1、1 / 9 长春市长春市2021届高三质量监测（二届高三质量监测（二)理科数学理科数学 3月月 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 22 cosisin 33 z ，则复数z的虚部是 1313 A. B. C. 2222 D. 2.设全集 2 R, |40, |1UAxxBx x，则右图阴影部分表示的集合为， A. ( 1,2 B. 1,2 C. 2, 1) D. (, 1 3.已知,m n是平面内的两条直线，则“直线lm且ln”是“l”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也
2、不必要条件的 4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华 微信搜索关注免费获取最新试卷及答案.民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时 为全球减贫事业作出了重要贡献.2020 年为脱贫攻坚收官之年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减 贫人数的条形图. 根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为 平均每年减贫人数超过 1300 万; 每年减贫人数均保持在 1100 万以上: 打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律; 历年减贫人数的中位数是 1240(万人) . A.1B.2C.3D.4 5已知 5
3、道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第 1 次抽到 代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为 1213 A. B. C. D. 4525 6.已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 25 15,65aS，则 14 aa A.24B.26C.28D.30 7.已知直线l将圆 22 :210C xyxy 平分，且与直线230 xy垂直，则l的方程为 A. 20 B. 230 C. 240 D. 220 xyxyxyxy 8.四边形ABCD中，2,0,| 2ABDCAB BCAB ,则AD DC 2 / 9 A. 1 B. 1 C. 2 D.
4、2 9.现有如下信息: (1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长 部分与整体长度之比，其比值为 51 2 . (2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. (3)有一个内角为 36的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin126 B. 4 A C. 515151 2 51 .D 24 . 10.已知抛物线 2 2(0)ypx p上一点 0 (2,)Ay，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足 2FAAM ，则抛物线方程为 2222 A B. C. . 86D. 1 2432yxyxyxyx 1
5、1.已知函数( )2sin()(0,|)f xx的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述: 2; 3 ; 若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x; 若 12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x. 其中正确的命题是 A.B.C.D. 12. 已 知 函 数 2 ( ) x xx e f x ee 与 函 数 3 ( )121g xxx 的 图 象 交 点 分 别 为 ： 111 ( ,)P x y， 222 (,),(,)(N ) kkk P xyP xyk ，则 1212 ()() kk xxxyyy A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 二、本题共 4 小题，每小题
6、 5 分. 13.已知点( , )P x y满足约束条件 4 0 4 xy xy x ，则2zxy的最小值为. 14.写出一个符合“对 12 ,Rx x，当 12 xx时， 1212 () ()()0 xxf xf x”的函数. 15.已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为2yx ，则该双曲线的离心率为. 3 / 9 16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图)，其反射 面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆 面的直径被截得的部分为高,球冠表面积2SRh，其中R为球的半径，h球冠 的高)，设球冠底的半径为r,周长为
7、C，球冠的面积为S，则 r R 的值为 (结果用S、C表示） 三、解答题:共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题:共 60 分. 17.随着互联网行业、微信搜索关注免费获取最新试卷及答案.传统行业和实体经济的融 合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网 店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示 (其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和） 现已知 55 11
