1、2020-2021 学年广东省韶关市新丰县、仁化县九年级（上）期末数学试卷学年广东省韶关市新丰县、仁化县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2若关于 x 的方程（a+1）x22x10 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da0 3已知 x3 是关于 x 的一元二次方程 x22xm0 的根，则该方程的另一个根是（ ） A3 B3 C1 D1 4将抛物线 y2x2向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解
2、析式为（ ） Ay2（x2）2+3 By2（x2） 23 Cy2（x+2） 23 Dy2（x+2） 2+3 5如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA50，则C 的度数为（ ） A30 B40 C50 D80 6下列命题中错误的是（ ） A经过三个点一定可以作圆 B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 7如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB，若AOB15，则AOB的度 数是（ ） A25 B30 C35 D40 8对于抛物线 y（x1）2+2 的说法错误的是（ ） A抛物线的
3、开口向上 B抛物线的顶点坐标是（1，2） C抛物线与 x 轴无交点 D当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 9如图，在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为（ ） A10cm B16cm C24cm D26cm 10把一副三角板如图（1）放置，其中ACBDEC90，A45，D30，斜边 AB4，CD 5把三角板 DCE 绕着点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1（如图 2） ，此时 AB 与 CD1交于点 O，则线 段 AD1的长度为（ ） A B C D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11方程 x2
4、x0 的解是 12如果点 P（x，y）关于原点的对称点为（2，3） ，则 x+y 13圆的内接四边形中，A：B：C2：3：4，则D 的度数为 14如图，圆的直径是 10cm，如果圆心与直线的距离是 6cm，那么该直线和圆的位置关系是 15 在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同， 摇匀后随机摸出一个， 摸到红球的概率是，则 n 的值是 16已知一个直角三角形的两直角边长分别为 4、3，则其内切圆的半径为 17如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，下列结论中：abc0；9a3b+c0； b24ac0；2ab0；ab，正确的结论是 （只
5、填序号） 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18解方程：x2+2x10 19如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（5，1） ，B（2，2） ，C（1， 4） ，请按下列要求画图： （1）将ABC 先向右平移 4 个单位长度、再向下平移 1 个单位长度，得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）画出与ABC 关于原点 O 成中心对称的A2B2C2，并直接写出点 A2的坐标 20已知二次函数 yx2+4x6 （1）将二次函数的解析式化为 ya（xh）2+k 的形式； （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 四、解答题（
6、每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21某镇为打造“绿色小镇” ，投入资金进行河道治污已知 2016 年投入资金 1000 万元，2018 年投入资金 1210 万元 （1）求该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率； （2）若 2019 年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇 2019 年预计投入资金多少万元？ 22举世瞩目的港珠澳大桥已于 2018 年 10 月 24 日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国 卫报誉为“新世界七大奇迹” ，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的 4 个收费通道 A、B、C、D 中可随机选择其中一个通
7、过 （1）一辆车经过收费站时，选择 A 通道通过的概率是 （2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率 23已知一元二次方程 x24x+k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x24x+k0 与 x2+mx10 有一个相同的根，求 此时 m 的值 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下 半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 ACFC （1
8、）求证：AC 是O 的切线： （2）若 BF8，DF，求O 的半径； （3）若ADB60，BD1，求阴影部分的面积 （结果保留根号） 25如图，已知抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧） 与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，则是否存在一点 P，使PBC 的面积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN
