1、2020-2021 学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分） ，小明想了解该图案的面积是多少，他 采取了以下办法：用一个长为 5m，宽为 4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝 长方形区域扔小球， 并记录小球落在不规则图案上的次数 （球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果） ， 他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图， 由此他估计不规则图案的面积大约为 （ ） A6m2 B7m2 C8m2
2、 D9m2 2下列命题中是真命题的有（ ） 直径是圆中最大的弦； 长度相等的弧是等弧； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 两个圆心角相等，它们所对的弦也相等； 等弧所对的圆心角相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作 a3，a6，则 a3：a6等于（ ） A1： B1：3 C3：1 D：1 4如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C，D 都在边长为 1 的小正方形网格的格点上，过点 M（1， 2）的抛物线 ymx2+2mx+n（m0）可能还经过（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 5如图，ABC 中，ABA
3、C2，B30，ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0120）得到AB C，BC与 BC，AC 分别交于点 D，E设 CD+DEx，AEC的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象 大致（ ） A B C D 6如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，点 O 是ABC 的中心，FOG120，绕点 O 旋转FOG，分别 交线段 AB、BC 于 D、E 两点，连接 DE，给出下列四个结论：ODOE；SODESBDE；四边 形 ODBE 的面积始终等于；BDE 周长的最小值为 6上述结论中不正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7已知二次函数 yx2，当 axb 时 myn，则下列说法正确的是（ ）
4、A当 nm1 时，ba 有最小值 B当 nm1 时，ba 有最大值 C当 ba1 时，nm 无最小值 D当 ba1 时，nm 有最大值 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x 的顶点为 A 点，且与 x 轴的正半轴交于点 B，P 点 为该抛物线对称轴上一点，则 OP+AP 的最小值为（ ） A B C3 D2 二填空题（二填空题（9-14 每小题每小题 3 分，分，15-18 每小题每小题 3 分，共分，共 34 分）分） 9如图是山东舰徽的构图，采用航母 45 度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产航母横空出 世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为 10 的
5、弧，若该弧所在的扇形是高为 12 的圆锥侧面展开图（如图） ，则该圆锥的母线长 AB 为 10方程 x2+2x80 的两根为 x1、x2，则+2x1x2+2020 11如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 12 已知关于 x 的一元二次方程： x22xa0， 有下列结论： 当 a1 时， 方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根；当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1；当 a3 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3其中
6、错误结论的序号为 13如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，且点 P 到点 A、B、C 的距离分别为 2、4，则正方形 ABCD 的面积为 14如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结 论：abc0；4acb20； m（am+b）ba（m1） ； 若点 A 的坐标为（2，0） ，则 3a+c 0； 若点 B 的坐标为（4，0） ，则当 x2 或 x6 时，y0； 若点 C 的坐标为（1，2） ，则 ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；
7、 若抛物线经过点 （3， 1） ， 则方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3 其中正确结论的序号为 15如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB8，CAB60，P 是弧上的一个点，连接 AP，过点 C 作 CDAP 于点 D，连接 BD，在点 P 移动过程中，BD 长的最小值为 16抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，且经过点（1，0） 若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+ct 0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 17如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交于点 D，点 E 为半径 OB 上一动点若 OB
