1、 陕西省商洛市 2021 届高三上学期期末教学质量检测 数学试题(文) 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合1Ax x，3Bx x，则AB R （ ） A.1,3 B.1, C.1,3 D.1,3 2.复数 2 2i 1 i z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.双曲线 22 22 1 2 xy aa （0a）的渐近线方程为（ ） A.2yx B. 2 2 yx C.2yx D. 1 2 yx 4.已知向量a，b满足24ab，且4 3a b
2、 ，则向量a，b的夹角是（ ） A. 6 B. 5 6 C. 3 D. 2 3 5.若 1 cos 2 ， 1 cos 4 ，则coscos（ ） A. 3 8 B. 3 8 C. 1 8 D. 1 8 6.记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 2 23 n Snn，则数列 n a的公差为（ ） A.4 B.2 C.1 D. 1 2 7.函数 2 sinxxxf在 , 2 2 上的图象大致为（ ） A.B.C.D. 8.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临 巨大损失.20112020 年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A.
3、自 2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B.自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C.2018 年上半年的票房收入增速最大 D.2020 年上半年的票房收入增速最小 9.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、 艺术、哲学灵感的源泉之一，如图，该几何体是一个棱长为 2 的正八面体，则此正八面体的 体积与表面积之比为（ ） A. 6 18 B. 6 3 C. 6 12 D. 6 9 10.函数 cosf xx（0， 2 ） ，其图象相邻两条对称轴间的距离为 2 ， 将其图象向右平移 6 个单位长度后所得图象关于y轴对称，
4、 则下列点是 f x图象的对称中 心的是（ ） A. ,0 24 B. ,0 3 C. ,0 12 D. ,0 6 10.已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 13 5aa， 4 20S ， 则 84 642 2SS SSS （ ） A.9 B.10 C.12 D.17 12.设直四棱柱 1111 ABCDABC D的每个顶点都在球O的球面上，底面ABCD为平行四边 形，2ABAD，侧面 11 ADD A的面积为 6，则球O表面积的最小值为（ ） A.12 5 B.24 C.10 5 D.20 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若x，y满足约
5、束条件 0 7510 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为_. 14.函数 3 ln1xxxfxx 的图象在1x 处的切线方程是_. 15.已知椭圆C的离心率为 2 3 ，短半轴长为14，则椭圆C的焦距为_. 16.从 1，2，6，0 中任取三个互不相同的数字，随机组成一个三位数，则该三位数为偶数的 概率是_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边
6、.已知 222 5 8 bcabc，sin2sinCB. （1）求cos A； （2） 若ABC的周长为615， 求ABC的面积 （结果用小数表示， 取23115.2） . 18.（12 分） 随着网红经济的出现，短视频行业逐渐崛起一批优质的 UGC 制作者，抖音、秒拍、快手、 小红书、 今日头条等纷纷入驻短视频行业现有某视频号的粉丝数量y与月份x的统计数据如 下表 月份x 1 2 3 4 5 6 7 粉丝数量y（单位：万） 24 28 31 39 43 47 54 （1）根据上表数据研究发现，y与x之间有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归 方程 （2）若粉丝数量按照现有的变化趋势增长，
7、试预测 8 月份的粉丝数量. 参考公式： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx. 19.（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是边长为 2的正方形，90ADP，PDAD， 60PDC，E为PD的中点. （1）证明：CE 平面PAD. （2）求三棱锥EABC外接球的体积. 20.（12 分） 已知圆M： 2 2 21xy，动圆P与圆M外切，且与直线1y 相切. （1）求动圆圆心P的轨迹C的方程. （2）若直线l：2ykx与曲线C交于A，B两点，分别过A，B作曲线C的切线，交 于点Q.证明：Q在一定直线上. 21.（12 分） 已知函数 ln