9、3 时，求 M 点 的坐标 2020-2021 学年广东省韶关市新丰县、仁化县九年级（上）期末数学试卷学年广东省韶关市新丰县、仁化县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D既是轴对称图形，又是中心
10、对称图形，故本选项符合题意 故选：D 2若关于 x 的方程（a+1）x22x10 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da0 【分析】根据一元二次方程的定义可知 a 的取值范围 【解答】解：由题意可知：a+10， a1 故选：A 3已知 x3 是关于 x 的一元二次方程 x22xm0 的根，则该方程的另一个根是（ ） A3 B3 C1 D1 【分析】设方程的另一个根为 x1，根据根与系数的关系可得出关于 x1的一元一次方程，解之即可得出结 论 【解答】解：设方程的另一个根为 x1， 根据题意得：x1+32， 解得：x11 故选：D 4将抛物线 y2x2向左平移
11、2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） Ay2（x2）2+3 By2（x2） 23 Cy2（x+2） 23 Dy2（x+2） 2+3 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 y2x2向左平移 2 个单位长度所得直线解析式为：y2（x+2）2； 再向下平移 1 个单位为：y2（x+2）23 故选：C 5如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA50，则C 的度数为（ ） A30 B40 C50 D80 【分析】根据三角形的内角和定理求得AOB 的度数，再进一步根据圆周角定理求解 【解答】解：OAOB，OBA50， O
12、ABOBA50， AOB18050280， CAOB40 故选：B 6下列命题中错误的是（ ） A经过三个点一定可以作圆 B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题 【解答】解：A、经过三个点一定可以作圆，根据过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原命题是 假命题； B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，是真命题； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，是真命题； D、经过圆心垂直于切线的直线必经过切点，是真命题； 故选：A 7如图，将AOB 绕点 O
13、 按逆时针方向旋转 45后得到AOB，若AOB15，则AOB的度 数是（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可 【解答】解：将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB， AOA45，AOBAOB15， AOBAOAAOB451530， 故选：B 8对于抛物线 y（x1）2+2 的说法错误的是（ ） A抛物线的开口向上 B抛物线的顶点坐标是（1，2） C抛物线与 x 轴无交点 D当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】根据二次函数的性质，二次函数的顶点式即可判断； 【解答】解：a10，抛物线开口
14、向上， 二次函数为 ya（xh）2+k 顶点坐标是（h，k） ， 二次函数 y（x1）2+2 的图象的顶点坐标是（1，2） ， 抛物线顶点（1，2） ，开口向上， 抛物线与 x 轴没有交点， 故 A、B、C 正确 故选：D 9如图，在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为（ ） A10cm B16cm C24cm D26cm 【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出 BC 的长，进而根据垂径定理得出答案 【解答】解：如图，过 O 作 ODAB 于 C，交O 于 D， CD8，OD13， OC5， 又OB13， RtBCO 中，BC12， 根
15、据垂径定理，得：AB2BC24 故选：C 10把一副三角板如图（1）放置，其中ACBDEC90，A45，D30，斜边 AB4，CD 5把三角板 DCE 绕着点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1（如图 2） ，此时 AB 与 CD1交于点 O，则线 段 AD1的长度为（ ） A B C D4 【分析】首先由旋转的角度为 15，可知ACD145已知CAO45，即可得 AOCD1，然后 可在 RtAOC 和 RtAOD1中，通过解直角三角形求得 AD1的长 【解答】解：由题意易知：CAB45，ACD30 若旋转角度为 15，则ACO30+1545 AOC180ACOCAO90 在等腰 RtABC
16、中，AB4，则 ACBC2 同理可求得：AOOC2 在 RtAOD1中，OA2，OD1CD1OC3， 由勾股定理得：AD1 故选：A 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11方程 x2x0 的解是 0 或 1 【分析】 本题应对方程进行变形， 提取公因式 x， 将原式化为两式相乘的形式， 再根据 “两式相乘值为 0， 这两式中至少有一式值为 0”来解题 【解答】解：原方程变形为：x（x1）0， x0 或 x1 12如果点 P（x，y）关于原点的对称点为（2，3） ，则 x+y 5 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ，记忆方法是结合平 面直角
17、坐标系的图形记忆 【解答】解：点 P（x，y）关于原点的对称点为（2，3） ， x2，y3； x+y235 故答案是：5 13圆的内接四边形中，A：B：C2：3：4，则D 的度数为 90 【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程即可 【解答】解：设A、B、C 分别为 2x、3x、4x， 四边形 ABCD 为圆内接四边形， A+C180，即 2x+4x180， 解得，x30， B3x90， D180B90， 故答案为：90 14如图，圆的直径是 10cm，如果圆心与直线的距离是 6cm，那么该直线和圆的位置关系是 相离 【分析】若 dr，则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 d
