1、 陕西省汉中市 2021 届高三年级第一次模拟数学试题(文) 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 |20, 1,0,2Ax xxB ，则()C AB R （ ） A. 2 B. 1,0 C. 0,2 D. 1,0,2 2. 设复数 5i 43i z ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3
2、. 设x是函数( )3cossinf xxx的一个极值点，则tan（ ） A. 3 B. 3 1 C. 3 1 D. 3 4. 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国. 古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂， 采用的思路可以说是世界上独一无二的. 古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是 1 的分 数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣 的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确 的是（ ） A. 64 63 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 B. 51 50 150 1 16 1 14 1 12 1 2222 C. 12 11 6 1
3、 4 1 2 1 D. 51 49 50321 1 321 1 21 1 5. 已知直线 12 :(2)10,:20()laxaylxaya R，则“2a”是“ 21/l l”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 直线01 yax被圆01382 22 yxyx所截得的弦长为32， 则a（ ） A. 3 4 B. 3 4 C. 3 D. 2 7. 五声音阶是中国古乐的基本音阶， 故有成语“五音不全”， 中国古乐中的五声音阶依次为： 宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这 个音序中宫和羽至少有一个的概率为
4、（ ） A 2 1 B 10 7 C 20 9 D 20 11 8. 设ml,是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若mml,，则l B. 若mll,，则/m C. 若mll/,，则m D. 若/,/ml，则ml/ 9. 若0ba，则下列不等式成立的是（ ） A. ba 11 B. 22 abba C. 2 aab D. balnln 10. 三棱柱 111 CBAABC中，ABCAA平面 1 ，2,3, 1,90 1 AABCABABC，则 三棱柱 111 CBAABC的外接球的表面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 12 D. 8 11. 设 1 F、 2 F
5、分别为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存 在点P， 满足 212 FFPF且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长， 则该双曲线的离心 率为（ ） A. 3 71 B. 3 71 C. 4 5 D. 3 5 12. 已知向量),( zyx aaaa ，),( zyx bbbb ，kji ,是空间中的一个单位正交基底. 规定向量积的行列式计算： , yx yx zx zx zy zy zyx zyxxyyxzxxzyzzy bb aa bb aa bb aa bbb aaa kji kbabajbabaibababa 其中行列
6、式计算表示为bcad dc ba ， 若向量),2 , 1 , 3 (),4 , 1 , 2(ACAB则 ACAB（ ） A. ) 1, 8, 4( B. )8, 4 , 1( C. ) 1, 8 , 2( D. )8, 4, 1( 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 若向量) 2 3 , 2 1 (a， , 6ba与b的夹角为 3 ，则ba . 14. 设实数yx,满足约束条件 32 1 3 yx yx yx ，则yxz 3的最大值是 . 15. 设数列 n a的前
7、n项和为 n S，若 nn aS23，则 5 S . 16. 已知函数( )yf x是R上的偶函数，对任意的xR都有(8)( )(4)f xf xf，当 4 , 0, 21 xx且 21 xx 时，都有. 0)()()( 2121 xfxfxx给出下列命题： (4)0f； 函数( )yf x在8,12上是递增的； 函数)(xfy 的图像关于直线8x 对称； 函数( )yf x在12,12上有四个零点. 其中所有真命题的序号是 . 三、三、解答题： 共解答题： 共 70 分分. 解答题写出文字说明、 证明过程和演算步骤解答题写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 第第 1721 题是必考题，题是必
8、考题， 每个考生都必须作答每个考生都必须作答. 第第 22、23 题是选考题，考生根据要求作答题是选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（本小题满分 12 分） ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，满足Abaccos22. （1）求角B； （2）若ABC的面积为3，13b，求ABC的周长. 18.（本小题满分 12 分） 为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前， 厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在 2060 岁的人群中随机抽取了 100 人，调 查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年
9、龄的统计结果如图所示： （1）求频率分布直方图第二组中x的值，并根据频率分布直方图，求这 100 位被调查者年 龄的中位数m； （2）由以上统计数据填22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下， 认为以m岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？ m岁以下 m岁及m岁以总 计 接 受 不接受 总 计 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K 19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥ABCDP的底面是正方形，PD底面ABCD，E为PB的中点. 年 龄 28,20 36,28 44,36 52,44 60,52 接受的人 数 14 6
10、15 28 17 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 2 0 P Kk 0 k （1）求证：PD/平面AEC； （2）若ABPDAB2, 2，求三棱锥PADE 的体积. 20.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知)0 , 1 (, )0 , 1(BA ， 动点M满足MBMA4.记动点M 的轨迹为曲线C，直线2: kxyl与曲线C相交于不同的两点QP,. （1）求曲线C的方程； （2）若曲线C上存在点N，使得()OPOQONR，求的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数1ln)(axxxf()aR