8、2，则阴影部分周长的最小值为 18已知正方形 ABCD 边长为 4，点 P 为其所在平面内一点，PD，BPD90，则点 A 到 BP 的距 离等于 三解答题（共三解答题（共 92 分）分） 19 （1）若ABC 是直角三角形，AB13，BC12，AC5将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到 AB1C1；则线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的周长是 ；扫过的面积是 （保留 ） （2）若ABC 是锐角三角形（ACAB） 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线 l，使 l 上的各 点到 B、C 两点的距离相等；设直线 l 与 AB、BC 分别交于点 M、N，作一个圆，使得圆心 O 在线段 M
9、N 上，且与边 AB、BC 相切； （不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若 BM，BC2，则O 的半径为 20 （1）若关于 x 的方程（a1）x22x+10 有实数根，求 a 的取值范围 （2）若 x1，x2是关于 x 的方程 kx2+（k+2）x+0 的两实数根，且 k|kx112x2+2，求 k 的值 （3） 若x1， x2， x3， 是关于x的方程x （x2） 2t的三个实数根， 且x1x2x3； 则x3x1的最大值为 21生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网 格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，
10、例如：网格中只有一个小方格，如 图，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息 （1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数； （图中标号 1、2 表示两个不同位置 的小方格，下同） （2）图为 22 的网格图，它可表示不同信息的总个数为 ； （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证” ，准备在证件的右下角采用 nn 的网格图来表示个人 身份信息，若该校师生共 492 人，则 n 的最小值为 22如图 1，AB 是半圆 O 的直径，AC 是一条弦，D 是上一点，DEAB 于点 E，交 AC 于点 F，连接 BD 交 AC 于点 G，且 AFFG （1）求证：点 D 平分； （2）如图
11、 2 所示，延长 BA 至点 H，使 AHAO，连接 DH若点 E 是线段 AO 的中点求证：DH 是O 的切线 23资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公 司营销活动重叠范围内的地方面积 材料：某地有 A，B 两家商贸公司（以下简称 A，B 公司） 去年下半年 A，B 公司营销区域面积分别为 m 平方千米，n 平方千米，其中 m3n，公共营销区域面积与 A 公司营销区域面积的比为；今年上半年， 受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面积比去年下半年增长了 x%，B 公司营销区域面积比去 年下半年增长的百分数是 A 公司的 4 倍，公共营
12、销区域面积与 A 公司营销区域面积的比为，同时公共 营销区域面积与 A，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了 x 个百分点 问题： （1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积 与 B 公司营销区域面积的比） ，并解答； （2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且 A 公司每半年每平方 千米产生的经济收益均为 B 公司的 1.5 倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比 24如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D 是 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕点 A 逆 时针旋转 9
13、0，得到 AE，连接 CE，DE点 F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CFAD； （2）如图 2 所示，在点 D 运动的过程中，当 BD2CD 时，分别延长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG 与 BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点 D 运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小当 PA+PB+PC 的值取 得最小值时，AP 的长为 m，请直接用含 m 的式子表示 CE 的长 25已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） 顶点为点 D （1）求抛物线的解