8、 8850,2000 iii ii x yy ， 求解下列问题： ()经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程; ( II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w(单位:万元）满足 2 5140wyx，请根据:() 中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大. 参考公式：线性回归方程 ybxa ，其中aybx ， 1 2 2 1 i n i i i i n x ynxy b xxn . 18.已知三棱柱 111 -ABC ABC,ABAC, 1 AA平面ABC， 1 24AAABAC,M为棱AB上一点， 若3AMBM. ()求证：平面 1
9、1 ABC平面 11 BC M； 4 / 9 ( II)求平面 11 A ACC与平面 11 BC M所成锐二面角的余弦值. 19.已知等比数列 n a满足： 1223 20,80aaaa. ()求 n a的通项公式； ( II)令 2 log nn ba，其前n项和为 n S，若 11 n n b S 恒成立，求的最小值. 20.已知函数 2 ( ),( )ln .f xaxg xx ()当1a 时，求( )( )f xg x的最小值； ( II)若曲线( )yf x与( )yg x有两条公切线，求a的取值范围. 21.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Ca b ab 的离心率为 1
10、2 ， 3 (1, ) 2 P为椭圆上一点，,A B为椭圆上不同两点，O 为坐标原点. ()求椭圆C的方程； ( II)线段AB的中点为M， 当AOB面积取最大值时， 是否存在两定点,G H， 使|GMHM为定值？ 若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 22.选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos3. (I)求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (II)曲线 1 C与 2 C相交于A、B两点
11、，求| |OAOB的值. 23选修 4-5 不等式选讲 已知函数( ) |1|f xx. ()解不等式( )(4)8f xf x; (II)若| 1,| 1,0aba，求证：() |( ) b f aba f a . 5 / 9 长长春春市市普普通通高高中中 2021 届届高高三三质质量量监监测测（二二） 数数学学（理理科科）试试题题参参考考答答案案及及评评分分标标准准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分） 1. 【试题解析】D复数z的虚部为 23 sin 32 ，故选 D. 2.【试题解析】A易知阴影部分为集合()( 1,2 U AB ，故选 A. 3. 【试题解析
12、】 B若m与n不相交， 则“直线lm且ln”不能推出“l”； 反之， 如果“l”， 无论m与n是否相交， 都能推出“直线lm且ln”， 故“直线lm且ln”是“l”的必要不充 分条件，故选 B. 4.【试题解析】C由图易知正确，中位数应为 1289（万） ，错，故选 C. 5.【试题解析】C设事件A “第 1 次抽到代数题” ，事件B “第 2 次抽到几何题”，则 3 21 (|) 3 42 P B A ，故选 C. 6.【试题解析】C由题意 533 565,13Saa，所以 1423 28aaaa，故选 C. 7.【试题解析】D由题意知，直线l过点 1 (,1) 2 ，斜率为2，所以直线:2
13、20lxy，故选 D. 8.【试题解析】B由题意知| 1,0DCDC BC ，所以 ()1AD DCABBCCDDCAB DCCD DC ，故选 B 9.【试题解析】D 由题意，设ABC为36A 的黄金三角形， 有 51 , 2 a bc b ，所以 222 51 cos36 24 bca bc ， 所以 51 sin126cos36 4 ， 另外36AB，108C ，也可获得此结果，故选 D. 10.【试题解析】C由2FAAM 知A为线段FM上靠近F的三等分点， 所以 0 (,0),(,3) 22 pp FMy， 有 2 2(2)2,12,24 22 pp pyx，故选 C. 11.【试题解
14、析】C由图知，1 2 5 ,2 21212 ，2 ()2,0, 126 kk ， 故正确， 错误；中， 12 , 26 xx 而直线 6 x 是函数( )f x的对称轴，故正确，错误，故选 C. 12.【试题解析】D由题意化简，( )1 xx xx ee f x ee ，可知( )f x的图象与( )g x的图象都关于点(0,1) 对称，又 2 22 4 ( )0 (1) x x e fx e ，所以( )f x在(,0),(0,)上单调递减，由 2 ( )3(4)g xx 可 知，( )g x在(, 2),(2,) 上单调递减，在( 2,2)上单调递增，由图象可知，( )f x与( )g x
15、的图 象有四个交点，微信搜索关注免费获取最新试卷及答案.且都关于点(0,1)对称，所 以所求和为 4，故选 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 【答案】6【解析】可行域为 6 / 9 由2zxy得2yxz ，过（2,2）点时有最小值 6. 14. 【答案】例如x【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可. 15. 【答案】 5 2 【解析】注意到双曲线的焦点在y轴上，可得 2 5 21 ( ) 2 ab e ba . 16. 【答案】 2 4 2 CSC S 【解析】 22 22()SRhR RRr, 222 24CrCr 两式对应相除得 2
16、222 2 222222 2()()2 ()1 42 SR RRrSR RRrSR RR CrCrCrrr 设 R m r 得 22222 222 2 2222 111 4 SSSS m mmmm mm mmm CCC CSC 所以 2 4 2 rCSC RS . 三、解答题 17.(本本小小题题满满分分 12 分分) 【试题解析】解： （1）由题意， 5 2 1 885020 400 90,4,85 9080 i i xxb ，40085460a ， 所以8560yx. （6 分） （2）由（1）知， 22 171125 585805() 24 wxxx ， 所以当8x 或9x 时能获得总利