11、（1）当4a时，求( )f x在1,(1)f处的切线方程； （2）若函数)(xf有两个零点，求a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 考生从考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 22.（本小题满分 10 分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ty tx 2 2 2 2 2 1 (t为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为)0(cos2sin 2 aa， 直线l交曲 线C于BA,两点. （1）
12、写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设点M的直角坐标为)2, 1(，若点M到BA,两点的距离之积是 16，求a的值. 23.（本小题满分 10 分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数142)(xxxf. （1）求不等式( )6f x 的解集； （2）若不等式 2 ( )2f xaa对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B A A B C A D D C 二、填空题：
13、本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 3 14.7 15. 81 211 16. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第第 1721 题是必考题，题是必考题， 每个考生都必须作答每个考生都必须作答.第第 22、23 题是选考题，考生根据情况作答题是选考题，考生根据情况作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17. 解： （1）由正弦定理可得ABACcossin2sinsin2， 1 分 ABABAcossin2sin)sin(2 AB
14、Asincossin2， 3 分 在ABC中，0sinA， 2 1 cosB. 又(0, )B, 3 B . 6 分 （2）3sin 2 1 BacS ABC . 4ac. 8 分 由余弦定理Baccabcos2 222 可得accaaccab3 2 222 . 4,13acb，5ca. 11 分 ABC的周长为135. 12 分 18. 解： （1）0125. 018)0375. 030250. 0(xx，得由. 前三个矩形的面积和为5 . 08)0250. 00125. 00250. 0(， 100 位被调查者年龄的中位数44m. 6 分 （2）由题可得22联表如下： m 岁以下 m 岁及
15、 m 岁以上 总 计 接 受 35 45 80 不接受 15 5 20 总 计 50 50 100 841. 325. 6 4 25 20805050 )1545535(100 2 2 K. 能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为以 44 岁为分界点的不同人群对“纯电动汽 车”的接受程度有差异. 12 分 19. 解： （1）连接BD交AC于点O,连接OE， 四边形ABCD是正方形， O为BD的中点. 又已知E为PB的中点， PDOE/. PD平面AEC，OE平面AEC， /PD平面AEC. 6 分 （2）ABPDAB2, 2, 22PD. 又PD底面ABCD, 3 24 222 2
16、 1 3 1 3 1 2 PDSV ABDABDP三棱锥 . 的中点是PBE, 3 22 2 1 2 1 ABDPPADBPADE VVV 三棱锥三棱锥三棱锥 . 12 分 20.解： （1）由已知可得4 MBMA， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以BA,为焦点的椭圆. 设椭圆的方程为)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x . 1, 42ca， 3, 2 22 caba. 曲线C的方程为1 34 22 yx . 4 分 （2）联立 1 34 2 22 yx kxy ，消去y得0416) 34( 22 kxxk. 0)312(16 2 k，14 2 k. 6 分 设 ),(),(,
17、),( 2211NN yxNyxQyxP ，则 34 4 , 34 16 2 21 2 21 k xx k k xx， 34 12 4 34 16 4)( 22 2 2121 kk k xxkyy. 8 分 ONOQOP易知0， )34( 12 )( 1 )34( 16 )( 1 2 21 2 21 k yyy k k xxx N N 又点N在椭圆上， 1243 22 NN yx 34 16 )34( 4864 222 2 2 kk k 10 分 14 2 k， 434 2 k. 4 1 34 1 0 2 k , 4 34 16 0 2 k 即40 2 . 的取值范围是)2 , 0()0 ,
18、2(. 12 分 21.解： （1）当4a时，14ln)(xxxf，3) 1 ( f. 4 1 )( x xf3) 1 ( f. 3 分 切线方程为03) 1( 33yxxy即 5 分 （2）函数的定义域是), 0( ， 令0)(xf，则 x x a 1ln . 设 x x xgaxh 1ln )(,)( , 则)0( 1ln )()( x x x xgaxh与的图象在), 0( 上有两个交点. 6 分 2 ln )( x x xg ，令1, 0)(xxg则 0)(10 xgx时，当；0)( 1xgx时，当 上单调递减上单调递增，在在), 1 () 1 , 0()(xg. 9 分 1) 1 (
19、)( max gxg. 1 ( )0 e g又；0)(1xgx时，当， a的取值范围是) 1 , 0(. 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.考生从考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 22. 解： （1）直线l的直角坐标方程为1 yx， 直线l的极坐标方程为1sincos. 2 分 由cos2sin 2 a，得cos2sin 22 a. 曲线C的直角坐标方程为)0(2 2 aaxy. 5 分 （2）将直线l的参数坐标方程)( 2 2 2 2 2 1 为参数t ty tx 代入)0(2 2
20、aaxy中，得 084)2224( 2 atat. 设BA,对应的参数分别为 21,t t，则84 21 att. 8 分 1684 21 att，62aa或 0a又，2a 10 分 23. 解： （1） 2, 33 21, 5 1, 33 )( xx xx xx xf， 不等式6)(xf等价于 633 2 65 21- 633 1 x x x x x x 或或 3 分 解得31xx或 不等式的解集为 , 31,. 5 分 （2）由（1）知：当1x时，6)(xf；当21x时，6)(3xf； 当2x时，3)(xf. 故函数为)(xf的值域), 3 ，即)(xf的最小值是 3. 不等式aaxf2)( 2 对一切实数x恒成立， 32 2 aa，解得：13a 故实数a的取值范围是1 , 3. 10 分