14、析式； （2）若过点 C 的直线交线段 AB 于点 E，且 SACE：SCEB3：5，求直线 CE 的解析式； （3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 D，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标； （4）已知点 H（0，） ，G（2，0） ，在抛物线对称轴上找一点 F，使 HF+AF 的值最小此时，在抛 物线上是否存在一点 K，使 KF+KG 的值最小？若存在，求出点 K 的坐标；若不存在，请说明理由 26 已知平面图形 S， 点 P、 Q 是 S 上任意两点， 我们把线段 PQ 的长度的最大值称为平面图形 S 的 “宽距” 例 如，正方形的宽距等于它的对
15、角线的长度 （1）写出下列图形的宽距： 半径为 1 的圆： ； 如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ； （2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） 、B（1，0） ，C 是坐标平面内的点，连接 AB、 BC、CA 所形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d 若 d2，求点 C 所在的区域的面积； 若点 C 在M 上运动，M 的半径为 1，圆心 M 在过点（0，2）且与 y 轴垂直的直线上对于M 上 任意点 C，都有 5d8，直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围 2020-2021 学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷学年江苏省南通
16、市崇川区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分） ，小明想了解该图案的面积是多少，他 采取了以下办法：用一个长为 5m，宽为 4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝 长方形区域扔小球， 并记录小球落在不规则图案上的次数 （球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果） ， 他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图， 由此他估计不规则图案的面积大约为 （ ） A6m2 B7m2 C8m2 D9m2 【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为 x
17、，根据几何概率知识求解不规则图案占长方 形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解 【解答】解：假设不规则图案面积为 xm2， 由已知得：长方形面积为 20m2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件 A 试验次数足够多， 即样本足够大时， 其频率可作为事件 A 发生的概率估计值， 故由折线图可知， 小球落在不规则图案的概率大约为 0.35， 综上有：，解得 x7 故选：B 2下列命题中是真命题的有（ ） 直径是圆中最大的弦； 长度相等的弧是等弧； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 两个圆心角相等，它们所对的弦也相等； 等弧所对的圆心角相等
18、A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、圆心角、弧、弦直径的关系定理判断即可 【解答】解：直径是圆中最大的弦，是真命题； 长度相等的弧不一定是等弧，是假命题； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，是假命题； 在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，是假命题； 等弧所对的圆心角相等，是真命题； 故选：B 3若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作 a3，a6，则 a3：a6等于（ ） A1： B1：3 C3：1 D：1 【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得 【解答】解：设圆的半径是 r
19、， 则多边形的半径是 r， 如图 1，则内接正三角形的边长 a32rsin60r， 如图 2，正六边形的边长是 a6r， 因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比 a3：a6：1 故选：D 4如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C，D 都在边长为 1 的小正方形网格的格点上，过点 M（1， 2）的抛物线 ymx2+2mx+n（m0）可能还经过（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】根据题意和过点 M（1，2）的抛物线 ymx2+2mx+n（m0） ，可以求得 m 和 n 的关系，从而 可以判断各个选项中的点是否可能在该抛物线上，本题得以解决 【解答】解：抛物