8、xaxfx. （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若不等式 e 1exf xx对1,x恒成立，求a的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，以 x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 cos6 sin80，已知直线l与曲线C交于不同的两点M，N. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设1,2P，求 11 PMPN 的值. 2
9、3.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数 231f xxx. （1）求不等式 0f x 的解集； （2）若 f x的最小值是m，且232abcm，求 222 abc的最小值. 参考答案 1.D 【解析】因为1Ax x，3Bx x R ，所以13ABxx R . 2.C 【解析】 2 22i 1 i i1 i 2i2 z ，其在复平面内对应的点位于第三象限. 3.A 【解析】因为 22 2ba，所以2 b a ，故双曲线的渐近线方程为2yx . 4.B 【解析】由题意可得c 4 33 4 22 os, a b a b a b ，则向量a，b的夹角是 5 6 . 5.C 【解析】因为若 1
10、 coscos cossinsin 2 ， 1 coscoscossinsin 4 ，所以 11 1 24 cos cos 28 ， 则 1 coscoscoscoscos cos 8 . 6.A 【解析】记d为数列 n a的公差，因此 2 11 1 222 n n ndd Snadnan ， 所以2 2 d ，则4d . 7.B 【解析】因为 fxf x，所以 f x为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除 C 与 D.因为 2 1 0 6362 f ，所以排除 A，故选 B. 8.D 【解析】由图易知自 2011 年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负 的有 3 年，故 A，
11、B 错误；2017 年上半年的票房收入增速最大，故 C 错误；2020 年上半年 的票房收入增速最小，故 D 正确. 9.D 【解析】正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的 体积公式即可求解.由边长为 2，可得正八面体上半部分的斜高为 2 213 ，高为 3 12 ，则其体积为 2 228 2 2 33 ，其表面积为 2 3 828 3 4 ，所以此 正八面体的体积与表面积之比为 6 9 . 10.C 【解析】因为 f x图象的相邻两条对称轴间的距离为 2 ，所以 2 T ，所以2. 因为 f x的图象向右平移 6 个单位长度后得到曲线cos 2 3 yx ，
12、其图象关于y 轴对称， 所以 3 k，kZ，即 3 k，kZ.因为 2 ，所以 3 ， 故 cos 2 3 xxf .令2 32 xk，kZ， 得 1 2 2 k x，kZ.当0k 时， 12 x ，所以点,0 12 是 f x图象的一个对称中心. 11.B 【解析】设等比数列 n a的公比为q，因为 4123413 1Saaaaqaa，所以 3q ，则 44 8442 8444 22 64262444 21 110 1 SSSSSq SSq q SSSSSSq SSq . 12.A 【解析】 因为底面ABCD为平行四边形， 且球O是直四棱柱 1111 ABCDABC D的外接球， 所以底面A
13、BCD必为矩形，从而四棱柱 1111 ABCDABC D长方体.设ADa， 1 AAh， 则2ABa，6ah， 所以球O的表面积 2 222 22 (2 ) 452512 5 2 aah Sahah ， 当且仅当 22 5ah，即 4 36 5 a 时，等号成立，故球O表面积的最小值为12 5. 13.15 【解析】作出可行域（图略） ，由图可知，当直线2zxy经过点5,5A时，z取得最大 值，且最大值为 15. 14.320 xy（或32yx ） 【解析】由题意可得 2 ln3xxxf，则 13 f ， 11f ，故所求切线方程为 131yx ，即320 xy. 15.4 【解析】设椭圆C的
14、长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则 222 2 3 14 c a b abc ，解得 3 2 2 a c ，所以椭圆C的焦距为 4. 16. 7 9 【解析】当个位数字为 0 时，这样的三位偶数有 120，210，160，610，260，620，共 6 个； 当个位数字不为 0 时，这样的三位偶数有 126，106，216，206，102，162，602，612，共 8 个. 而可组成的三位数有 126，120，160，102，106，162，210，216，260，261，201，206， 612， 621， 610， 620， 601， 602， 共 18 个， 设“该三位数为偶数