17、润最大. （12 分） 18.(本本小小题题满满分分 12 分分) 【试题解析】解： （1）证明： 1 1 11 1111 111 A AABC A AAC ACA ABBACABC ACB MACB M ABAC B MA ABB 平面 平面平面 ，即 平面 111 111 111111 111 ACB M B MABC ABB MBC MABC B MBC M 平面 平面平面 平面 . （6 分） （2）以A为原点，AB方向为x轴，AC方向为y轴， 1 AA方向为z轴， 建立空间直角坐标系. 1(4,0,2) B， 1(0,4,2) C，(3,0,0)M， 11 ( 4,4,0)BC ，
18、1 ( 1,0, 2)B M 平面 11 BC M的法向量为 1 (2,2, 1)n ，平面 11 A ACC的法向量为 2 (1,0,0)n 即平面 11 A ACC与平面 11 BC M所成锐二面角的余弦值为 12 12 |2 cos 3| | n n nn ， 即平面 11 A ACC与平面 11 BC M所成锐二面角的余弦值为 2 3 . （12 分） 19.(本本小小题题满满分分 12 分分) 7 / 9 【试题解析】解： （1）由题意 11 2 11 20 80 aa q a qa q ，可知4q ， 进一步解得 1 4a . 即 n a的通项公式为4n n a . （6 分） （
19、2） 22 loglog 42 n nn ban， 2 1 2(1) 2 2 n Snn nnn， 2 22 11 1111 1 n n bn Snn n n ，由 * nN， 利用基本不等式以及对勾函数的性质可得 1120 3 n n 得 6 1123 n n b S 则的最小值为 6 23 . （12 分） 20.(本本小小题题满满分分 12 分分) 【试题解析】解： （1）当1a 时，令 2 ( )( )( )lnF xf xg xxx， 1 ( )2F xx x （0 x ） 2 121 ( )2 x F xx xx ，令( )0F x且0 x 可得 2 2 x ， min 21111
20、 ()(ln2)ln2 22222 FF . （4 分） （2）方法一：由函数( )f x和( )g x的图象可知， 当( )( )f xg x时，曲线( )yf x与( )yg x有两条公切线. 即 2 lnaxx在(0,)上恒成立，即 2 ln x a x 在(0,)上恒成立， 设 2 ln ( ) x h x x ， 3 1 2ln ( ) x h x x 令 3 1 2ln ( )0 x h x x ，xe 即 max 1 () 2 hhe e ，因此， 1 2 a e . （12 分） 法二： 取两个函数相切的临界条件： 2 00 0 0 ln 1 2 axx ax x 解得 0 x
21、e， 1 2 a e ， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时， 1 2 a e . （12 分） 21.(本本小小题题满满分分 12 分分) 【试题解析】解： （1）由 1 2 e 可设2at，ct，则3bt， 则方程化为 22 22 1 43 xy tt ， 又点 3 (1, ) 2 P在椭圆上，则 22 9 1 4 1 43tt ，解得1t ， 8 / 9 因此椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （4 分） （2）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为ykxm， 联立直线AB和椭圆C的方程消去y得， 22 34()120 xkxm，化简得： 222 (34)84120kxkmx
22、m， 2 22 212112 22 1118412 | |()4|()4 2223434 AOB kmm Smxxmxxx xm kk 222222 22 24 22 2222 2|2| 4(3)(34)9312 3434 2 3 | 342 3 3434(34) mm k mmkmk kk mmm km kkk 当 2 2 1 342 m k 时，S取得最大值3，即此时 22 234mk， 又 12 2 8 34 km xx k ， 1212 2 6 ()2 34 m yyk xxm k ， 则 1212 (,) 22 xxyy M ，即 22 43 (,) 3434 kmm M kk 令
23、2 2 4 34 3 34 km x k m y k ，则 22 1 3 2 2 xy ， 因此平面内存在两点G、H使得| 2 2GMHM. 当直线AB的斜率不存在时，设(2cos , 3sin )A，则(2cos ,3sin )B 2 3sincos3sin2 AOB S ，即当 4 取得最大值3. 此时AB中点M的坐标为( 2,0)，满足方程 22 1 3 2 2 xy ， 即| 2 2GMHM. （12 分） 22.(本本小小题题满满分分 10 分分) 【试题解析】 （1）曲线 1 C的普通方程为cossin0yx，即极坐标方程为（R）. 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 23xyx，
24、即 22 (1)4xy. （5 分） （2）曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30 ，代入，可得 12 3 ， 则 12 | | | 3OAOB . （10 分） 23.(本本小小题题满满分分 10 分分) 【试题解析】 （1）( )(4) |1|3|8f xf xxx，则(, 53,)x . （5 分） （2）要证() |( ) b f aba f a 成立，即证|1| |abba成立， 即证 2222 1baba成立，只需证 222 (1)(1)0a bb成立 即 证 22 (1)(1)0ab成 立 ， 由 已 知 | 1,| 1ab 得 22 (1)(1)0ab显 然 成 立 . （10 分）