20、线 ymx2+2mx+n（m0）过点（1，2） ， m+2m+n2，即 n3m2， 若抛物线 ymx2+2mx+n（m0）过点 A（2，3） ，则 4m+4m+n8m+（3m2）5m23，得 m与 m0 矛盾，故选项 A 不符合题意， 若抛物线 ymx2+2mx+n（m0）过点 B（1，0） ，则 m2m+（3m2）4m20，得 m 与 m0 矛盾，故选项 B 不符合题意， 若抛物线 ymx2+2mx+n（m0）过点 C（2，1） ，则 4m4m+（3m2）3m21，得 m 1 与 m0 矛盾，故选项 C 不符合题意， 若抛物线 ymx2+2mx+n（m0）过点 D（4，1） ，则 16m8m
21、+（3m2）5m21，得 a 0.2，故选项 D 符合题意， 故选：D 5如图，ABC 中，ABAC2，B30，ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0120）得到AB C，BC与 BC，AC 分别交于点 D，E设 CD+DEx，AEC的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象 大致（ ） A B C D 【分析】 可证ABFACE （AAS） 、 CDEBDF （AAS） ， 则 BD+DECD+EDx， yEC AEC的 EC边上的高，即可求解 【解答】解：ABC 绕点 A 逆时针旋转 ，设 AB与 BC 交于点 F， 则BABCAC，BC30，ABACAC， ABFACE（AAS） ， BFCE
22、，AEAF， 同理CDEBDF（AAS） ， BDCD， BD+DECD+EDx， ABAC2，B30，则ABC 的高为 1，等于AEC的高， BC2BC， yECAEC的 EC边上的高（2）x+， 故选：B 6如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，点 O 是ABC 的中心，FOG120，绕点 O 旋转FOG，分别 交线段 AB、BC 于 D、E 两点，连接 DE，给出下列四个结论：ODOE；SODESBDE；四边 形 ODBE 的面积始终等于；BDE 周长的最小值为 6上述结论中不正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】连接 OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得ABOOBC
23、OCB30，再证明BOD COE，于是可判断BODCOE，所以 BDCE，ODOE，则可对进行判断；利用 SBODS COE得到四边形 ODBE 的面积SABC， 则可对进行判断； 作 OHDE， 如图， 则 DHEH， 计算出SODEOE2， 利用SODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对进行判断； 由于BDE 的周长BC+DE4+DE4+OE，根据垂线段最短，当 OEBC 时，OE 最小，BDE 的 周长最小，计算出此时 OE 的长则可对进行判断 【解答】解：连接 OB、OC，如图， ABC 为等边三角形， ABCACB60， 点 O 是ABC 的中心， OBOC，OB、O
24、C 分别平分ABC 和ACB， ABOOBCOCB30， BOC120，即BOE+COE120， 而DOE120，即BOE+BOD120， BODCOE， 在BOD 和COE 中， ， BODCOE（ASA） ， BDCE，ODOE， 正确； BODCOE， SBODSCOE， 四边形 ODBE 的面积SOBCSABC42， 故正确； 作 OHDE 于 H，如图，则 DHEH， DOE120， ODEOEH30， OHOE，HEOHOE， DEOE， SODEOEOEOE2， 即 SODE随 OE 的变化而变化， 而四边形 ODBE 的面积为定值， SODESBDE； 故错误； BDCE， B
25、DE 的周长BD+BE+DECE+BE+DEBC+DE4+DE4+OE， 当 OEBC 时，OE 最小，BDE 的周长最小，此时 OE， BDE 周长的最小值4+26， 正确 故选：A 7已知二次函数 yx2，当 axb 时 myn，则下列说法正确的是（ ） A当 nm1 时，ba 有最小值 B当 nm1 时，ba 有最大值 C当 ba1 时，nm 无最小值 D当 ba1 时，nm 有最大值 【分析】方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，先判断出四边形 BCDE 是矩形，得出 BCDEb a1，CDBEm，进而得出 ACnm，即 tanABCnm，再判断出 45ABC90，即 可得出
26、nm 的范围，当 a，b 异号时，m0，当 a，b时，n 最小，即可得出 nm 的范 围； 当 nm1 时，当 a，b 同号时，同的方法得出 NHPQba，HQPNm，进而得出 MHn m1，而 tanMHN，再判断出 45MNH90，当 a，b 异号时，m0，则 n1，即可 求出 a，b，即可得出结论 方法 2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论 【解答】解：方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，如图 1， 过点 B 作 BCAD 于 C， BCD90， ADEBED90， ADEBCDBED90， 四边形 BCDE 是矩形， BCDEba1，CDBEm， ACADCDnm， 在 R
27、tACB 中，tanABCnm， 点 A，B 在抛物线 yx2上，且 a，b 同号， 45ABC90， tanABC1， nm1， 当 a，b 异号时，m0， 当 a，b时，n，此时，nm， nm1， 即 nm， 即 nm 无最大值，有最小值，最小值为，故选项 C，D 都错误； 当 nm1 时，如图 2， 当 a，b 同号时，过点 N 作 NHMQ 于 H， 同的方法得，NHPQba，HQPNm， MHMQHQnm1， 在 RtMHN 中，tanMNH， 点 M，N 在抛物线 yx2上， m0， 当 m0 时，n1， 点 N（0，0） ，M（1，1） ， NH1， 此时，MNH45， 45MN
