633 2 65 21- 633 1 x x x x x x 或或 得31xx或不等式的解集为 , 31,. 5 分 （2）由（1）知：当1x时，6)(xf；当21x时，6)(3xf； 当2x时，3)(xf. 故函数为)(xf的值域), 3 ，即)(xf的最小值是 3. 不等式aaxf2)( 2 对一切实数x恒成立， 32 2 aa，解得：13a 故实数a的取值范围是1 , 3. 10 分