18、r，则直线与圆相离 【解答】解：根据题意，可知圆的半径为 5cm 因为圆心到直线 l 的距离为 6cm， dr， 直线和圆相离， 故答案为：相离 15 在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同， 摇匀后随机摸出一个， 摸到红球的概率是，则 n 的值是 8 【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于 n 的方程，求出 n 的值即可 【解答】解：在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸到红球的概率是， ， 解得 n8 故答案为：8 16已知一个直角三角形的两直角边长分别为 4、3，则其内切圆的半径为
19、1 【分析】连接 OE、OQ，根据圆 O 是三角形 ABC 的内切圆，得到 AEAF，BQBF，OECOQC 90，OEOQ，推出正方形 OECQ，设 OECECQOQr，得到方程 4r+3r5，求出方程 的解即可 【解答】解：如图，ACB90，AC3，BC4， AB5， C90， 连接 OE、OQ， 设圆 O 是三角形 ABC 的内切圆， AEAF，BQBF，OECOQCC90，OEOQ， 四边形 OECQ 是正方形， 设 OECECQOQr， AF+BF5， 4r+3r5， r1， 故答案为：1 17如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，下列结论中：abc0；9a3
20、b+c0； b24ac0；2ab0；ab，正确的结论是 （只填序号） 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线 x1，与 y 轴的交点，可得 abc0，则可判断；根据 图象可得 x3 时 y0，代入解析式可判断；根据抛物线与 x 轴的交点个数可判断；根据对称轴 方程 x1 可判断；根据 aba0，可判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0 对称轴为 x1， 1 b2a0 抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴， c0 abc0，故错误； 由图象得：当 x3 时，y0， 9a3b+c0， 故正确； 图象与 x 轴有两个交点， b24ac0 故正确； 对称轴是直线 x1，则 2ab0， 故正确； a
21、ba2aa0， ab 故正确； 故答案为： 三解答题三解答题 18解方程：x2+2x10 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 1 变形后，开方即可求出解 【解答】解：方程变形得：x2+2x1， 配方得：x2+2x+12，即（x+1）22， 开方得：x+1， 解得：x11+，x21 19如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（5，1） ，B（2，2） ，C（1， 4） ，请按下列要求画图： （1）将ABC 先向右平移 4 个单位长度、再向下平移 1 个单位长度，得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）画出与ABC 关于原点 O 成中心对称的A2B2C2，并直接写出
22、点 A2的坐标 【分析】 （1）将三个顶点分别向右平移 4 个单位长度、再向下平移 1 个单位长度，得到对应点，再顺次 连接即可得； （2）将ABC 的三个顶点关于原点 O 成中心对称的对称点，再顺次连接可得 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求 （2）如图所示，A2B2C2即为所求，点 A2的坐标为（5，1） 20已知二次函数 yx2+4x6 （1）将二次函数的解析式化为 ya（xh）2+k 的形式； （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 【分析】 （1）利用配方法把一般式化为顶点式即可； （2）根据二次函数的性质解决问题 【解答】解： （1）yx2+4x+464
23、（x2+4x+4）10 （x+2）210； （2）y（x+2）210， a10， 二次函数图象的开口向上对称轴是直线 x2，顶点坐标是（2，10） 21某镇为打造“绿色小镇” ，投入资金进行河道治污已知 2016 年投入资金 1000 万元，2018 年投入资金 1210 万元 （1）求该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率； （2）若 2019 年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇 2019 年预计投入资金多少万元？ 【分析】 （1）设该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率为 x，根据该镇 2016 年及 2018 年投 入的资金金额，即可得
24、出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据 2019 年投入资金金额2018 年投入资金金额（1+增长率） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率为 x， 根据题意得：1000（1+x）21210， 解得：x10.110%，x22.1（舍去） 答：该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率为 10% （2）1210（1+10%）1331（万元） 答：该镇 2019 年预计投入资金 1331 万元 22举世瞩目的港珠澳大桥已于 2018 年 10 月 24 日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥
25、，被英国 卫报誉为“新世界七大奇迹” ，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的 4 个收费通道 A、B、C、D 中可随机选择其中一个通过 （1）一辆车经过收费站时，选择 A 通道通过的概率是 （2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率 【分析】 （1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论 【解答】解答： （1）一辆车经过收费站时，选择 A 通道通过的概率是， 故答案为： （2）列表如下： A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表可知，共有 16 种等可能结果，