28、H90， tanMNH1， 1， 当 a，b 异号时，m0， n1， a1，b1， 即 ba2， ba 无最小值，有最大值，最大值为 2，故选项 A 错误； 故选：B 方法 2、当 nm1 时， 当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 都越大时，ab 越接近于 0，但不能取 0，即 ba 没有最小值， 当 a，b 异号时，当 a1，b1 时，ba2 最大， 当 ba1 时，当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 离 y 轴越远，nm 越大，但取不到最大， 当 a，b 在 y 轴两侧时，当 a，b时，nm 取到最小，最小值为， 因此，只有选项 B 正确， 故选：B 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线
29、 yx2+2x 的顶点为 A 点，且与 x 轴的正半轴交于点 B，P 点 为该抛物线对称轴上一点，则 OP+AP 的最小值为（ ） A B C3 D2 【分析】连接 AO、AB，PB，作 PHOA 于 H，BCAO 于 C，如图，解方程得到x2+2x0 得 B（2 ，0） ，利用配方法得到 A（，3） ，则 OA2，从而可判断AOB 为等边三角形，接着利用 OAP30得到 PHAP，利用抛物线的对称性得到 POPB，所以 OP+APPB+PH，根据两点之 间线段最短得到当 H、P、B 共线时，PB+PH 的值最小，最小值为 BC 的长，然后计算出 BC 的长即可 【解答】解：连接 AO、AB，
30、PB，作 PHOA 于 H，BCAO 于 C，如图， 当 y0 时，x2+2x0，解得 x10，x22，则 B（2，0） ， yx2+2x（x）2+3，则 A（，3） ， OA2， 而 ABAO2， ABAOOB， AOB 为等边三角形， OAP30， PHAP， AP 垂直平分 OB， POPB， OP+APPB+PH， 当 H、P、B 共线时，PB+PH 的值最小，最小值为 BC 的长， 而 BCAB23， OP+AP 的最小值为 3 故选：C 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9如图是山东舰徽的构图，采用航母 45 度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产航母横空出 世的
31、气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为 10 的弧，若该弧所在的扇形是高为 12 的圆锥侧面展开图（如图） ，则该圆锥的母线长 AB 为 13 【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线 AB 的长 【解答】解：圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长10， OB， 在 RtAOB 中，AB， 所以该圆锥的母线长 AB 为 13 故答案为：13 10方程 x2+2x80 的两根为 x1、x2，则+2x1x2+2020 2001.5 【分析】利用根与系数的关系可得出 x1+x22，x1x28，将其代入+2x1x2+2020 +2x1x2+2020 中即可求出结论 【解答】解：方
32、程 x2+2x80 的两根为 x1、x2， x1+x22，x1x28， +2x1x2+2020， +2x1x2+2020 +2x1x2+2020， +2x1x2+2020， +2（8）+2020， 2.516+2020， 2001.5， 故答案为：2001.5 11如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 CD，证明DCHDBG，则 S四边形DGCHSBDC，求得扇形 FDE 的面积，则阴影部分 的面积即可求得 【解答】解：连接 CD， CACB，A
33、CB90， B45， 点 D 为 AB 的中点， DCABBD1，CDAB，DCA45， CDHBDG，DCHB， 在DCH 和DBG 中， ， DCHDBG（ASA） ， S四边形DGCHSBDCSABCABCD21 S阴影S扇形DEFSBDC 故答案为 12 已知关于 x 的一元二次方程： x22xa0， 有下列结论： 当 a1 时， 方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根；当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1；当 a3 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3其中错误结论的序号为 【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可
34、 【解答】解：x22xa0， 4+4a， 当 a1 时，0，方程有两个不相等的实根，故正确， 当 a0 时，两根之积0，方程的两根异号，故错误， 方程的根为 x1， a1， 方程的两个实根不可能都小于 1，故正确， 当 a3 时，由（3）可知，两个实根一个大于 3，另一个小于 3，故正确， 故答案为 13如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，且点 P 到点 A、B、C 的距离分别为 2、4，则正方形 ABCD 的面积为 14+4 【分析】如图，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得到CBM，连接 PM，过点 B 作 BHPM 于 H首先 证明PMC90，推出CMBAPB135，推出 A，P