15、”为事件A， 则 6 8 7 1 89 P A . 17.解： （1）因为 222 5 8 bcabc， 所以 222 5 cos 216 bca A bc . （2）因为sin2sinCB，所以2cb. 由余弦定理得 2222 15 2cos 4 abcbcAb， 则 15 2 ab. 因为ABC的周长为615，所以 15 3615 2 bb， 解得2b. 所以ABC的面积为 2 15231 21 2164 bb ， 因为23115.2，所以ABC的面积为 3.8. 18.解： （1）由数据计算可得4x ，38y ， 7 1 140 ii i xxyy ， 7 2 1 28 i i xx ，
16、 所以 7 1 7 2 1 140 5 28 ii i i i xxyy b xx ， 385 418aybx ， 故y关于x的线性回归方程为518yx. （2）当8x 时，5 8 1858y ， 即预测 8 月份的粉丝数量为 58 万. 19.（1）证明：四边形ABCD为正方形，ADCD. 90ADP，CDDPD，AD 平面PCD. CE 平面PCD，ADCE. PDAD，CDAD，60PDC，PCD为等边三角形. E为PD的中点，CEDP. ADDPD，CE 平面PAD. （2）解：记正方形ABCD的中心为O，取CD的中点F，连接EF，OE，OF. O为正方形ABCD的中心，F为CD的中点
17、，OFCD. 平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，OF 平面ABCD， OF 平面PCD，则OFEF. 由（1）知，CEDE.F为CD的中点， 1 1 2 EFCD. 1 1 2 OFBC，OFEF，1EF ，2OE . 2OAOBOC，O为三棱锥EABC外接球的球心. 故三棱锥EABC外接球的体积为 3 48 2 2 33 . 20.（1）解：设P到直线1y 的距离为d，则1dPM， 所以P到直线2y 的距离等于P到0,2M的距离， 由抛物线的定义可知，P的轨迹C的方程为 2 8xy. （2）证明：设 2 1 1, 8 x A x ， 2 2 2, 8 x B x ， 00
18、,Q x y， 联立方程组 2 8 2 xy ykx ，得 2 8160 xkx， 则 12 8xxk， 12 16x x ， 2 64640k. 由 2 8xy，得 2 8 x y ，所以 4 x y ， 所以切线AQ的方程为 2 11 48 xx yx， 同理切线BQ的方程为 2 22 48 xx yx. 由 2 x 1 x，得 12 0 2 8 x x y ， 所以点Q在直线2y 上. 21.解： （1）函数 lnxaxfx的定义域为0,，且 1 aax x x x f . 若0a，则当0 xa时， 0fx，函数 f x在0,a上单调递增； 当xa时， 0fx，函数 f x在, a 上单
19、调递减. 若0a， 0 x fx a x ，函数 f x在0,上单调递减. （2）不等式 e 1exf xx在1,上恒成立，即lnee0 x axx恒成立，设 lnee x axg xx， ee x a x gx，令 h xg x，则 2 ex a x x h. 当0a时， 0g x恒成立，所以 f x单调递增，所以 10g xg， 即0a符合题意； 当0a时， 0h x恒成立，所以 g x单调递增， 又因为 10ga， 1 ln e ln e0 ln eln e aa a gaa aa ， 所以存在 0 1,ln exa，使得 0 0gx，且当 0 1,xx时， 0g x， 即 g x在 0
20、 1,x上单调递减，所以 0 10g xg，即0a不符合题意. 综上，a的取值范围为0,. 22.解： （1）由题意可得直线l的普通方程为30 xy. 曲线C的直角坐标方程为 22 2680 xyxy，即 22 132xy. （2）直线l的参数方程可化为 2 1 2 2 2 2 xt yt （ t 为参数）. 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得 2 210tt ， 则 12 2tt， 1 2 1t t ， 故 2 121 2 12 1 21 2 4 11 6 ttt ttt t tt tPMPN . 23.解： （1）当 3 2 x 时，2310 xx ，解得4x； 当 3 1 2 x时，2310 xx ，解得 2 1 3 x； 当1x时，2310 xx ，解得1x. 综上，不等式 0f x 的解集为 2 4 3 xx x 或. （2）由（1）可知当 3 2 x 时， min 5 2 f x ，即 5 2 m ，则235abc. 因为 2 222222 23123abcabc， 所以 222 2514 abc，即 222 25 14 abc（当且仅当 123 abc 时等号成立）. 故 222 abc的最小值为 25 14 .