26、其中选择不同通道通过的有 12 种结果， 所以选择不同通道通过的概率为 23已知一元二次方程 x24x+k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x24x+k0 与 x2+mx10 有一个相同的根，求 此时 m 的值 【分析】 （1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案； （2） 根据解方程， 可得 x24x+k0 的解， 根据解相同， 把方程的解代入， 可得关于 m 的一元一次方程， 根据解一元一次方程，可得答案 【解答】解：由一元二次方程 x24x+k0 有两个不相等的实数根，得 b24ac（
27、4）24k0， 解得 k4； （2）由 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x24x+k0，得 x24x+30， 解得 x11，x23， 一元二次方程 x24x+k0 与 x2+mx10 有一个相同的根， 当 x1 时，把 x1 代入 x2+mx10，得 1+m10，解得 m0， 当 x3 时，把 x3 代入 x2+mx10，得 9+3m10，解得 m， 综上所述：如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x24x+k0 与 x2+mx10 有一个相同的 根， 24如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下
28、半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 ACFC （1）求证：AC 是O 的切线： （2）若 BF8，DF，求O 的半径； （3）若ADB60，BD1，求阴影部分的面积 （结果保留根号） 【分析】 （1）连接 OA、OD，如图，利用垂径定理的推论得到 ODBE，再利用 CACF 得到CAF CFA，然后利用角度的代换可证明OAD+CAF90，则 OAAC，从而根据切线的判定定理得到 结论； （2）设O 的半径为 r，则 OF8r，在 RtODF 中利用勾股定理得到（8r）2+r2（）2，然 后解方程即可； （3）先证明BOD 为等腰直角三角形得到 OB，则 OA，再利用圆周角定理得到A
29、OB2 ADB120，则AOE60，接着在 RtOAC 中计算出 AC，然后用一个直角三角形的面积减去一 个扇形的面积去计算阴影部分的面积 【解答】 （1）证明：连接 OA、OD，如图， D 为 BE 的下半圆弧的中点， ODBE， ODF+OFD90， CACF， CAFCFA， 而CFAOFD， ODF+CAF90， OAOD， ODAOAD， OAD+CAF90，即OAC90， OAAC， AC 是O 的切线； （2）解：设O 的半径为 r，则 OF8r， 在 RtODF 中， （8r）2+r2（）2，解得 r16，r22（舍去） ， 即O 的半径为 6； （3）解：BOD90，OBOD
30、， BOD 为等腰直角三角形， OBBD， OA， AOB2ADB120， AOE60， 在 RtOAC 中，ACOA， 阴影部分的面积 25如图，已知抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧） 与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，则是否存在一点 P，使PBC 的面积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当
31、MN3 时，求 M 点 的坐标 【分析】 （1）由抛物线的对称轴为直线 x3，利用二次函数的性质即可求出 a 值，进而可得出抛物线的 解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点 A、B 的坐标； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，由点 B、C 的坐标，利用待定系数法即可求 出直线 BC 的解析式，假设存在，设点 P 的坐标为（x，x2+x+4） ，过点 P 作 PDy 轴，交直线 BC 于点 D，则点 D 的坐标为（x，x+4） ，PDx2+2x，利用三角形的面积公式即可得出 SPBC关于 x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）设点
32、M 的坐标为（m，m2+m+4） ，则点 N 的坐标为（m，m+4） ，进而可得出 MN| m2+2m|，结合 MN3 即可得出关于 m 的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3， 3，解得：a， 抛物线的解析式为 yx2+x+4 当 y0 时，x2+x+40， 解得：x12，x28， 点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（8，0） （2）当 x0 时，yx2+x+44， 点 C 的坐标为（0，4） 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） 将 B（8，0） 、C（0，4）代入 ykx+b， ，解得：， 直
33、线 BC 的解析式为 yx+4 假设存在，设点 P 的坐标为（x，x2+x+4） （0 x8） ，过点 P 作 PDy 轴，交直线 BC 于点 D， 则点 D 的坐标为（x，x+4） ，如图所示 PDx2+x+4（x+4）x2+2x， SPBCPDOB8 （x2+2x）x2+8x（x4）2+16 10， 当 x4 时，PBC 的面积最大，最大面积是 16 0 x8， 存在点 P，使PBC 的面积最大，最大面积是 16 （3）设点 M 的坐标为（m，m2+m+4） ，则点 N 的坐标为（m，m+4） ， MN|m2+m+4（m+4）|m2+2m| 又MN3， |m2+2m|3 当 0m8 时，有m2+2m30， 解得：m12，m26， 点 M 的坐标为（2，6）或（6，4） ； 当 m0 或 m8 时，有m2+2m+30， 解得：m342，m44+2， 点 M 的坐标为（42，1）或（4+2，1） 综上所述：M 点的坐标为（42，1） 、 （2，6） 、 （6，4）或（4+2，1）