35、，M 共线，利用勾股定理求出 AB2即可 【解答】解：如图，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得到CBM，连接 PM，过点 B 作 BHPM 于 H BPBM，PBM90， PMPB2， PC4，PACM2， PC2CM2+PM2， PMC90， BPMBMP45， CMBAPB135， APB+BPM180， A，P，M 共线， BHPM， PHHM， BHPHHM1， AH2+1， AB2AH2+BH2（2+1）2+1214+4， 正方形 ABCD 的面积为 14+4 解法二：连接 AC，利用勾股定理求出 AC 即可 故答案为 14+4 14如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x
36、 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结 论：abc0；4acb20； m（am+b）ba（m1） ； 若点 A 的坐标为（2，0） ，则 3a+c 0； 若点 B 的坐标为（4，0） ，则当 x2 或 x6 时，y0； 若点 C 的坐标为（1，2） ，则 ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2； 若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3其中正确结论的序号为 【分析】根据函数的图象和性质即可求解 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab0，而
37、c0，故 abc0，故正确； 抛物线与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，故 4acb20，故正确； x1 时，函数有最大值，则 am2+bm+ca+b+c（m1） ，故 m（am+b）ba（m1） ，故正确； 若点 A 的坐标为（2，0） ，则 x1 时，yab+c0， 1， b2a， 3a+c0，故错误； 若点 B 的坐标为（4，0） ，则 A 的坐标为（2，0） ， 当 x2 或 x4 时，y0， 当 x2 或 x6 时，y0，故正确； ABC 的面积AByCAB22，解得：AB2，则点 A（0，0） ，即 c0 与图象不符，故错 误； 函数的对称轴为 x1，若 x1+x22，则 （x
38、1+x2）1，则点 N 离函数对称轴远，故 y1y2，故错误； 抛物线经过点（3，1） ，则 yax2+bx+c+1 过点（3，0） ， 根据函数的对称轴该抛物线也过点（1，0） ，故方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3，故正确； 故答案为 15如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB8，CAB60，P 是弧上的一个点，连接 AP，过点 C 作 CDAP 于点 D，连接 BD，在点 P 移动过程中，BD 长的最小值为 22 【分析】以 AC 为直径作圆 O，连接 BO、BC在点 P 移动的过程中，点 D 在以 AC 为直径的圆上 运动，当 O、D、B 共线时，BD
39、的值最小，最小值为 OBOD，利用勾股定理求出 BO即可解 决问题 【解答】解：如图，以 AC 为直径作圆 O，连接 BO、BC，OD， CDAP， ADC90， 在点 P 移动的过程中，点 D 在以 AC 为直径的圆上运动， AB 是直径， ACB90， 在 RtABC 中，AB8，CAB60， BCABsin604，ACABcos604， AOCO2， BO2， OD+BDOB， 当 O、D、B 共线时，BD 的值最小，最小值为 OBOD22， 故答案为 22 16抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，且经过点（1，0） 若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+ct 0（t 为实
40、数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 4t5 【分析】根据抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，且经过点（1，0） 可以求得 b、c 的值，从而 可以得到抛物线的解析式，再根据关于 x 的一元二次方程 x2+bx+ct0（t 为实数）在1x4 的范围 内有实数根和二次函数与一元二次方程的关系，从而可以求得 t 的取值范围 【解答】解：抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，且经过点（1，0） ，得 即抛物线解析式为 yx22x3， 当 yt 时，tx22x3， 即 x22x3t0， 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+ct0（t 为实数）在1x4 的范围内有
41、实数根， tx22x3 有实数根， yx22x3（x1）24， 当1x4 时，x1 时，y 有最小值4，当 x4 时，y 取得最大值 5， t 的取值范围是4t5， 故答案为：4t5 17如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交于点 D，点 E 为半径 OB 上一动点若 OB2，则阴影部分周长的最小值为 【分析】利用轴对称的性质，得出当点 E 移动到点 E时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧 CD 的长与 CD的长度和，分别进行计算即可 【解答】解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连接 DC 交 OB 于点 E，连接 ED、OD， 此时 EC+ED 最小，即：E
42、C+EDCD， 由题意得，CODDOBBOD30， COD90， CD2， 的长 l， 阴影部分周长的最小值为 2+ 故答案为： 18已知正方形 ABCD 边长为 4，点 P 为其所在平面内一点，PD，BPD90，则点 A 到 BP 的距 离等于 或 【分析】由题意可得点 P 在以 D 为圆心，为半径的圆上，同时点 P 也在以 BD 为直径的圆上，即点 P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求 BP，AH 的长，即可求点 A 到 BP 的距离 【解答】解：点 P 满足 PD， 点 P 在以 D 为圆心，为半径的圆上， BPD90， 点 P 在以 BD 为直径的圆上， 如图，点 P 是两
43、圆的交点， 若点 P 在 AD 上方，连接 AP，过点 A 作 AHBP， CD4BC，BCD90， BD4， BPD90， BP3， BPD90BAD， 点 A，点 B，点 D，点 P 四点共圆， APBADB45，且 AHBP， HAPAPH45， AHHP， 在 RtAHB 中，AB2AH2+BH2， 16AH2+（3AH）2， AH（不合题意） ，或 AH， 若点 P 在 CD 的右侧， 同理可得 AH， 综上所述：AH或 三解答题三解答题 19 （1）若ABC 是直角三角形，AB13，BC12，AC5将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到 AB1C1；则线段 BC 在旋转过程中
44、所扫过部分的周长是 24+9 ；扫过的面积是 36 （保留 ） （2）若ABC 是锐角三角形（ACAB） 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线 l，使 l 上的各 点到 B、C 两点的距离相等；设直线 l 与 AB、BC 分别交于点 M、N，作一个圆，使得圆心 O 在线段 MN 上，且与边 AB、BC 相切； （不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若 BM，BC2，则O 的半径为 【分析】 （1）根据旋转的性质得 B1C1BC12，BAB1CAC190，ABCAB1C1，再利用 弧长公式计算出弧 CC1的长度，弧 BB1的长度，所以线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的周长CB
45、+弧 BB1的长+B1C1+弧 CC1的长24+9；由于ABCAB1C1，则 SBACSB1AC1，然后利用扇形面积公 式和线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的面积S扇形BAB1S扇形C1AC进行计算即可 （2）根据题意作出图形即可； （3）过点 O 作 OEAB 于 E设 OEONr，由勾股定理求出 MN 的长，由三角形的面积公式可得出 答案 【解答】解： （1）如图 1， ABC 绕 A 顺时针方向旋转 90后得到AB1C1， B1C1BC12，BAB1CAC190，ABCAB1C1， 弧 CC1的长度，弧 BB1的长度， 线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的周长 CB+弧 BB1的长+B
46、1C1+弧 CC1的长 12+12+24+9； ABCAB1C1， SBAC， S扫过的面积+SBAC+S扇形C1ACS扇形BAB1+SB1AC1， 线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的面积 S扇形BAB1S扇形C1AC36； 故答案为：24+9，36 （2）如图 2，直线 l，O 即为所求 （3）如图 3，过点 O 作 OEAB 于 E设 OEONr， BM，BC2，MN 垂直平分线段 BC， BNCN1， MN， SBNMSBNO+SBOM， 11r+r， 解得，r 故答案为： 20 （1）若关于 x 的方程（a1）x22x+10 有实数根，求 a 的取值范围 （2）若 x1，x2是关于
47、x 的方程 kx2+（k+2）x+0 的两实数根，且 k|kx112x2+2，求 k 的值 （3）若 x1，x2，x3，是关于 x 的方程 x（x2）2t 的三个实数根，且 x1x2x3；则 x3x1的最大值为 【分析】 （1）分 a10 和 a10 两种情况考虑，当 a10 时，可求出一元一次方程的根；当 a1 0 时，根据0 即可找出 a 的取值范围综上即可得出结论； （2）由根与系数关系以及一元二次方程的解的定义得出 x1+x2，x1x20，kx12（k+2） x1， 那么|， kx12 （k+2） x1 将它们代入 k|kx112x2+2， 整理得出 kx2 （k+2） x112x1x
48、2+2x1，解方程即可求出 k 的值； （3）由题意得：x（x2）2t（xx1） （xx2） （xx3） ，将等式两边分别整理，再比较对应项的系 数可得 x1+x34x2，x3x14（x1+x3）x2，x3x1，然后由（x3x1）2（x3+x1）24x3x1及配方 法得出（x3x1）2的最大值，再开平方，求其算术平方根即可 【解答】 （1）a1，方程为一元一次方程，必有一根； a1，方程为一元二次方程，（2）24（a1）44a+484a0， 解得 a2，即 a2 且 a1， 综上，a2 （2）x1，x2是关于 x 的方程 kx2+（k+2）x+0 的两实数根， x1+x2，x1x20，kx12+（k+2）x1
